【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：2.2函数的定义域与值域(含答案解析)

第5课函数的定义域与值域【自主学习】第5课函数的定义域与值域(本课时对应学生用书第9~11页)自主学习回归教材1. (必修1P93习题1改编)函数14x+的定义域为.【答案】[1，+∞)【解析】由-1040xx≥⎧⎨+≠⎩，，解得x≥1.2. (必修1P93习题5改编)已知函数y=x2-x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为. 【答案】{0，2，6}【解析】当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；当x=2时，y=2；当x=3时，y=6，所以值域为{0，2，6}.3. (必修1P27练习7改编)函数f(x)=x2-2x-3，x∈[-1，2]的最大值为.【答案】0【解析】因为f(x)=(x-1)2-4，所以当x=-1时，函数f(x)取得最大值0.4. (必修1P32例2改编)函数f(x)=11-(1-)x x的最大值是.【答案】4 3【解析】1-x(1-x)=x2-x+1=21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+34≥34.因此，有0<11-(1-)x x≤43，所以f(x)的最大值为43.5. (必修1P36习题13改编)已知函数f(x)=x2的值域为{1，4}，则这样的函数有个. 【答案】9【解析】定义域为两个元素有{-2，-1}，{-2，1}，{-1，2}，{1，2}；定义域为三个元素有{-2，-1，1}，{-2，-1，2}，{-1，1，2}，{-2，1，2}；定义域为四个元素有{-2，-1，1，2}，故这样的函数一共有9个.1. 函数的定义域(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.(2)分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数不等于0.(3)对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1，含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.(4)实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.2. 求函数值域的主要方法(1)函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.(2)二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用配方法求值域.(3)分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离常数法求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).(4)单调函数常根据函数的单调性求值域.(5)很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用基本不等式求值域.(6)有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域.(7)只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.【要点导学】要点导学各个击破求函数的定义域例1(1)函数的定义域是.(2)若函数f(x)=ln 22-xx+，则函数g(x)=f2x⎛⎫⎪⎝⎭+f1x⎛⎫⎪⎝⎭的定义域是.【思维引导】(1)分式函数中分母不等于零；偶次根式函数，被开方式大于或等于0；(2)对数式中真数大于0，列出不等式组，求解，对应法则“f”作用下的12xx和是f(x)的定义域内的值，同时要记住函数的定义域要用集合或区间表示.【答案】(1)(-3，2)(2)1-4-2⎛⎫⎪⎝⎭，∪142⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)由函数解析式可知6-x-x2>0，即x2+x-6<0，故-3<x<2.(2)由22-xx+>0，得f(x)的定义域为-2<x<2，故-2221-22xx⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，，解得-4<x<-12或12<x<4.【精要点评】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集.(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b].【高频考点·题组强化】1.(2016·苏州期中)函数y=ln(x2-x-2)的定义域是.【答案】(-∞，-1)∪(2，+∞)【解析】由题意知，x2-x-2>0，解得x>2或x<-1，故函数的定义域为(-∞，-1)∪(2，+∞).2.函数f(x)=2-11114-1x xxx⎧<≤⎪⎨<≤⎪⎩，，，的定义域是.【答案】(-1，4]【解析】两个分段区间是(-1，1]和(1，4]，取它们的并集得所求函数的定义域为(-1，4].3.(2014·山东卷)函数的定义域为.【答案】12⎛⎫⎪⎝⎭，∪(2，+∞)【解析】由题意得22(log)-10xx>⎧⎨>⎩，，解得1202xx x>⎧⎪⎨><<⎪⎩，或，所以f(x)的定义域为12⎛⎫⎪⎝⎭，∪(2，+∞).4.(2014·珠海模拟)函数的定义域为.【答案】1-2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】由题意得10210xx+≠⎧⎨+>⎩，，解得x>-12，所以函数的定义域为1-2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.5.已知函数f(x)的定义域是[3，10]，则函数f(x+1)的定义域是.【答案】[2，9]【解析】因为f(x)的定义域是[3，10]，所以使f(x+1)有意义的条件是3≤x+1≤10，即2≤x≤9，所以函数f(x+1)的定义域是[2，9].求函数的值域微课1● 问题提出函数的值域取决于定义域和对应法则，无论采取什么方法求函数的值域，都应先考虑其定义域.有时我们需要求函数在某个区间上的值域，结合函数图象，根据函数图象的分布得出函数的值域.那么，求函数值域的方法有哪些呢?● 典型示例例2求下列函数的值域.(1)y=3x2-x+2，x∈[1，3]；(2)y=31-2xx+；(3)y=x+4(4)y=22-112-12x xxx+⎛⎫>⎪⎝⎭.【思维导图】【规范解答】(1)(配方法)因为y=3x 2-x+2=321-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2312，所以函数y=3x 2-x+2在[1，3]上单调递增. 当x=1时，原函数取得最小值4； 当x=3时，原函数取得最大值26.所以函数y=3x 2-x+2(x ∈[1，3])的值域为[4，26].(2)(分离常数法)y=31-2x x +=3(-2)7-2x x +=3+7-2x ， 因为7-2x ≠0，所以3+7-2x ≠3，所以函数y=31-2x x +的值域为{y|y≠3}.(3)(换元法)设t≥0，则x=1-t 2，所以原函数可化为y=1-t 2+4t=-(t-2)2+5(t≥0)，所以y≤5， 所以原函数的值域为(-∞，5].(4)(基本不等式法)y=22-12-1x x x +=(2-1)12-1x x x +=x+12-1x =x-12+121-2x +12， 因为x>12，所以x-12>0，所以x-12+121-2x，当且仅当x-12=121-2x，即x=时取“=”.所以12，即原函数的值域为12∞⎫+⎪⎭，.【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解.二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式的方法求解.● 总结归纳(1)首先我们要掌握初中学过的基本初等函数y=kx，y=kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx(k≠0)的值域.(2)求函数值域的常用方法有直接法、逆求法、换元法、配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法等.● 题组强化1. (2016·苏州期中)函数的值域是.【答案】[-4，0]【解析】因为π-6x⎛⎫⎪⎝⎭-2，且x>0，所以sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭∈[-1，1]，所以函数f(x)的值域是[-4，0].2. (2015·扬州调研)函数的值域为.【答案】1 -2∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】方法一：(换元法)=t，t≥0，x=21-2t，于是y=21-2t-t=-12(t+1)2+1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域为1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.方法二：(单调性法)函数的定义域为1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，，且函数1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，所以y≤12，故函数的值域为1-2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.3.(2014·海门中学模拟)函数f(x)=2log01-2(-1)(-3)1x xx x x<<⎧⎨≥⎩，，，的值域是.【答案】(-∞，2]【解析】当0<x<1时，值域为(-∞，0)；当x≥1时，值域为(-∞，2].故原函数的值域为(-∞，2].4. (2015·南通中学模拟)函数y=252-43x x+的值域是. 【答案】(0，5]【解析】因为2x2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x+≤1，所以0<y≤5，所以值域为(0，5].5.(2014·青阳中学模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为25--44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则实数m的取值范围是.【答案】33 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】因为f(x)=x2-3x-4=23-2x⎛⎫⎪⎝⎭-254，所以f32⎛⎫⎪⎝⎭=-254.又f(0)=f(3)=-4，故由二次函数图象可知32≤m≤3.已知函数定义域(值域)求参数的取值范围例3 若函数R ，求实数a 的取值范围.【思维引导】 可先求出使函数有意义的不等式(组)，再对其中的参数进行分类讨论即可.【解答】由题意知当x ∈R 时，(a 2-1)x 2+(a-1)x+21a +≥0恒成立. ①当a 2-1=0，即2-1010a a ⎧=⎨+≠⎩，时，得a=1，此时有(a 2-1)x 2+(a-1)x+21a +=1.可知当x ∈R 时，(a 2-1)x 2+(a-1)x+21a +≥0恒成立. ②当a 2-1≠0，即222-102(-1)-4(-1)?01a a a a ⎧>⎪⎨∆=≤⎪+⎩，时，有221-1090a a a ⎧>⎨+≤⎩，，解得1<a≤9.综上所述，实数a 的取值范围是[1，9].【精要点评】解决本题的关键是理解函数的定义域是R 的意义，并会对函数式进行分类讨论，特别要注意不要遗漏对第一种情况a 2-1=0的讨论.变式 (1)(2014·常州一中模拟)若函数f(x)=2-443x mx mx ++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .(2)若函数y=lg(x 2+2x+m)的值域是R ，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1)304⎡⎫⎪⎢⎣⎭，(2)(-∞，1]【解析】(1)f(x)的定义域为R ， 即mx 2+4mx+3≠0恒成立. ①当m=0时，符合题意； ②当m≠0时，Δ=(4m)2-4×m×3<0，即m(4m-3)<0，所以0<m<3 4.综上所述，实数m的取值范围是34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.(2)由题意可知x2+2x+m能取遍一切正实数，从而可知Δ=4-4m≥0，则m≤1.新定义下的函数值域创新问题例4已知函数f M(x)的定义域为实数集R，满足f M(x)=1x MxM∈⎧⎨⎩，，，(M是R的非空真子集).在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=∅，则F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++的值域为.【思维引导】求F(x)的值域确定f A(x)，f B(x)以及A Bf⋃(x)的取值探讨x与A，B，A∪B的关系.【答案】{1}【解析】因为A，B是R的两个非空真子集，且A∩B=∅，画出Venn图如图所示，(例4)则实数x与集合A，B的关系可分为x∈A，x∈B，x∉A且x∉B三种.①当x∈A时，根据定义，得f A(x)=1.因为A∩B=∅，所以x∉B，故f B(x)=0.又因为A⊆(A∪B)，则必有x∈A∪B，所以f A∪B(x)=1，所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=11101+++=1.②当x∈B时，根据定义，得f B(x)=1. 因为A∩B=∅，所以x∉A，故f A(x)=0.又因为B⊆(A∪B)，则必有x∈A∪B，所以f A∪B(x)=1，所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=11011+++=1.③当x∉A且x∉B时，根据定义，得f A(x)=0，f B(x)=0.由图可知，显然x∉A∪B，故f A∪B(x)=0，所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=01001+++=1.综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}.【精要点评】(1)如果函数f(x)的定义域为A，那么f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x 的取值范围.(2)如果f(g(x))的定义域为A，那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.(3)f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.本题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算，所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合，再根据图形的直观性进行分类，简单又直接.变式把本例中“A∩B=∅”变为“x∈A∩B”，其他条件不变，试求之.【解答】当x∈A∩B时，因为(A∩B)⊆(A∪B)，所以必有x∈A∪B.由定义，可知f A(x)=1，f B(x)=1，f A∪B(x)=1，所以F(x)=()1()()1A BA Bf xf x f x+++=11111+++=23，故函数F(x)的值域为23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.1.(2014·苏北四市期末)函数f(x)=lg(2x-3x)的定义域为. 【答案】(-∞，0)【解析】由2x-3x>0得23x⎛⎫⎪⎝⎭>1，所以x<0，即函数f(x)的定义域为(-∞，0).2.(2014·江西卷)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为. 【答案】(-∞，0)∪(1，+∞)【解析】由x2-x>0，得x>1或x<0.3. 函数f(x)=log2(3x+1)的值域为.【答案】(0，+∞)【解析】因为3x+1>1，所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0.4.若函数[0，+∞)，则实数a的取值范围是.【答案】1 |104 a a a⎧⎫≥≤≤⎨⎬⎩⎭或【解析】当a=0时，符合要求；当a>0时，方程ax2+(2a-1)x+14=0一定有解，所以Δ=(2a-1)2-4a×14≥0，所以a≥1或0<a≤1 4.综上，实数a的取值范围是1|104a a a⎧⎫≥≤≤⎨⎬⎩⎭或.5. 已知函数.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为[-2，1]，求实数a的值. 【解答】(1)①若1-a2=0，即a=±1.当a=1时，，定义域为R，符合题意；当a=-1时，，定义域为[-1，+∞)，不合题意.②若1-a2≠0，则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数. 由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立，所以21-0a⎧>⎨∆≤⎩，，即-11(-1)(115)0aa a<<⎧⎨+≤⎩，，解得-511≤a<1.综上，实数a的取值范围是5,111⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题意知，不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2，1]，显然1-a2≠0且-2，1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根，所以222221-03(1-)-21-16-21-[3(1-)]-24(1-)0aaaaa a⎧<⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪∆=>⎩，，，，解得a=2，即实数a的值为2.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第9~10页.【检测与评估】第5课函数的定义域与值域一、填空题1．(2014·江苏压题卷)函数y= 的定义域是.2．函数的定义域是.3．函数的值域是.4．若函数的定义域是R，则实数k的取值范围为.5．已知函数的值域为[0，+∞)，那么实数m的取值范围是.6．若函数y=f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)=1-2f(x+3)的值域是.7．(2015·福建卷)若函数f(x)=-623log2ax xx x+≤⎧⎨+>⎩，，，(a>0 且a≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a 的取值范围是.8．已知对于函数，存在一个正数b，使得f(x)的定义域和值域相同，则非零实数a的值为.二、解答题9．已知全集U=R，函数+lg(3-x)的定义域为集合A，集合B={x|-2<x<a}.(1)求集合∁U A；(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围.10．(2015·镇江中学模拟)已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).(1)若函数f(x)的值域为[0，+∞)，求实数a的值；(2)若函数f(x)的值域为非负数，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.11．已知函数，函数h(x)=13x+，x∈(-3，a]，其中a>0，令函数f(x)=g(x)·h(x).(1)求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2)当a=14时，求函数f(x)的值域.三、选做题12．已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|.(1)试求f(x)的值域；(2)设函数g(x)=2-33ax xx+(a>0)，若对任意的s∈(0，+∞)，t∈(-∞，+∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围.【检测与评估答案】第5课函数的定义域与值域1．(-2，+∞)【解析】由题意得12x+≥0，解得x>-2，故所求定义域为(-2，+∞).2．(-1，1)【解析】函数的定义域需满足210--340xx x+>⎧⎨+>⎩，，解得-1<x<1．3．[0，2]【解析】-x2+4x=-(x-2)2+4≤4，所以，所以0≤2≤2，所以0≤y≤2．4．[0，1]【解析】由题意知kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立.当k=0时，显然成立；当k>0时，有Δ=(-6k)2-4k(k+8)≤0，得0<k≤1．综上，0≤k≤1．5．[4，+∞)【解析】当m=0时，不符合题意，所以2-40mm m>⎧⎨∆=≥⎩，，即m≥4．6．[-5，-1]【解析】因为1≤f(x)≤3，所以1≤f(x+3)≤3，所以-6≤-2f(x+3)≤-2，所以-5≤F(x)≤-1．7．(1，2]【解析】当x≤2时，-x+6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，+∞)，只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4，+∞)即可，所以f1(x)>3+log a2，所以3+log a2≥4，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围是(1，2].8．-4【解析】若a>0，对于正数b，f(x)的定义域D=--ba∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[0，+∞)，但f(x)的值域A⊆[0，+∞)，故D≠A，不合要求.若a<0，对于正数b，f(x)的定义域D=0-ba⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.由于此时f(x)max=f-2ba⎛⎫⎪⎝⎭A=⎡⎢⎣.由题意得-bab>0，所以a=-4．9．(1)因为集合A表示+lg(3-x)的定义域，所以203-0xx+>⎧⎨>⎩，，，即A=(-2，3)，所以∁U A=(-∞，-2]∪[3，+∞).(2)因为A∪B=B，所以A⊆B，所以a≥3．即实数a的取值范围是[3，+∞).10．(1)因为函数的值域为[0，+∞)，所以Δ=16a2-4(2a+6)=0，所以2a2-a-3=0，解得a=-1或a=3 2.(2)因为对一切x∈R，函数值均为非负数，所以Δ=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)≤0，所以-1≤a≤3 2，所以a+3>0，所以g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-232a⎛⎫+⎪⎝⎭+174.因为二次函数g(a)在3-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以g32⎛⎫⎪⎝⎭≤g(a)≤g(-1)，即-194≤g(a)≤4．所以函数g(a)的值域为19-44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.11．(1)f(x)=，x ∈[0，a](a>0).(2)由(1)知函数f(x)的定义域为104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.，则x=(t-1)2，t ∈312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则f(x)=F(t)=2-24t t t +=14-2t t +.因为当t=4t 时，t=±2∉312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又当t ∈312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，y=t+4t 单调递减，故F(t)单调递增，所以F(t)∈16313⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.所以函数f(x)的值域为16313⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.12．(1)f(x)∈[-3，3].(2)当x>0时，g(x)=2-33ax x x +=ax-3+3x-3，当且仅当ax 2=3时等号成立，即g(x)min．由(1)知f(x)max =3． 对∀s ∈(0，+∞)，∀t ∈(-∞，+∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，即g(x)min ≥f(x)max ， 由-3≥3，得a≥3，所以实数a 的取值范围是[3，+∞).。