届高三数学试题及答案

江苏省白丁高级中学09届高三年级第一次

模拟测试

数学试卷 2008-9

(考试时间：120分钟 总分160分)

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1、 函数1π

2sin()23y x =+的最小正周期 T= ▲ ．

2、命题“?x∈R，x 2

－2x+l≤0”的否定形式为 ▲ ．

3、若集合A ＝}032{2

≤--x x x ，B ＝}{a x x >，且φ=?B A ，则实数a 的取值范围是 ▲

4、若0.5

2a =，πlog 3b =，22π

log sin

5

c =，则,,a b c 的大小关系为 ▲ 5、已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，且cos cos a A b B =，则ABC ?的形状是 ▲ ．

6、 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则

122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ?+?+?+?+?+?＝ ▲

7、若不等式142x x a +--≥0在x ∈[1，2]上恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ．

8、设a (,3)x =，(2,1)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ▲ 9

、若

cos 2π2sin 4αα=-

??

- ?

?

?，则cos sin αα+= ▲ . 10、已知函数()log a f x x =在（0，＋∞）上单调递增，则(2)f - ▲ (1)f a +（填写“<”，

“＝”，“>”之一）

11、如图，在ABC △中，4AB =，3AC =，D 是边BC

则AD BC ?= ▲ ．

12.已知函数2

2()log (3)f x x ax a =-+，对于任意x≥2，当△x ＞0时，恒有

C

A

B

()()f x x f x +?>， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．

13、若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 ▲

14、有下列命题：

①在△ABC 中，“cos2A ”的充要条件 ②函数y=4cos2x 的图象可由y=4sin2x 的图象按向量(,0)4

a π=平移得到；

③函数y=4cos(2x+θ)的图象关于点(π6,0)对称的—个必要不充分条件是θ=k 2π+π6

(k∈Z );

④函数y=6+sin 2

x 2－sinx

的最小值为210—4．

其中正确命题的序号是 ▲ ．(把你认为正确的所有命题的序号都填上)

高三数学试卷答卷

一、填空题：（用黑色墨水签字笔填写）

1、 2、 3、 4、 5、 6、

7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、

二、解答题：(本大题6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分14分）

已知｜a ｜=3,｜b ｜=4, a 与b 的夹角为150°，求： (1)( -3)·(2+); (2)｜3-4｜ 16、（本小题满分14分）

在ABC ?中， ,,A B C ∠∠∠所对边分别为c b a ,,. 已知(sin ,sin cos ),m C B A =(,2)n b c =,且0m n =. （1）求A ∠大小.

（2）若,2,32==c a 求ABC ?的面积S 的大小.

17、（本小题满分15分）

已知,a b 为非零向量，给出3个语句：①(3)(75)a b a b +⊥-；②(4)(72)a b a b -⊥-；③ 向量,a b 夹角为60o .

（1）以其中某两个语句为条件、余下一个作结论构造两个．．命题； （2）判断．．（1）中你所构造命题的真假，并加以证明．．

. 18、（本小题满分15分)

如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k (0k >).

（1）试将水槽的最大流量表示成关于θ函数()f θ； （2）求当θ多大时，水槽的最大流量最大.

θ

a

a

a

19、（本小题满分16分） 已知向量(1tan ,1)a x =-，(1sin 2cos 2,0)b x x =++，记()f x a b =． （1）求()f x 的解析式并指出它的定义域和值域；

（2）若π()85f α+=，且π

(0,)2

α∈，求()f α．

20、（本小题满分16分）

已知3x =是函数()()2

ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

答案：

1、4π

2、2,210x R x x ?∈-+>

3、

}3≥a a ｛ 4、a b c >> 5、等腰三角形或直角三角形 6、3

7、a ≤0 8、3

(,6)(6,)2

-∞-?-

9、

1

2 10、< 11、2

7

- 12、(4,4]-

13、(,1]-∞- 14、○

1○3

15、 (1)-30+303 16、(本小题满分14分) 16、.解：（I ）∵0m n =，

∴(sin ,sin cos )(,2)C B A b c ＝0.

∴sin 2sin cos 0.b C c B A += ………………………………2分 ∵

,sin sin b c

B C

= ∴2cos 0.bc cb A += ………………………………4分 ∵0,0,b c ≠≠

∴12cos 0.A +=

∴1cos .2

A =- ………………………………6分 ∵0,A π<< ∴2.3

A π

=

………………………………8分 （II ）△ABC 中， ∵2

2

2

2cos ,a c b cb A =+- ∴2

1244cos120b b =+-.

∴2

280.b b +-= ………………………………10分 ∴4() 2.b b =-=舍， ………………………………12分

∴△ABC 的面积 11sin 22222

S bc A =

=???= ……………14分 17、已知,a b 为非零向量，给出3个语句：①()()375+⊥-a b a b ；②(4)(72)-⊥-a b a b ；③ 向量,a b 夹角为60o .

（1）以其中某两个语句为条件、余下一个作结论构造两个．．命题； （2）判断．．（1）中你所构造命题的真假，并加以证明．．. 答案：（1）可以构造3个命题，学生任做两个即可.

命题一：若()()375+⊥-a b a b 且(4)(72)-⊥-a b a b ，则,a b 夹角为60o . 命题二：若,a b 夹角为60o 且()()375+⊥-a b a b ，则(4)(72)-⊥-a b a b . 命题三：若,a b 夹角为60o 且(4)(72)-⊥-a b a b ，则()()375+⊥-a b a b . （2）命题一是真命题.

证明：∵()()375+⊥-a b a b ，∴()()3750+?-=a b a b ，2

2

716150+?-=a a b b ①，

∵(4)(72)-⊥-a b a b ，∴(4)(72)0-?-=a b a b ，22

73080-?+=a a b b ②， ①-②，得2

12

?=a b b ，回代①，22=a b ， ∴21

cos ,2

??=

==a b a b a b a b b ，∴,a b 夹角为60o .

命题二是真命题.

证明：∵,a b 夹角为60o ，∴1

cos602

?=?=

a b a b a b ， ∵()()375+⊥-a b a b ，∴()()3750+

?-

=a b a b ，

22716150+?-=a a b b ，22

78150+-=a a b b ，解得=a b .

∴(4)(72)-?-=a b a b 2

2

2

2

7308715||||80-?+=-?+=a a b b a a b b ∴(4)(72)-⊥-a b a b 命题三是假命题.

证明：∵,a b 夹角为60o ，∴1

cos602

?=?=

a b a b a b ， ∵(4)(72)-⊥-a b a b ，∴(4)(72)0-?-=a b a b ，2

2

73080-?+=a a b b ∴2

2

715||||80-?+=a a b b ，解得=a b 或78=a b 当78=a b 时，

()()375+?-=a b a b 2271615+?-=a a b b 2

2

78150+-≠a

a b b 。

此时，()3+a b 与()75-a b 不垂直。故命题三是假命题。

18、(本小题满分15分)

如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k (0k >).

（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于θ函数()f θ； （Ⅱ）求当θ多大时，水槽的最大流量最大.

θ a

a

a

19．（本小题满分16分） 已知向量(1tan ,1)x =-a ，(1sin 2cos2,0)x x =++b ，记()f x =?a b ． （1）求f (x )的解析式并指出它的定义域和值域；

（2）若π2()85f α+=，且π

(0,)2

α∈，求()f α．

答案：（1）∵(1tan ,1),(1sin 2cos2,0)x x x =-=++a b ，

∴()(1tan )(1sin 2cos 2)f x x x x =?=-++a b ……………………………2分

2cos sin (2cos 2sin cos )cos x x

x x x x

-=

?+222(cos sin )x x =-2cos2x =．…5分

定义域为ππ,2x x k k ??

≠+∈????

Z ． 值域为[)(]1,00,1-?…………………8分

（2）因ππ2()2cos(2)84f αα+=+=，即π2

cos(2)4α+=＞0，

故π

24

α+为锐角，于是π72sin(2)4α+=． …………………………………10分

∴()f α=ππ2cos22cos((2))44

αα=+-

ππππ2cos(2)cos 2sin(2)sin 4444αα=+++=8

5

． …………………………16分

20、

已知3x =是函数()()2

ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。 【解】：（Ⅰ）因为()'2101a

f x x x

=

+-+

所以()'361004

a

f =+-= 因此16a = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

()()()2

16ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞

()()2'2431x x f x x

-+=+

当()

()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >

当()1,3x ∈时，()'

0f x <

所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞

()f x 的单调减区间是()1,3

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'

0f

x =

所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()2

1616101616ln 291f f =-?>-=

()

()213211213f e f --<-+=-<

所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<

因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。