垂径定理练习题及答案(20200513233527)
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
垂径定理练习题4套
1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。
7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。
9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。
1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题及答案圆的垂径定理习题⼀. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆⼼0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的⼀个动点，则线段0M 长的最⼩值为（）3.过O 0内⼀点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，⼩明同学设计了⼀个测量圆直径的⼯具，标有刻度的尺⼦ 0A 0B 在 0点钉在⼀起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分⼀条直径的弦必垂直于这条直径B .平分⼀条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆⼼D .在⼀个圆内平分⼀条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆⼼7. 如图，某公园的⼀座⽯拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24⽶，拱的半径为13⽶，则拱⾼为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5⽶B, 8⽶C. 7⽶D,出⽶D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9?已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的⾼为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 ⼆、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦⼼距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有⼀条长为16的弦，那么这条弦的弦⼼距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂⾜为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘⽶，贝U CD= ___________厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内⼀点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂⾜，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直⾓坐标系中，以点P 为圆⼼的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝⼙点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜⼤棚的剖⾯如图所⽰，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的⾼度为13. 如图，矩形ABCDf圆⼼在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外⼀点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm 是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. ⼀个圆弧形门拱的拱⾼为1⽶，跨度为4⽶，那么这个门拱的半径为 ___________________ ⽶ 18.在直径为10厘⽶的圆中，两条分别为6厘⽶和8厘⽶的平⾏弦之间的距离是厘⽶19. 如图,是⼀个隧道的截⾯,如果路⾯AB 宽为8⽶,净⾼CD 为8⽶,那么这个隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆⼼,C 为半圆上⼀点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
(完整word版)垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
垂径定理(解析版)
专题07 垂径定理专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2020•宁波模拟）圆的一条弦长为6，其弦心距为4，则圆的半径为（）A．5 B．6 C．8 D．10【点拨】首先根据垂径定理求得半弦是3cm，再根据勾股定理求得圆的半径．【解析】解：由垂径定理求得AD＝AB＝6÷2＝3，在直角△OAD中，根据勾股定理即可求得半径OA＝＝5．故选：A．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．2．（2018秋•鹿城区校级期中）如图，某公图的一石桥是圆弧形（劣弧），其跨径（AB）为24米，拱的半径为13米，则拱高（CD）为（）A．9米B．8米C．7米D．5米【点拨】连接OD、OA，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．【解析】解：作出圆弧所在的圆的圆心O，连接OD、OA，∵CD垂直平分AB，∴点O在直线CD上，AD＝AB＝12，在Rt△AOD中，OD＝＝＝5，∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（米）故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，解决计算弦长、半径、弦心距是解题的关键．3．（2019•三明一模）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．【点拨】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．【解析】解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4．（2019秋•江都区期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，DE＝2，AB＝8，则⊙O的半径为（）A．5 B．8 C．3 D．10【点拨】连接OA，由垂径定理得出AE＝BE＝4，设OA＝r，知OE＝r﹣2，根据OA2＝AE2+OE2得到关于r的方程，解之可得答案．【解析】解：如图，连接OA，∵AB⊥CD，AB＝8，∴AE＝BE＝4，设OA＝r，∵DE＝2，∴OE＝r﹣2，由OA2＝AE2+OE2得r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，即⊙O的半径为5，故选：A．【点睛】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．（2018•大安区模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5【点拨】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解析】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．6．（2019春•西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC ＝4：1，则AB的长是（）A．2 B．8 C．16 D．【点拨】连接OA，由直径DC与弦AB垂直，根据垂径定理得到M为AB的中点，要求AB只需求出AM 即可，AM放在直角三角形AOM中，先由DC的长及DM与MC的比值，求出DM与MC的长，且求出半径OD及OA的长，进而利用DM﹣OD求出OM的长，在直角三角形AOM中，由OA和OM的长，利用勾股定理求出AM，最后利用AB＝2AM即可求出AB的长．【解析】解：连接OA，如图，∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，∴M为AB中点，即AM＝BM＝AB，又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，∴DM＝DC＝8，MC＝DC＝2，且OA＝OD＝5，∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，即AM＝＝4，则AB＝2AM＝8．故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，比例的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平方弦，且由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，故连接OA是本题的突破点．7．（2017秋•滨江区期末）在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm【点拨】点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BE＝AB＝20，再利用勾股定理计算出OE＝15，然后分别计算出DE和CE即可．【解析】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝20，在Rt△OAE中，∵OA＝25，AE＝20，∴OE＝＝15，∴DE＝OD+OE＝40，CE＝OC﹣OE＝10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧解答．8．（2018•建邺区一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【点拨】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解析】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2020•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1 B．C．D．【点拨】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，＝，再根据OD＝DC可得到OD＝OA＝，所以AD＝，由勾股定理，则AB＝．△P AB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB 距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+＝，△APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，AB＝2AD＝．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．常用辅助线连半径．10．（2018秋•西湖区校级月考）如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB＝8cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y＝AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤4）秒的函数关系式为（）A．y＝x2﹣4x B．y＝﹣x2﹣4x C．y＝﹣x2+8x D．y＝x2﹣8x【点拨】首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，即可求得y＝AG2﹣FG2，即可求得函数关系式．【解析】解：解：延长CO交AB于G，∵点C是⊙O优弧ACB上的中点，∴CO⊥AB，AG＝AB＝×8＝4（cm），∴AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，当0≤x≤4时，AF＝xcm，FG＝（4﹣x）cm，∴y＝AE2﹣EF2＝AG2+EG2﹣FG2﹣EG2＝AG2﹣FG2＝16﹣（4﹣x）2＝8x﹣x2；故选：C．【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想，分类讨论思想的应用．二．填空题11．（2019•常州模拟）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为120度．【点拨】首先根据垂径定理得到OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．【解析】解：∵弦AC与半径OB互相平分，∴OA＝AB，∵OA＝OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，故答案为120．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．12．（2018秋•无棣县期末）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD＝4，BD＝5，则OA的长度为．【点拨】根据垂径定理解答即可．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴CH＝HD，AB⊥CD，∴∠BHD＝90°，∵HD＝4，BD＝5，∴BH＝3，设OA＝x，连接OD，可得：x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝，即OA＝，故答案为：．【点睛】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．13．（2018秋•萧山区期中）如图，在半径为5的圆O中，点P为弦AB上一点，AP＝1，PB＝7，则OP的长为3．【点拨】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解【解析】解：连接OB，作OM⊥AB与M，∵P A＝1，PB＝7，∴AB＝8，∵OM⊥AB，∴BM＝AB＝×8＝4，∵P A＝2，∴PM＝3，在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，∴OM＝＝＝3，在Rt△OPM中，∵OM＝3，PM＝3，∴OP＝＝＝3．故答案为【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．14．（2020•杭州模拟）如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O 半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为3．【点拨】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，利用在等圆中相等的弦所对应的弦心距相等得到OE＝OF，则根据角平分线的性质定理的逆定理可判断PO平分∠BPD，则可证明∠APO＝∠AOP，所以P A＝AO＝5，接着根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝4，然后利用勾股定理先计算出OE，接着计算OP的长．【解析】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15．（2019秋•汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为2．【点拨】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解析】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．三．解答题16．（2018•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB＝8，AC＝2，求⊙O半径的长．【点拨】如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r．在Rt△ADC中，求出CD，在Rt△ADC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r．∵＝，∴OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝2，在Rt△ADO中，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5．∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（2019秋•袁州区校级月考）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）求证：E是OB的中点；（2）若AB＝16，求CD的长．【点拨】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可．（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，＝，∴AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，∴OC＝AB＝8，又∵BE＝OE，∴OE＝4，∴CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，OA，OB分别是⊙O的半径，弦AC⊥OB于E，弦BD⊥OA于F，AC，BD相交于点G．（1）求证：AC＝BD．（2）若AF＝2，BD＝8，求⊙O的半径r及AG的长．【点拨】（1）证明△OBF≌△OAE（AAS），推出BF＝AE，再利用垂径定理即可解决问题．（2）利用勾股定理以及相似三角形的性质即可解决问题．【解析】（1）证明：∵弦AC⊥OB于E，弦BD⊥OA于F，∴∠OFB＝∠OEA＝90°，AE＝EC，DF＝FB，∵∠O＝∠O，OB＝OA，∴△OBF≌△OAE（AAS），∴BF＝AE，∴BD＝AC．（2）解：设OA＝OB＝r，∵OA⊥BD，∴BF＝DF＝4，在Rt△OBF中，∵OB2＝OF2+BF2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∵△AFG∽△AEO，∴＝，∴＝，∴AG＝．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2018•合肥模拟）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．【点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解析】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．20．（2018•江岸区校级模拟）如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值．【点拨】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM＝ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB＝CD；（2）先求出EM的长为，由垂径定理可得AM＝BM，则BE﹣AE＝2EM，求出答案即可．【解析】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON，∴AB＝CD；（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，∴∠BEO＝∠BED＝30°，∵OM⊥AB，∴∠OME＝90°，∵OE＝2，∴∴＝1，∴＝＝，∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理和角平分线的性质，解题的关键是：作弦心距，由弦心距相等得到弦相等．21．（2020•武汉模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．【点拨】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解析】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，∵，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（2020•昆山市一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，利用平行线的性质得到∠AFO＝∠ADB＝90°，然后根据垂径定理得到结论；（2）连接AC，如图，利用＝得到∠CAD＝∠ABC，再证明△ACE∽△BCA，利用相似比计算出AC ＝2，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径；（3）先在Rt△DAB中计算出AD＝8，再利用垂径定理得到AF＝DF＝4，则OF＝3，所以CF＝2，然后证明△ECF∽△EBD得到＝，所以＝，然后把DF＝4代入计算即可得到DE的长．【解析】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝；（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴AC：CE＝CB：AC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为；（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，∵OC⊥AD，∴AF＝DF＝4，∵OF＝＝3，∴CF＝2，∵CF∥BD，∴△ECF∽△EBD，∴＝＝＝，∴＝∴DE＝×4＝3．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质.。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个 隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
垂径定理练习题及答案
垂径定理一. 选择题★1 ．如图1，⊙O 的直径为10 ，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A．4 B ．6 C．7 D ．8答案： D★★2 ．如图，⊙O 的半径为 5 ，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D ．5答案： B★★3 ．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A．9cm B ．6cm C．3cm D．41cm答案： C★★4 ．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（）A．12 个单位B．10 个单位 C ．1 个单位D．15 个单位答案： B★★5 ．如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD6cm ，则直径AB 的长是（）A．2 3cm B．3 2cm C．4 2cm D ．4 3cm答案： D★★6 ．下列命题中，正确的是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案： D★★★7 ．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为( )A．5 米B．8 米 C ．7 米 D ．5 3 米答案： B★★★8 ．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm, 则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cm B．7cm C ．3 cm 或4 cm D．1cm 或7cm答案： D★★★9 ．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A．2 B．8 C．2 或8 D．3答案： C二. 填空题★1 ．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为cm 答案： 5 cm★2 ．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为cm答案： 3 cm★3 ．在半径为10 的圆中有一条长为16 的弦，那么这条弦的弦心距等于答案： 6★★4 ．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C，OC=3cm ，则⊙O 的半径为cm 答案： 5 cm★★5 ．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E，若∠COD ＝120 °，OE ＝3 厘米，则CD ＝厘米AOC E DB图4答案：6 3 cm★★6 ．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为cm.答案：6 3 cm★★7 ．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于cm 答案： 5★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8 ，OE=1 ，则AB=答案： 2 17★★9 ．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥A B于点D，交⊙O 于点 C ，且CD ＝l，则弦AB 的长是答案： 6★★10 ．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为m答案： 4★★11 ．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A、B 两点，已知P(4 ，2) 和A(2 ，0) ，则点 B 的坐标是yPA B xO答案：(6 ，0)★★12 ．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D，BC=6cm ，则OD= cm答案： 3★★13 ．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G、B 、F、E ，GB=10 ，EF=8 ，那么AD=答案： 3★★14 ．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30 o,则AB= cmABO P答案： 6★★★15 ．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是Cm答案：7cm 或17cm★★★16 ．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D，若AB=8 ，CD=2 ，则圆的半径为答案：5★★★17 ．一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为米5答案：2★★★18 ．在直径为10 厘米的圆中,两条分别为 6 厘米和8 厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7 或1★★★19 ．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8 米，净高CD 为8 米，那么这个隧道所在圆的半径OA是米COA D B答案： 5★★★20 ．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点， E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D。
中考数学每日一练：垂径定理练习题及答案_2020年单选题版
A . 25° B . 65° C . 45° D . 55° 考点： 垂径定理;圆周角定理;
~~第4题~~ (2020广西壮族自治区.中考模拟) 如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点M，M是AB的中点，点P在劣弧 与AB交于点N，∠PNA＝60°，则∠PDC等于（ ）
答案
上，PC
A . 40° B . 50° C . 60° D . 70°
A . 30° B . 60° C . 30°或150° D . 60°或120°
考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;
答案
~~第8题~~ (2019新华.中考模拟) 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（ ）
A . B . 2 C . 2 D . （1+2 ）
答案
~~第6题~~ (2018江城.中考模拟) 如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A . 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B . 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C . 考点： 垂径定理;圆周角定理;正多边形和圆;
D . ∠BAC=30°
答案
~~第7题~~
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2019台州.中考模拟) 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
中考数学每日一练：垂径定理练习题及答案_2020年单选题版
2020年 中 考 数 学 ： 图 形 的 性 质 _圆 _垂 径 定 理 练 习 题
~~第1题~~ (2020拉萨.中考模拟) 如图，在⊙ 等于（ ）
中，半径
垂直弦 于 ，点 在⊙ 上，
，则半径
A. B. C. D.
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A、 B、C 三根木柱，使得 A、 B 之间的
距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC长为 240 米， A 到 BC的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半
径。
8．如图， AB是⊙ O的直径， BC与⊙ O相切于点 B ，连接 OC交⊙ O于点 E，且 OC与弦 AD平行 ．求证： CD 是⊙ O的切线．
Ｏ
Ａ
Ｂ
23．如图，⊙ O的的半径为 5，直径 AB⊥弦 CD，垂足为 E， CD=6，那么 ∠ B 的余切值为 _________
三 . 解答题 1．已知⊙ O的弦 AB长为 10，半径长 R 为 7， OC是弦 AB的弦心距，求 OC的长
2．已知⊙ O的半径长为 50cm，弦 AB长 50cm.求：（ 1）点 O到 AB的距离；（ 2）∠ AOB的大小
8．⊙ O的半径为 5cm，弦 AB空题
1．已知 AB是⊙ O的弦， AB＝8cm， OC⊥ AB 与 C， OC=3cm，则⊙ O的半径为 cm
2．在直径为 10cm 的圆中，弦的长为 8cm，则它的弦心距为
cm
3．在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等于
4．已知 AB是⊙ O的弦， AB＝8cm， OC⊥ AB 与 C， OC=3cm，则⊙ O的半径为
1．△ ABC中 , AB=6cm , ∠ A=30° , ∠ B=15° , 则△ ABC绕直线 AC旋转一周所得几何体的表面积为 ____
2．一个圆锥的高为 10 3 cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是 3．已知圆锥的母线长是 10cm，侧面展开图的面积是 60π cm2，则这个圆锥的底面半径是
第 2 题图
第 3 题图
ABC中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O交 AC于点 F，交 BC于点 D，DF⊥ AC于点 F．求证： DF 是⊙ O的
2．如图所示， 已知 PA、PB切⊙ O于 A、B 两点，C是上一动点， 过 C 作⊙ O的切线交 PA于点 M，交 PB于点 N，已知∠ P=56°， 求∠ MON的度数。
垂径定理
一 . 选择题
1．如图 1，⊙ O的直径为 10，圆心 O到弦 AB的距离 OM的长为 3，那么弦 AB的长是（
）
A． 4 B ． 6 C ．7 D ． 8
2．如图，⊙ O的半径为 5，弦 AB的长为 8， M是弦 AB上的一个动点，则线段 OM长的最小值为（
）
A． 2 B ． 3 C ． 4 D ．5
9．用一个圆心角为 120°，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径 10. 已知：扇形的弧长为 ，扇形的圆心角为 60°，求半径。
11. 已知：扇形的面积为 8 ，半径为 4，求扇形的圆心角。 3
12．已知圆锥的母线长 6 cm；底面半径为 3 cm ，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
6．如图所示， BC是⊙ O的直径， P 为⊙ O外的一点， PA、PB为⊙ O的切线，切点分别为 A、 B．试证明： AC∥ OP．
9. 如图， AE、 AD、 BC分别切⊙ O于点 E、 D、 F，若 AD=20，求△ ABC的周长． 10. 如图， PA、 PB是⊙ O的两条切线，切点分别为点 A、 B，若直径 AC= 12 ，∠ P=60o，求弦 AB 的长． 11. 如图， PA、 PB 是⊙ O的切线， A、 B 为切点，∠ OAB＝ 30°．（ 1）求∠ APB的度数；（ 2）当 OA＝ 3 时，求 AP的长． 12．已知：如图，⊙ O内切于△ ABC，∠ BOC=105°，∠ ACB=90°， AB=20cm．求 BC、 AC的长．
13 ．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？
( 结果精确到
16. 如图，在正八边形 ABCDEFG中H，等腰梯形 CDEF的面积是 12，则这个八边形的面积为 ___________
1° )
17. 如图 , 有一圆内接正八边形 ABCDEFG若H,△ ADE的面积为 10, 则正八边形 ABCDEFG的H面积 ___________
cm ．
4．已知圆锥的底面半径是 2cm，母线长是 5cm，则它的侧面积是
．
5．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底积为 2000π cm2，母线长为 50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为
7．圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，求圆锥的侧面积 1 8 ．圆锥的侧面积为 15 ，底面半径为 3，求圆锥的高。
求证： AD＝DC
·
12．如图， AB、 CD是⊙ O的弦，且 AB=CD， OM⊥ AB， ON⊥ CD，垂足分别是点 M、 N， BA、 DC的延长线交于点 P ． 求证： PA=PC
10、已知：菱形的对角线相交于点 O，⊙ O与 AB相切于点 E， 求证：⊙ O与菱形其他边 BC、 CD、 DA也相切
20．如图， AB 为半圆直径， O 为圆心， C为半圆上一点， E 是弧 AC的中点， OE交弦 AC于点 D。若 AC=8cm， DE=2cm，则
OD的长为 cm
21．已知等腰△ ABC的三个顶点都在半径为 5 的⊙ O上，如果底边 BC的长为 8，那么 BC边上的高为
22．如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O ，则折痕 AB 的长为
3．过⊙ O内一点 M的最长弦为 10?cm，最短弦长为 8cm，则 OM的长为（ ）
A． 9cm B ． 6cm C ． 3cm D ． 41cm
4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子
OA、 OB在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测
直径时，把 O点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
（ 1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹） ；（ 2）求（ 1）中所作圆的半径 .
6．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，圆心 O在这个三角形的高 AD上， AB=10， BC=12．求⊙ O的半径
7．如图，已知⊙ O的半径长为 25，弦 AB长为 48， C 是弧 AB 的中点．求 AC的长． 8．已知：在△ ABC中， AB=AC=10, BC=16.求△ ABC的外接圆的半径 .
3、如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， AB=6，则圆环的面积是 _____________
1．在三角形 ABC中， BC=14， AC=9， AB=13，它的内切圆分别和 BC、 AC、 AB切于点 D、 E、 F，求 AF 、 BD、 CE的长。
第 1 题图 4．如图，已知在△ 切线；
C
13．如图，矩形 ABCD与圆心在 AB 上的圆 O交于点 G、 B、 F、 E，
GB=10， EF=8，那么 AD= O
14．如图，⊙O的半径是 5cm，P 是⊙ O外一点 ,PO=8cm，∠ P=30o, A 则 ADB= B cm
15．⊙ O的半径为 13 cm，弦 AB∥ CD， AB＝ 24cm， CD＝10cm，那么 AB和 CD的距离是
10．如图， AB 是⊙ O的弦（非直径） ， C、D 是 AB上的两点，并且 AC=BD。求证： OC=OD
9．如图，在△ ABC中，已知∠ ABC=90°，在 AB上取一点 E，以 BE 为直径的☉ O恰与 AC相切于点 D．若 AE=2， AD=4．求 ⊙ O的直径 BE 和线段 BC的长。
11．如图， AB 是⊙ O 的弦，点 D 是弧 AB 中点，过 B 作 AB的垂线交 AD的延长线于 C．
Cm
16．已知 AB是圆 O的弦，半径 OC垂直 AB，交 AB于 D，若 AB=8， CD=2，则圆的半径为
17．一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为
米
18．在直径为 10 厘米的圆中 , 两条分别为 6 厘米和 8 厘米的平行弦之间的距离是
厘米
19．如图，是一个隧道的截面，如果路面 AB 宽为 8 米，净高 CD 为 8 米，那么这个隧道所在圆的半径 OA 是 ____米
13．已知：如图，△ ABC三边 BC=a， CA=b， AB=c，它的内切圆 O的半径长为 r ．求△ ABC的面积 S．
14. 如图，在△ ABC中，已知∠ ABC=90o，在 AB 上取一点 E，以 BE 为直径的⊙ O恰与 AC相切于点 D，若 AE=2cm，AD=4cm．(1) 求⊙ O的直径 BE的长； (2) 计算△ ABC的面积．
5、如图， AB是⊙ O的直径，半径 OC⊥ AB，P是 AB延长线上一点， PD切⊙ O于点 D，CD交 AB 于点 E，判断△ PDE的形状， 并说明理由．
3．如图，⊙ I 是△ ABC的内切圆， D， E， F 为三个切点，若∠ DEF=50°，求∠ A 的度数。
4．如图，在△ ABC中，已知∠ C=90°， BC=6， AC=8，则它的内切圆半径是多少？ 5．如图，点 O是△ ABC的内切圆的圆心，∠ BAC=70°，求∠ BOC的度数．
cm
5．如图，⊙Ｏ 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠ COD＝ 120°， OE＝ 3 厘米，则 CD＝
6．半径为 6cm 的圆中，垂直平分半径 OA的弦长为
cm.
7．过⊙ O内一点 M的最长的弦长为 6cm，最短的弦长为 4cm ，则 OM
厘米 的长等于 cm
8．已知 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，E 为垂足， CD=8，OE=1，则
《切线的性质与判定》
1、如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙
P 与 x 轴相切于点 Q，与 y 轴交于 M（ 2，0）， N（0， 8）两点，则点 P
的坐标是 _________
2、如图， PA、 PB切⊙ O于 A、 B 两点，∠ APB=70°， C 是⊙ O上不同于 A、 B 的任一点，则∠ ACB等于 ____________