第2章 自由振动分析-1-修改1汇总

高等结构动力学
高等结构动力学
第二章
自由振动分析
高等结构动力学
第二章 自由振动分析
§2.1 基本动力体系的组成 §2.2 基本动力体系的运动方程 §2.3 重力的影响 §2.4 支座激励的影响------（第一讲） §2.5 无阻尼自由振动分析 §2.6 阻尼自由振动 §2.7* 广义单自由度体系：刚体集合 §2.8* 广义单自由度体系：分布柔性 §2.9* 广义体系的特性的表达式
G G cos iG sin
（2-22c）
利用这个表达式并注意到 cos sin( 2) 及 sin cos( 2) ，
容易证明一个矢量和i相乘，是该矢量在复平面中逆时针旋转 2 弧度和90度 的结果。同样，乘以-i可以看成是顺时针旋转90度的结果。现在令式（2-22c） 和式（2-22b）相等，同样注意到负的虚部分量对应于负的矢量角，这可得到 用于三角函数与指数函数变换的Euler对：
§2.1 基本动力体系的组成
§2.1 基本动力体系的组成
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理想化单自由度体系（a）基本元件 （b）平衡力系
§2.2 基本动力体系的运动方程
§2.2 基本动力体系的运动方程 ➢ 直接平衡法 平衡表达式
fI fD fS p(t)
fI mv fD cv
fS kv
高等结构动力学
(2-1) (2-2a) (2-2b) (2-2c)
高等结构动力学
首先讨论复常数G，它可以如图2-4所示用复平面的一个矢量来表示。此图 表明矢量可用实、虚部cartesian分量来表示。
G GR iGI
（2-22a）
也可以在极坐标中用绝对值 G（即矢量的长度）和自实轴逆时针转过的角度
来表示：
G G exp(i )
（2-22b）
另外，由如图所示的三角关系，显然式（2-22a）可改写为
§2.2 基本动力体系的运动方程
高等结构动力学
单自由度体系的运动方程
mv cv kv p(t)
(2-3)
虚功原理
➢ 体系作的总功
fI v fD v fS v p(t) v 0
(2-4)
因 v 不为零
mv cv kv p(t)
(2-5)
§2.2 基本动力体系的运动方程
变分的概念
➢ 泛函的概念 ➢ 泛函的极值问题 ➢ 典型的变分问题
➢ 请大家看一本简明变分原理教程 ➢ 《弹性力学中的变分原理》张振清
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§2.2 基本动力体系的运动方程
Hamilton原理的应用
体系动能
T 1 mv2 2
由弹簧表达的位能 V U 1 kv2 2
非保守力力所作功的变分
Wnc p(t) v cv v
由 k st W mv cv kv p(t)
mv cv kv p(t)
(2-6) (2-7)
(2-8) (2-9) (2-10) (2-11)
总挠度、应力即为动力结果与静力结果的和 v st v
§2.4 支座激励的影响
§2.4 支座激励的影响
高等结构动力学
支座激励对单自由度体系平衡的影响 （a）体系的运动; (b)平衡力系
(2-17)
§2.4 支座激励的影响
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支座激励的第二种列式
将质量总位移 v vt vg
代入
mv cv kv 0
得 mvt cvt kvt cvg kvg
mvt cvt kvt cvg kvg peff (t) (2-18)
地震测量为加速度，速度和位移需要积分一次和两次 才可获得，少用！
由变分的 v 任意性可得 mv cv kv p(t)
§2.3 重力的影响
§2.3重力的影响——静力的影响
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重力对单自由度体系平衡的影响
§2.3 重力的影响
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mv cv kv p(t) W
弹簧力
v st v
fS kv k st kv
得
mv cv k st kv p(t) W
§2.5 无阻尼自由振动分析
§2.5 无阻尼自由振动分析
➢ 1 运动方程的解 ➢ 2 无阻尼自由振动
高等结构动力学
§2.5 无阻尼自由振动分析
1 运动方程的解
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单自由度运动方程的普遍形式
m*v t c*vt k*vt p* t
（2-19）
§2.5 无阻尼自由振动分析
解的性质
高等结构动力学
高等结构动力学
(2-6a*) (2-6b*) (2-6c*)
§2.2 基本动力体系的运动方程
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整理
t2 mvv cv v kvv p(t)vdt 0 t1
(2-7*)
t2 mv vdt mv v t2 t2 mv vdt (2-8*)
t1
t1
t1
由 v d v
dt
得到 t2 mv cv kv p(t)vdt 0 (2-9*) t1
§2.5 无阻尼自由振动分析
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exp(i ) cos i sin exp(i ) cos i sin
(2-23)
此外，联立求解式（2-23a）,可得Euler方程的逆形式：
cos 1 [exp(i ) exp(i )]
2
sin i [exp(i ) exp(i )]
§2.4 支座激励的影响
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体系平衡 fI fD fS 0
惯性力 得
fI mvt mvt cv kv 0
质量总位移 vt v vg得源自mv mvg cv kv 0
(2-12) (2-13) (2-14) (2-15) (2-16)
mv cv kv mvg (t) peff (t)
式中G是任意的复常数， exp(st)表 e示st 指数函数。在后面 的讨论中将动力荷载和反应用复数表达往往是方便的， 因此现在简要地回顾复数的概念。
G GR iGI 或
G G exp(i )
G
G
GR G cos
iGI iG sin Re
图 2-4 复平面中的复常数表示法
§2.5 无阻尼自由振动分析
➢ 数学上：给定边界条件下二次微分方程的解； ➢ 力学上：荷载与初始条件下结构的反应。
§2.5 无阻尼自由振动分析
微分方程的解法
➢复数解法 ➢三角函数解法
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§2.5 无阻尼自由振动分析
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自由振动 mv t cvt kvt 0 (2-20)
解的形式
vt Gest
(2-21)