弧度制及任意角的三角函数优秀课件
3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角，它的终边上任意一点 P(x，y)与原点的距离为 r(r>0)，则 sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________ (x≠0) ※cotα＝xy(y≠0)，secα＝xr(x≠0)，cscα＝yr(y≠0)．
弧度制及任意角的三角函数
1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制 ①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±
α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y＝sinx，
(2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的
____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限角．
①α 是第一象限角可表示为α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z； ②α 是第二象限角可表示为_________________； ③α 是第三象限角可表示为________________； ④α 是第四象限角可表示为________________． (3)非象限角 如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于 任何一个象限．①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可 记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；
圆心角 α 所对弧的长． (2)弧度与角度的换算：360°＝_____rad，180°＝________rad，
1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来 1rad＝_____≈57.30°＝57°1 ′.
(3)若圆心角 α 用弧度制表示，则弧长公式 l＝________；扇形面积 公式 S 扇＝_______＝_______．
________________(4)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成
一个集合 S＝________________________.
2．弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，
用符号 rad 表示，读作弧度．|α|＝____________，l 是半径为 r 的圆的
5．特殊角的三角函数值
角 α 0° 角α的 弧度数
sinα cosα tanα
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
※sin15°＝
6－ 4
2，sin75°＝
6＋ 4
2，tan15°＝2－
3，tan75°＝2＋
3，由余角
公式易求 15°，75°的余弦值和余切值．
y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性．
③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性 质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴
的交点等)，理解正切函数在－π2，π2内的单 调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin2x＋cos2x＝1，csionsxx＝tanx.⑤了解函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函 数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些 简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化
3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识
和方法解决一些与测量和几何计算有关的
实际问题.
§4角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一 个位置______到另一个位置所成的图形．我们 规定：按________方向旋转形成的角叫做正角， 按__________方向旋转形成的角叫做负角．如 果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了 一个_________．
2．三角恒等变换 (1)两角和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式． ③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系． (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出 积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 ______________________； ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ______________________； ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 ______________________； ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 ______________________________； ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作 ______________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作
(2)正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
①
cosα
②
tanα
③
(3)三角函数值在各象限的符号
sinα
cosα
tanα
4．三角函数线 如图，角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1， 0)作单位圆的切线，设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OM＝x＝________，MP＝ y＝_______，AT＝________＝________.像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT，分别叫做角 α 的 _______、_______、_______，统称为三角函数线．
如果 sinα＞0，且 cosα＜0，那么
α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解：∵sinα＝yr＞0, cosα＝xr＜0， ∴x＜0，y＞0.∴α 是第二象限角．故 选 B.
与 － 463 ° 终 边 相 同 的 角 的 集 合是( )
弧度制及任意角的三角函数
1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制 ①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±
α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y＝sinx，
(2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的
____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限角．
①α 是第一象限角可表示为α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z； ②α 是第二象限角可表示为_________________； ③α 是第三象限角可表示为________________； ④α 是第四象限角可表示为________________． (3)非象限角 如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于 任何一个象限．①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可 记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；
圆心角 α 所对弧的长． (2)弧度与角度的换算：360°＝_____rad，180°＝________rad，
1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来 1rad＝_____≈57.30°＝57°1 ′.
(3)若圆心角 α 用弧度制表示，则弧长公式 l＝________；扇形面积 公式 S 扇＝_______＝_______．
________________(4)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成
一个集合 S＝________________________.
2．弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，
用符号 rad 表示，读作弧度．|α|＝____________，l 是半径为 r 的圆的
5．特殊角的三角函数值
角 α 0° 角α的 弧度数
sinα cosα tanα
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
※sin15°＝
6－ 4
2，sin75°＝
6＋ 4
2，tan15°＝2－
3，tan75°＝2＋
3，由余角
公式易求 15°，75°的余弦值和余切值．
y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性．
③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性 质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴
的交点等)，理解正切函数在－π2，π2内的单 调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin2x＋cos2x＝1，csionsxx＝tanx.⑤了解函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函 数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些 简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化
3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识
和方法解决一些与测量和几何计算有关的
实际问题.
§4角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一 个位置______到另一个位置所成的图形．我们 规定：按________方向旋转形成的角叫做正角， 按__________方向旋转形成的角叫做负角．如 果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了 一个_________．
2．三角恒等变换 (1)两角和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式． ③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系． (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出 积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 ______________________； ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ______________________； ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 ______________________； ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 ______________________________； ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作 ______________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作
(2)正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
①
cosα
②
tanα
③
(3)三角函数值在各象限的符号
sinα
cosα
tanα
4．三角函数线 如图，角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1， 0)作单位圆的切线，设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OM＝x＝________，MP＝ y＝_______，AT＝________＝________.像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT，分别叫做角 α 的 _______、_______、_______，统称为三角函数线．
如果 sinα＞0，且 cosα＜0，那么
α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解：∵sinα＝yr＞0, cosα＝xr＜0， ∴x＜0，y＞0.∴α 是第二象限角．故 选 B.
与 － 463 ° 终 边 相 同 的 角 的 集 合是( )
合集下载
任意角和弧度制PPT课件
轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt课件
(2)在0～2π范围内，终边在直线y＝ 3 x上的角有两
个：π3 、4π 3 .
π 因此，终边在直线y＝ 3x上的角的集合为{α|α＝ 3 ＋2k
π，k∈Z}∪{α|α＝
4π 3
＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝
π 3
＋kπ，
k∈Z}．
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
(1)如果角α是第三象限角，那么角－α，π－α，π ＋α的终边在第几象限？
(2)写出终边落在直线y＝ 3x上的角的集合．
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
1．角的有关概念
角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看
角的分类 角可分为 正角、 负角 和 零角 . 可分为 象限角 和轴线角
α与β角的终边相同
5 ． 若 α ＝ k·180° ＋ 45° ， k∈Z ， 则 α 为 第 ________ 象 限 角．
解析： 当k＝2n时，α＝n·360°＋45°， 当k＝2n＋1时，α＝n·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角． 答案： 一或三
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
5.1任意角和弧度制课件(人教版)
问题3：上述问题2中，射线上的一点(不同于点)，= ，在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为，求弧长 与半径 的比值，其与问题2中的比值有何关系?
【解析】：因为<m></m>，所以<</m>.故<m></m>.
结论：可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.
【解析】:(1)设扇形的弧长为 ，因为圆心角 ，所以扇形的弧长，故扇形的面积 (2)设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，面积为，则 ，所以 ，所以，所以当 时， 最大，且 ，因此 ．
反思感悟
方法总结
扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长，是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练2 将下列角度与弧度进行互化： (1) ；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1) .(．(3) .(4) .
探究二：扇形的弧长及面积公式
如图所示，设公路弯道处弧的长为.(图中长度单位：)
问题1：弧 的长是多少?求扇形的面积 ?
【解析】：.
新知生成
知识点二 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，为圆心角的角度数，则(1)弧长公式：.(2)扇形面积公式：
C
B
A
一、弧度制的概念
例题1 下列说法正确的是( ).A. 1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有1弧度的圆心角所对的弧长都相等D.用弧度表示的弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
任意角和弧度制_课件
牛刀小试
3.判断正误 （1）第二象限角是钝角.( ) （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( ) （2）终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )
例题精讲
1 .在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并 判定它是第几象限角. 129°48′，第二象限 角.
教学重点
理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法； 理解并掌握弧度制定义，熟练地进行角度制与弧度制地互化 换算； 弧度制的运用． 教学难点
终边相同的角的表示 ；理解弧度制定义，弧度制的运用. ．
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日， 在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”， 震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
以50°角的终边为始边，逆Байду номын сангаас针（或顺时针）旋转80°所成的 角.
知识梳理
1.角的概念： 角可以看成平面内一条射__线___绕着它的端点旋__转___所成的_图__形___. 2.角的表示： 如图，OA是角α的始__边___，OB是角α的终___边___，O是角α的顶_点____. 角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.
你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分 针转了多少度？
知识探究：角的概念的推广
思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平面内一 点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角是由平面内一 条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（ 如图2）。你认为哪种认识更科学、合理？
《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)
对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
弧度制ppt课件
• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．
人教A版数学必修第一册期末复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数课件(配套1)课件
A．－
1
3
B．±
1
3
)
C．－3
D．±3
(2)若角α的终边落在直线y＝ 3 x上，角β的终边与单位圆交于
点
1
,
2
，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．
[例2] (1)已知点M
1
,
3
在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边
所在的直线过点M，则tan θ＝( C )
3
2
1
2
cos α＝x＝－
方法总结
三角函数定义问题的解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先
求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中
的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函
中的任意两个量．
提醒
运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的
度量单位为弧度．
跟踪训练
1．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项
正确的有( ABC )
A．扇形的半径为2
B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
2 + = 6
所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．
令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
解得－
765
360
≤ k <－
1
3
B．±
1
3
)
C．－3
D．±3
(2)若角α的终边落在直线y＝ 3 x上，角β的终边与单位圆交于
点
1
,
2
，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．
[例2] (1)已知点M
1
,
3
在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边
所在的直线过点M，则tan θ＝( C )
3
2
1
2
cos α＝x＝－
方法总结
三角函数定义问题的解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先
求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中
的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函
中的任意两个量．
提醒
运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的
度量单位为弧度．
跟踪训练
1．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项
正确的有( ABC )
A．扇形的半径为2
B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
2 + = 6
所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．
令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
解得－
765
360
≤ k <－
数学人教A版必修第一册5.1任意角和弧度制课件
小结
很显然，0°-360°角难以满足我们的需要，所以我们需 要对角的概念进行推广.
一、任意角
角度的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转但另一个位置所形成的图形
正角：一条射线绕其端点按逆
时针方向旋转形成的角
正角：一条射线绕其端点按顺
时针方向旋转形成的角
零角：一条射线没有做任何旋
转（始边与终边重合）
一、任意角
随堂练习一：写出象限角和轴线角的集合
随堂练习二：【多选题】下列各角与52°终边相同的有（ ）
A.-308°
B.-232°
C.412°
D.-778°
二、弧度制
角度制：用度为单位来度量角的单位制，叫做角度制。 规定周角的1/360叫做1度的角
弧度制：用弧长来度量角的单位制，叫做弧度制。 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 用符号rad表示，读作弧度
二、弧度制
例题：已知一个扇形周长是6cm，该扇形的圆心角是2弧度，求该 扇形的面积
二、弧度制
随堂练习：已知扇形的周长是12，面积是8，求扇形圆心角的弧度？
感谢观看
二、弧度制
弧度的计算：正角的弧度数是一个正数，负 角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0， 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值是：
l
r
单位：rad
二、弧度制
随堂思考：表达同一个角，角度和弧度间如何转化？
180°=π
π 1 rad 0.01745rad
Байду номын сангаас180
一、任意角
终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合，常见以 下三种情势：
一、任意角
任意角和弧度制及任意角的三角函数 经典课件(最新)
高中数学课件
任意角和弧度制及任意角的三角函数 课件
高中数学课件
【最新考纲】
1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
高中数学课件
知识要点梳理
高中数学课件
1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图 形．我们规定：按________方向旋转形成的角叫做正角，按________方向旋转形成的角 叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个________． (2)象限角 使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的________重合．角的终边在第几象 限，就说这个角是第几象限角．
|α|＝________，l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长．
高中数学课件
(2) 弧 度 与 角 度 的 换 算 ： 360 ° ＝ __________rad ， 180 ° ＝ ________rad ， 1 ° ＝ ________rad≈0.017 45rad，反过来 1rad＝________≈57.30°＝57°18′.
※cotα＝xy(y≠0)，secα＝xr(x≠0)，cscα＝yr(y≠0)．
高中数学课件
(2)正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
cosα
tanα
高中数学课件
(3)三角函数值在各象限的符号
图1
高中数学课件
4．三角函数线
如图 2，角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1， 0)作单位圆的切线，设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为 第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OM＝x＝________，MP＝y＝ ________，AT＝________＝________．像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫 做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT，分别叫做角 α 的________、 ________、________，统称为三角函数线．
任意角和弧度制及任意角的三角函数 课件
高中数学课件
【最新考纲】
1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
高中数学课件
知识要点梳理
高中数学课件
1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图 形．我们规定：按________方向旋转形成的角叫做正角，按________方向旋转形成的角 叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个________． (2)象限角 使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的________重合．角的终边在第几象 限，就说这个角是第几象限角．
|α|＝________，l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长．
高中数学课件
(2) 弧 度 与 角 度 的 换 算 ： 360 ° ＝ __________rad ， 180 ° ＝ ________rad ， 1 ° ＝ ________rad≈0.017 45rad，反过来 1rad＝________≈57.30°＝57°18′.
※cotα＝xy(y≠0)，secα＝xr(x≠0)，cscα＝yr(y≠0)．
高中数学课件
(2)正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
cosα
tanα
高中数学课件
(3)三角函数值在各象限的符号
图1
高中数学课件
4．三角函数线
如图 2，角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1， 0)作单位圆的切线，设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为 第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OM＝x＝________，MP＝y＝ ________，AT＝________＝________．像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫 做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段 MP，OM，AT，分别叫做角 α 的________、 ________、________，统称为三角函数线．
2025届高中数学一轮复习课件：第五章 第1讲任意角、弧度制及三角函数的概念(共71张ppt)
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
高考一轮总复习•数学
第9页
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
高考一轮总复习•数学
第20页
1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 弧长与扇形的面积公式
典例 3(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，将一个半径为 1 的圆盘固定在平面上，
圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 M(开始时与圆盘
上点 A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆盘相切的状态展开，切
2．任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 α 终边上异于原点的任意一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
高考一轮总复习•数学
第9页
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
高考一轮总复习•数学
第20页
1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是 第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相 同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
答案
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N.
(2)如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是π3，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π， 0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角 α 构成的集合 为－53π，－23π，π3，43π.