等腰三角形勾股定理
等腰三角形直角三角形勾股定理
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理重点知识点
勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。
2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。
3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。
B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。
必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。
(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。
然后进一步结合其他已知条件来解决问题。
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。
面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。
2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。
3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。
三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。
勾股定理的证明及应用
勾股定理在特殊三角形中的应用
勾股定理
9.如图:一工厂的房顶为等腰 ABC ,AB=AC
,AD=5米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B
D
C
求三角形的边长
勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
C
8
A
30°
B
勾股定理
8.如图：在Rt ABC中，AD是斜边的高，AB 24， AC 7，求AD的长。 .
ACB
第1题
90
2.已知直角三角形ABC中, 15 (1)若AC=12,BC=9,则AB=______ (2)若AB=13,BC=5,则AC=_______ 12
A B
C
常见的直角三角形
2
1
勾股定理
5 3
1
1
2
3
13 7
4
25
5 24 12 41 9
40
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
C D B
A
A
平面展开问题
勾股定理
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点 出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B C B
平面展开问题
勾股定理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°， 2．下列各组数中，以a，b，c 为边的三角形 １３ ①若 a=5 ， b=12 ，则 c=___________ ； 不是Rt△的是（ ）
等腰直角三角形
等腰直角三角形等腰直角三角形是指一个三角形的两条边相等，并且其中一个角度为90度。
它是几何学中的常见图形，具有一些独特的性质和特点。
下面将从不同的角度来探究等腰直角三角形的性质和应用。
首先，我们可以从等腰直角三角形的定义开始讨论。
等腰直角三角形由两条长度相等的边和一个90度的直角所构成。
根据直角三角形的性质，直角的两边相互垂直。
而等腰直角三角形的两条边又相等，因此我们可以得出结论：在等腰直角三角形中，直角的两边相互垂直且相等。
其次，等腰直角三角形还满足勾股定理。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于斜边两边的平方和。
由于等腰直角三角形的两个直角边相等，那么我们可以得出：等腰直角三角形的直角边的平方等于等腰直角三角形斜边的平方的一半。
这一性质可以方便地用于解决一些与等腰直角三角形有关的问题。
在几何学中，等腰直角三角形的性质具有广泛的应用。
首先，等腰直角三角形被广泛应用于建筑和工程中的测量和布局。
在建筑设计中，往往需要根据一些特定的角度和尺寸来进行设计，而等腰直角三角形正好满足这些要求。
例如，在设计房屋的墙面、地面和天花板时，常常需要考虑到直角和相等的边。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们准确地测量和布局，确保建筑物的结构和比例符合要求。
此外，等腰直角三角形还在数学中有着重要的地位。
它是许多其他几何形状的基础，例如正方形和长方形。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们理解和推导这些几何形状的性质和定理。
例如，我们可以通过将一个等腰直角三角形分成两个直角三角形，来证明正方形的对角线相等。
这种推理和证明方法在数学中起着重要的作用，有助于培养逻辑思维和推理能力。
此外，等腰直角三角形还有一些有趣的性质。
例如，等腰直角三角形的两个直角边的长度不一定是整数，也可能是无理数。
这一性质在数学中有着重要的地位，与勾股定理和平方根的概念有关。
等腰直角三角形还可以通过平移和旋转等变换产生其他形状，例如正方形和正五边形。
这种变换性质在几何学中起着重要的作用，有助于研究和理解不同形状之间的关系。
小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算
小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算直角三角形和等腰三角形是小学数学中常见的几何图形，它们有着独特的特点和计算方法。
在本文中，我们将对直角三角形和等腰三角形进行归纳和理解，并探讨如何进行计算。
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（即90度）。
直角三角形的特点是：直角三角形的斜边是其他两条边的最长边，而其他两条边分别称为直角边。
直角三角形常见的计算方法有勾股定理和三角函数。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果一个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么有勾股定理的关系式：a² + b² = c²。
利用勾股定理，我们可以通过已知两个边求解第三个边的长度。
例如，假设一个直角三角形的一个直角边为3，另一个直角边为4，我们可以通过勾股定理计算斜边的长度。
根据关系式：3² + 4² = c²，计算得到c² = 9 + 16 = 25，再开平方根得到c = 5。
因此，这个直角三角形的斜边长度为5。
除了勾股定理，三角函数也可以用来计算直角三角形的边长比例和角度大小。
在直角三角形中，我们常用到的三角函数有正弦、余弦和正切。
具体来说，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别表示：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边其中，θ代表直角三角形的一个锐角，对边、邻边和斜边分别表示与该角相对的边、邻边和斜边的长度。
通过利用三角函数的定义，我们可以计算出直角三角形中各边的长度和角度的大小。
除了直角三角形，等腰三角形也是小学数学中常见的几何图形。
等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的特点是：等腰三角形的底边和两条等腰边的夹角相等，且顶角为顶点的角度。
对于等腰三角形的计算，我们通常需要知道的是等腰边的长度和顶角的大小。
等腰三角形可以通过以下计算方法进行求解。
勾股定理必背公式
勾股定理必背公式
首先是勾股定理：
勾股定理是古希腊数学家勾股论证明的一个重要定理，它提出三角形
的两条直角边和斜边之间的关系：如果一个三角形有两条直角边长度
分别为a和b，斜边长度为c，那么满足关系式：a²+b²=c²，这就是勾股定理。
1. 勾股定理的定义
勾股定理是古希腊数学家勾股论证明的一个重要定理，它提出三角形
的两条直角边和斜边之间的关系公式：a²+b²=c²，即如果给定一个三角形，其直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则a²+b²=c²必然成立。
2. 勾股定理的应用
勾股定理是几何学中非常重要也是比较常见的定理，它广泛应用于建
筑学、测地学等行业。
在建筑学中，勾股定理可以帮助建筑师快速确
定建筑物的三角形等角度。
而在测量学中，勾股定理可以帮助测量学
家确定直角三角形的边长，以穷尽整个面积的测量。
3. 勾股定理的证明
勾股定理的证明是一个相对复杂的数学过程，古希腊数学家勾股论是
勾股定理的发现者。
他通过三角形等价原理可以简单地证明勾股定理：
将直角三角形分割成两个等腰三角形，这两个三角形根据勾股定理可以构成以斜角为底边的直角三角形，大三角形面积等于两个小三角形面积之和，因此满足勾股定理。
4. 勾股定理的贡献
勾股定理的发现对于数学的发展可谓贡献巨大，它建立了数学推理的根本原则，使数学立足地位更强。
勾股定理不仅在建筑学和测量学有广泛的应用，在各种几何图形的研究中也有着广泛的应用。
它的发现是古希腊数学发展而来的一个里程碑，给后世数学家带来了极大的启发。
勾股定理常见错例剖
勾股定理常见错例剖勾股定理是数学中非常重要的一个定理，不仅在初中数学中经常被使用，同时在高中和大学中也是非常常见的数学工具之一。
然而，由于勾股定理的使用过程比较复杂，因此在实际解题中也很容易出现一些错误。
下面将就勾股定理常见错例剖做以介绍。
首先，勾股定理最常见的错误是计算公式出错。
勾股定理的表示方法为：a²+b²=c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。
然而，很多学生在计算时会出现计算公式的错误，导致最终得到的结果不正确。
例如，一道常见的题目为：已知一个等腰直角三角形的直角边为3cm，求它的斜边长。
根据勾股定理，可以得到：3²+3²=c²，简化后可得：c=3√2，即斜边长为3√2cm。
然而，如果计算公式出错，可能会得到不正确的答案。
其次，勾股定理的使用条件也是一个比较容易出问题的地方。
勾股定理只能用于直角三角形，如果使用在非直角三角形中，就会导致错误的结果。
有些学生在解题时不加思考地使用勾股定理，导致得出的结果不符合实际。
因此，在使用勾股定理时，一定要首先确定这个三角形是否为直角三角形，否则勾股定理就不能生效。
第三，勾股定理的使用方法也是一个容易出错的地方。
很多学生在使用勾股定理时，并没有对a、b两条直角边进行正确的辨别，导致最终结果的错误。
此外，还可能会出现勾股定理与勾三股四五倍角、三弦定理等其他定理的混淆，导致最终结果的错误。
因此，在使用勾股定理时，一定要先仔细观察题目，分析其解题思路，尽可能准确地使用勾股定理。
最后，勾股定理的实际应用也是一个容易出错的地方。
在实际使用中，勾股定理经常用于计算斜杠长度和斜坡长度等问题。
然而，在实际问题中，所涉及的条件比较复杂，可能存在多种解决方法。
因此，在应用勾股定理时，一定要充分了解问题的背景和条件，避免出现不恰当的使用。
综上所述，勾股定理是数学学习中非常重要的一个定理，但在实际解题中也容易出现一些错误。
三角形勾股定理公式
三角形勾股定理公式勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem 或Pythagoras's theorem ）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称百牛定理”在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。
而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
公式在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方二斜线C的平方这就是勾股定理经典证明方法细讲方法一：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P.••• D、E、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 也Rt △ EBD,••• / EGF = / BED••• / EGF + / GEF = 90°,••• / BED + / GEF = 90°，••• / BEG =180 — 90° = 90 °又••• AB = BE = EG = GA = c ，••• ABEG是一个边长为c的正方形.••• / ABC + / CBE = 90°••• Rt △ ABC也Rt △ EBD,••• / ABC = / EBD.••• / EBD + / CBE = 90°即 / CBD=90又••• / BDE = 90°,/ BCP = 90BC = BD = a.••• BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG!—个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则J••• BDPC的面积也为S, HPFG勺面积也为S由此可推出：a A2+b A2=c A2方法二作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF, AE为边长做正方形FCJI和AEIG••• EF=DF-DE=b-a EI=b ,••• FI=a ,G,I,J在同一直线上，-CJ=CF=a CB=CD=c/ CJB = / CFD = 90° ,••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD ,同理,Rt △ ABG^ Rt △ ADE••• Rt △ CJB 也Rt △ CFD 也Rt △ ABG也Rt △ ADE•••/ ABG = / BCJ,v/ BCJ +/ CBJ= 90° ,•••/ ABG +Z CBJ= 90° ,v/ ABC= 90••• G,B,I,J在同一直线上,所以a A2+b A2=c A2勾股数的相关介绍①观察3, 4, 5;5, 12, 13;7, 24, 25;…发现这些勾股数都是奇数，且从 3 起就没有间断过。
勾股定理的题型与解题方法
勾股定理的题型与解题方法一、知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、典型题型题型1、求线段的长度例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。
练习1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（ ）A 、6厘米；B 、 8厘米；C 、 80/13厘米；D 、 60/13厘米；5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长题型2、判断直角三角形例2、如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 求四边形ABCD 的面积DABC1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，72. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 3. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等腰三角形勾股定理
等腰三角形勾股定理是初中数学中的一个重要定理，也是勾股定理的一种特殊情况。
它的内容是：在一个等腰三角形中，底边中点到顶点的线段长度等于底边一半的长度乘以腰长。
我们来了解一下什么是等腰三角形。
等腰三角形是指两边的长度相等的三角形，也就是说它的两个角度也是相等的。
在一个等腰三角形中，底边中点到顶点的线段长度就是等腰三角形的高。
在勾股定理中，我们知道了：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
那么在等腰三角形中，是否也存在这样的关系呢？答案是肯定的。
等腰三角形勾股定理就是等腰三角形中的一种特殊情况，它的公式为：$h^2 = \frac{a^2}{4} + b^2$，其中$h$为等腰三角形的高，$a$为等腰三角形底边的长度，$b$为等腰三角形腰长的长度。
我们可以通过一个简单的例子来理解等腰三角形勾股定理。
假设有一个底边长度为6，腰长长度为8的等腰三角形，那么它的高为多少呢？根据等腰三角形勾股定理，我们可以得到$h^2 = \frac{6^2}{4} + 8^2 = 36 + 64 = 100$，因此$h = 10$。
所以这个等腰三角形的高为10。
等腰三角形勾股定理不仅在初中数学中有着重要的地位，在实际生活中也有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，经常需要计算房屋的
高度。
如果我们知道了房屋的底边长度和两侧的角度，就可以利用等腰三角形勾股定理来计算房屋的高度。
等腰三角形勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它不仅可以帮助我们更好地理解等腰三角形的性质，还可以应用到实际生活中。
我们应该认真学习和掌握这个定理，为以后的学习和工作打下坚实的数学基础。