二次函数与一元二次方程公开课课件
8.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ B ）
b2-4ac≥0
A:k 7 4 B:k 7 4 且k 0 C:k 7 4 D： k 7 4 且k 0
B
9.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0 时，图象与x轴交点情况是（c ） A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定
10.关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n﹦0没有实数， 则抛物线y﹦ x2﹣x﹣n的顶点在(A ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
五、总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑？说给老师或同学听听.
①二次函数与一元二次方程的关系.
②二次函数与一元二次方程根的情况之间的 关系.
③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？ （1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
x2=
(-2，0) ( ，0) 是＿＿＿＿＿＿＿＿ . 5.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
5 ，那么二次函数 3
4.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ， y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标
C. y= －x2 – 3x D. y=－2x2 － 4x － 5
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平 距离x（m）之间的函数关系式y=－ x2+ 该运动员此次掷铅球的成绩是_________ 。 10
1 12 2 3
x+
5 3
，则
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x= － 1, 由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 K≠0 x1=1.3 ,x2=＿＿＿
思考：以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击
出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气 阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）
之间具有函数关系
h=20t－5t2。
考虑下面问题： 小球从飞出到落地要用多少时间？
四、随堂练习
1. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个
1 相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－ 1 2x+m与x轴有＿＿个交点 . 2.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c 16. =＿＿
3.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿ . b2－4ac < 0
如果a＜0呢？
今 天 就 到 这 吧
休 息 一 会 儿
……
……
x1=0
x2=2
如果不给你图象 你能得到交点坐标吗？
函数y＝x2－2x的图象与x轴两个交点为 （ 0， 0 ） （ 2， 0 ） 方程x2－2x ＝0的两根是 x1＝ 0 , x2 ＝ 2
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴 的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根; （2）二次函数与x轴的交点问题可以 转化为一元二次方程去解决.
y x2 2x
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac Δ=b2-4ac > 0 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点 有两个交点
Δ=b2-4ac= 0
有两个相等的实数根
有一个交点
Δ=b2-4ac < 0
没有实数根
没有交点
例1.判断二次函数y=x2-2x-1与x轴的交点情况 解： a=1 b=-2 c=-1
∵ Δ=b2－4ac＝(-2)2－4×1×(－1)=8＞0
∴函数与x轴有两个交点 练习1.不画图象判断下列函数的图象与x轴 是否有公共点，并说明理由． (1) y=x2-4x+3 (2) y=x2-6x+9
即证明对应方程中的b2-4ac＞0
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助
判别式解决，那么二次函数与一次 函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如: 二次函数y＝x2－2x－3和一次函数 y＝x＋2有交点吗？有几个？
分析: 两个函数的交点是这两个函数的公共解， 先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标 y=x2-2x+、抛物线与x轴的公共点个数能不能
用一元二次方程的知识来说明呢？
与x轴的公 共点个数
y
2个 0 1 0 个 2个等根 个不等根
y x2 2 x 3 一元二次方程 根的个数 y x2 2 x 1
廖 源
ax² + bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
2
y ax bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
（2,0）
观察图象，说一说二次函数y=x2-2x的图象和x 轴有几个交点，分别是什么？
(0,0)
(2,0)
x2-2x=0
(3)
y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求 出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
2 y x kx k 2 • 例3．已知：抛物线 • 求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．
b2-4ac≥0
A:k 7 4 B:k 7 4 且k 0 C:k 7 4 D： k 7 4 且k 0
B
9.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0 时，图象与x轴交点情况是（c ） A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定
10.关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n﹦0没有实数， 则抛物线y﹦ x2﹣x﹣n的顶点在(A ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
五、总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑？说给老师或同学听听.
①二次函数与一元二次方程的关系.
②二次函数与一元二次方程根的情况之间的 关系.
③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？ （1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
x2=
(-2，0) ( ，0) 是＿＿＿＿＿＿＿＿ . 5.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
5 ，那么二次函数 3
4.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ， y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标
C. y= －x2 – 3x D. y=－2x2 － 4x － 5
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平 距离x（m）之间的函数关系式y=－ x2+ 该运动员此次掷铅球的成绩是_________ 。 10
1 12 2 3
x+
5 3
，则
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x= － 1, 由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 K≠0 x1=1.3 ,x2=＿＿＿
思考：以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击
出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气 阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）
之间具有函数关系
h=20t－5t2。
考虑下面问题： 小球从飞出到落地要用多少时间？
四、随堂练习
1. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个
1 相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－ 1 2x+m与x轴有＿＿个交点 . 2.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c 16. =＿＿
3.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿ . b2－4ac < 0
如果a＜0呢？
今 天 就 到 这 吧
休 息 一 会 儿
……
……
x1=0
x2=2
如果不给你图象 你能得到交点坐标吗？
函数y＝x2－2x的图象与x轴两个交点为 （ 0， 0 ） （ 2， 0 ） 方程x2－2x ＝0的两根是 x1＝ 0 , x2 ＝ 2
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴 的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根; （2）二次函数与x轴的交点问题可以 转化为一元二次方程去解决.
y x2 2x
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac Δ=b2-4ac > 0 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点 有两个交点
Δ=b2-4ac= 0
有两个相等的实数根
有一个交点
Δ=b2-4ac < 0
没有实数根
没有交点
例1.判断二次函数y=x2-2x-1与x轴的交点情况 解： a=1 b=-2 c=-1
∵ Δ=b2－4ac＝(-2)2－4×1×(－1)=8＞0
∴函数与x轴有两个交点 练习1.不画图象判断下列函数的图象与x轴 是否有公共点，并说明理由． (1) y=x2-4x+3 (2) y=x2-6x+9
即证明对应方程中的b2-4ac＞0
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助
判别式解决，那么二次函数与一次 函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如: 二次函数y＝x2－2x－3和一次函数 y＝x＋2有交点吗？有几个？
分析: 两个函数的交点是这两个函数的公共解， 先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标 y=x2-2x+、抛物线与x轴的公共点个数能不能
用一元二次方程的知识来说明呢？
与x轴的公 共点个数
y
2个 0 1 0 个 2个等根 个不等根
y x2 2 x 3 一元二次方程 根的个数 y x2 2 x 1
廖 源
ax² + bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
2
y ax bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
（2,0）
观察图象，说一说二次函数y=x2-2x的图象和x 轴有几个交点，分别是什么？
(0,0)
(2,0)
x2-2x=0
(3)
y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求 出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
2 y x kx k 2 • 例3．已知：抛物线 • 求证：此抛物线与x轴必有两个不同交点．
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22.2 二次函数与一元二次方程(优秀经典公开课比赛课件)
x2－x＋1＝0 的根的判别式△_______0．
A ．无解 B ．x＝1 C ．x＝－4 D ．x＝－1 或 x＝4
探究点二：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的不
等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则 关 于 x 的 不等 式 ax2＋bx＋ c＞ 0 的 解集 是
()
A ．x＜2 B ．x＞－3 C ．－3＜x＜1 D ．x＜－3 或 x＞1
归纳：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三
种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， ③没有交点．
类型二】利用二次函数图象与 x 轴交点坐标
确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交
于(1，0)，(3，0)两点， 则它的对称轴为________．
【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确
定字母取值范围
若函数 y＝m x2＋(m ＋2)x＋12m ＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( ) A ．0 B ．0 或 2 C ．2 或－2 D ．0，
2 或－2
类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一
元二次方程的解
小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2 ＋ax＋b＝0 的解是( )
探索新知 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与 x 轴交点情况判断
探索二次函数与一元二次方程： 二次函数 y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2 的图象如图所示．
(1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2＋2x＝0，x根吗？ (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0 的根有什么关系？
A ．无解 B ．x＝1 C ．x＝－4 D ．x＝－1 或 x＝4
探究点二：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的不
等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则 关 于 x 的 不等 式 ax2＋bx＋ c＞ 0 的 解集 是
()
A ．x＜2 B ．x＞－3 C ．－3＜x＜1 D ．x＜－3 或 x＞1
归纳：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三
种情况： ①有两个交点， ②有一个交点， ③没有交点．
类型二】利用二次函数图象与 x 轴交点坐标
确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交
于(1，0)，(3，0)两点， 则它的对称轴为________．
【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确
定字母取值范围
若函数 y＝m x2＋(m ＋2)x＋12m ＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( ) A ．0 B ．0 或 2 C ．2 或－2 D ．0，
2 或－2
类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一
元二次方程的解
小兰画了一个函数 y＝x2＋ax＋b 的图象如图，则关于 x 的方程 x2 ＋ax＋b＝0 的解是( )
探索新知 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与 x 轴交点情况判断
探索二次函数与一元二次方程： 二次函数 y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2 的图象如图所示．
(1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2＋2x＝0，x根吗？ (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0 的根有什么关系？
人教版二次函数与一元二次方程PPT演示课件
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
一元二次方程与二次函数 川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。 有什么关系？
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
一元二次方程与二次函数 川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。 有什么关系？
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
2二次函数与一元二次方程课件
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）（x2，0）
有两个重合的公共点
与x轴没有交点
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
图象
y
O
x
y
O
有两个相等的实数根
x
y
O
有两个不同的
解x=x1，x=x2
没有实数根
x
图象伐解一元二次方程
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。
由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
33
22
11
-3 -2 -1 O
-1-1
-2-2
-3-3
-4-4
x
1
2 3 4 5 6
y x 6x 9
2
探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s
时球落回地面。
例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的
值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） 。
反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝
x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -1<x<3时，函数值小于0.
-3
（x1，0）（x2，0）
有两个重合的公共点
与x轴没有交点
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
图象
y
O
x
y
O
有两个相等的实数根
x
y
O
有两个不同的
解x=x1，x=x2
没有实数根
x
图象伐解一元二次方程
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。
由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
33
22
11
-3 -2 -1 O
-1-1
-2-2
-3-3
-4-4
x
1
2 3 4 5 6
y x 6x 9
2
探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s
时球落回地面。
例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的
值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） 。
反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝
x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -1<x<3时，函数值小于0.
-3
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。
22.2 二次函数与一元二次方程 公开课获奖课件
2.(2015·广州模拟)小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的 根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方 程的另一个近似根(精确到0.1)为 ( D )
A.4.4
B.3.4
C.2.4
D.1.4
[提示:由题意知抛物线与x轴的一个交点为(-3.4,0),又抛 物线的对称轴为直线x=-1,∴另一个交点坐标为(1.4,0), 则方程的另一个近似根为1.4.]
考查角度3 函数图象的交点与方程组的解
例3
利用函数图象求方程组
y y
3x x2 x
3，的解.
〔解析〕将y=-3x+3与y=x2-x看成两个函数的解析式,在直角坐标系
中画出这两个函数的图象,则它们交点的坐标就是该方程组的解.
解:如图所示,在同一直角坐标系中画出函数y=-3x+3与y=x2-x的图象，
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
解:(1)由图象可知图象与x轴交于点(1,0)和(3,0), 则方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3.
(2)由图象可知当1<x<3时,抛物线在x轴上方, 故不等式ax2+bx+c>0的解集为1<x<3.
二次函数与一元二次方程(第2课时)同步课件
自主合作，探究新知
做一做：（1）请利用图像求一元二次方程 x2+2x-10=3 的近似根.
x
2.9 2.8 2.7 2.6
y 1.21 0.44 -0.31 -1.04
x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 y 1.21 0.44 -0.31 -1.04
因此 x=-4.7和 x=2.7 是方程的近似根.
随堂练习
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值． 当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0； 当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内， y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值． 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0； 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范围内， y随x的增大而增大， ∴3.5＜x2＜3.75.
随堂练习
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图 所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝ 1.3，x2＝__－__3_._3__．
随堂练习
5. 二 次 函 数 y=ax²+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 , 则 方 程 ax²+bx+c=0 的 两 个 根 是 _____x_1=_1_,___x_2_=_3_____ 若 函 数 y ＜0,则对应x的取值范围是__1_＜__x_＜__3___
自主合作，探究新知
练一练：利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根． 解：先把方程化成x2＝－2x＋3.如图， 在同一直角坐标系中分别画出函数 y＝x2和y＝－2x＋3的图象， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
人教版数学九年级上册2二次函数与一元二次方程课件
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
4. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根， 则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
5. 已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
6. 若抛物线 y=x2 + bx+ c 的c =0
22.2 二次函数与一元二次 方程
复习
二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由 什么决定呢？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质： (1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．
活动
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示． (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程 x2－2x＋2＝0有根吗？
D. 0
2. 抛物线y＝4x2－4x－1与x轴的交点的个数是
.
3. 已知抛物线y＝(a＋2)x2＋2x＋1与x轴没有交点，则a的取值范围
是
.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似根
根据二次函数与一元二次方程的关系，可得函数图象与x轴的交点 的横坐标就是相应的方程的解.
例题
如图22－2－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点 A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则图象与x轴的另一个 交点坐标是
的根的情况是＿＿＿＿＿.
7. 已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１. (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m____ (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______ (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
二次函数与一元二次方程
一元二次方程
解方程 一元二次方程的根
y=0 二次函数
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
小试牛刀（源于《典中点》） 1．想一想，填一填。
32＋40＝ 72 先算：30 ＋40 ＝ 70 再算：2 ＋ ＝70 72
3．看一看，填一填。 22 30 52
89 30 59
1 课堂探究点
两位数加、减整十数
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次函数与一元二次方程之间的关系
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的 图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c（a ≠ 0）与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0 时，函数值是0，因此x=x0 是方程ax2+bx+c=0（a ≠ 0）的一个根.
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
感悟新知
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件
有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.