数学软件与建模1-1矩阵基本运算
matlab 矩阵代数计算
matlab 矩阵代数计算【原创版】目录一、矩阵的基本概念1.矩阵的定义2.矩阵的行和列3.矩阵的转置4.矩阵的加减法5.矩阵的乘法6.矩阵的左除7.矩阵的右除8.矩阵的点运算二、MATLAB 中的矩阵运算1.MATLAB 中如何实现矩阵的加减法2.MATLAB 中如何实现矩阵的乘法3.MATLAB 中如何实现矩阵的左除4.MATLAB 中如何实现矩阵的右除5.MATLAB 中如何实现矩阵的点运算三、如何用 MATLAB 计算一个矩阵和大量矩阵1.使用 for 循环2.使用 cellfun 函数正文一、矩阵的基本概念矩阵是数学中的一个重要概念，它由一定数量的行和列组成。
矩阵的每一个元素都可以用一个有序的二元组表示，例如：mx(m,n) 表示一个位于第 m 行第 n 列的元素。
1.矩阵的定义矩阵是一个由数字或函数组成的矩形阵列，通常用大写字母表示，如A、B 等。
矩阵的每一个元素都是一个向量，它可以是一个标量、向量或矩阵。
2.矩阵的行和列矩阵的行数和列数决定了矩阵的大小，通常用“m×n 矩阵”表示一个具有 m 行 n 列的矩阵。
3.矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，用 a"表示矩阵 a 的转置。
4.矩阵的加减法矩阵的加减法是将两个矩阵的对应元素相加或相减，结果是一个新的矩阵。
例如，ca-b 表示矩阵 c 减去矩阵 b。
5.矩阵的乘法矩阵的乘法是将两个矩阵的对应行和列元素相乘，结果是一个新的矩阵。
例如，dab 表示矩阵 a 和矩阵 b 的乘积。
6.矩阵的左除矩阵的左除是用“/”符号表示，它表示求解方程 ax=b 的解。
7.矩阵的右除矩阵的右除是用“”符号表示，它表示求解方程 xb=a 的解。
8.矩阵的点运算矩阵的点运算是对两个矩阵的对应元素进行运算，例如，ca.b 表示矩阵 c 和矩阵 b 的对应元素相乘。
二、MATLAB 中的矩阵运算MATLAB 是一种广泛使用的数学软件，它可以方便地实现矩阵的代数运算。
matlab 矩阵 语法
matlab 矩阵语法MATLAB是一种高级的数学计算软件，支持矩阵运算。
矩阵是MATLAB中最基本的数据类型之一，它可以用来存储和处理数字、字符和逻辑数据。
在MATLAB中，矩阵有着非常重要的作用，因为它们可以用来表示向量、多项式、转换矩阵、图像等等。
一、MATLAB矩阵的定义在MATLAB中，可以使用以下方式来定义一个矩阵：1. 使用方括号[] 来创建一个矩阵，并使用逗号或空格来分隔每个元素。
例如：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]这将创建一个3x3的矩阵A，其中第一行为1、2、3，第二行为4、5、6，第三行为7、8、9。
2. 使用内置函数来创建特殊类型的矩阵。
例如：- zeros(m,n)：创建一个m×n全零矩阵- ones(m,n)：创建一个m×n全1矩阵- eye(n)：创建一个n×n的单位矩阵- rand(m,n)：创建一个m×n随机数矩阵例如：B = zeros(3,4)这将创建一个3x4全零矩阵B。
二、MATLAB矩阵的索引在MATLAB中，可以使用以下方式来访问矩阵中的元素：1. 使用下标索引。
例如：A(1,2)这将返回矩阵A中第一行第二列的元素。
2. 使用冒号运算符：来访问某个范围内的元素。
例如：A(1:2, 2:3)这将返回矩阵A中第一行到第二行，第二列到第三列的元素。
三、MATLAB矩阵的运算在MATLAB中，可以对矩阵进行多种类型的运算，包括加减乘除、转置、求逆等等。
1. 加减乘除运算使用加减乘除运算符可以对两个矩阵进行相应的操作。
例如：C = A + B这将对两个矩阵A和B进行相加，并将结果存储在新的矩阵C中。
2. 转置运算使用单引号 ' 或者函数transpose可以对一个矩阵进行转置操作。
例如：D = A'这将把矩阵A进行转置，并将结果存储在新的矩阵D中。
3. 求逆运算使用函数inv可以对一个方阵求逆。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则在数学和计算机科学等领域中，矩阵是一种非常重要的工具，它有着广泛的应用。
要深入理解和运用矩阵，就必须掌握矩阵的运算及其运算规则。
矩阵的加法是矩阵运算中较为基础的一种。
两个矩阵相加，只有当它们的行数和列数都分别相等时才能进行。
比如说，有矩阵 A 和矩阵B ，若它们都是 m 行 n 列的矩阵，那么它们的和C 就是对应的元素相加。
即 C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 中第 i 行第 j 列的元素加上 B 中第 i 行第 j 列的元素。
矩阵的减法与加法类似，只不过是对应元素相减。
接下来是矩阵的数乘运算。
如果有一个矩阵 A ，用一个实数 k 去乘这个矩阵，得到的新矩阵 B 中每个元素都是矩阵 A 中对应元素乘以 k 。
矩阵乘法是矩阵运算中比较复杂但也非常重要的一种运算。
两个矩阵能相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
假设矩阵A 是 m 行 n 列，矩阵B 是 n 行 p 列，那么它们的乘积C 是一个 m 行 p 列的矩阵。
矩阵 C 中第 i 行第 j 列的元素是矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵B 的第 j 列对应元素相乘之和。
比如说，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 ，矩阵 B ＝ 5 6; 7 8 ，那么 A 乘以 B ，先计算 C 的第一行第一列的元素，就是 A 的第一行 1 2 与 B 的第一列5; 7 对应元素相乘相加，即 1×5 ＋ 2×7 ＝ 19 。
需要注意的是，矩阵乘法一般不满足交换律，也就是说，通常情况下，AB 不等于 BA 。
矩阵的转置也是一种常见的运算。
将矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A^T 。
比如矩阵 A ＝ 1 2 3; 4 5 6 ，那么它的转置矩阵 A^T ＝ 1 4; 2 5; 3 6 。
矩阵的逆运算是在方阵（行数和列数相等的矩阵）中定义的。
对于一个 n 阶方阵 A ，如果存在另一个 n 阶方阵 B ，使得 AB ＝ BA ＝ I （其中 I 是单位矩阵，主对角线元素为 1 ，其余元素为 0 的方阵），那么矩阵 B 就称为矩阵 A 的逆矩阵，记作 A^（－1) 。
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵的乘法等。
本文将围绕这些基本运算展开讨论。
首先，我们来讲解矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m行n列的矩阵，那么它们可以相加。
矩阵的加法运算是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A+B=(a_{ij}+b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的和C为：C = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]简化运算后，C的结果为：C = [8 10 12][14 16 18]接下来我们讨论矩阵的减法。
矩阵的减法运算与加法类似，也是将对应位置的元素相减得到新的矩阵，即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A-B=(a_{ij}-b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的差D为：D = [1-7 2-8 3-9][4-10 5-11 6-12]简化运算后，D的结果为：D = [-6 -6 -6][-6 -6 -6]矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个实数。
即若A=(a_{ij})是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么kA=(ka_{ij})。
例如，给定一个矩阵A和一个实数k如下：A = [1 2 3][4 5 6]k = 2则kA的结果为：kA = [2*1 2*2 2*3][2*4 2*5 2*6]简化运算后，kA的结果为：kA = [2 4 6][8 10 12]最后我们来讨论矩阵的乘法。
矩阵的乘法运算是指矩阵与矩阵之间进行乘法运算，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法有一定的规则，即若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们可以相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
常用求导公式、矩阵公式、数学建模
基本求导公式、矩阵公式、数学建模1．基本求导公式⑴ 0)(='C (C 为常数)⑵ 1)(-='n nnxx ;一般地，1)(-='αααxx 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2=',21)1(x x -=',xx 21)(='。
⑶ x x e e =')(;一般地,)1,0( ln )(≠>='a a a a a xx 。
⑷ x x 1)(ln =';一般地,)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x ),g （x )均在点ｘ可导，则有:（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； (Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； (Ⅲ))0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ,特别21()()()()g x g x g x ''=-。
３．微分 函数()y f x =在点ｘ处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα; (2） C x dx x+=⎰||ln 1; C e dx e x x +=⎰；)1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a xx;（3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 为常数) 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，ｖ（x )在[ａ,ｂ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念(1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3）、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (４)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij （5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211 下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (６)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MA ＴLA Ｂ软件计算题例6 试写出用M ＡTLA Ｂ软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵是现代数学中一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的基本运算是我们学习矩阵的第一步，本文将介绍矩阵的基本运算方法和性质。
一、矩阵的定义与表示方法矩阵可以用来表示一组数按照矩形顺序排列而成的数表。
一个矩阵由m行n列的元素构成，通常用大写字母表示矩阵，如A。
矩阵的元素通常用小写字母表示，如a_ij表示位于第i行第j列的元素。
例如，下面是一个3行2列的矩阵A：A = [a_11 a_12a_21 a_22a_31 a_32]二、矩阵的加法与减法给定两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法运算定义如下：加法：C = A + B，C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
减法：C = A - B，C的每个元素等于A和B对应位置上元素的差。
例如，给定矩阵A和B：A = [1 23 4]B = [5 67 8]则A + B = [6 810 12]A -B = [-4 -4-4 -4]三、矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个实数c，矩阵A的数乘定义如下：C = cA，C的每个元素等于A对应位置上元素乘以c。
例如，给定矩阵A和实数c：A = [1 23 4]c = 2则2A = [2 46 8]四、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一部分，给定矩阵A和B，它们的乘法运算定义如下：C = AB，C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B 的第j列元素的乘积之和。
例如，给定矩阵A和B：A = [1 23 4]B = [5 67 8]则AB = [19 2243 50]注意，矩阵的乘法不满足交换律，即AB未必等于BA。
五、矩阵的转置给定一个矩阵A，它的转置定义如下：B = A^T，B的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
例如，给定矩阵A：A = [1 23 4]则A^T = [1 32 4]六、矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB = BA = I，其中I 为单位矩阵。
常用数学软件介绍Maple、Mathematica、Matlab、_MathCAD、_SAS、SPSS、LINDO、LINGO
使用LINDO的一些注意事项
“>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同 变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符 变量名以字母开头，不能超过8个字符 变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字） 目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件 行号(行名)自动产生或人为定义。行名以“）”结 束 7. 行中注有“!”符号的后面部分为注释。如: ! It’s Comment. 8. 在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名 （最多72个字符），如： TITLE This Model is only an Example 1. 2. 3. 4. 5. 6.
直观的方式描述所需求解的问题，模型中所需的数据
可以以一定格式保存在列表(List)和表格（Table）中，
也可以保存在独立的文件中。LINGO和LINGO NL
（LINGO2） 学生版最多可求解多达200个变量和100 个约束的问题。 虽然LINDO和LINGO不能直接求解目标规划问题,但 用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解 决的规划问题。要学好用这两个软件最好的办法就是 学习他们自带的HELP文件。
工具、符号数学工具、图象处理工具、统计工具等。这
些Matlab程序包，代表了相关领域内的最先进的算法。
(3) 文字处理功能强大
MATLAB在输入方面很方便，可以使用内部的
Editor或者其他任何字符处理器，同时它还可以与 Word6.0/7.0结合在一起，在Word的页面里直接调用 MATLAB的大部分功能，使Word具有特殊的计算能 力。 Matlab的Notebook为用户提供了强大的文字处
主要特点是使用操作简单，输入格式与人们习惯的 数学书写格式很近似，采用所见即所得界面。 对于数值精度要求很严格的情形，或者是对于计算 方法有特殊要求的情况，MathCAD不适合。
数学软件与建模6.matlab编程
(a)单分支if语句调用格式为
if表达式
语句体
end
其执行过程为：当表达式的值为真时，则执行语句体，执行完之后继续执行if语句的后继语句；否则跳过语句体直接执行if语句的后继语句。
(b)双分支if语句调用格式
语句
if表达式
elseif y(i)>=1
plot(x(i),y(i),'xr') %大于1的点用红色的x标出
end
end
hold off
（3）在MATLAB的编辑器窗口的File菜单→save菜单项→保存文件名为“Untitled.m”。
(4)在命令窗口输入：Untitled
运行结果如图6.1所示。
图6.1
②switch分支结构语句
switch语句调用格式为：
switch表达式
case表达式1
语句体1
case表达式2
语句体2
……
case表达式m
语句体m
otherwise
语句体m+1
end
其执行过程为：控制表达式的值与每一个case后面表达式的值比较，若与第k（k的取值为1~m）个case后面的表达式k的值相等，就执行语句体k；若都不相同，则执行otherwise下的语句体m+1。
2、关系运算和逻辑运算
关系运算符主要用来比较数与数、矩阵与矩阵之间的大小，并返回真（用“1”表示）、假（用“0”表示）。其6种基本关系运算符及4种逻辑运算见表6.1
表6.1
基本关系运算符
逻辑运算
> (大于)
&（与）
<（小于）
｜（或）
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V= 0.7024 0
0
4.9564
0
0
0 0 10.3412
二.向量的标准化与矩阵的范数
1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：
MATLAB— 入门
1. 双击图标，进入Matlab界面（command)
2. 单击file New M—file 进入编辑
界面(Untitled1) ,进行编程之后，点击保存
时可以修改文件名.
必须用英
3.要显示运算的结果，有两种方法： 文开头
(1)进入command界面，健入你定义的文件 名，然后按回车键即可得到计算结果；
其中a=[1,3,4]称为索引向量.
练习：求矩阵A的第1,3,4列元素组成的矩阵
例4. 求从矩阵A中去掉第1,2列后，剩余元素
组成的矩阵.
B= 1 0 1
解： a=[3,4,5]; B=A(:, a);
011
可以写为 B=A(:,3:5); 注意：3:5 表示从3开
101
始按步长为1 增加到5.
011
(2)点击编辑界面上方Debug Run或箭头
于是运行结果出现在command界面。
一. 矩阵与向量的基本运算
1.矩阵（向量、数组）的输入方法 矩阵的输入利用[ ]，采取分行输入方法， 每个元素之间用逗号或空格，每行之间用分号.
1 5 1 0 1
例1.矩阵 A= 2 6 0 1 1 的Matlab输入：
0
此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数 行列式的值为零，由 E A 0
1 12.1229, 2 - 5.7345,3 - 0.3884
在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量 的方法如下： [V,D] = eig(X)
produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.
D =1 0 0 0 -2 0 001
即 1 对应的两个特征向量为：
(0,0,1)T ,(0.8944,0.4472,0)T
而 2 对应的一个特征向量为：
(0.5744,0.5744,0.5744)T 2 0
1对应的全部特征向量为：
k
1
1
k20
而 2 对应的全部特征向量为： 0 1
D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V 的每一列是对应于特征值的特征向量.
4 6 0
例7 求矩阵 A 3 5 0 的特征值与特征向量
3 6 1
解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A)
V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0
21 19 20 3/4 -1/4 -1/4 -1 -4 -6
15 22 23 -1/4 3/4 -1/4 -1 -5 1 det(A)=27
作业：1.自己构造两个5*6阶矩阵A与B，计算两 个矩阵的加减法、乘法
2. 从A与B矩阵中分别提取一个4*4阶方阵C与D， 求其逆运算、C与D的乘积和点乘积、点除运算 等
第二节 线性代数运算 一. 矩阵的特征值与特征向量
定义：设A为n阶矩阵， 是一个数，若存在n
阶非零向量 ，使得
A
则称 是A的一个特征值， 称为矩阵A对应于
特征值 的特征向量.
注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但 一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特 征值是由特征向量唯一确定的.
在后续的课程中，我们将介绍特征值与特 征向量在经济分析中的作用.
k 3 1, 1, 1T
例8.求矩阵B，BB’ 的特征值、特征向量
3 0 0
B 0 2 0 1 1 1
解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1], [D1,V1]=eig(B), [D,V]=eig(B*B’),
D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048
6 7
0 1
1 0
1 1
求A的第一行 与第一列
4 8 0 1 1
解：A1=A(1,:) 表示矩阵A的第一行；
A2=A(:,1) 表示矩阵A的第一列； 练习：A(4,:)，A(3,2)，分别表示什么？
如果需要两行(列)以上怎么表示呢?
例3. 求矩阵A的第1,3,4行元素组成的矩阵.
解：首先健入a=[1,3,4];然后健入 B=A(a,:)即可
3 7 1 0 1 4 8 0 1 1
A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1];
注意： 行尾分号的作用在于运算结果不显示.
n维行(列)向量可以看成是一个行(列) 矩
阵，因此向量的输入和矩阵一样.
2.矩阵的合成与分解
1 5 1 0 1
例2.矩阵A= 2
3
练习：求从A中去掉2,5两行后所得到的子矩阵
解法一： a=[1,3,4]； B=A(a,:)
解法二：B=[A(1,:);A(3,:);A(4,:)]
B= 15101 37101 48011
注意：这里 用分号和逗
号的区别
3. 矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算等
A+B, A-B, A*B, A.^2, A’, inv(A), det(A) 分别表示：A,B的和,差,积,点乘方,转置,求逆
以及A的行列式
1 2
1 2 1
例5. 已知 A 4 5 6 B 1 1 2
7 8 0
2 1 1
求：AB，B-1，B-AT，|A|
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,2,1;1,1,2;2,1,1];
a=A*B,b=inv(B),c=B- A',d=det(A) a = 9 7 8 b = -1/4 1/4 -3/4 c = 0 -2 -6
例6.计算矩阵
A
1 4
2 5
3 的特征值
6
7 8 0
解：设 为A的特征值， 是对应于 的特征向量
设 (x1,x2 ,x3 )T由 A ,可得：
4xx11
2x2 5x2
3x3 6x3
x1 x2
(1 4x1
)x1 2x2
(5 )x2
3x3 6x3
0 0
7x1 8x2
x3 7x1 8x2 x3