弯曲应力的推导 1
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弯曲应力
二、弯曲强度条件
1、塑性材料：
max
M max y max Iz
令Iz /ymax=W， W-----抗弯截面系数
弯曲强度条件：
max
M max W
[]
注意:
当梁为变截面梁时, max 并不一定发生在| M |max 所在面上。
2.脆性材料： 因为 [t ] < [c ] ，所以应分别建立强度条件。
q 30 kN m
解：弯矩图如图所示
A
0.5m
B
WZ
M max
2m
FB 28.1kN
61.2cm3
FA 46.9kN
31.9
查表
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
15
kN
13.16
28.1
kNm
3.75
例5
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴 的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强 200 度条件校核梁的强度。
y
z
F F
y
结 论:
对于均质,连续的等截面直梁在纯弯曲时,横截面上只产生 正应力， (与横截面的形状无关)。
6.2纯弯曲时的正应力
纯弯曲时梁的正应力公式推导：
F F
m n
m
n
m
n
m
dx
n
一、变形几何关系（应变-位移）
o n
d
凹边变弯缩短
dx
n
（- ）
无 （+）
m
z y
m
dx
中性层上变弯 凸边变弯伸长
弯曲应力及强度计算
桥梁的受弯破坏问题
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
伸缩臂的弯曲应力计算公式
伸缩臂的弯曲应力计算公式伸缩臂是一种常见的机械设备，其主要功能是在需要时伸展或收缩，从而完成特定的工作任务。
在伸缩臂的设计和制造过程中，需要考虑到其受力情况，特别是在弯曲状态下所受到的应力。
弯曲应力是指在材料受到外部力作用下，其内部产生的应力状态。
本文将介绍伸缩臂的弯曲应力计算公式及其应用。
伸缩臂的弯曲应力计算公式可以通过梁的弯曲理论来推导。
在伸缩臂的设计中，常常需要考虑到其所承受的最大弯曲应力，以确保其在工作过程中不会发生破坏。
梁的弯曲理论是基于梁的几何形状和材料性质来推导出梁在受力状态下的应力分布。
根据梁的弯曲理论，伸缩臂的弯曲应力计算公式可以表示为：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁的截面到受力点的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
在伸缩臂的设计中，需要根据实际情况来确定梁的弯矩、截面到受力点的距离和惯性矩。
弯矩是指在梁上受到的外部力矩，其大小与梁的几何形状和受力情况有关。
截面到受力点的距离是指在梁的截面上受力点到该截面的距离，其大小取决于梁的几何形状。
惯性矩是指梁在受力方向上的惯性矩，其大小与梁的截面形状和尺寸有关。
在实际工程中，伸缩臂的弯曲应力计算公式可以通过有限元分析等方法来进行验证和优化。
有限元分析是一种常用的工程分析方法，通过将复杂的结构分解为有限个简单的单元，然后利用数值方法求解出整个结构的受力和变形情况。
通过有限元分析，可以得到伸缩臂在受力状态下的弯曲应力分布，从而对其设计进行优化和改进。
伸缩臂的弯曲应力计算公式在工程实践中具有重要的意义。
通过对伸缩臂的弯曲应力进行计算和分析，可以有效地指导其设计和制造过程，确保其在工作过程中不会发生破坏。
同时，通过对伸缩臂的弯曲应力进行优化，可以提高其承载能力和使用寿命，从而提高整个机械设备的性能和可靠性。
总之，伸缩臂的弯曲应力计算公式是伸缩臂设计和制造过程中的重要内容。
材料力学07弯曲应力
e
x
y
z
P
P
s
M
Q
e
*
弯曲中心的确定:
(1) 双对称轴截面，弯心与形心重合
(2) 反对称截面，弯心与反对称中心重合
(3) 若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合
(4) 求弯心的普遍方法：
C
C
Qy
e
C
C
*
ss
ss
§7-6 考虑材料塑性的极限弯矩
（一）物理关系：
全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设
每单元在立面上呈T型双悬臂
*
成昆线 旧庄河 一号桥
（一个单元）
中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥， 主跨为24+48+24(m) 铰接悬臂梁。
*
厂房大梁、 车辆叠板簧、 闸门主梁 鱼腹式吊车梁、桥 阶梯轴…… 龙门刨横梁
*
若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等 或： 挖掘机－手臂 等强度条件： ——等强度梁
取微段dx
z
y
b
h
x
M
dx
x
——两截面内力
分离部分
2、公式推导：
y
Q
——平衡分析……
M+dM
均匀分布
与侧边平行
周边 —— 互等定理
( Sheariog Stresses on Cross Section of Beam )
*
两截面M 不等——
左侧面
右侧面
顶平面
(∵切应力互等 )
平面假设：
（由表及里，由线到面）
(不受拉压应力)
内必有一层既无伸长也无缩短，
x
y
z
P
P
s
M
Q
e
*
弯曲中心的确定:
(1) 双对称轴截面，弯心与形心重合
(2) 反对称截面，弯心与反对称中心重合
(3) 若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合
(4) 求弯心的普遍方法：
C
C
Qy
e
C
C
*
ss
ss
§7-6 考虑材料塑性的极限弯矩
（一）物理关系：
全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设
每单元在立面上呈T型双悬臂
*
成昆线 旧庄河 一号桥
（一个单元）
中国铁路上首次采用悬臂拼装法施工的预应力混凝土桥， 主跨为24+48+24(m) 铰接悬臂梁。
*
厂房大梁、 车辆叠板簧、 闸门主梁 鱼腹式吊车梁、桥 阶梯轴…… 龙门刨横梁
*
若使受弯构件每一横截面的最大正应力均相等 或： 挖掘机－手臂 等强度条件： ——等强度梁
取微段dx
z
y
b
h
x
M
dx
x
——两截面内力
分离部分
2、公式推导：
y
Q
——平衡分析……
M+dM
均匀分布
与侧边平行
周边 —— 互等定理
( Sheariog Stresses on Cross Section of Beam )
*
两截面M 不等——
左侧面
右侧面
顶平面
(∵切应力互等 )
平面假设：
（由表及里，由线到面）
(不受拉压应力)
内必有一层既无伸长也无缩短，
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截面对z轴(中性轴) 的惯性矩
dA
y(对称轴)
E Iz M
y E (*)
可得挠曲线的曲率方程：
E Iz M
M EI z
1
y E
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为
My Iz 横截面上最大正应力为
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
m m1 m m1
FN1
M
'
p n p1 n1
M+dM y
p n p1 dx n1
'
q q1 σ dA
z
y
y1
dx
y F N2
M M pn : FN1 A1 dA A1 y1dA Iz Iz
A1
y1dA
M dM p1n1 : FN2 Iz
A1 y1dA
pp1 : dFs bdx
弯曲应力的推导
纯弯曲 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的切应力
纯弯曲
横力 F 弯曲 a F (+)
Fs 图
纯弯曲
F
横力 弯曲
纯弯曲——梁弯曲变形时，
横截面上只有弯矩而无剪 力（ M 0, Fs 0 ）。 纯弯曲时，横截面上有正 应力而无切应力 横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又
梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于 变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
由现象2
中性轴
中 性 层
凹边缩短，凸边伸长
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长 又不缩短的层面。 中性轴——中性层与横截面的交线。
理论分析
纯弯曲时的正应力
P
（1）变形几何关系
S z * y1dA
* A
h/ 2 y 1
τmax
2 2
b h y bdy ( y ) 2 4
1
2 FS S z FS h ( y2 ) I zb 2Iz 4
*
可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化.
max
FS h2 FS h2 3 FS 3 2 bh 8 I z 8 bh 12
d z
Iz
64
d 4,
Wz
32
d 3,
D
d z
Iz
64
(D d )
4 4
64
D4 (1 4 )
Wz
32
d ( ) D
D3 (1 4 )
横力弯曲时的正应力
纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁。
My Iz
前提： 细长梁，即梁的跨高比L/h>5时，其误差 不大；
' '
M dM M X 0, I A1 y1dA I z z
m m1 F N1 p n q y q1
' y d A bdx 0 A1 1
z
y1
dM 1 ( ) dx I z b
'
A1 y1dA
p1
dx n1
σ dA
y F N2
dM Fs , dx
A
d
o
m n a y
dx
a
a
o
o
a
b m
b n
o
y——任意纵向纤维至中性层的距离 ——中性层的曲率半径 P——曲率中心
b m
b n
m
n
a
o
b m
a
纵向纤维bb:
变形前 变形后
y
dx
o
b n
bb oo d bb ( y)d
所以纵向纤维bb的应变为:
P
d
a a
o o
b n
yd bb ( y )d d y d d bb
b m
1
y
横截面上距中性 轴为y处的轴向变 形规律。
C , y.
（2）物理关系--应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
y
y E E 对一定材料， E=常数；对一定截面， 常数.
弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
m y A x P n m1 m q(x) h b m1 O
Fs
z y
m
B x n1 p n dx p1 n1 y
q1
dx
x
关于切应力的分布作两点假设： 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2、切应力沿截面宽度均匀分布
( // Fs )
讨论部分梁的平衡
I yz 0
Y轴是截面的对称轴 所以 I yz 0
截面对y、z轴的惯性积
M dA dA x
z(中性轴) M
y(对称轴)
考虑平衡条件
M M M M z A (dA) y
z
dA dA x
z(中性轴) M
A E
y
2
E 2 A y dA M
Iz
y
横截面上某点处的应 力与此点距中性轴的 距离y成比例。
中性轴
当y 0时, 0；
当 y ymax 时, max .
z
M
（3）静力平衡关系
y E (*)
M dA dA x
z(中性轴) M
由
F 0得 dA =0
x
A
将(*)式代入，得
y(对称轴)
二、圆形截面梁
Fs
max
4 Fs 3 R 2
三、工字型截面梁
B b0 h h 0 z y
F
s
y
Fs b0 h0
抗弯截面模量
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： z h b b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
h
z´
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
1
y1dA S z ,
* z
*
,
'
Fs S I zb
FS S I zb
* z
y
*
z
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
A
S
* z
距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩
切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 S * z 与y之间的关系确定
Sz 0
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
Sz
E
Sz 0
截面对z轴的静矩
因此z轴通过截面形心，即 中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。
考虑平衡条件
M
A
y
0
y E (*)
M y (dA) z 0
E
A
yz
dA
E
A
yzdA 0
I yz
有一模量为E 1 的矩形截面悬臂梁AB ， A 端固定， B 端自 由。梁长为L ，截面高度为h1 ，宽度为b 。梁上表面粘着模量 为E2 = 2E1 的增强材料层，该层高度h2 = 0.1h1 ，长度和宽 度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为Δ。在B端作 用垂直向下的载荷 FP 。不考虑各部分的自重。 （1）求组合截面中性轴的位置。 （2）求使梁B 端下表面刚好接触D 台面所需的力 FP 。 （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力。 （4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。
F
L
a
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fa
-F
(-)
(+)
M-图
有剪力（ M 0, Fs 0 ）。
等直梁纯弯曲梁正应力分析
前提: (a)小变形,在弹性变形范围内
(b)满足对称弯曲条件 (c)纯弯曲 (d)纵向纤维间无挤压
实验观察:
1.横向线保持为直线；纵 向线与横向线依然垂直。 2.凹边缩短，凸边伸长
由现象1
横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。
dA
y(对称轴)
E Iz M
y E (*)
可得挠曲线的曲率方程：
E Iz M
M EI z
1
y E
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为
My Iz 横截面上最大正应力为
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
m m1 m m1
FN1
M
'
p n p1 n1
M+dM y
p n p1 dx n1
'
q q1 σ dA
z
y
y1
dx
y F N2
M M pn : FN1 A1 dA A1 y1dA Iz Iz
A1
y1dA
M dM p1n1 : FN2 Iz
A1 y1dA
pp1 : dFs bdx
弯曲应力的推导
纯弯曲 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的切应力
纯弯曲
横力 F 弯曲 a F (+)
Fs 图
纯弯曲
F
横力 弯曲
纯弯曲——梁弯曲变形时，
横截面上只有弯矩而无剪 力（ M 0, Fs 0 ）。 纯弯曲时，横截面上有正 应力而无切应力 横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又
梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于 变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
由现象2
中性轴
中 性 层
凹边缩短，凸边伸长
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长 又不缩短的层面。 中性轴——中性层与横截面的交线。
理论分析
纯弯曲时的正应力
P
（1）变形几何关系
S z * y1dA
* A
h/ 2 y 1
τmax
2 2
b h y bdy ( y ) 2 4
1
2 FS S z FS h ( y2 ) I zb 2Iz 4
*
可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化.
max
FS h2 FS h2 3 FS 3 2 bh 8 I z 8 bh 12
d z
Iz
64
d 4,
Wz
32
d 3,
D
d z
Iz
64
(D d )
4 4
64
D4 (1 4 )
Wz
32
d ( ) D
D3 (1 4 )
横力弯曲时的正应力
纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁。
My Iz
前提： 细长梁，即梁的跨高比L/h>5时，其误差 不大；
' '
M dM M X 0, I A1 y1dA I z z
m m1 F N1 p n q y q1
' y d A bdx 0 A1 1
z
y1
dM 1 ( ) dx I z b
'
A1 y1dA
p1
dx n1
σ dA
y F N2
dM Fs , dx
A
d
o
m n a y
dx
a
a
o
o
a
b m
b n
o
y——任意纵向纤维至中性层的距离 ——中性层的曲率半径 P——曲率中心
b m
b n
m
n
a
o
b m
a
纵向纤维bb:
变形前 变形后
y
dx
o
b n
bb oo d bb ( y)d
所以纵向纤维bb的应变为:
P
d
a a
o o
b n
yd bb ( y )d d y d d bb
b m
1
y
横截面上距中性 轴为y处的轴向变 形规律。
C , y.
（2）物理关系--应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
y
y E E 对一定材料， E=常数；对一定截面， 常数.
弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
m y A x P n m1 m q(x) h b m1 O
Fs
z y
m
B x n1 p n dx p1 n1 y
q1
dx
x
关于切应力的分布作两点假设： 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2、切应力沿截面宽度均匀分布
( // Fs )
讨论部分梁的平衡
I yz 0
Y轴是截面的对称轴 所以 I yz 0
截面对y、z轴的惯性积
M dA dA x
z(中性轴) M
y(对称轴)
考虑平衡条件
M M M M z A (dA) y
z
dA dA x
z(中性轴) M
A E
y
2
E 2 A y dA M
Iz
y
横截面上某点处的应 力与此点距中性轴的 距离y成比例。
中性轴
当y 0时, 0；
当 y ymax 时, max .
z
M
（3）静力平衡关系
y E (*)
M dA dA x
z(中性轴) M
由
F 0得 dA =0
x
A
将(*)式代入，得
y(对称轴)
二、圆形截面梁
Fs
max
4 Fs 3 R 2
三、工字型截面梁
B b0 h h 0 z y
F
s
y
Fs b0 h0
抗弯截面模量
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： z h b b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
h
z´
1 1 2 3 hb , Wz hb Iz 12 6
1
y1dA S z ,
* z
*
,
'
Fs S I zb
FS S I zb
* z
y
*
z
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
A
S
* z
距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩
切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 S * z 与y之间的关系确定
Sz 0
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
Sz
E
Sz 0
截面对z轴的静矩
因此z轴通过截面形心，即 中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。
考虑平衡条件
M
A
y
0
y E (*)
M y (dA) z 0
E
A
yz
dA
E
A
yzdA 0
I yz
有一模量为E 1 的矩形截面悬臂梁AB ， A 端固定， B 端自 由。梁长为L ，截面高度为h1 ，宽度为b 。梁上表面粘着模量 为E2 = 2E1 的增强材料层，该层高度h2 = 0.1h1 ，长度和宽 度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为Δ。在B端作 用垂直向下的载荷 FP 。不考虑各部分的自重。 （1）求组合截面中性轴的位置。 （2）求使梁B 端下表面刚好接触D 台面所需的力 FP 。 （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力。 （4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。
F
L
a
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fa
-F
(-)
(+)
M-图
有剪力（ M 0, Fs 0 ）。
等直梁纯弯曲梁正应力分析
前提: (a)小变形,在弹性变形范围内
(b)满足对称弯曲条件 (c)纯弯曲 (d)纵向纤维间无挤压
实验观察:
1.横向线保持为直线；纵 向线与横向线依然垂直。 2.凹边缩短，凸边伸长
由现象1
横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。