等腰三角形和全等三角形
专题10.等腰三角形有关的全等判定
---等腰（边）三角形有关的全等判定
复习与回顾
三角形全等的判定方法
SSS
SAS
AAS ASA
HL
1.三角形全等的判断定理 （1）三角形全等的判断定理
三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的三角形全等（HL） （2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
BF＝CD; ∠CBF＝∠ACD＝90°
CB＝AC， ∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF=∠CAD． 又∵∠BCF+∠GCA=90°， ∴∠CAD+∠GCA=90°． 即AD⊥CF．
应用举例3：利用等腰三角形的性质判定三角形全等
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点， DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连 接CF．
(1)求证：CD=BF； (2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状.
（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示， 由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是 ∠DBF的平分线， ∴BE垂直平分DF， ∴AF=AD(等腰三角形的性质：三线合一) ∵CF=AD（全等三角形的对应边相等） ∴CF=AF（等量代换） ∴△ACF是等腰三角形．
思考探究二：与等腰（边）三角形有关的全等问题
A
E
D
G
BF
C
思考探究二：与等腰（边）三角形有关的全等问题
A
A
1.1.1 三角形全等和等腰三角形的性质
∠DAC，∴5∠B＝180°，即∠B＝36°，则∠BAC
＝180°－36°×2＝108°
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【综合运用】 17．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在AC 上，且AD＝AE.求证：DE⊥BC.(提示：过点A作AF⊥BC于点F)
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，∵AB ＝ AC ， ∴AF 平 分 ∠BAC ， ∴∠BAC ＝ 2∠BAF ， ∵AD ＝ AE ， ∴∠D ＝ ∠AED ， ∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D，∴∠BAF ＝∠D，∴DE∥AF，∴DE⊥BC
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC，即 BC ＝EF.∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.又∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC 与△DEF 中，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AC＝DF
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等腰三角形的性质定理及推论
5．(4分)(2015·宿迁)若等腰三角形有两边长分别为2和5，则这
8．(8分)(2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上 的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE＝∠BAD. 证明：∵AB＝AC，AD是B边上的中线，BE⊥AC ，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD ＝∠BAD，∴∠CBE＝∠BAD
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一、选择题(每小题4分，共12分) 9．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条
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3．(4分)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的 条件是______A_C_＝__D_C_，__∠__A_＝__∠__D_或__∠__B_＝__∠__E_．(写出一个即可)
三角形的全等和等腰三角形的性质 优秀课教案
1．1 等腰三角形第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质1．复习全等三角形的判定定理及相关性质；2．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．(重点，难点)一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC 有什么特点？二、合作探究探究点一：全等三角形的判定和性质 【类型一】 全等三角形的判定如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是()A ．BD ＝CDB ．AB ＝AC C ．∠B ＝∠CD ．∠BAD ＝∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若BD ＝CD ，则△ABD ≌△ACD (SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若AB ＝AC ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD ≌△ACD ；C.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若∠B ＝∠C ，则△ABD ≌△ACD (AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若∠BAD ＝∠CAD ，则△ABD ≌△ACD (ASA)；故选B.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.要注意AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】 全等三角形的性质如图，△ABC ≌△CDA ，并且AB＝CD ，那么下列结论错误的是( )A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．∠D ＝∠B D ．AC ＝BC解析：由△ABC ≌△CDA ，并且AB ＝CD ，AC 和CA 是公共边，可知∠1和∠2，∠D 和∠B 是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC 和BC 不是对应边，不一定相等．∵△ABC ≌△CDA ，AB ＝CD ，∴∠1和∠2，∠D 和∠B 是对应角，∴∠1＝∠2，∠D ＝∠B ，∴AC 和CA 是对应边，而不是BC ，∴A 、B 、C 正确，错误的结论是D.故选D.方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．探究点二：等边对等角【类型一】 运用“等边对等角”求角的度数如图，AB ＝AC ＝AD ，若∠BAD＝80°，则∠BCD ＝( )A ．80°B ．100°C ．140°D ．160° 解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B ＋∠BCD ＋∠D 的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠D ，从而得到∠BCD 的值．∵∠BAD ＝80°，∴∠B ＋∠BCD ＋∠D ＝280°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠D ，∴∠BCD ＝280°÷2＝140°，故选C.方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.【类型二】 分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；②顶角即为30°.因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．探究点三：三线合一【类型一】 利用等腰三角形“三线合一”进行计算如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC ＝125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数．解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ⊥BC ，再求出∠CDE ，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE ，根据角平分线的定义求出∠ACB ，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC .解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC .∵∠ADC ＝125°，∴∠CDE ＝55°，∴∠DCE ＝90°－∠CDE ＝35°.又∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180－(∠B ＋∠ACB )＝40°.方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．【类型二】 利用等腰三角形“三线合一”进行证明如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E 使得AE ＝AD ，连接DE ，求证：DE ⊥BC .解析：作AF ∥DE ，交BC 于点F .利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF ＝∠F AC .在△ABC 中由“三线合一”得AF ⊥BC .再结合AF ∥DE 可得出结论．证明：过点A 作AF ∥DE ，交BC 于点F .∵AE ＝AD ，∴∠E ＝∠ADE .∵AF ∥DE ，∴∠E ＝∠BAF ，∠F AC ＝∠ADE .∴∠BAF ＝∠F AC .又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC . ∵AF ∥DE ，∴DE ⊥BC .方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．三、板书设计1．全等三角形的判定和性质2．等腰三角形的性质：等边对等角3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.第2课时 平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究 探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】 利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ； (2)四边形AFBE 是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝OB ，∠AOC ＝∠BOD ，∠C ＝∠D ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO ，又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段BE，DF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，OB ＝OD .因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以OE ＝OF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE ＝DF ，BE ∥DF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴S △EGO ＝S △FHO .方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD的中点，连接DE 、FG .(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形； (2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，DC ＝10，求四边形AGCD 的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD ，推出CD ＝AG ，推出EG ＝DF ，EG ∥DF ，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G 是BC 的中点，BC ＝12，得到BG ＝CG ＝12BC＝6，根据四边形AGCD 是平行四边形可知AG ＝DC ＝10，根据勾股定理得AB ＝8，求出四边形AGCD 的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AG ＝DC .∵E 、F 分别为AG 、DC 的中点，∴GE ＝12AG ，DF ＝12DC ，即GE ＝DF ，GE ∥DF ，∴四边形DEGF 是平行四边形；(2)∵点G 是BC 的中点，BC ＝12，∴BG ＝CG ＝12BC ＝6.∵四边形AGCD 是平行四边形，DC ＝10，AG ＝DC ＝10，在Rt △ABG 中，根据勾股定理得AB ＝8，∴四边形AGCD 的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计 1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。
全等三角形和等腰直角三角形综合复习
武汉市南湖中学八年级数学导学案专题：等腰直角三角形桂学刚一、自主探究1、如图，△ABC中，∠BAC=90゜,AB=AC，过直角顶点A作直线AP（AP与AB、AC不重合，且不垂直BC），分别过B、C作BE⊥A P于点E，CF⊥A P于点F．画出图形后思考：图中是否都含有全等的三角形？请指出来，并找出他们全等的条件？二、合作交流2、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E(1)试说明: BD=DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 为什么？在平面直角坐标系中看基本图形3、如图1，A（-2，0），B（0，4），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，过M作MN⊥x 轴于N，求OE-MN的值．三、课堂反馈4、如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（-2，-2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．四、小结归纳，谈谈你的收获。
五、课后巩固5、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C DA=90°，BE⊥AD于点E．求证：BE-CD=AE．6、等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB＝45°。
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
初中数学 等腰三角形有哪些全等性质
初中数学等腰三角形有哪些全等性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形的顶角和底角也是相等的。
等腰三角形的全等性质是指两个等腰三角形在边长和角度上完全相等，即它们的对应边长和对应角度都相等。
下面我们将详细解释等腰三角形的全等性质：1. 全等边性质：如果两个等腰三角形的两条腰的边长相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B' 且AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
2. 全等角性质：如果两个等腰三角形的顶角和底角相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，∠B = ∠B' 且∠C = ∠C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
3. 全等边角边性质：如果两个等腰三角形的一对腰的边长和对应的顶角相等，且底边长度也相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，∠B = ∠B'，AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
4. 全等边边边性质：如果两个等腰三角形的三条边的边长都相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，那么三角形ABC 和三角形A'B'C'是全等的。
通过这些全等性质，我们可以判断两个等腰三角形是否全等，以及在已知一些边长和角度的情况下，计算出其他未知的边长和角度。
这些全等性质也为解决与等腰三角形相关的几何问题提供了依据。
在应用中，我们可以利用等腰三角形的全等性质来证明几何定理、解决几何问题，或者进行构造等腰三角形的操作。
全等三角形和等腰三角形的性质及判定
三角形的性质和判定及等腰（边）三角形的性质和判定概念填空：全等三角形的性质：____________________________________全等三角形的判定：____________________________________1．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO ≌△NMO ，则只需测出其长度的线段是（ ）A ．POB ．PQC ．MOD ．MQ（第1题图） （第2题图） （第3题图）2.如图，已知点A ,D ,C ,F 在同一条直线上，AB =DE ,BC =EF ,要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ）A.∠BCA =∠F B . ∠B =∠EB.C .BC ∥EF D . ∠A =∠EDF3.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）A 、AB=ACB 、BD=CDB 、C 、∠B=∠CD 、∠BDA=∠CDA 4.如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）A.BD =DC ，AB =ACB.∠ADB =∠ADC ，BD =DCC.∠B =∠C ，∠BAD =∠CADD.∠B =∠C ，BD =DC5.工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合。
过角尺顶点C 作射线OC 。
由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是（ ）A ．AAS B.SAS C.ASA D.SSSB6.如图，已知AB=AC，D是BC的中点，图中全等三角形有_____对全等三角形。
（第6题图）（第7题图）7、已知，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证：AB‖CD8、△ABC≌△ADE，∠EAC=60°，求∠BAD的度数。
9、如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．10、已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB边上一点.求证：BD=AE.11、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 平分∠ABC ，AF ∥DC ，连接AC ，CF.求证：(1)AF=CF ；(2)CA 平分∠DCF.（二）等腰（边）三角形的性质和判定1、若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是 。
全等三角形难题
全等三角形难题引言在初中数学中，学习了许多有关三角形的性质和定理。
其中，全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等的情况。
在解决全等三角形难题时，我们需要利用已知条件和全等三角形的性质来推导出未知信息。
本文将探讨一些全等三角形的难题，并提供相应的解题思路和方法。
难题一：求等腰三角形的底边长度已知一个等腰三角形的顶角度数为60°，求其底边的长度。
解题思路1.假设等腰三角形的底边长度为x。
2.根据等腰三角形的性质，顶角的度数等于底角的度数，所以底角的度数也为60°。
3.由三角形的内角和为180°可得，两个底角的度数之和为180°-60°=120°。
4.由于等腰三角形的两条底边相等，可推导出底角为等边三角形，其两个底角的度数相等，即每个底角的度数为120°/2=60°。
5.由三角形的内角和为180°可得，三个底角的度数之和为180°。
6.将三角形的底边长度记为x，则根据正弦定理可得：(x/2)/sin60° = x/sin180°。
7.化简等式可得：1/2 = x/1。
8.通过求解等式可得：x = 2。
解答和验证根据上述解题思路可得，等腰三角形的底边长度为2。
我们可以通过验证来确保解答的正确性。
1. 等腰三角形的顶角度数为60°，底角的度数也为60°。
2. 底边的长度为2。
3. 三角形的两条底边相等，满足等腰三角形的性质。
4. 三个底角的度数之和为180°。
综上所述，等腰三角形的底边长度为2。
Markdown代码# 全等三角形难题## 引言在初中数学中，学习了许多有关三角形的性质和定理。
其中，全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等的情况。
在解决全等三角形难题时，我们需要利用已知条件和全等三角形的性质来推导出未知信息。
1.1.1全等三角形和等腰三角形教案
在本次全等三角形和等腰三角形的课堂教学中，我注意到以下几点值得反思和改进的地方：
1.学生对全等三角形判定方法的掌握程度：在授课过程中，我发现部分学生对全等三角形的判定方法理解不够深刻，尤其是ASA和AAS判定方法容易混淆。针对这一问题，我计划在下一节课中增加一些具体实例，通过对比分析，帮助学生更好地理解和区分这些判定方法。
2.实践活动中学生的参与度：Байду номын сангаас分组讨论和实验操作环节，部分学生参与度不高，可能是由于他们对题目理解不够透彻。为了提高学生的参与度，我将在下一次实践活动中，提前为学生提供更详细的指导，确保他们能更好地投入其中。
3.课堂提问和引导：在课堂提问环节，我发现部分学生的回答不够准确，可能是由于问题设置不够明确。为了提高课堂提问的效果，我将在以后的教学中注意问题的设置，尽量让问题更具针对性和引导性，帮助学生更好地思考。
-例如，在一个等腰三角形中，若已知底边长和顶角，求腰长或底角。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《全等三角形和等腰三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否完全相同的情况？”（如拼图游戏中的三角形板块）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索全等三角形和等腰三角形的奥秘。
- AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（2）等腰三角形的性质及其判定方法：教师需引导学生探究等腰三角形的性质，如两腰相等、底角相等，并学会运用这些性质解决相关问题。
2.教学难点
（1）全等三角形判定方法的灵活运用：学生在理解判定方法的基础上，需要学会根据不同图形的特点选择合适的判定方法，这是本节课的一大难点。
不能判定全等三角形的条件
不能判定全等三角形的条件要判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件：1.三边对应相等（边边边法则）：两个三角形的三条边分别对应相等，即边长相等。
若三边对应相等，则可以判断两个三角形全等。
2.两边对应相等且夹角相等（边角边法则）：如果两个三角形的两边对应相等且夹角相等，即两边长度和夹角大小相等，则可以判断两个三角形全等。
3.两角对应相等且边对应相等（角边角法则）：如果两个三角形的两角对应相等且边对应相等，即两角的大小和两边的长度相等，则可以判断两个三角形全等。
这些条件是判定两个三角形全等的基本条件，但同时需要注意一些特殊情况和限制条件：1. SAS（边角边）法则只适用于非直角三角形，对于直角三角形需要使用其他法则进行判断。
2. SSS（边边边）法则适用于任何三角形，但要注意两个三角形的边对应相等。
3. AAA（角角角）法则不能用于判定全等三角形，因为只知道三个角相等并不能确定三角形的形状和大小。
4.在判定全等三角形时，两个三角形的对应边和对应角要一一对应，并且对应相等。
5.在给定的信息条件下，可能存在不止一个解，需要根据具体题目情况进行判断。
除了以上基本条件外，还有一些特殊情况和实际应用需要注意：1.直角三角形：对于直角三角形，可以通过两边长度相等和一个角为90度来判断全等。
2.等腰三角形：对于等腰三角形，可以通过两边对应相等和一个角对应相等来判断全等。
3.三角形的旋转和镜像：两个三角形的形状可以相同但是位置不同，需要注意在进行判断时要考虑旋转和镜像的可能性。
4.实际应用：全等三角形的判断在建筑设计、地理测量、工程建设等领域中常常会用到，在计算和实际情况中需注意判断条件和实际应用的结合。
总之，判断两个三角形是否全等需要根据不同的条件和限制情况进行综合判断。
在实际问题中，可以根据已知条件和问题的要求来选择合适的法则进行判断，并注意特殊情况和实际应用的考虑。
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等腰三角形和全等三角形
在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
它由三条边和三个内角组成。
在三角形的各种类型中，等腰三角形和全等三角形是比较常见的。
一、等腰三角形
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
它的定义可以表示为：若三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
在等腰三角形中，还有一些特殊的性质和定理。
1. 等腰三角形的底角相等定理：
在一个等腰三角形中，两个底角一定相等。
这是等腰三角形的基本性质之一。
2. 等腰三角形的高线定理：
等腰三角形的高线也就是通过顶角所在定点，垂直于底边的直线。
根据等腰三角形的性质，高线还被平分为两段相等的线段。
3. 等腰三角形的内切圆和外切圆：
等腰三角形的底边上的高线和底边的中点连线，会相交于等腰三角形的内切圆的圆心。
同时，等腰三角形的底边上的中线也是内切圆的切线。
此外，内切圆的半径等于等腰三角形的高线和底边中点连线的长度。
二、全等三角形
全等三角形是指具有完全相等的三个角和三个边的三角形。
两个三角形完全相等时，它们的对应边、对应角都相等。
全等三角形有以下的特点和定理：
1. 角对应定理：
两个三角形中，如果三个角两两相等，那么这两个三角形就是全等的。
2. 边对应定理：
两个三角形中，如果其中两条边和夹角完全相等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 全等三角形的性质：
(1) 两个全等三角形的各边对应相等。
(2) 两个全等三角形的面积相等。
(3) 两个全等三角形的高线、中线相等。
结论：
等腰三角形是指有两条边相等的三角形，全等三角形是指具有完全相等的三个角和三个边的三角形。
等腰三角形和全等三角形具有各自的特点和性质，通过理解和应用这些性质，我们可以更好地解题和推导其他几何图形的性质。
在实际应用中，等腰三角形和全等三角形常常在建筑、工程测量、设计和解决实际问题时发挥作用。
对于学习者而言，了解这些基本概念和原理能够帮助加深对几何学的理解和应用。
总之，等腰三角形和全等三角形是几何学中重要的概念和形状，它们的特点和性质在数学学科中具有广泛的应用。
通过学习和研究它们的性质，我们能够更好地理解和应用几何学知识，提高解题能力和应用能力。