种群竞争模型的稳定性分析
种群竞争模型研究
物种混居,必然会出现以食物、空间等资源为核心的种间关系。从理论上讲, 任何物种对其他物种的影响只可能有三种形式,即有利、有害、或无利无害的中 间态。因此,全部的种间关系只是这三种作用形式的可能组合。最常见的关系为 种间竞争、捕食和寄生。当环境中同时存在着两个种群,且两个种群存在着竞争
时可建立方程进行讨论,得到两种不同种群之间竞争的结果。研究种群竞争的关 系有很多应用，现举例如下：
假如人口数真能保持每 34.6 年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式 增长（如图 1）
例如，到 2515 年，人口约达 2×1014 人，即使海洋全部变成陆地，每人也 只有 9.3 平方英尺的活动范围，而到 2665 年，人口约达 4×1015 人，只好一个 人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。
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人口统计数据与 Malthus 模型计算数据对比：
年
1625
人口(亿) 5
表 2.2.1 世界人 口数量统计数据
1830 1930 1960 1974
10
20
30
40
1987 50
1999 60
年
1908
人口（亿） 3.0
表 2.2.2 中国人口数量统计数据
1933
1953 1964 1982
4.7
关键词：种群 竞争 数学模型 环境条件
1.2 英文摘要 Biological populations have different biomass at different growth
stages, and the changes of biomass over time are restricted by various complex factors. The competition between the biological populations is often reflected in the competition between the limited space resources and other living conditions, and the change of environmental conditions has an effect on the real growth rate of the biological population. In this paper, we give the mathematical model of the competition of biological populations, and then apply it in ecology, and then predict the competition outcome of the biological species. The relationship between the species is important for food and living space. Darwin wrote in the book "natural selection and the origin of the species": "because of the similarities in the habits and qualities especially in terms of structure, so if they are in a state of mutual competition, they are more intense than those of different biological species." In this paper, we give a mathematical model of population competition, and apply it to some aspects of ecology, and then predict the results of biological competition.
生物生态学中的模型分析和预测方法研究
生物生态学中的模型分析和预测方法研究在生物生态学研究领域中，模型分析和预测方法是非常重要的工具。
这些方法可以预测种群的数量、分布和动态，也可以评估生态系统的稳定性和区域生态系统中物种的互动。
在本文中，我们将介绍一些常用的模型分析和预测方法，并探讨一些新兴的方法如何帮助我们更加深入地了解生物生态学。
常用的模型分析和预测方法1. 线性回归模型线性回归模型是一种基本的预测方法，用于确定两个变量之间的关系。
它使用线性方程来描述两个变量之间的关系。
在生态学中，线性回归模型通常用来预测变量之间的定量关系，例如探讨营养盐浓度和植物生长的关系。
2. 竞争模型竞争模型是一种估计物种之间互动的方法。
它可以用来预测物种生长、生存和繁殖等方面的影响。
竞争模型的许多应用也是针对种群的数量稳定性分析。
3. 捕食者-猎物模型捕食者-猎物模型是一种描述食物链关系的模型。
它使用数学公式来预测食肉动物和它们的猎物数量之间的变化。
捕食者-猎物模型可以用来预测捕食者和猎物数量之间的长期稳定状态。
4. 稳定性分析稳定性分析是一种评估生态系统稳定性的方法。
它可以进行各种类型的模拟，从而预测生态系统的稳定性。
这种方法通常是选择具有重要生态角色的物种，通过模拟和回归分析，评估它们的变化以及整个生态系统的稳定性。
新兴的模型分析和预测方法1. 生态网络分析生态网络分析是一种基于物种之间关系的方法。
通过网络图中的各个元素之间的连接来预测居民和物种的互动。
它还可以用来评估生态系统内物种之间的连通性，并确定具有最大关联性和重要性的物种。
2. 计算机模拟计算机模拟是一种基于计算机模型的分析方法。
通过将考虑的物理定律转化为数学公式，在计算机上运行模拟。
这种方法可以用来预测天气，探讨空气污染、水污染等因素对生态系统的影响，还可以测量物种数量等方面的变化和动态变化。
总结模型分析和预测方法是生物生态学研究的重要工具。
这些方法不仅可以用来预测种群数量和区域生态系统内物种之间的互动，还可以评估稳定性，并分析不同生物群体的相互关系。
两种群竞争模型的定性分析
（） ４
￡ 一 ｄＹ （ 一ｒ；￡一ｂ ２￡ ２ｆ＋ｋｃ ｌ￡． ） ２ｌ￡ ｙ （ ） ） ｚ （ （ ） ） ２Ｙ（ ）
维普资讯
１２ ０
高 等数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０ＬＬ ＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． １ ＮＯ １ １１ ． ．
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两种 群 竞争 模 型 的定 性分 析 ‘
胡 广 平 （ 河西学院数学系 甘肃张掖 ７４０） ３００
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￡ ）一
２￡ （ ）一 ｌ （ ）一 ａ （ ）一 ＣＸ１ ￡ ， ｌ ￡ Ｘ１ ￡ ｘ （）
） ｌｌ ） ＝ （ 一凹； ） ｌ２ ２ ） ｌ ｌ ） （ 一６ （ （ ＋忌 ） （，
￡ ）＝ ｙ （ ） ｄ ｙ （ ）一 ｒ （ ）一 ６ ｙ， ￡ ， ２￡ 一 ２ ｌ ￡ ｙｌ ￡ ｓ （ ）
摘 要 讨 论 两 种 群 竞 争 系 统解 的渐 进 性 态 ， 中两 种 群各 自具 有 阶段 结 构 和种 内 自食 ．在 没 有 自食 现 象 发 其 生 的 条 件下 ． 析 了 阶段 结 构 的 竞 争 系统 的种 群 共 存 和灭 绝．最后 考 虑 自食 的 作 用 ． 到 了种 内 自食 既可 以维 持种 分 得 群 共存 ． 可 以挽 救 种 群 灭 绝 ． 也
具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性
鞍山师范学院学报J ou rnal of A nshan N or m a l U niversit y2008208,10(4):8-11具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性张 蕾1,刘 兵2(1.辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029;2.鞍山师范学院数学系,辽宁鞍山114007)摘 要:建立了一个两种群时滞竞争模型,得到了正平衡点全局渐近稳定的充分条件和成年种群的最大捕获量.关键词:竞争系统;最优捕获;阶段结构;平衡点;全局渐近稳定中图分类号:O1 文献标识码:A 文章篇号:100822441(2008)0420008204近几年,很多文献证明了时滞等对竞争系统的动力学行为有很大的影响[1～3].本文研究带有时滞和最优捕获的两种群阶段结构竞争模型,假设幼年个体间互相竞争.本文分两部分,第1部分建立模型并且给出了相关引理,第2部分获得了正平衡点全局渐近稳定的条件和成年种群的最大捕获量.1 模型和引理 假设种群y 具有阶段结构,种群x 和种群y 的幼年个体互相竞争,建立如下带有阶段结构和捕获的两种群竞争模型:d x (t )d t=x (t )(r 1-a 1x (t )-β1y 1(t -τ))d y 1(t )d t=y 1(t )[-d -a 2y 1(t )-β2x (t -τ)]+r 2y 2(t )d y 2(t )d t=d y 1(t)-αy 2(t)-Ey 2(t)(1)x (t)表示种群x 的密度;y 1(t)和y 2(t)分别代表种群y 的幼年和成年种群密度;r 1和r 2分别表示x (t)和y 2(t )的出生率;α表示y 2(t )的死亡率;d 表示从幼年到成年的转化率;τ表示由于幼年个体之间互相竞争造成的时滞;E 表示捕获成年个体的能力.所有的系数都是正的.假设系统满足r 2>α+E 和a 1a 2>β1β2.由于生物意义,本文作者在区域R 3+={(x,y 1,y 2)|x Ε0,y 1Ε0,y 2Ε0}上讨论模型.引理1[3] 对所有的t Ε0系统(1)的解是正的且是有界的.引理2 系统d y 1(t )d t =r 2y 2(t )-d y 1(t )-a 2y 21(t )d y 2(t)d t=d y 1(t )-αy 2(t )-Ey 2(t )(2)有一个唯一的正平衡点A (r 2-α-E a 2(α+E )d,r 2-α-E a 2(α+E )d 2)且它是全局渐近稳定的.收稿日期3作者简介张蕾(3),女,山西吕梁人,辽宁师范大学硕士生:2008-0-18:198-.2 平衡点的全局渐近稳定性和成年种群的最优捕获量2.1 平衡点的全局渐近稳定性如果d β1a 2r 1<α+Er 2-(α+E )<a 1d r 1β2,则系统(1)有4个非负平衡点:E 0=(0,0,0),E 10=(r 1a 1,0,0),E 20=(0,r 2-(α+E )a 2(α+E )d,r 2-(α+E )a 2(α+E )2d 2),E 3=(x 3,y 31,y 32),其中x3=a 2r 1(α+E )-(r 2-α-E )d β1(a 1a 2-β1β2)(α+E ),y 31=(r 2-α-E )a 1d -r 1β2(α+E )(a 1a 2-β1β2)(α+E ),y 32=d α+Ey 31容易得出平衡点E 0是不稳定的,如果α+E r 2-(α+E )>a 1d r 1β2,E 10是局部渐近稳定的,如果α+E r 2-(α+E )<a 1d r 1β2,E 10是不稳定的;如果α+E r 2-(α+E )>d β1a 2r 1,E 20是局部渐近稳定的,如果α+E r 2-(α+E )>d β1a 2r 1,E 20是不稳定的,平衡点E 3是局部渐近稳定的.事实上,可以证明E 3是全局渐近稳定的.定理1 如果d βa 2r 1<α+E r 2-(α+E)<a 1d r 1β2,则系统(1)唯一的正平衡点E 3是全局渐近稳定的.证明 根据系统(1)有d y 1(t )d t Φr 2y 2(t )-d y 1(t )-a 2y 21(t )d y 2(t)d t=d y 1(t )-(α+E )y 2(t )考虑下面的比较方程,d u 1(t)d t =r 2u 2(t )-d u 1(t )-a 2u 21(t )d y 2(t )d t=d u 1(t )-(α+E )u 2(t ) 根据引理2知道它存在唯一的一个全局渐近稳定的正平衡点A .令P 1=r 2-α-Ea 2(α+E )d,根据比较引理,对于任意小的ε1>0,ϖT 1>0,当t -τ>T 1时,y 1(t -τ)Φu 1(t -τ)ΦP 1+ε1.所以d x (t )d tΕx (t)(r 1-a 1x (t)-β1(P 1+ε1))成立.令P 2=r 1-β1(P 1+ε1)a 1,根据比较引理,对于0<ε2<m in (ε1,12,P 2),存在T 2>T 1,当t -τ>T 2时,x (t -τ)ΕP 2-ε2,所以d y 1(t)d tΦr 2y 2(t )-d y 1(t )-a 2y 21(t )-β2(P 2-ε2)y 1(t )d y 2(t)d t=d y 1(t )-(α+E )y 2(t )同理,能证明比较方程d u 1(t)=()()2()β(ε)()()=()(α+)()9第4期张 蕾,等:具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性d t r 2u 2t -d u 1t -a 2u 1t -2P 2-2u 1t d u 2t d td u 1t -E u 2t有一个唯一的全局渐近稳定的正平衡点A 3((r 2-α-E )d -β2(P 2-ε2)(α+E )a 2(α+E),(r 2-α-E)d2-β2(P 2-ε2)(α+E)d a 2(α+E)2) 令P 3=(r 2-α-E )d -β2(P 2-ε2)(α+E )a 2(α+E )根据比较引理,对于0<ε3<m in (ε2,13,P 3),存在T 3>T 2,当t -τ>T 3时,y 1(t -τ)ΦP 3+ε3,所以d x (t)d tΕx (t )(r 1-a 1x (t )-β1(P 3+ε3))成立.令P 4=r 1-β1(P 3+ε3)a 1,对于0<ε4<m in (ε3,14,P 4),存在T 4>T 3,使x (t )ΕP 4-ε4成立.类似于上面的讨论有,x (t )ΕP 2n -ε2n ,当t -τ>T 2n ;y 1(t )ΦP 2n -1+ε2n -1,当t -τ>T 2n -1,其中P 2n-1=(r 2-α-E )d -β2(P 2n -ε2n )(α+E )a 2(α+E )P 2n =r 1-β1(P 2n-1+ε2n-1)a 1. 根据数学归纳法得序列P 2n -1是单调递减有下界,序列P 2n 是单调递增有上界.因此li m n →+∞P 2n -1和li m n →+∞P 2n 存在.因为序列εn 满足0<εn <1n→0(n →+∞),有l i m ————t →+∞y 1(t )Φlim n →+∞P 2n -1=y 31,li m ———t →+∞x (t )Εli m ———n →+∞P 2n =x3类似的,有li m ———t →+∞y 1(t )Εy 31,l i m ————t →+∞x (t )Φx 3.所以得lim t →+∞y 1(t )=y 31,li m t →+∞x 1(t )=x 3.根据系统(1)的第2个方程d y 2(t )d t=d y 1(t )-(α+E )y 2(t ),对任意的t ΕT >τ,可得出y 2(t )=y 2(T )e-(α+E )(t-T)+∫tTd y 1(s )e -(α+E)(t-s)d s因为|y 2(t )-y 32|Φy 2(T )e-(α+E )(t-T)+|∫tTd y 1(s )e -(α+E)(t-s)d s -y 32|所以li m t →+∞|y 2(t )-y 32|Φ|d y 31α+E-y 32|=0即li m t →+∞y 2(t )=y 32定理得证.定理2 如果α+E r 2-(α+E )>a 1d r 1β2,则平衡点E 10(r 1a 1,0,0)是全局渐近稳定的.定理3 如果α+E (α+)<d β1,则平衡点E 是全局渐近稳定的. 成年种群的最优捕获系统的最大捕获量,也就是方程=y 3的最大值可以计算出最优捕获能力01鞍山师范学院学报第10卷r 2-E a 2r 1202.2h E 2.E3=a 1d r 2α2α2(r 1β2+a 1d)α(r 1β2+a 1d )+a 1d r 2对应于E 3的最大捕获量是h3=(a 1d r 22α(r 1β2+a 1d ))24a 1r 2α(a 1a 2-β1β2)最佳种群数量是y 32=a 21d 2r 222α2(r 1β2+a 1d)24a 1r 2α2(a 1a 2-β1β2) 定理4 如果d β1a 2r 1<α+Er 2-(α+E )<a 1d r 1β2,系统(1)的最优捕获量是h max =(a 1d r 22α(r 1β2+a 1d))24a 1r 2α(a 1a 2-β1β2).参考文献:[1]S Liu,L Chen,G Luo,Y Jiang .A s y mptotic B ehavior of Co mpe titive Lotka 2Volte rra Syst em with Stage Struc t ure [J ].J Ma thAna l Appl,2002,271:124-138.[2]S Liu,L Chen .Extincti on and Per m anence in Co mpe titive Stage 2structured Syste m with Ti me 2delay[J ].Nonl Ana l,2002,51:1347-1361.[3]X Song,L Chen .Global Asy mptotic Stability of a t wo Species Competitive Syste m wit h Stage Struc ture and Harve sti ng[J ].Co mm un Nonl Sci Nu m er Si mul,2001,6(2):81-87.G loba l Asym ptoti c S tab ility of a Two 2Spec i es Sta ge 2Str uctur ed C o m pet iti ve System with T im e Del a y and O p tim a l Ha r ve sti n gZHANG Lei 1,L IU B ing 2(1.D ep a rt ment of Ma the ma tics ,L iaoning N orma l U niv ersity,Da lian L i a oning 116029China;2.D ep a rt ment of Ma the ma tics ,Anshan N or m a l Un i versity ,Anshan L i a oning 114007,China )Abstrac t:In this paper,we construct a t wo 2s pecies c ompe titive model with ti m e delay .W e obtain conditi ons f orthe existence of a gl oba lly asy mp t otically stable positive equilibrium and the m axi m um sustainable yield of har 2vesting for the m ature populati on .Key wor ds:Competitive syste m ;Opti m al harve sting;Stage 2str uc tur ed;Equilibrium;Gl oba l stability(责任编辑:张冬冬)11第4期张 蕾,等:具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性。
两种群相互竞争的SEIQV传染病模型稳定性分析
两种群相互竞争的SEIQV传染病模型稳定性分析随着我国经济的发展以及社会的进步，使得我国的社会民众逐渐开始注重自身的健康。
而传染病的出现对社会民众的身体健康造成了极大的威胁，为此，需要相关的技术人员加强对于传染病的研究以及分析。
本文基于此，对两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性进行分析和探讨。
标签：竞争系统；传染病模型；平衡点；稳定性传染病作为一种由各种病原体引起的，能在人类社会进行广泛传播的疾病，其在产生的过程中对于人类的身体健康以及社会秩序造成了较大的负面影响。
近年来，随着SARS、AIDS以及禽流感等传染病的出现，并对社会发展以及人类自身的健康造成了巨大的破坏之后，社会各界逐渐将关注的焦点放在了传染病的研究以及防治上。
事实上，自从上世纪初，Kermark以及Mekendrick首次建立了传染病模型之后，越来越多的医疗研究人员会借助模型对传染病进行相关的分析。
本文基于此，分析研讨两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性。
1 建立传染病模型在进行两种群相互竞争的SEIQV传染病的稳定性的相关研究过程中，需要专业人士构建起相配套的传染病模型，从而促进相关分析作业的有序开展。
在建立传染病模型的过程中，笔者将所需的两个研究的种群各分为五个类别，其分别是：易感者群体、潜伏者群体、染病者群体、隔离者群体以及恢复者群体，在模型分析过程中，其以此对应下述的字母表示：分S（t）、E（t）、I（t）、Q（t）、V（t）。
其次，为了方便数学模型的建立以及分析，笔者做以下假设：①新出生者均为易感者；②潜伏者不具有传染性；③恢复者拥有永久免疫力。
此后，在上述的基础之上，笔者构建出了相关的数学模型，具体内容见图1。
其中，Si（t）、Ei（t）、Ii（t）、Qi（t）以及Vi（t）分别表示在t时刻时，种群i 中各类群体的数量。
事实上，该数学模型通过简化计算，可以转变为图2所反应的相关数据模型。
在该模型之中，其可行域为Ω={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∈R+10∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2}。
维尔赫斯特 logistic模型
维尔赫斯特logistic模型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：维尔赫斯特(logistic)模型是一种用于描述生物种群增长的数学模型。
此模型是由比利时数学家皮埃尔·弗朗茨·韦尔沃尔根(Volterra)和意大利数学家维托·维尔赫斯特(Verhulst)共同研究建立的。
维尔赫斯特(logistic)模型是一种基于增长率随种群密度而变化的模型。
该模型假设种群的增长速率与种群规模成正比，但也受到资源有限和环境压力等因素的影响。
在初始阶段，种群增长速率加快，但随着种群密度的增加，增长速率逐渐减缓，最终趋于稳定。
这种种群增长的S形曲线被称为logistic曲线。
维尔赫斯特(logistic)模型的数学表达式可以用如下的微分方程形式表示：\frac{dN}{dt} = rN\left(1-\frac{N}{K}\right)N表示种群数量，t表示时间，r表示最大增长速率，K表示环境的容纳能力。
当种群数量接近K时，增长速率会逐渐减缓，并最终趋于稳定。
维尔赫斯特(logistic)模型在生态学、经济学和人口学等领域中有着广泛的应用。
在生态学中，该模型可以用来描述种群的增长过程和竞争关系。
在经济学中，该模型可以用来描述市场需求和供给之间的关系。
在人口学中，该模型可以用来预测人口增长和资源的分配等。
维尔赫斯特(logistic)模型也存在一些局限性。
该模型假设环境对种群增长的影响是恒定的，而实际情况中，环境因素可能会受到各种因素的影响而发生变化。
该模型也没有考虑到种群内部的个体差异和随机性，从而影响了模型的准确性和适用性。
第二篇示例：维尔赫斯特(logistic)模型是一种用于描绘人口增长或其他现象的模型，在生态学、经济学、社会学等领域广泛应用。
该模型由比利时数学家皮埃尔-弗朗索瓦·维尔赫斯特(Pierre-François Verhulst)于1838年提出，被许多科学家借鉴和发展。
稳定性模型
σ2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝 甲达到最大容量，
P2稳定的条件：σ1>1, σ2<1 稳定的条件： P3稳定的条件：σ1<1, σ2<1 稳定的条件： 通常σ1 ≈ 1/σ2，P3稳定条件不满足
种群的相互依存
甲乙两种群的相互依存有三种形式 甲乙两种群的相互依存有三种形式 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 甲可以独自生存，乙不能独自生存； 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 甲乙均可以独自生存； 时相互提供食物、促进增长。 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 甲乙均不能独自生存； 时相互提供食物、促进增长。 时相互提供食物、促进增长。
N1 (1 σ1 ) N2 (1 σ 2 ) r1 (1σ1 ) + r2 (1σ2 ) r1r2 (1 σ1 )(1 σ 2 ) p3 σ1<1, σ2<1 1σ σ , 1σ σ 1σ1σ2 1 σ1σ 2 1 2 1 2
p4 (0,0)
( r1 + r2 )
r1 r 2
不稳定
N1 N2
N1 N2
x1 x2 =0 σ1 f ( x1 , x 2 ) ≡ r1 x1 1 N1 N2 g ( x , x ) ≡ r x 1 σ x1 x 2 = 0 1 2 2 2 2 N1 N 2 平衡点： P1 ( N 1 , 0 ), P2 ( 0 , N 2 ),
lim x 2 (t ) = x 20 , 称P0是微分方程的稳定平衡点 是微分方程的稳定平衡点 t→∞
& 线性常系数 x(t ) = ax + by 的平衡点及其稳定性 微分方程组 y(t ) = cx + dy & cx + dy = 0 若从P 某邻域的任一初值出发， 若从 0某邻域的任一初值出发，都有 lim x (t ) = x0 , t →∞
几类生物种群模型的定性研究
几类生物种群模型的定性研究
生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的数学模型。
根据物种的
特点和研究的重点不同，生物种群模型可以分为多类。
1.多样性维持模型：
多样性维持模型关注的是物种之间的相互作用对物种多样性的影响。
其中，竞争-排除模型认为物种之间存在强烈的竞争关系，导致了物种数
量的稳定状态；互补-促进模型则认为物种之间存在互补关系，相互促进
物种的数量增加。
2.捕食者-猎物模型：
捕食者-猎物模型研究的是捕食者与猎物之间的相互作用对种群数量
的影响。
最经典的模型是Lotka-Volterra模型，它描述了捕食者和猎物
之间的动态关系，可以观察到周期性的数量变动。
3.分散子模型：
分散子模型主要研究的是物种的生殖与迁移对种群数量的影响。
例如，在孤立岛上的物种会受限于资源的有限性以及个体迁移的难度，因此种群
数量可能会下降。
4.生态位模型：
生态位模型主要研究的是一个物种在特定环境中的占据与竞争策略对
物种数量的影响。
生态位模型可以通过计算物种的竞争优势指数来推断物
种数量的变化。
总的来说，生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的重要工具。
不同类型的模型从不同角度切入，揭示了生物种群数量变化的机制和规律，对于理解和保护生物多样性具有重要意义。
种内竞争与种间竞争数学模型实例分析
种内竞争与种间竞争数学模型实例分析1.1问题提出问题一：甲和乙两类群均能独立生存，比方将鲤鱼群放生，其在水中和卿鱼间的相互作用。
问题二：甲可以独自存活，但乙却只能依存甲而生活，这两者在一起能相互促进，令甲乙都得到存活，比方，植物能独自存活，但以花粉为食的昆虫却放须依靠其生存，而昆虫同时会帮助植物授粉推动其繁殖。
问题三：甲乙双方都无法独立生存，只能依靠彼此获得共生。
1.2问题分析（1）在某自然环境下只存在单类生物群体（即生态学中的种群）生存的情况下，人们往往通过Logistic 模型描述该种群数量产生的演变，公式为：)1()(N x rx t x -=')(t x 为种群为时刻t 的数量，r 代表固有增长率，N 代表环境资源下所能接受的最大种群量。
其中)1(N x -反应了一些种群对有限资源的消耗造成的影响其自身增长的作用，N x 代表着相对于N 来讲，单位数量中某个种群所消耗的食量（假设总量=1）（2）若同一自然环境内存在2个或多个种群，即其会产生竞争或依存关系，又或是供应链的关系，以下我们会由稳定转态角度展开对其依存关系的探讨。
1.3模型假设甲乙两种群各种独立于某个环境生存时，其数量产生的演变将遵守Logisti 规律。
设)(),(21t x t x 为两个种群数量，21,r r 为其固有增长率，21,N N 是它们的最大容量。
于是对于甲种群有：)1()(11111N x x r t x -=' 同理对于乙种群有 )1()(22221N x x r t x -=' 1.4模型建立与稳定性分析对于问题一：1、建立模型：)1()(22111111N x N x x r t x σ+-=' ④ )1()(11222222N x N x x r t x σ+-=' ⑤ 1σ的含义:单位数量乙（相对于2N ）提供给甲的食量为单位数量(相对于1N )消耗食量的1σ2σ的含义:单位数量甲（相对于1N ）提供给乙的食量为单位数量乙(相对于2N )消耗食量的1σ2、稳定性分析：3、数学建模过程与结果：根据数学实验以及数学建模的相关知识，利用数学软件Matlab 分别求解微分方程的图形和相轨线图形：Matlab 模型：function xdot=sheir(t ，x)n1=16；n2=1；r1=25；r2=18；q1=05；q2=16；xdot=[r1*x(1)*(1-(x(1)/n1)+q1*(x(2)/n2))；r2*x(2)*(1-(x(2)/n2)+q2*(x(1)/n1))]；>> ts=0:01:15；>> x0=[01，01]；>> [t，x]=ode45('sheir'，ts，x0)；[t，x]，>> plot(t，x)，grid，gtext('x(t)')，gtext('y(t)')，>> plot(t，x)，grid，gtext('x1(t)')，gtext('x2(t)')，>> ts=0:01:15；>> x0=[01，01]；>> [t，x]=ode23('sheir'，ts，x0)；[t，x]，>> plot(t，x)，grid，gtext('x1(t)')，gtext('x2(t)')，相轨线：4、由上图可知：甲乙可以彼此立生存。
种群相互竞争模型
数学实验设计课题：两种群相互竞争模型如下：()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。
s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。
分析：这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。
y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。
假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。
这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。
另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。
则我们可以得到如下模型：x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。
对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解；问题一：设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。
编写如下M文件：function xdot=jingzhong(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;然后运行以下程序：ts=0:0.1:10;x0=[10,10];[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);[t,x]plot(t,x),grid,gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize {12}y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：123456789100102030405060708090100x(t)y(t)相图为：1020304050607080901000510152025xy结论：当t 充分大时，x 和y 的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。