1.3空间几何体的表面积和体积
变题1.如果球O和这个正方体的六个面 2 都相切，则有S= a 。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱 2 都相切，则有S= 2a 。
D A D1 A1 B C
O
C1 B1
变式练习.有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方 体的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
s3
R
O
s2 s1
4 3 V球 = πR 3 1 1 1 = RS1 + RS2 + RS3 +... 3 3 3 1 = R(S1 + S2 + S3 +...) 3 1 = RS球表 3
s3
R
O
s2 s1
S球表=4πR2
例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证： (1) 球的体积等于圆柱体积的2/3； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
7
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求他的表面积。
S
A
B C
练习:下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想 象对应的几何体，并求出它的表面积 6
8
10
10
6 10
解：直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形
12
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm， 盆壁长15cm。为了美化花盆的外观，需要涂 油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100 个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果 精确到1毫升，可用计算器）？
S 4 R2 3 a 2
例５.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点 都在球O的球面上，问球O的表面积。
D A D1 A1 B C D A D1 A1 O C1 B1 C1 B C
O
B1
变题1.如果球O和这个正方体的六个面 都相切，则有S= 。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱 都相切，则有S= 。
练习 如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm) z/
6 15 8 18 6
11
11
y/
15
x/
这个奖杯的体积为
V=V正四棱台+V长方体+ V球 其中 V正四棱台 1 5 (152 15 11+112 ) 851.667 3 V正方体 =6×4 8×18=864 3 3 113.097 V球= 3 所以这个奖杯的体积为 V=1828.76cm3
3.球的体积
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
R
O
R
R R O
1 1 2 2 3 2 V球 = πR R - πR R = πR 2 3 3
4 3 V球 = πR 3
R
R O R O
R
4.球的表面积 设想一个球由许多顶点 在球心,底面在球面 上的“准锥体” 组成,这些准锥体 的底面并不是真 的多边形,但只要 其底面足够小,就 可以把它们看成 真正的锥体.
r
O
例５.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为a,它的各个顶点都在球O的球面C1 B1 A1 D B O C
D1
A1 略解：
D1
C1
B1
Rt B1 D1 D中 :
2 2
B1 D 2R，B1 D 2a
2
3 (2R) a ( 2a) , 得：R a 2
20cm
15cm
15cm
新课讲解
2.柱体, 锥体, 与台体的体积
V柱 Sh
1 V锥 Sh 3
x
S' h S
1 V台 ( S ' S ' S S )h 3
思考 : 三个公式有何联系?
例3
有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g每 立方厘米）六角螺帽共5.8kg，已知底面是正 六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取 3.14，可用计算器）？
S圆台表 r r r l rl
'2 2 '
r r
'
r 0
'
S圆柱表 2 r r l S圆锥表 r r l
棱柱侧面展开图
S表=S底+S侧
平行四边形组成
棱锥侧面展开图
S表=S底+S侧
三角形组成
棱台的侧面展开图
梯形组成
S表=S底+S侧
1.3
空间几何体的 表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
新课讲解
1.旋转体的表面积
S柱侧 cl 2 rl
1 S锥侧 cl rl 2 1 S台侧 (c ' c)l r ' l rl 2
思考 : 三个公 式有何联系 ?
必修二_1.3_空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案
1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1. 多面体的面积和体积公式名称 侧面积（S 侧） 全面积（S 全）体积（V ）棱 棱柱 直截面周长x IS 侧+2S 底S底• h=S 直截面• h柱直棱柱 chS 底• h「棱锥棱锥 各侧面积之和1S 底• h3 正棱锥 1『 —ch 2S 侧+S 底棱台各侧面面积之和1—h(S 上底+S 下底+3棱 台正棱台1一 (c+c ' )h '2S 侧+S 上底+S 下底S 下底’S 下底）表中表示面积，'、分别表示上、下底面周长，表斜咼，'表示斜咼，表示侧棱长。
2 .旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧 2 n rl n rl n (r 1+「2)lS 全 2 n r(l+r) n r(l+r) 2 2n (r 1+r 2)l+ n (r 1+r24 n RVn r 2h(即 n r 2l)1r 2h —n r h312 2—n h(r 1+r 1「2+r 2)3 43—n R3 表中I 、h 分别表示母线、咼，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r i 、「2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。
【知能训练】A:多面体的表面积和体积 一•选择题1.如图，在直三棱柱 ABC-ABC i 中，AA=AB=2 BC=1, / ABC=90，若规 定主（正）视方向垂直平面 ACCA ,则此三棱柱的左视图的面积为 （ ）A.—— B . 2 - C . 4 D . 22•某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底 边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、 高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）3.—个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1: 2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（）A . 1 : 4B . 1 : 2C . 1 : （ "- 1 ）D . 1: （ 一+1 ） 4.正六棱台的两底边长分别为1cm, 2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A . 80B . 24 一+88C. 24 一+40 D . 118A .9 ~ 2cm2B . 9 cmC. - cm 22D. 3 cm5. 要制作一个容积为 4卅，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是（ ）A . 80 元B . 120 元C . 160 元D. 240 元6. （文） 四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱 锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 A . 24 B . 18 C . - - D . 87. 某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ A . 48B . 56C . 64D. 72&各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A. 4 _a 2B . 3 "a 2C .2 _a 2D9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）10. 如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，D, E , F 分别是AB, AC, AA 的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为V 1,三棱柱 ABG-ABC 的体积为V 2,则V 1： V ___________________________________ .11. _______ 将边长为2的正方形沿对角线 AC 折起，以A, B, C, D 为顶点的三棱锥的体积最大值等 于 ____ .12.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若AAB 1B 水平放置时，液面恰好过AC BC, AC , BC 的中点，则当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 _________________ . 13. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCE 为正方形，且PD 垂直于底面 ABCD N 为PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ________________ .14.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图为S-ABCD 的体积=( )A .B . 6C. -D . 2直角三角形，则它的体积为_________________15.如图所示，在三棱柱ABC-ABQ 中，AB=AC=AA=2, BC=2 ；且/ AAB=/ A i AC=60，则该三棱柱的体积是_________________________ .B：旋转体的表面积和体积1•如果圆锥的底面半径为，高为2,那么它的侧面积是（）A. 4 n B . 2 n C . 2 n D . 4 n2.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A. 5 nB. 4 nC. 3 nD. 2 n3•如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A. 1 : 2 B. 2: 3 C. 1 : 一 D. 2: _4•圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（）A. - nB. nC. 2 nD.以上都不对5.圆台的上、下底面半径和高的比为 1 : 4: 4，母线长为10,则圆台的侧面积为（)A. 81 nB. 100 nC. 14 nD. 169 n6.已知球的直径SC=8 A, B是该球球面上的两点，AB=2 ，/ SCAN SCB=60，则三棱锥S-ABC 的体积为（）A. 2 ~B. 4 ~C. 6 ~D. 8 ~7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S、S,则S:Sa=（）A. 1 : 1B. 2: 1C. 3: 2D. 4: 1&若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为（）A. 1 : 2B. 1 : 4C. 1 : 8D. 1 : 169.体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S , S, S3,那么它们的大小关系为（）A. S1 v S2 v S3B. S1 v S3V S2C. S2V S3 v S1D. S2 v S1 v S3二.填空题（共5小题）10.圆锥和圆柱的底面半径和高都是R,则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为________________n和n的矩形, 11 .已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为则该圆柱的体积是____________________12.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积S= cm 2.13.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14•已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为15.已知A, B, C是球面上三点，且AB=AC=4cm/ BAC=90，若球心O到平面ABC的距离为2 ，则该球的表面积为cm3.11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD7卜接球表面积为三.解答题(共3小题)16•如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成•已知球的直径是6cm,圆柱筒长2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm (结果精确到0.1 ) ?(2 )要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？17.(文)如图，球O的半径长为10(1)求球O的表面积；(2)求球O的体积；(3)若球O的小圆直径AB=3Q求A、B两点的球面距离.18.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O.(1)求球O的体积和表面积；(2)与底面距离为1的平面和球的截面圆为M AB是圆M内的一条弦，其长为2 ，求AB 两点间的球面距离.参考答案: A:I、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D10、解:因芮D，E，分S］是Ab肌的中自所以血虫DE；S AA BC=1:仆又F是宜納的中点，所以A T aS面的范离H为F到虧面距离h的2倍• 即三複栓盘卩1门-2匚的壽是三棱穩F-ME高的7倍-斷以如；畑空兰空=4T=1：西.故答案为1； 24.II、铅：妇也肪示，评正方也就口叭対術钱M * 3DSt + iO>甲n折更启的位豈为F・连揺即‘ *苛一TAZJLBC，AC l-BD* - BaflD- QrO--ACX 耶®IT g匡b> =楼帕的作祗対V D -kBC"v^EOC' -^Vc-BCC~ ；BCD' k AO*j52kBOD' x J S^ISOD_卞航:王方世的迪丢为2・可J?■■- BOD ft AH - To LABC谜劉昴尢值■*：S/\ 二 0D* =? x j^x忑小血乂目□力'二w in上aoii *’，丄i ?rv「.q-TTY-M' l「=丄工」•王5V.怡巧「此t」导.乂RJ农虻-土故告案为；半12、解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形.设△ ABC的面积为S，贝U S梯形ABFE= S，V水=S? AA1=6S .当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，••• 6S=Sh，.•• h=6 .故当底面ABC水平放置时，液面高为6 .故答案为：613、1:4 14、15、2解:團柱的側面展开囹星长利员务别为和TT的矩用，当毋线为戈氏时，區1桂的庙面半襌是扌此时囿桂体粮是（l）1 2Ttx3it=^;当母线为H时，圆柱酌展面半轻是学此时圆柱的体釈是（芥II"二竺匕£-t 4综上所求圈柱的体稅杲：—16、解：（1 ）T该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm ,•••半球的直径也是6cm,可得半径R=3cm,•两个半球的体积之和为V球=-冗R = - n ? 27 = 6 n cm3 * S 6…（2分）斗412、解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S=[ （ 50+80） X 20 n x 2]/2=2600 n cm2. 故答案为：2600 n13、 3 14、8 n 15、64 n学习参考而V 圆柱=n R ? h= n X 9X = n cm3…（2 分）•该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36 n +18 n =54 n" 169.6cm 3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表= n R = Xn X 9= 6 n cm?…（6 分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2 n Rh=2 Xn X 3 X 2=12 n cm2…（8分）6 n n n• 1个“浮球”的表面积为S = —0一= —m因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500 S = 00 X —= n m2…（10分）•/每平方米需要涂胶100克，•总共需要胶的质量为：100 X 12 n =1200 n （克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm 3;供需胶1200 n克.…（13分）17、解：（1）球的表面积为4 n r 2=1200 n ; …（4分）（2）球的体积V=-n r3= 4000 _n ; …（8 分）（3）设球心为O,在△ AOB中，球O的小圆直径AB=30，球O的半径长为10解得Z AOB="，所以A、B两点的球面距离为0 n n . …（15分）18、解：（1）•••底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O,•球O的半径为2cm,.•.球O的体积为-n ? 2=,表面积4 n ? 22=16 n ;（2）•/ AB是圆M内的一条弦，其长为2 ,• Z AOB= n , • AB两点间的球面距离为".。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
栏目导航
由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
栏目导航
台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
栏目导航
[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
重庆市綦江实验中学校高中数学人教A版必修2教案：1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积授课类型：新授课一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
2、过程与方法（1）经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
（2）通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者之间的面积的关系。
3、情感态度与价值观：感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。
二、教学重点：柱体、锥体、台体的表面积的计算；难点：锥体、台体表面积公式的推导。
三、学法指导：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程（一）创设情境正方体与长方体的表面积，以及它们的展开图有什么关系？结论：多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积。
（二）探究新知1、棱柱、棱锥、棱台的表面积：探究：棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？如何计算它们的表面积？把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求其表面积。
例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积。
分析：边长为a 的正三角形的面积2432321a a a S =⋅=∆， 所给几何体为正四面体，其四个面为全等的等边三角形，故其表面积为234a S S ==∆。
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积：探究：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？圆柱的侧面展开图是一个矩形，如果圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面面积为2r π，侧面面积为2rl π，因此，其表面积为2222()S r rl r r l πππ=+=+。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的表面积为2()S r rl r r l πππ=+=+。
圆台的侧面展开图是一个扇环，如果圆台的上、下底面半径分别为r '，r ，母线长为l ，那么它的表面积为22()S r r r l rl π''=+++。
：1.3.1.1柱体、椎体、台体的表面积
(2)面积:台体的表面积 S 表=S 侧+S 上底+S 下底.特别地,圆台的上、下 底面半径分别为 r',r,母线长为 l,则侧面积 S 侧=π(r+r')l,表面积 S 表 =π(r2+r'2+rl+r'l).
【检测 3】 圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4,母线长为 6,
则其表面积等于( )
底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πr(r+l)
底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πr(r+l)
上底面面积:������上底=πr'2 下底面面积:������下底=πr2
侧面积:S 侧=πr'l+πrl 表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)
求组合体的表面积时,通常先将所给组合体分成基本的柱、锥、
台体,再通过这些基本的柱、锥、台体的表面积,进行求和或作差,从 而获得组合体的表面积.本题中将组合体的表面积表达为正方体的 表面积与圆柱侧面积的和是非常有创意的想法,如果忽略正方体没 有被打透这一点,思考就会变得复杂,当然结果也会是错误的.
题型二
A.72
B.42π
C.67π
D.72π
小结：本节课你学到什么？
多面体的展开 图及其表面积
公式
圆锥的侧 面展开图 及其侧面、 表面积公
式
圆柱的侧 面展开图 及侧面、 表面积公
式
圆台的侧 面展开图 及其侧面、 表面积公
式
图形 多面体
表面积公式
多面体的表面积就是各个面 的面积的和,也就是多面体展开图 的面积
1.3空间几何体的表面积和体积(第一课时)
第二步：求近似和
S i
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
1 1 1 1 V S1h1 S 2 h2 S3h3 ... S n hn 3 3 3 3
第三步：转化为球的表面积
A1 C1 B1
P
A1 A
C1 B1 D1 C O B D
C A
C
B O A D
B
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴 A
A
B
A B
C
D
B
C C
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩 形
等腰三角形
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积
(1)柱体的侧面积
例 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得 到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？
几何体的体积小结 1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用 分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些丌 规则几何体体积计算问题的常用方法． 2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面 问题．
h'
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
n l l扇＝ 180
2
R扇＝l
l
r
nl 1 S圆 锥 侧 S扇＝ ＝ l扇l rl 360 2
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(步步高)
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥 1
A－DED1的体积为__6_.
V V 解析 ＝ 三棱锥A－DED1
三棱锥E－DD1 A
＝13×12×1×1×1＝16.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和. 2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到 轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解. 3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2). 4.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的 圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 10.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是___3__π___. 解析 圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r， 则 2πr＝12×2π×2，∴r＝1， ∴圆锥的高 h＝ l2－r2＝ 3， 则圆锥的体积 V＝13πr2h＝ 33π.
跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台
7 3π 的体积是___3____.
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π. ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π. ∴l＝2，∴h＝ 3，
∴V＝13π(12＋22＋1×2)×
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16-17版：第3课时 球的体积与球的表面积
可以先求 VA－BCD，h＝ . 这种方法就是用等体积法求点到平面 S△BCD 的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝
VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.
3V
3.求几何体的体积，要注意分割与补形 .将不规则的几何体通过分割或 补形将其转化为规则的几何体求解. 4. 利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三 角形，进行相关计算. 5. 解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的 各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
4 3 πR 3
(2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2， 3， 5，它的八个顶点都
4 3π 在同一个球面上，则这个球的体积为________.
解析 球的直径为 22＋ 32＋ 52＝2 3，
∴球的半径为 3，
4 则球的体积为3π( 3)3＝4 3π.
解析答案
返回
1
2
3
4
5
3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积 为( B ) A.2π C.8π 解析 所以表面积为S＝4π×12＝4π. B.4π D.16π 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，
第一章 § 1.3 空间几何体的表面积与体积
第2课时 柱体、锥体、台体、球
的体积与球的表面积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；
3.会求简单组合体的体积及表面积.
问题导学
题型探究
达标检测
知识点一 球的表面积和体积公式
球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，
2014年人教A版必修二课件 1.3 空间几何体的表面积与体积
6 25 5 12
= 2[6 3 (24 + 12)]+ 612 5 + 6p 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧
2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S为上底面积, = 1 ( Sh大 - Sh小 ), 3 h 为台高). h S = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 V台 = h( S + SS + S). 3
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC SD = a a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4 a 2= 3a 2 . 4
高中数学1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积新必修2
解析:设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a(a>0),由题意得
a2+(2a)2+(3a)2= (2 14)2 , 解得a=2,
∴体积V=a·2a·3a=6a3=48.
答案:D
4.如右图所示,在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是 A1B1上一点,且PB1=A1B1,则多面体P-BCC1B1的体积为( )
1 1 Sh 1 Sh. 32 6
余下的体积是 Sh 1 Sh 5 Sh. 66
所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1:5.
规律技巧:计算多面体的体积,基础仍是多面体中一些主要 线段的关系,要求概念清楚,能根据条件,找出其底面及相应的 高.
变式训练2:已知正三棱台A1B1C1—ABC的两底面边长分别 为2､8,侧棱长等于6,求三棱台的体积V.
解析：S 4 1 1 3 3. 22
8.如右图所示,四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2 cm的正方 形,顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高,侧棱长VC=4 cm,求这个四棱锥的体积.
解:连结AC､BD相交于点O, 连结VO,则VO⊥底面ABCD(如下图)
∵AB=BC=2 cm,在正方形ABCD中, CO
基础强化
1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆 锥的全面积是( )
A.3π C.6πD.9π
B.3 3π
解析:设圆锥的母线长为l,则由 1 l 3 l 3, 22
且圆锥的底面周长为2π,所以圆锥的全面积
S 12 1 2 2 3.
2
答案:A
A.1: 2 B.1: 3 C.1: 2 D. 3 : 2