平面势流(了解性学习).
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第15讲势流理论2
（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动
恒定平面势流 (平面无旋流动)
2
x2
2
y2
0
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤二：认识并填制出境货物通关单 要完成出境货物通关单的制作，李芳芳必须先弄清楚集货单上各项 内容的含义，通过查阅相关资料，了解到出境货物通关单各项内容含义 如下： 1.收货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中买方名称。 任务给出买方为PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.，所 以此栏应填PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.。 2.发货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中受益人名称。 任务给出发货人为厦门阳光贸易有限公司，此栏应填厦门阳光贸易有限 公司。 任务执行
任务执行
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤三：填制报关单 李芳芳通过查阅相关资料，了解到出口货物报关单各 项内容含义如下：
在整理完上述信息后，李芳芳完成的报关单如下： 任务执行
速度势的极坐标表达式
d urdr u rd
ur
r
,
u
1 r
上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
ux u y u z 0 x y z
特征2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
凡满足拉普拉斯方
程的函数是调和函
数，所以速度势
是调和函数
平面无旋流动或平面势流
∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y ux x y
d uxdx uydy
x
ux
，
y
【通用】流体力学6-势流理论.ppt
x (x,y)
vy
Q
2
y (x a)2
y2
Q
2
y (x a)2
y2
0
x a2 aQ
v0
y0
驻点
0.0
r1
y r r2
1
2
aa
Q
-Q
46
（4） 求零流线
Q
2
1
Q
2
2
v0 y
v0 y
Q
2
(1
2 )
源 汇 均匀流
tg
(1
2
)
tg1 tg2 1 tg1tg2
y
y
xa xa
A(r, )
r r2
Ｍ为偶极矩。
r2
1
2
Q B x C Q x
0.0
11
用迭加法求势函数φ
1
2
Q
2
(ln
r1
ln
r2 )
M cos 2 r
M 2
x x2 y2
0.0
y A(r, )
r1
r r2
r2
1
2
Q B x C Q x
12
流函数
1 2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
r2
x sin1
p
C
v2
2
C
2
(2V0
sin
)2
2 r0
单位长圆柱所受到的阻力
2
FD 0 p cos r0d 0
V0
0.0
dFL pds
d
dFD
r0
37
3 升力大小的计算：
第14章恒定平面势流
2)流网中流线与等势线依据什么原则绘制？
d udn (14.19) d udm (14.20)
由(19)和(20)式，得
u
d dn
d dm
转换为差分方程
u
n
m
若取 ＝常数，则 n m ，每个网眼将
成为正交曲线方格，
13
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
1）固定边 界:
在固定边界上，un=0，允许液体质点沿固 体边界流动，这样固体边界本身必然是流线之 一，等势线必然与固定边界垂直。固体边界的 位置、形状是已知的。
两者叠加后得到一个新的势流，其流速势和流函数为
1
2
Q
2
ln
r
Ur cos
1
2
Q
2
Ur sin
30
1
2
Q
2
ln
r
Ur
cos
1
2
Q
2
Ur sin
Ψ =0的流线（零流线）方程为 Q Ur sin 2
当θ＝0时，sinθ=0，r为任何值时上式都能满足，故
通过原点的水平线OA是Ψ ＝0流线的一个解。
14
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
2）自由表面边界:
在自由面上，un=0，自由面也是流线之一，等势线必然与自由面垂 直。但自由面的位置、形状未知，需要根据自由表面的动力条件确定。
先假定一个自由表面进行试绘，在修改过程中同时检验是否满足自 由表面上的压强等于大气压的条件，即自由表面上各点都必须满足
d uxdx uydy u cos dncos u sin dnsin udn(cos2 sin2 ) udn
(14.19)
d uxdy uydx u cos dmcos u sin (dmsin ) udm(cos2 sin2 ) udm (14.20)
d udn (14.19) d udm (14.20)
由(19)和(20)式，得
u
d dn
d dm
转换为差分方程
u
n
m
若取 ＝常数，则 n m ，每个网眼将
成为正交曲线方格，
13
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
1）固定边 界:
在固定边界上，un=0，允许液体质点沿固 体边界流动，这样固体边界本身必然是流线之 一，等势线必然与固定边界垂直。固体边界的 位置、形状是已知的。
两者叠加后得到一个新的势流，其流速势和流函数为
1
2
Q
2
ln
r
Ur cos
1
2
Q
2
Ur sin
30
1
2
Q
2
ln
r
Ur
cos
1
2
Q
2
Ur sin
Ψ =0的流线（零流线）方程为 Q Ur sin 2
当θ＝0时，sinθ=0，r为任何值时上式都能满足，故
通过原点的水平线OA是Ψ ＝0流线的一个解。
14
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
2）自由表面边界:
在自由面上，un=0，自由面也是流线之一，等势线必然与自由面垂 直。但自由面的位置、形状未知，需要根据自由表面的动力条件确定。
先假定一个自由表面进行试绘，在修改过程中同时检验是否满足自 由表面上的压强等于大气压的条件，即自由表面上各点都必须满足
d uxdx uydy u cos dncos u sin dnsin udn(cos2 sin2 ) udn
(14.19)
d uxdy uydx u cos dmcos u sin (dmsin ) udm(cos2 sin2 ) udm (14.20)
平面势流的叠加流动
一、势流叠加原理
1、 1 2 3 2、 2 2 (1 2 3 ) 21 2 2 2 3 0
2 2 1 2 2 2 3 0
3、
1 2 3 x x x x 3 1 2 y y y y 1 2 3 z z z z
r r0
vr 0 v 2V sin
流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是 说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生 分离。
0 180
90
v 0
v max 2V
vr 0 v 2V sin
不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布
2
单独的偶极流没有什么实际意义，但是它与直线均匀流 叠加的复合势流非常有用。
四、绕圆柱体无环量流动
均匀直线流
均匀直线流与偶极流叠加
M x M x 2 r 2 2 x 2 y 2 M y M y 2 r 2 2 x 2 y 2
偶极流
V x V y
r02 V x 1 x2 y2
在x ， u V ， v 0 。这表示，在离开圆柱体无 y 处， 穷远处是速度为V∞的均匀直线流动 A点（-r0，0）， A点为前驻点 B点（r0，0），B点为后驻点 极坐标速度分布
Γ qV lnr const
r C1e
Γ qV
Γ lnr qV const q
r C 2e
V
Γ
等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇， 称为螺旋流。流体从四周向中心流动。
第16讲势流理论3
W (ζ ) = v0ζ cos α − iv0 ζ 2 − a 2 sin α + iv0 a sin α ln(ζ + ζ 2 − a 2 )
v = v0 cos α − iv0 sin α
ζ −a 或 ζ +a
v = v0 cos α + v0 sin α
a −ζ a +ζ
平板后缘的速度不再是无穷大，而是有限值。这表明流体在后缘处以 有限的速度平滑的沿尾缘切线方向离开平板。 但库塔假设仍然没有解决平板前缘的问题，在平板前缘，速度仍为无 穷大。这会引起所谓的前缘吸力。实际的机翼前缘总有一定的圆弧，有效 避免无限大速度的产生。
dΩ (ζ ) dW ( z ) dζ dz = ∫ ∫ dz dζ C C′
Γ C + iQC = Γ C ′ + iQC ′
2 常用的几种保角变换关系
（1）平移变换
平移变换函数为：ζ
= z+b
= ξ + iη , z = x + iy ，则有：
其中 b = b1 + ib2 为复常数，根据 ζ
经整理可得：
W (ζ ) = ζ v0 cos α − iv0 ζ 2 − a 2 sin α
dW ζ v= = v0 cosα − iv0 sinα 2 2 dζ ζ −a
则平板绕流的复速度：
在平板的两边缘：
v ζ =± a → ∞
根据复速度表达式，平板两端点处的速度为无穷大，即流体以 无限大速度绕过平板两端尖角。产生这一悖论的原因是理想流体假设。
∞
v 0 iα = e 2
至此，将平板绕流变换成了圆柱绕流，但来流速度与实轴有夹角的圆 柱绕流，仍然写不出其复势。为此需要在引入一个旋转变换。 引入旋转变换：
平面势流解读
第七章 平面势流
平面不可压位流的基本方程 几种简单的二维位流 一些简单流动的迭加
平面不可压位流的基本方程
前一章介绍了流体运动所必须遵守的规律：质量方程及 欧拉方程。 这一章应该讨论怎样求解这些方程。 但是，要求得这些偏微分方程的解，是要满足一定边界 条件的，否则求出来的解没有实际意义。不过，飞行器的外 形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件之下来求得这 些方程的解，实际上是办不到的。
达朗培尔疑题
达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提 出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻
力都是零。
这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体 力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动
是没有什么价值的。
后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有
2、直匀流加偶极子
只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设 直匀流 v 平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是：
x ( x, y ) v x M 2 r
流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的 坐标定出来。令：
1 , 2 ,..., n a11 a2 2 an n
不可压平面流必有流函数
vx y
无旋条件
vy x
v y
v x x y
也满足拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
几种简单的二维位流
1、直匀流
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
末这流动便只有υr，而没有v 。 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是：
Q 2rv r
流量是常数，故流速υr与半径成反比：
平面不可压位流的基本方程 几种简单的二维位流 一些简单流动的迭加
平面不可压位流的基本方程
前一章介绍了流体运动所必须遵守的规律：质量方程及 欧拉方程。 这一章应该讨论怎样求解这些方程。 但是，要求得这些偏微分方程的解，是要满足一定边界 条件的，否则求出来的解没有实际意义。不过，飞行器的外 形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件之下来求得这 些方程的解，实际上是办不到的。
达朗培尔疑题
达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提 出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻
力都是零。
这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体 力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动
是没有什么价值的。
后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有
2、直匀流加偶极子
只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设 直匀流 v 平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是：
x ( x, y ) v x M 2 r
流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的 坐标定出来。令：
1 , 2 ,..., n a11 a2 2 an n
不可压平面流必有流函数
vx y
无旋条件
vy x
v y
v x x y
也满足拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
几种简单的二维位流
1、直匀流
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
末这流动便只有υr，而没有v 。 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是：
Q 2rv r
流量是常数，故流速υr与半径成反比：
平面势流
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
在上述流动中，如果源点和汇点相互 接近，即2a → 0时（2aq=常数），所 得到的就是偶极流。
实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些 基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流 动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环 量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠 加可得到有环量的圆柱绕流等。
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
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s n
若取δ = δψ，则δs=δn，此时流网网格为曲 边正方形
2、 流网的绘制
1）固体边界本身就是流线之一，等势线与边界正交。 2）自由液面必是流线。 3）根据流动的大致方向，按照事先选定的网格比例绘 制出流线簇和等势线簇。 3、 流网的应用 广泛用于理想不可压缩流体平面无旋流动中的速度 场、压强场求解
u y u x x y
2 2 2 0 2 x y
平面势流中，速度势函数和流函数均为调和函数 特征2 流函数的等值线是流线
d u x dy u y dx 0
( x, y ) const
特征3 任意两条流线间的流函数差值(ψ1 –ψ2 )，等 于通过两条流线间的单宽流量q。
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
dx dy ux u y
u x u y 0 x y
u x dy u y dx 0
u y u x x y
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流
d u y dx u x dy 0
ux m1m2 ( )( ) 1 ux uy uy
dy u y m1 dx u x
特征2 等势线簇的势函数值沿流线方向增加，而流 线簇的流函数值则沿流线方向逆时针旋转90 ˚后所指 的方向增加。——儒科夫斯基法则。 特征3 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例
上式是使表达式uxdx+uydy+uzdz能成为某一函数(x,y,z) 的全微分的必要和充分条件
ux dx u y dy uz dz d dx dy dz x y z
特征1
ux ， u y ， uz x y z
u y x x
u y y y
连续性方程
u x x
u y y
0
二、无旋流动的速度势（函数）
1 u z u y x 0 2 y z 1 u x u z y 0 2 z x 1 u y u x z 0 2 x y 或 或 或 u z u y y z u x u z z x u y u x x y
如图
环流强度 Г ，是不随圆周半径而变的 常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时 针旋转；Г ＜0时，为顺时针旋转。
Γ ur 0 , u 2r
Γ ln r 2 2 环流是圆周运动，但却不是有旋运动。
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
ux , uy y x
d u x dy u y dx
d dx dy x y
流函数的极坐标表达式
d ur rd u dr
1 ur , u r r
特征1
ωz为零
平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程
凡满足拉普拉斯方 程的函数是调和函 数，所以速度势是 调和函数
平面无旋流动或平面势流 ∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y
u x x y
d uxdx uy dy
2 2 2 0 2 x y
ux ， u y x y
速度势的极坐标表达式
四、流网及其特征
流网（Flow Net）：不可压缩流体平面无旋流动中， 流线簇与等势线簇构成的正交网格。 1、流网的特征
特征1C
d u x dx u y dy 0
等流线簇：(x,y)=C
ux dy m2 dx uy
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
第七节
一、基本方程组
恒定平面势流 （平面无旋流动）
不可压缩恒定平面势流：
1、平面无旋，即 2、恒定流，即
u y u x ； 0 t t
z 0
；
3、不可压缩流体，即=Const 。
运动方程
X Y
1 p x 1 p y
u u
u x x x
u u
u x y y
q ur , u 0 2r
q q q u r dr u rd dr lnr ln x 2 y 2 2r 2 2
q q q y u r rd u dr rd arctan 2r 2 2 x
流体从四周沿径向均匀流入一点（汇点）的流动称为汇流 流入汇点的单位厚度流量称为 汇流强度-q。