弯曲应力计算
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
弯曲应力
式中：Mn为作用在管道上的扭矩；Wn为管道抗扭截面模量。
作用于Am
式中：V为作用在管道上的剪切力，Q为剪切系数。
管道基本应力可分为环向应力(Sh)，径向应力(Sr)，轴向应力(Sl)和剪切应力(τ)。
环向应力(Sh)的方向垂直于半径指向圆周方向，所以也叫周向应力，它是由管道的内压引起。对于薄壁管，环向应力计算公式为：
Sh =P*D/(2T)
式中：P为管道设计压力；D为管道外径；T为管道壁厚。
径向应力(Sr)的方向沿管道半径方向，垂直于管道表面。内压引起的径向应力在管道内表面为-P，在管道外表面为0。计算公式如下：
Sr =P(Ri2 - Ri2 Ro2/R2)/ (Ro2 - Ri2 )
式中：Ri为管道内壁半径；Ro为管道外壁半径；R为管道轴线到所在点的距离。
轴向应力(Sl)的方向平行于管道轴线，它是由弯矩、压力或作用于管道轴向的力引起。弯矩引起的轴向力在管道截面上沿线性分布，管道最外端受最大轴向拉应力，最内端受最大轴向压应力。弯矩引起的最大轴向力计算公式为：
Sl =Mb*R/I
压力引起的轴向力计算公式为：
Sl =P*D/(4T)
作用于管道轴向的力引起的轴向应力计算公式为：
Sl =FAX/Am
上述式中：Mb为作用于管道上的弯矩；I为管道横截面的惯性矩；FAX为管道轴向力；Am为管壁横截面积。
剪应力是扭矩或作用于管道的剪切力引起。扭矩引起的剪切力计算公式为：
弯曲应力公式
弯曲应力公式
弯曲应力公式是用于计算材料在受到弯曲力作用时所产生的应力的公式。
弯曲应力是指材料在弯曲变形时内部产生的应力。
在工程实践中，了解材料的弯曲应力是设计和评估结构和构件强度的重要基础。
根据弯曲应力公式，弯曲应力可以通过以下公式计算：
σ = (M * c) / I
其中，σ是弯曲应力，M是作用于材料的弯曲力矩，c是截面和材料最远点之间的距离（也称为材料的离心距），而I是截面的惯性矩。
弯曲应力公式反映了弯曲力和材料断面之间的关系。
公式中的离心距和惯性矩可以描述结构材料的几何特性和材料的物理特性。
弯曲应力正比于弯曲力矩并反比于截面的惯性矩。
这意味着对于相同的弯曲力矩，当截面的惯性矩越大时，材料的弯曲应力越小。
弯曲应力的计算对于工程设计和工程结构的安全性至关重要。
通过了解材料的弯曲应力，工程师可以确定材料是否足够强大，以承受特定的弯曲力矩。
此外，在材料设计中，可以通过调整截面形状、尺寸和材料的选择来减小或优化弯曲应力。
总结而言，弯曲应力公式是工程实践中用于计算弯曲应力的重要工具。
它通过考虑弯曲力矩、离心距和截面的惯性矩等因素，为工程师提供了评估结构和构件强度的基础，并为设计和优化工程材料提供了指导。
弯曲应力及强度计算
工程背景
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1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
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由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
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* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
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* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
弯曲应力计算
梁的简化
简支梁
一端为活动铰链支座，另 一端为固定铰链支座
外伸梁
一端或两端伸出支 座之外的简支梁
悬臂梁
一端为固定端，另一 端为自由端的梁
弯曲梁的内力
梁在外力作用下，内部将产生内力。为求出梁截面m-n上的内力，假想沿 m-n截面将梁截为两段，去一段为研究对象。在这段梁上作用的外力有F， 支座反力为FAy，截面上的内力应与这些外力相平衡。由静力学平衡方程 F 0 判断截面上作用沿截面的力FQ，截面上还应该有一个力偶矩M，以满足平 衡方程 M 0
弯曲的概念
弯曲变形是指杆的轴线 由直线变成曲线，以弯 曲变形为主的杆件称为 梁。 梁的受力特点是在轴线 平面内受到力偶矩或垂 直于轴线方向的外力的 作用。
弯曲变形
平面弯曲
如果梁上所有的外
力都作用于梁的纵 向对称平面内，则 变形后的轴线将在 纵向对称平面内完 成一条平面曲线。 这种弯曲称为平面 弯曲。
M
得
0
Hale Waihona Puke 0，M F（x - a） - FAyx 0
M FAyx - F（x - a） 0
同一截面上的弯矩M与M'转向是相反 的。
梁内力的正负号规定
从梁的变形角度
剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：上凹为正，下凹为负
梁内力的正负号规定
1.弯矩图 为了全面了解梁的各截面上的弯矩变化的情况，以便从中找到危险截面，需画出 表示梁各截面弯矩的弯矩图。事实上，当梁上仅有集中力和集中力偶作用时，某截面上 的弯矩是该截面到集中载荷（力或者力偶）的作用点间距离的一次函数。 作弯矩图的步骤： （1）求出梁的支座反力； （2）求出各集中力（包括外力和约束反力）、集中力偶作用点（称为控制点）处截面 上的弯矩值； （3）取横坐标x平行于梁的轴线，表示梁的截面位置，纵坐标M表示各截面的弯矩，将 各控制点画在坐标平面上，然后连接各点。 作图时按照习惯将正值弯矩画在x轴的上方，负值弯矩在x轴的下方，并在弯矩图上标注 出各控制点的弯矩值。
理论力学10弯曲的应力分析和强度计算
解 绘制弯矩图，得 M B = 10kN ⋅ m M C = 7.5kN ⋅ m
Q = Q(x)
--剪力方程
M = M (x)
--弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
l−a
a
RA =
RB = P
火车轮轴简化为外伸梁
8
弯曲的应力分析和强度计算
二、剪力与弯矩
截面法求内力
∑F y =0 RA − P − Q = 01
∑M c = 0 M + P ( x − a ) − RA x =
01
Q = RA − P1
剪力
M = RA x − P ( x − a ) 弯矩1
9
弯曲的应力分析和强度计算
剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。
横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。
34
弯曲的应力分析和强度计算
} 1 M
=
ρ EI xz
σ =E y ρ
M
σ=y
IZ
--纯弯曲梁横截面正应力计算公式
横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
σ max M
=
σ max M
=
ymax
WZ
IZIZ WZ =
弯曲截面系数
ymax 35
σa
−
σb
⊕
σc
−
弯曲正应力计算公式
弯曲正应力计算公式：轻松掌握计算方法
弯曲正应力是弯曲时产生的沿截面垂直于中性轴的应力。
它是构
件在受弯曲载荷时所承受的最大应力之一，对于构件的设计和选型非
常重要。
那么，如何计算弯曲正应力呢？以下是详细的计算公式和步骤。
1. 确定计算截面
在弯曲计算中，首先需要确定计算截面。
计算截面是指在弯曲处
所选取的截面，其位置和大小对于弯曲正应力的计算结果直接影响。
2. 计算截面惯性矩
在确定计算截面后，需要计算截面惯性矩。
惯性矩是表征固体物
理特性的物理量，对于计算弯曲正应力有着关键的作用。
3. 计算截面的模量
截面的模量是指材料在受力下的弹性变形和反应的能力。
根据材
料的弹性模量，可以计算出截面的模量。
4. 计算弯曲正应力
弯曲正应力的计算公式为：σ=b*y/I，其中b为截面宽度，y为截面距离中性轴的距离，I为截面的惯性矩。
通过计算得到的弯曲正应力，就是构件在受到弯曲作用下所承受的应力。
总之，掌握了弯曲正应力的计算公式和步骤，可以快速、准确地
计算出构件的弯曲正应力，从而为构件的设计和选型提供重要的依据。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
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第7章弯曲应力7.1 引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
7.2 弯曲正应力7.2.1 纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
(2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。
根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。
即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。
由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。
所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。
考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。
设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为θy ρb'b')d (+=式中，ρ为中性层的曲率半径。
该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有θρO'O'OO bb d ===由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变ρy θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)上式表明，线应变ε 随y 按线性规律变化。
物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由虎克定律，得ρy E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而σ=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等（图7-5）。
静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径ρ和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。
在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。
在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。
由静力学关系可知，应满足0=∑x F ，0=∑y M ，0=∑z M 三个平衡方程。
由于所讨论的梁横截面上设有轴力，0=N F ，故由0=∑x F ，得0d ⎰==A N A σF (c) 将式(b)代人式(c)，得0d d d ====⎰⎰⎰z A A A S ρE A y ρE A ρy E A σ 式中，E/ρ 恒不为零，故必有静矩0d ⎰==A z A y S ，由第5章知道，只有当z 轴通过截面形心时，静矩S z 才等于零。
由此可得结论：中性轴z 通过横截面的形心。
这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。
由于所讨论的梁横截面上没有内力偶M y ，因此由0=∑y M ,得0d ⎰==A y A z σM (d) 将式(b)代人式(d)，得0d d ===⎰⎰A yz A I ρE A yz ρE A z σ 上式中，由于y 轴为对称轴，故0=yz I ，平衡方程0=∑z M 自然满足。
纯弯曲时各横截面上的弯矩M 均相等。
因此，由0=∑z M ，得⎰=A A y σM d (e)将式(b)代人式(e)，得 z A A I ρE A y ρE A ρy yE M ===⎰⎰d d 2 (f) 由式(f)得 zEI M ρ=1 （7-1） 式中，ρ1为中性层的曲率，EI z 为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。
最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为zI My σ= （7-2） 式中，M 为横截面上的弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩，y 为横截面上待求应力的y 坐标。
应用此公式时，也可将M 、y 均代入绝对值，σ是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。
以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。
以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公式的过程中，并没有使用矩形的几何性质。
所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式(7-2)就适用。
由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。
用y max 表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为z I My σm ax m ax =上式可改写为 zW M σ=max （7-3） 其中 m axy I W z z = （7-4） 为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为[长度]3。
高度为h 、宽度为b 的矩形截面梁，其抗弯截面系数为621223bh h//bh W z == 直径为D 的圆形截面梁的抗弯截面系数为3226434πD D//πD W z == 工程中常用的各种型钢，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。
当横截面对中性轴不对称时．其最大拉应力及最大压应力将不相等。
用式(7-3)计算最大拉应力时，可在式(7-4)中取y max 等于最大拉应力点至中性轴的距离；计算最大压应力时，在式(7-4)中应取y max 等于最大压应力点至中性轴的距离。
例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图7-6(a)所示。
已知：弯矩M = l kN.m ，外径D=50mm ，内径d =25mm 。
试求横截面上a 、b 、c 及d 四点的应力,并绘过a 、b 两点的直径线及过c 、d 两点弦线上各点的应力分布图。
解：（1） 求 I z474434444m 1088.2m )10(64)25π(5064)(I --⨯=⨯-=-π=d D z （2） 求σa 点mm 252==D y a )(MPa 8.86Pa 10251088.101373压应力=⨯⨯⨯⨯==--a z a y I M σ b 点mm 5.122==d y b )(MPa 4.43Pa 105.121088.101373拉应力=⨯⨯⨯⨯==--b z b y I M σ c 点mm 7.21)425450()44(21222122=-=-=d D y c )(MPa 3.75Pa 107.211088.101373压应力=⨯⨯⨯⨯==--c z c y I M σ d 点0=d y 0==d zd y I M σ 给定的弯矩为正值，梁凹向上，故a 及c 点是压应力，而b 点是拉应力。
过a 、b 的直 径线及过c 、d 的弦线上的应力分布图如图7-6(b)、(c)所示。
7.2.2 横力弯曲梁的正应力公式（7-2）是纯弯曲情况下以7-2-1提出的两个假设为基础导出的。
工程上最常见的弯曲问题是横力弯曲。
在此情况下，梁的横截面上不仅有弯矩，而且有剪力。
由于剪力的影响，弯曲变形后，梁的横截面将不再保持为平面，即发生所谓的“翘曲”现象，如图7-7（a ）。
但当剪力为常量时，各横截面的翘曲情况完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。
图7-7（b ）表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段，由图可见，截面翘曲后，任一层纵向纤维的弧长A ’B ’，与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全相等，即A ’B ’=AB 。
所以，对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲正应力公式(7-2)仍然适用。
当梁上作用有分布载荷，横截面上的剪力连续变化时，各横截面的翘曲情况有所不同。
此外，由于分布载荷的作用，使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。
但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁，当跨度与高度之比l ／h 大于5时，纯弯曲正应力计算公式(7-2)仍然是适用的，其结果能够满足工程精度要求。
例7-2 槽形截面梁如图7-8(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。
解 绘M 图，得B 、C 两截面的弯矩kN.m 10-=B M ，kN.m 5.7=C M ,如图7-8(b)所示。
求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z 1Oy ，如图7-8(c)所示，得截面形心C 的纵坐标mm 317mm 400250500350200400250250500350=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=y 因y 为对称轴，故 01=z过形心C 取z 轴，截面对z 轴的惯性矩为23z )250317(500350500350121{I -⨯⨯+⨯⨯= 423mm ]})200317(300250400250121[-⨯⨯+⨯⨯- 46mm 101728⨯=B 截面的最大拉应力为MPa 06.1Pa )10(10172810)317500(101043633max =⨯⨯⨯-⨯⨯==--y I M σz B Bt C 截面的最大拉应力为 MPa 38.1Pa )10(10172810317105.743633max =⨯⨯⨯⨯⨯==--y I M σz C Ct可见，梁的最大拉应力发生在C 截面的下部边缘线上。