2010新课标全国卷数学

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)

数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2}

D ．{0,1,2}

解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R}，B ＝{x |0≤x ≤16，x ∈Z}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z}＝{0,1,2}． 答案：D 2．已知复数z ＝3＋i

(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )

A.14

B.12

C ．1

D ．2

解析：∵z ＝

3＋i (1－3i )2＝3＋i

1－23i －3

＝

3＋i －2－23i ＝3＋i

－2(1＋3i )

＝(3＋i )(1－3i )－2×(1＋3)＝3－3i ＋i ＋3

－8

＝

23－2i －8＝3－i

－4

， ∴z ＝

3＋i

－4

， ∴z ·z ＝|z |2＝1

4.

答案：A 3．曲线y ＝

x

x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x －2

解析：∵y ′＝

x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2

＝2

(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝

2

(－1＋2)2

＝2，

∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A

4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )

解析：法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝5π

4

时，

P 点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C. 法二：由题意知P (2cos(t －π

4)，2sin(t －π4))，

∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2|sin(t －π

4)|，

当t ＝0时，d ＝2； 当t ＝π

4时，d ＝0.故选C.

答案：C

5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x

在R 为增函数．

p 2：函数y ＝2x ＋2

－x

在R 为减函数．

则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4

D ．q 2，q 4

解析：p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题； ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， ∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．

∴真命题是q 1，q 4. 答案：C

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

A ．100

B ．200

C ．300

D ．400

解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2Eξ＝200.

答案：B

7．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )

A.54

B.45

C.65

D.56

解析：由框图知：k ＝1时，S ＝0＋11×2

； k ＝2时，S ＝

11×2＋12×3

； 当k ＝3时，S ＝11×2＋12×3＋13×4

； 当k ＝4时，S ＝

11×2＋12×3＋13×4＋14×5

； 满足条件k <5，故还需进行下一步运算， 当k ＝5时，S ＝

11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6

＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56，

不满足条件k <5，故输出S ，选D. 答案：D

8．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

解析：当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8， 又f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，

∴f (x )＝?

????

x 3－8，x ≥0

－x 3

－8，x <0. ∴f (x －2)＝?

????

(x －2)3

－8，x ≥2

－(x －2)3

－8，x <2， ?

????

x ≥2(x －2)3

－8>0或????

?

x <2－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0. 答案：B

9．若cos α＝－4

5

，α是第三象限的角，则1＋tan

α

21－tan

α2＝( ) A ．－12

B.12

C ．2

D ．－2

解析：∵cos α＝－4

5且α是第三象限的角，

∴sin α＝－3

5，

∴1＋tan α

2

1－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin

α2

cos α2

＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2

＝(cos α2＋sin α2

)2

(cos α2－sin α2)(cos α2＋sin α2)

＝

1＋sin α

cos 2α2－sin 2α2

＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－1

2

.

答案：A

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．πa 2

B.73

πa 2

C.11

3πa 2

D ．5πa 2

解析：三棱柱如图所示，由题意可知：

球心在三棱柱上、下底面的中心O 1、O 2的连线的中点O 处， 连接O 1B 、O 1O 、OB ，其中OB 即为球的半径R ， 由题意知：O 1B ＝2

3×3a 2＝3a 3，

所以半径R 2

＝(a 2)2＋(3a 3)2＝7a 2

12

，

所以球的表面积是S ＝4πR 2

＝7πa 2

3

.

答案：B

11．已知函数f (x )＝????

?

|lg x |，010.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则

abc 的取值范围是( )

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

解析：由a ，b ，c 互不相等，结合图象可知 ： 这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上， 不妨设a ∈(0,1)，b ∈(1,10)，c ∈(10,12)， 由f (a )＝f (b )得lg a ＋lg b ＝0，

即lg ab ＝0，所以ab ＝1，所以abc ∈(10,12)． 答案：C

12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )

A.x 23－y 2

6

＝1

B.x 24－y 2

5

＝1

C.x 26－y 2

3

＝1

D.x 25－y 2

4

＝1 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：

???

x 21a 2－y 21

b

2＝1x 22a 2

－y 22b 2

＝1

，

两式作差得：

y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 2

5a 2， 又AB 的斜率是－15－0

－12－3＝1，

所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5，

所以双曲线标准方程是x 24－y 2

5＝1.

答案：B

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分

1

?

f (x )d x .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，

y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分

1

?

f (x )d x 的近似值为________．

解析：由均匀随机数产生的原理知：

在区间[0,1]满足y i ≤f (x i )的点都落在了函数y ＝f (x )的下方， 又因为0≤f (x )≤1， 所以由????

?

0≤x ≤10≤y ≤1

y ≤f (x )

围成的图形的面积是N 1

N ，

由积分的几何意义知1

?

f (x )d x ＝N 1

N

.

答案：N 1

N

14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)

解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对

于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．

答案：三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分)

15．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________．

解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知：

?????

(4－a )2＋(1－b )2＝r 2

b －1a －2＝－1|a －b －1|2＝r

，解之得：a ＝3，b ＝0，r ＝2，

所以圆的方程是：(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝2

16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的

面积为3－3，则∠BAC ＝________.

解析：由∠ADB ＝120°知∠ADC ＝60°，

又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝1

2AD ·DC sin60°＝3－3，

所以DC ＝2(3－1)，

又因为BD ＝1

2DC ，所以BD ＝3－1，过A 点作AE ⊥BC 于E 点，

则S △ADC ＝1

2

DC ·AE ＝3－3，

所以AE ＝3，又在直角三角形AED 中，DE ＝1，

所以BE ＝3，在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°，

在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3， 所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝3

23－3＝2＋3，

所以∠ACE ＝75°，

所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°. 答案：60°

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －

1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

解：(1)由已知得，当n ≥1时，

a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －

1＋22n －

3＋…＋2)＋2＝22(n

＋1)－

1

，

而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －

1.

(2)由b n ＝na n ＝n ·22n

－1

知

S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n

－1

① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1

②

①－②得

(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －

1－n ·22n ＋

1.

即S n ＝19

[(3n －1)22n ＋

1＋2]．

18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．

(1)证明：PE ⊥BC ；

(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．

解：以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段

HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，

则A (1,0,0)，B (0,1,0)．

(1)证明：设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)， 则D (0，m,0)，E (12，m

2

，0)．

可得PE ＝(12，m

2，－n )，BC ＝(m ，－1,0)．

因为PE ·BC

＝m 2－m 2＋0＝0，

所以PE ⊥BC .

(2)由已知条件可得m ＝－3

3

，n ＝1， 故C (－

33，0,0)，D (0，－33，0)，E (12，－3

6

，0)，P (0，0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，

则???

n ·HE

＝0，n ·HP

＝0，即?????

12x －36y ＝0，

z ＝0.

因此可以取n ＝(1，3，0)．

由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|＝24

，

所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为

24

. 19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70

500

＝14%.

(2)K 2

＝500×(40×270－30×160)2

200×300×70×430

≈9.967.

由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．

20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过

F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．

(1)求E 的离心率；

(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．

解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4

3a .

l 的方程为y ＝x ＋c, 其中c ＝a 2－b 2.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组 ?????

y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.

化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2

.

因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝ 2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].

得43a ＝4ab 2a 2＋b

2，故a 2＝2b 2

， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.

(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1. 即

y 0＋1

x 0

＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 2

9

＝1.

21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；

(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；

当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .

由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立． 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0， 即a ≤1

2时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，

于是当x ≥0时，f (x )≥0.

由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)，从而当a >12

时，f ′(x )

x (e x

－1)(e x －2a )，

故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0，综合得a 的取值范围为(－∞，1

2

]．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧 AC ＝ BD

，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：

(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .

证明：(1)因为 AC ＝ BD

， 所以∠BCD ＝∠ABC .

又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .

(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD

BC

， 即BC 2＝BE ×CD . 23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线C 1：????? x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：?

????

x ＝cos θ

y ＝sin θ，(θ为参数)． (1)当α＝π

3

时，求C 1与C 2的交点坐标；

(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

解：(1)当α＝π

3

时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.

联立方程组???

y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，

解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－3

2)．

(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，

故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为

???

x ＝1

2sin 2

α，y ＝－1

2sin αcos α，

(α为参数)．

P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝1

16.

故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为1

4的圆．

24．(本小题满分10分)

选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －4|＋1. (1)画出函数y ＝f (x )的图象；

(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．

解：(1)由于f (x )＝?????

－2x ＋5，x <2，

2x －3，x ≥2，

则函数y ＝f (x )的图象如图所示．

(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象可知，

当且仅当a ≥1

2或a <－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象有交点．

故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[1

2，＋∞)．