第三章连续信号的频谱介绍
信号与系统PPT-cp3-连续时间信号的频谱
（ 0, 2 ）内是一个正交函数集
电气工程学院
3.1 用完备正交函数集表示信号
（2）
n 1
n 1
2
0
sin t cos ntdt 0
sin t 在区间（ 0, 2 ）内与{cos nt }正交。故函数集 cosnt 在区间（0, 2 ）内不是完备正交函数集。
即 （3）
2
0
mn
T
2
1
为指数函数的公共周期
当n , e jn1t 为一完备的正交函数集
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3.1 用完备正交函数集表示信号
3)函数集： Sa [ ( t nT )] （其中n 0, 1, 2) T 对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。
ir
ir
2
0
1 sin(i r )t sin(i r )t 2 cosit cosrtdt 0 2 ir ir 0
2
2
0
cosit cosrtdt
0
1 1 1 2 1 sin 2it dt t sin 2it 2 2 2i 0
m, n 为任意整数
mn
t 1T t 1T t1 cosm1t cosn1tdt t1 sinm1t sinn1tdt 0 t 1T t 1T 2 T 2 cos n tdt sin n tdt 1 1 t1 t1 2 2 T 三角函数的公共周期 1
在 (t1 , t2 ) 内构成归一化正交函数集。
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3.1 用完备正交函数集表示信号
正交复变函数集
设
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
第3章 连续信号的频域分析
周期信号由无穷多各谐波分量组成
φn
an
-bn
An
X
3.1.2 周期信号傅里叶复指数级数展开式
利用完备正交集 {e jn0t } n 0, 1, 2,
由欧拉公式：
表示周期信号的频谱
1 j( n0t n ) j( n0t n ) cos(n0t n ) (e e ) 2
T0 / 2
T0 / 2
x(t )e
dt
以n代m
X
傅里叶复指数小结
一般情况下 X (n0 ) 为复数——周期信号的频谱 X (n0 ) 为幅频特性， X (n ) 1 T0 / 2 x(t )e jn0t dt 0 T0 T0 / 2 X (n0 ) 为相频特性。 1 T0 / 2 X (n0 ) [ x(t ) cos n0t j x(t )sin n0t ]dt T0 T0 / 2 1 X (n0 ) (an jbn ) 2
T0 2 T 0 2
x t sin n0tdt
2 bn T0
T0 2 T 0 2
1 bnT0 2 xt sin n 0tdt
正弦分量的幅度
T0 2 T 0 2
bn sin n0t sin n 0 tdt n 1,2,3
X
3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式
c0= A0 cn= An/2
相等
对半
-arctanbn/an 相等
体 现 能 量 守 恒
X
1）Δ级数谱为单边谱，复指数谱为双边谱 2）两种谱的直流分量相等c0=A0 3）交流分量中， cn= An/2。双边谱 对折后相加幅度等于单边谱。 4）两种谱的相位相同
实验三连续信号频谱分析
实验三 连续信号的频域分析一、 实验目的1. 掌握周期信号的频谱—— Fourier 级数的分析方法及其物理意义。
2.深入理解信号频谱的概念，掌握典型信号的频谱以及 Fourier 变换的主要性质。
二、 实验原理及方法1.周期信号的三角形式的傅里叶级数Fourier 级数的理论告诉我们：任何周期信号只要满足Dirichlet 条件就可以分解成许多指数分量之和（指数 Fourier 级数）或直流分量及许多正弦、余弦分量之和，即(0001001()(cos sin )2AA cos )2n n n n n n a f t a n t b n t n t ΩΩΩφ∞=∞==++=++∑∑ (3.1)2. 周期信号的指数形式的傅里叶级数00000001101111()2221122212n n n n n j jn tj jn tn n n n j jn t j jn tn n n n j jn t n n jn tnn A f t A e e A e e A A e e A e e A e e F eϕΩϕΩϕΩϕΩϕΩΩ-∞-∞--==-∞-∞==-∞=-∞∞=-∞=++=++==∑∑∑∑∑∑ (3.6)式（3.6)表明：任意周期信号()f t 可分解为无穷多项不同频率的复指数0jn te Ω之加权和，其各分量的复数幅度或相量(或称为复加权系数)为n F 。
0221()Tjn t T n F f t e dt T Ω--=⎰ （3.7）计算机不能计算无穷多个系数，假设需要计算的谐波次数为N ，则总的系数个数为2N+1个。
在确定了时间范围和时间变化的步长即T 和dt 之后，对某一个系数，式（3.7）可以近似为：0001020212212211()()/[(),(),,()][,,,]/n N Tjn t jn t T n n njn t jn t jn t N F f t e dt f t e dt TT f t f t f t e e e dt TΩΩΩΩΩ+------+===⋅⋅∑⎰ （3.8）对于全部的2N+1个系数，上面的计算可以按照矩阵运算实现。
第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换
第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换在第二章中，我们主要介绍了连续信号和系统的时域分析。
这种方法只是分析信号与系统的众多方法之一。
事实上，信号的频谱是一个非常重要的概念，根据理论分析及实际工程上的需要，连续信号还可以在频域进行分析。
本章将借助于数学上傅里叶级数及傅里叶积分变换的工具，引入周期及非周期信号的频谱，进一步解决连续信号时域与频域之间的变换。
3.1 用完备正交函数集表示信号3.1.1 正交矢量在平面空间中，两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。
如图3.1（a ）所示的A 1和A 2是正交的，它们之间的锐夹角为90°。
显然，平面空间两个矢量正交的条件是021=⋅A A (3.1)图3.1这样，可将一个平面中任意矢量A ，在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。
1122A C A C A =+ （3.2）同理，对一个三维空间中的矢量A 必须用三维的正交矢量集{123A A A ，，}来表示，如图3.1（b ）所示。
有112233A C A C A C A =++ （3.3）其中123A A A ，，相互正交。
在三维空间中{123A A A ，，}是一个完备的正交矢量集，而二维正交矢量集则在此情况下是不完备的。
依次类推，在n 维空间中，只有n 个正交矢量123,n A A A A ，，构成的正交矢量集{123,n A A A A ，，}才是完备的，也就是说，在n 维空间中的任一矢量A ，必须用n 维正交矢量集{123,n A A A A ，，}来表示，即1222n n A C A C A C A =++ （3.4）虽然n 维矢量空间并不存在于客观世界，但是这种概念有许多应用。
例如，n 个独立变量的一个线性方程，可看作n 维坐标系中n 个分量组成的矢量。
3.1.2 正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。
仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。
第三章连续信号的频谱介绍
第三章连续信号的频谱介绍连续信号的频谱是指将连续信号在频域上的表示，它能够展示信号在不同频率上的能量分布情况。
频谱分析是信号处理中的重要内容，能够帮助我们理解信号的特性，并进行信号的分析与处理。
在本章中，我们将详细介绍连续信号的频谱分析方法和相关概念。
1.连续信号的频谱连续信号是指在时间上是连续变化的信号，可以通过连续时间的函数来表示。
在频域上，连续信号可以通过傅里叶变换来表示。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，给出了信号在不同频率上的能量分布情况。
连续信号的频谱是傅里叶变换结果的模值，它反映了信号在不同频率上的能量大小。
2.连续傅里叶变换连续傅里叶变换(CFT)是一种将连续信号从时域转换到频域的方法。
通过对连续信号进行积分运算，可以得到信号的频谱表示。
连续傅里叶变换的公式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的频谱，f(t)表示时域信号，e^(-jωt)是复指数函数。
通过计算不同频率ω下的复指数函数与信号的积分，可以得到连续信号的频谱。
3.连续信号的频谱性质连续信号的频谱具有以下几个重要性质：-零频率分量：频谱中的零频率分量表示了信号的直流分量，即信号在频域上的平均能量。
它在频谱中通常位于中心位置。
-频谱对称性：如果原始信号是实数信号，则频谱具有共轭对称性，即F(ω)=F*(-ω)，其中F*(-ω)表示F(ω)的共轭复数。
-线性性质：信号的线性组合的频谱等于各个信号频谱的线性组合。
-平移性质：将信号在时域上平移，会导致频谱在频域上平移同样的量。
- 抽样定理：如果信号的最高频率为f_max，则抽样频率f_s至少应为2f_max才能完整地恢复信号。
4.频谱分析方法为了获取连续信号的频谱信息，需要进行频谱分析。
-傅里叶变换：利用积分运算将信号从时域转换到频域。
-快速傅里叶变换(FFT)：快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，能够快速计算信号的频谱。
-功率谱密度(PSD)：功率谱密度是对信号能量在频域上进行定量描述的方法，可以用于分析信号的频率成分。
第3章 连续信号的频谱傅里叶变换
• 本章讨论的路线：
• 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念；
• 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分 析方法的应用。
第3章 连续信号的频谱 傅里叶变换
2020年4月22日星期三
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
例子
以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对 原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差 解：其傅。里叶级数表达式为 ：
只取基 波分量 一项
取基波分量和 三次谐波分量
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
从上面例子看出：
（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。
作业
P160 3-1，3-2，3-3，3-8
第三节 典型周期信号的
傅里叶级数
典型周期信号的傅里叶级数
•典型周期信号的频谱分析可利用： 傅里叶级数 或傅里叶变换 •介绍的典型周期信号有如下： 1、周期矩形脉冲信号 2、周期锯齿脉冲信号 3、周期三角脉冲信号 4、周期半波余弦信号 5、周期全波余弦信号
1、周期矩形脉冲信号 (1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
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4A 1 1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t sin 5 1t ) π 3 5
4A π 1 π cos( t ) cos( 3 t ) 1 1 π 2 3 2
图1
图2
信号与系统
因
T (t )
jn1t
则
1 Fn T
T 2 T 2
(t ) e
1 dt T
所以
1 T (t ) T
n
e
jn1t
图6
即T( t )是无穷多个复指数的累加和。
end
信号与系统
3.3
周期信号的频谱
3.2-14
一、频谱图
取直流到11次谐波 合成
取到37次谐波 合成
信号与系统
3.2-10
二、周期信号的复指数表示
设 由于
e jx e jx cos x 2
f (t ) a 0 A1 cos 1t A2 cos 21t A3 cos 31t
则
f (t ) a 0
a0
n
由
2 An an jbn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
所以
An 1 Fn 2 T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
信号与系统
3.2-12
例 解
对于周期方波，试求其指数表示式。
1 Fn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
图1 选频原理
end
信号与系统
3.2-2
3.2 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
f (t ) a 0 ( a n cos n 1t bn sin n 1t )
a 0 An cos( n 1t n )
n 1
n 1
1：基波角频率
a0：直流分量， an：余弦幅度， bn：正弦幅度，
图2
所以f( t )的傅里叶级数为
4A 1 1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t sin 5 1t ) π 3 5
信号与系统
3.2-6
周期方波的分解与合成 ：
图3
信号与系统
3.2-7
周期三角波的分解与合成 ：
图4
动画5：谐波分解
信号与系统
3.2-8
周期矩形脉冲和锯齿波的傅氏级数表示
信号与系统
3.1 应用引例
电子音乐信号的合成与选择
3.2-1
我国于1970年4月24日发射的“东方红一号”人造卫星向地球发回的电 子音乐信号由 9个不同频率的音节组成。这些信号是被调制到20.009 MHz 的载波频率fa上向地球发射的，合理地选择谐振电路的通频带，就可以选出 音乐信号。图1为其原理图。
A1 j1t A (e e j1t ) 2 (e j21t e j21t ) 2 2
n
An jn1t e ， 2
n 1, 2, 3
信号与系统
3.2-11
令
F0 a0， Fn
An 2
，则
jn1t F e n
f (t )
2π ( ) T
An：谐波幅度，
非正弦周期信号 1 T a 0 f (t ) d t T 0 2 T a n f (t ) cos n 1tdt T 0 2 T bn f (t ) sin n 1tdt T 0 2 An a n bn2
信号与系统
3.2-3
图 1 锯齿波的三角级数合成
3.4
非周期信号的频谱
3.2-15
一、傅里叶变换
周期信号：
1 Fn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
f (t )
n
jn1t F e n
从而有
F ( n1 ) Fn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
信号与系统
3.2-16
当T，1d， n1，故
F ( ) f (t )e jt dt
f( t )的傅氏变换 （频谱函数）
反之
1 j t f (t ) F ( ) e d 2π
傅氏反变换
变换对简记： f( t ) F( )
信号与系统
f (t )
1
T
0.5
0.5
T
t
2 1 n1 f ( t ) sin( ) cos( n1t ) T n 1 n 2
f t
1
O
T
t
1 1 1 f ( t ) sin( n1t ) 2 n 1 n
信号与系统
3.2-9
方波脉冲中取到5次谐波合成
3.2-17
二、常用信号的频谱函数
门函数：
1 t t
sin(
G (t )
F ( )
2 2
0
2
) 2 Sa ( ) e j t d t 2 ( ) 2
2
图1
信号与系统
3.2-18
冲激函数( t )：
F ( ) (t )e jt dt 1
( n 1,3,5 )
2 T 2A jn1t 2 Ae dt 0 T jn
图5
F0 a 0 0
所以
f (t )
n
2A jn1t e jn
( n 1,3,5 )
信号与系统
3.2-13
例
解
设有周期冲激信号T( t )，求其指数表示式。
信号与系统
3.2-4
图2
4种非正弦周期信号的分解
信号与系统
3.2-5
例 解
如图所示的周期方波，试求其傅里叶级数。 由于这里f( t )是奇函数，故有
1 T a0 f (t ) d t 0 T 0 T 2 2 an T f ( t ) cos n1tdt 0 T 2 T T 2 2 4 2 bn T f (t ) sin n1tdt A sin n1tdt T 2 T 0 4A T ( n 1, 3, 5, ) 4 A cos n1t 2 nπ T n1 0 0 ( n 2, 4, 6,)