结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(梁、刚架)
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结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
第三章—静定梁和静定刚架
q
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(梁、刚架)
14:32
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梁的内力计算的回顾
FQ FN M0 Fx O FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN M+ ΔM δ(x) x
直杆增量关系
增量关系
FN Fx FQ Fy M M 0
*另一种表述
M
Fy
y
dFN qx dx dFQ qy dx dM FQ dx
MA
FB=12 kN
ME m, 20KN
q
M D 18KN m,
M E 26KN m, 区段叠加法，
L M并可求出： 。 B 16KN m
MF
M F 18KN m,
F sE 3. 作弯矩图以及剪力图
L MG 6KN m,
Page 21
R MG 4KN m,
绘制： 1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。
直杆微分关系
dFN qx dx dFQ q y dx dM FQ m dx
FQ FN
qy FQ+ dFQ
m qx O FN+ dFN M+ dM x
M
y
dx
集中力怎么办？
Page 14
计算思路：从刚片出发、从结点出发；
平面几何不变体系的组成规律 三角形规律：二元体（两杆一铰）、两刚片、三刚片； 灵活运用 撤去二元体，几何不变—>大刚片，虚铰选择，三刚片选择
Page 1
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第二章 结构的几何构造分析
回顾
灵活应用：虚铰、刚片的选择、无穷远处虚铰特性；
无多不变
3 能否运用三刚片规则？
结构力学3静定刚架受力分析
C
∑F = 0,
x
XB + XC = 0, XC = −P(↓)
XC
YC
B
XB
YB
3)取整体为隔离体 取整体为隔离体 ∑Fy = 0,YA +YB = 0,YA = −YB = −P(↓) l ∑ M A = 0, M A + P × 2 − YB × l = 0, 1 M A = Pl (顺时针转 ) 2
Pl
Pl
P
l
l
l
练习: 练习 试找出图示结构弯矩图的错误
练习: 练习 试找出图示结构弯矩图的错误
本章小结
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算 三. 刚架指定截面内力计算 四.刚架弯矩图的绘制 五.计算结果的校核
作业
3-3 (a) 3-7(a) 3-8(c)
P
P
Pl
P
P
P
P
Pl
P
P
连接两个杆端的刚结点, 连接两个杆端的刚结点 §3-3 静定刚架受力分析 ,若 结点上无外力偶作用, 结点上无外力偶作用,则两 三. 刚架指定截面内力计算 个杆端的弯矩值相等, 个杆端的弯矩值相等,方向 与梁的指定截面内力计算方法相同. 与梁的指定截面内力计算方法相同. 相反. 相反.
第三章 静定结构受力分析
§3-3 静定刚架受力分析
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点
刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构
1 2 ql l 8
梁
桁架
1 2 ql 8
弯矩分布均匀 可利用空间大
刚架
§3-3 静定刚架受力分析
二. 刚架的支座反力计算
静定刚架的分类: 静定刚架的分类 三铰刚架 (三铰结构 三铰结构) 三铰结构
第三章3静定结构受力分析(平面刚架)
MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)
2） 对中间铰C建立矩平衡方程 qa
MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2) 解方程(1)和(2)可得
a
XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa
qa/X2 A YA
1/2qa2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
1/2qa2
A
a
a
qa2 q
B XqBa/2 YB
2 绘制弯矩图
注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！！
画三铰刚架弯矩图
CM
O M
M/2
M/2
a
C
A
B
a
a
Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/2a
注意：
A
RA
B
XB
YB
1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
§3-3 静定平面刚架
一. 刚架的受力特点
梁
1 8
ql2
l
1 ql2 8
刚架
桁架
弯矩分布均匀 可利用空间大
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算
静定刚架的分类:
三铰刚架 (三铰结构)
简支刚架 悬臂刚架
单体刚架 (联合结构)
复合刚架 (主从结构)
1.单体刚架(联合结构)的支座反力(约束力)计算
三. 刚架指定截面内力计算
四.刚架的内力分析及内力图的绘制
①分段：根据荷载不连续点、结点分段。 ②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学 第3章静 定梁、平面刚架受力分析
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
3静定结构的受力分析-梁结构力学
1 结构力学多媒体课件◆几何特性：无多余约束的几何不变体系◆静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力和内力◆常见静定结构：梁、刚架、三铰拱、桁架和组合结构。
◆静定结构受力分析的内容：反力和内力的计算，内力图的绘制和受力性能分析。
◆静定结构受力分析的基本方法：选取脱离体，建立平衡方程。
◆注意静力分析（拆）与构造分析（搭）的联系◆学习中应注意的问题：多思考,勤动手。
本章是后面学习的基础，十分重要,要熟练掌握！容易产生的错误认识：“静定结构内力分析无非就是选取隔离体，建立平衡方程，以前早就学过了，没有新东西”一、反力的计算4kN1kN/mDCBA2m2m 4mCB A20kN/m 4m4m2m6mDCB A（1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个平衡方程，就可求得反力。
（2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开， 取隔离体补充方程。
1、内力分量及正负规定轴力F N ：截面上应力沿杆轴法线方向的合力。
以拉力为正，压力为负。
剪力F Q ：截面上应力沿杆轴切线方向的合力。
以绕隔离体顺时针转为正,反之为负。
弯矩M ：截面应力对截面中性轴的力矩。
不规定正负，但弯矩图画在受拉侧。
在水平杆中， 当弯矩使杆件下部纤维受拉时为正。
A 端B 端杆端内力 F Q ABF N ABM AB正 F N BA F Q BAM BA 正2、内力的计算方法K截面法：截开、代替、平衡。
内力的直接算式(截面内力代数和法)=截面一边所有外力沿截面法线方向投影的代数和。
轴力FN外力背离截面投影取正，反之取负。
剪力F=截面一边所有外力沿截面切线方向投影代数和。
Q外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。
弯矩M =截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。
外力矩和弯矩使杆同侧受拉时取正，反之取负。
2、内力的计算方法【例】如图所示简支梁，计算截面C 、D 1、D 2的内力。
2m 4m 2mA2kN/mCBD 1 D 210kN0.2m10kN3.75kN0.25kN3、绘制内力图的规定内力图是表示结构上各截面的内力各杆件轴线分布规律的图形， 作图规定：弯矩图一律绘在受拉纤维一侧，图上不注明正负号；剪力图和轴力图可绘在杆轴线的任一侧(对水平杆件通常把正号的剪力和轴力绘于上方)，但必须注明正负号，且正负不能绘在同一侧。
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2 切开截面，选取隔离体，利用力平衡确定内力分量。
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14:32
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梁的内力计算的回顾
截面的内力分量及其正负号规定
例: 求如下结构受力时截面Ⅱ-Ⅱ的内力 解：⑴ 求支座反力 由整体平衡知：
A FxA =0 C 20 kN D 15 kN/m E 32 kN m G B
X 0 FxA 0
⑹ 利用力平衡，求得截面处轴力；
⑺利用微分关系作每单元的轴力图，连成结构轴力图；
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梁的内力计算的回顾
小结
实例：作如下结构的弯矩图
20 kN 15 kN/m
A
32 kN m
C D
2m 2m 4m
B
E
2m
G
2m 36 kN
44 kN
解：⑴ 求支座反力
FyB 36 kN
梁的内力计算的回顾
小结
作内力图的一般步骤： 材料力学：一般作先剪力图，再作弯矩图。
结构力学：对梁和刚架等受弯结构先弯矩，后剪力，即：
⑴ 先求反力； ⑵ 求控制截面弯矩； 先截面，后单元，连整体
⑶ 用控制截面将梁拆成单元，利用分段叠加法作弯矩图；
⑷ 以单元为对象，对控制截面处取矩可以求得截面剪力； ⑸ 利用微分关系作每单元的剪力图，连成结构剪力图；
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梁的内力计算的回顾
分段叠加法作弯矩图
步骤 ⑴ 选定外力的 不连续点为
集中载荷作用点、分布载荷起点和终点
控制截面，求出控制截面的弯矩值； ⑵ 分段画弯矩图 II
本段载荷按简支梁求得的弯矩图 ； +
控制截面的弯矩值作出直线图形；
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14:32
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梁的内力计算的回顾
其中
qx Fx x q y Fy x FQ M 0 x
狄拉克函数 x 0， x 0 ,
Page 15
x dx 1
14:32
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梁的内力计算的回顾
桁架
组合结构
三铰拱
位移计算
图乘法
互等定理
要求：运用基本原理熟练、准确地解决各种静定结构的内力计算 问题。
Page 5
结 构 力 学 I
第三章 静定结构的受力分析
2018年8月30日
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第三章 静定结构的受力分析
主要内容
梁的内力计算的回顾 静定多跨梁 静定平面刚架 静定平面桁架
伸臂梁
14:32
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梁的内力计算的回顾
截面的内力分量及其正负号规定
A
dx
B
正负号规定 (材料力学)：
轴力FN： 杆轴切线方向的合力，拉力为正；
剪力FQ ：杆轴法线方向的合理，使微元段隔离体顺时针转为正； 弯矩 M ：应力对截面形心的力矩为弯矩，使杆件下部受拉为正。 截面法： 1 计算支座反力；
① 集中力截面左、右两侧的剪力的值是该集中力的大小； ② 集中力矩截面两侧弯矩的差值就是集中力矩的大小； 计算C截面左右两侧的剪力、G截面左右两侧的弯矩
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梁的内力计算的回顾
20 kN 15 kN/m
小结
A C
32 kN m
B
D
2m 44 kN 2m 4m
E
2m
G
2m 36 kN
静定组合结构
三铰拱 静定结构的一般性质
小结
Page
7
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梁的内力计算的回顾
平面单跨静定梁
梁: 受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力； 梁轴线通常为直线（有时也为曲线）；
单跨静定梁：材料力学中的研究对象，结构的基本部件之一；
按支承情况分：
简支梁
悬臂梁
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MA
FB=12 kN
ME m, 20KN
q
M D 18KN m,
M E 26KN m, 区段叠加法，
L M并可求出： 。 B 16KN m
MF
M F 18KN m,
F sE 3. 作弯矩图以及剪力图
L MG 6KN m,
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R MG 4KN m,
几何不 变体系
静定结构
超静定结构
求解：采用截面法、用力平衡方程解内力； 采用能量法、虚功原理求解位移。
Page 4
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概
述
如何学习
切忌：浅尝辄止“静定结构内力分析无非就是选取隔离体，建立 平衡方程，以前早就学过了，没有新东西”；
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
难度感受
梁和刚架
FsF
FSE , FSF 14:32
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梁的内力计算的回顾
由弯矩图求剪力图
已分段求得弯矩图； 以分段后的单元为对象，对单元端部取矩可以求得端部剪力；
在弯矩图上利用微分关系作每单元的剪力图，连成结构剪力图；
dM FQ m dx
再次强调：剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。
直杆积分关系
公式
MA xA xB FQB FQA q y dx F A xA NA xB M B M A FQ +m dx FQA xA FNB FNA qx dx
xB
qy
MB
qx
B
m
FNB
FQB
几何意义 轴力FNB = FNA — 轴向分布载荷qx图的面积； 剪力FQB = FQA — 法向分布载荷qy图的面积； 弯 矩 MB = FQB + FQ图面积 + 分布力偶 m图的面积；
FB=12 kN
M 0, FA 58KN 无荷载区域弯矩为直线 剪力图 1. 求支座反力 dM B FQ m 0 Fy EF段弯矩图如何作？ dx 0, FB 12KN
E M A 20KN m,
M F 18KN m,
2. 控制截面及其弯矩的确定
作轴力图（同剪力图）
取结点由平衡求单元端部轴力； 轴力图也必须标注正负号。
Page 22
dFN qx dx
利用微分关系作每单元的轴力图，连成结构轴力图；
14:32
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梁的内力计算的回顾
M图( kN m)
20 18 26
10
例：试作图示简支梁的内力图
.
16
4 18 6
FA=58 kN
对A点求力距：
Ⅰ
FyA = 44 kN 2m 3m 2m 3m
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
FyB = 36 kN
4m
2m
2m
MA 0
对B点求力距：
20 kN 20 2 15 4 6 32 FyB 12 0 Fs1 M1 44 kN
FyB 36kN
MB 0
FyA 12 20 10 15 4 6 32 0 15 kN/m
数和；
⑶截面轴力：若荷载不垂直于杆轴线，则梁的内力中就会有轴力； 轴力等于隔离体所有外力在沿截面的法线方向投影
的代数和。
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如何体现梁整体的受力情况？
14:32
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梁的内力计算的回顾
内力图
表示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、剪力图、轴力图； -- 截面位置； MAB 横坐标 (0) A端 A B FNAB (+) FQAB (+) 正负号规定 (结构力学)： 纵坐标 -- 内力的值。 A
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14:32
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梁的内力计算的回顾
分段叠加法作弯矩图
II
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注意 : 叠加是弯矩的代数值相加， 即图形纵坐标的叠加。
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梁的内力计算的回顾
分段叠加法作弯矩图
思考：为什么等价？
0 FyA FyA , 0 FyB FyB
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梁的内力计算的回顾
FQ FN M0 Fx O FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN M+ ΔM δ(x) x
直杆增量关系
增量关系
FN Fx FQ Fy M M 0
*另一种表述
M
Fy
y
dFN qx dx dFQ qy dx dM FQ dx
.
分段叠加法作弯矩图
例：试作图示简支梁的弯矩图
20
18 26
10
M图( kN m)
4 18 6
16
FA=58 kN
无荷载区域弯矩为直线 M B 0, FA 58KN 1. 求支座反力 如何由已知的弯矩图得到剪力图？ EF段弯矩图如何作？ Fy 0, FB 12KN 2. 控制截面及其弯矩的确定
解：⑶ 计算各控制截面的内力值——剪力
FSA 44 kN
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44 20 15 2 FSII 0
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15 kN/m FSII Fs2 20 kN
44 kN
M2
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梁的内力计算的回顾
15 kN/m A 20 kN C D 44 kN FSⅡ MⅡ
截面的内力分量及其正负号规定
计算截面内力的规律
⑴截面弯矩：等于隔离体所有外力对该截面形心的力矩的代数和； ⑵截面剪力：等于隔离体所有外力在沿截面的切线方向投影的代