最新高三数学上期末试卷及答案
最新高三数学上期末试卷及答案 一、选择题
1．若,xy满足1010330xyxyxy，则2zxy的最大值为( ) A．8 B．7 C．2 D．1 2．在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，若,1,3AbABC的面积为32，
则a的值为（ ） A．2 B．3 C．32 D．
1
3．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A．6 B．16 C．32 D．
64
4．在ABC中，2AC,22BC,135ACBo，过C作CDAB交AB于D，则CD( )
A．255 B．2 C．3 D．5
5．设xy，满足约束条件10102xyxyy＞，则yx的取值范围是（ ） A．,22,U B．
2,2
C．,22,U D．
22,
6．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若2bc，6a，7cos8A，则ABC的面积为（ ）
A．17 B．3 C．15 D．
15
2
7．已知数列na的首项110,211nnnaaaa，则20a（ ） A．99 B．101 C．399 D．
401
8．数列,nnab为等差数列，前n项和分别为,nnST，若3n22nnSTn，则77ab（ ）
A．4126 B．2314 C．117 D．
11
6 9．设变量,xy、满足约束条件236yxxyyx，则目标函数2zxy的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．
9
10．数列{}na为等比数列，若11a，748aa，数列1na的前n项和为nS，则5(S ) A．3116 B．158 C．7 D．31
11．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为( ) A． 3－1 B． 3＋1
C．23＋2 D．23－2
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则 A．a＞b B．a＜
b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
二、填空题
13．已知实数，且，则的最小值为____
14．设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则(4)(2)xyxy的最小值为_________. 15．已知数列na的前n项和为21nnS，则此数列的通项公式为___________．
16．已知数列{}na满足51()1,62,6nnannaan，若对任意*nN都有1nnaa，则实数a的取值范围是_________.
17．设等比数列na满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
18．已知数列{}na(*nN)，若11a，112nnnaa，则2limnna ． 19．已知nS是数列{}na的前n项和，122nnSa，若212a，则5S__________．
20．设x，y满足则220,220,20,xyxyxy则3zxy的最小值是______. 三、解答题 21．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足sincos6bAaB
.
（1）求角B的大小； （2）若D为AC的中点，且1BD，求ABCS的最大值.
22．已知000abc＞，＞，＞，函数.fxaxxbc
(1)当1abc时,求不等式3fx＞的解集； (2)当fx的最小值为3时,求111abc的最小值. 23．已知等差数列na的前n项和为254,12,16nSaaS． (1)求na的通项公式；
(2)数列nb满足141nnnbTS，为数列nb的前n项和，是否存在正整数m，
1kmk，使得23kmTT?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
24．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos6bAaB
.
（1）求角B的大小； （2）设a=2，c=3，求b和sin2AB的值.
25．在ABC中,,ABC的对边分别,,abc，若()2sin(2)()26fxxfC，，7c，sinB2sinA，
（1）求C （2）求a的值． 26．设数列na的前n项和为nS.已知233nnS.
（Ⅰ）求na的通项公式； （Ⅱ）若数列nb满足3lognnnaba，求nb的前n项和nT.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC内部（含边界），作直线:20lxy，把直线l向上平移，z增加，当l过点(3,2)B时，3227z为最大
值．故选B．
考点：简单的线性规划问题． 2．B 解析：B 【解析】
试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin,2,232cc由余弦定理
得 考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理． 3．D 解析：D 【解析】
因为，即， 又，所以. 本题选择D选项. 4．A 解析：A 【解析】 【分析】 先由余弦定理得到AB边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】
根据余弦定理得到2222.22ACBCABACBC将2AC,22BC,代入等式得到AB=25, 再由等面积法得到11225252222225CDCD
故答案为A. 【点睛】 这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用
正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点,xy与原点O连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】 作出约束条件表示的可行域，如图所示，
yx的几何意义是可行域内的点,xy与原点O连线的斜率，由102xyy，得点A的
坐标为1,2，所以2OAk，同理，2OBk， 所以yx的取值范围是,22,U.
故选：A 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型. 6．D 解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1sin2ABCSbcA，故需要求出边b与c，由余弦定理可以解得b与c. 【详解】 解：在ABC中，2227cos28bcaAbc
将2bc，6a代入上式得22246748ccc， 解得：2c
由7cos8A得2715
sin188A
所以，111515sin242282ABCSbcA
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底高），二是1sin2bcA.借助12（底
高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin2bcA时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值. 7．C 解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由1211nnnaaa，可得211111111nnnnaaaa，， +1na是以1为公差，以1为首项的等差数列.
∴21,1nnanan，即220201399a
.
故选C. 8．A 解析：A 【解析】
依题意，113713113713132412226132aaaSbbbT. 9．D 解析：D 【解析】 【分析】
福建省福州2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
福州2023-2024学年第一学期第二学段期末考试高三数学期末考试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}e 2,x A y y x ==+∈R∣，集合{lg(1)}B x y x ==-∣，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.[1,2)2.复数z 满足(2i)i +=z ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A.2i 5B.25C.2i 5-D.25-3.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若513a a a =，且4a 与5a 的等差中项为3，则5S 等于（）A.312B.314C.152D.1544.已知正三棱台111ABC A B C -的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（）A. B.C. D.5.设直线()()110R a x ay a +--=∈与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A.⎤⎦B.⎤⎦C.[]2,4 D.⎡⎤⎣⎦6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ¢的位置，且,,A B D '三点共线，40cm,AD B ='为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为25cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A.2332-B.1932-C.58-D.38-7.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l与E 的右支交于点P ，Q 设12PF F △与12QF F 的内切圆圆心分别是M ，N ，直线OM ，ON 的斜率分别是12,k k ，则12223k k =-，则双曲线E 的离心率为（）A.22B.21+ C.2D.628.设函数()(1)e e (0)x x f x a x ax a a =+-+->，若关于x 的不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.3232e e ,4e 23e 1⎛⎫⎪--⎝⎭ B.3232e e ,4e 23e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭C.221e ,2e 3e 1⎛⎫⎪-⎝⎭ D.221e ,2e 3e 1⎡⎫⎪⎢-⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充要条件C.若正数a ，b 满足2a b +=，且a b >，则ln ln 0a b +<D.已知,αβ为两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥10.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,2n n n a b a S ==+，若数列{}n b 既是等差数列，又是等比数列，则（）A.{}n b 常数数列B.{}n a 是等比数列C.{}n S 为递减数列D.ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列11.在三棱锥A BCD -中，已知BC BD ⊥，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，2AB AC AD CD ====，则（）A.过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面是菱形B .平面ADC ⊥平面BCDC.异面直线AC ，BD 互相垂直D.三棱锥A BCD -外接球的表面积为16π312.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）A.PM PN ⊥B.sin PMN ∠的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.若2AFFB =，则直线l D.tan AOB ∠有最大值43-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知π2cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．14.写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②离心率为12；③焦距大于8．15.已知O 的半径是1，点P 满足||OP =，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则当α=___________时，PA PD ⋅ 取得最大值．16.已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是棱DP 上的动点，N 是平面ECD 内的动点，则当||||AM MN +取得最小值时，线段DN 的长度等于___________．四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan tan cos b A b B A+=．（1）求B ∠的大小；（2）若4,3a c ==，直线PQ 分别交AB ，BC 于P ，Q 两点，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，求PQ 的最小值．18.己知数列{}n a 的前n 项积为n b ，且211n nb a +=．（1）证明：{}n b 是等差数列；（2）从{}n b 中依次取出第1项，第2项，第4项……第12n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n c ，求数列(){}1n n c -的前n 项和．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，112PA AB BC ===，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE PC ⊥；（2）试求BF 的长，使平面AEF 与平面PCD 夹角的余弦值为105．20.某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A 、B 、C 三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A ”的概率；（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B ”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．21.己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为12-，椭圆C 的短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若11||||PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．22.已知函数()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点，分别记为m ，n ，且m n <．（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式1e k k mn +>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围．福州2023-2024学年第一学期第二学段期末考试高三数学期末考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{}e 2,x A y y x ==+∈R∣，集合{lg(1)}B x y x ==-∣，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.[1,2)【答案】B 【解析】【分析】先化简两个集合，根据阴影部分可求答案.【详解】由题意图中阴影部分为U B A ⋂ð，而()()2,,1,A B ∞∞=+=+，(],2U A ∞=-ð，所以(1,2]U B A = ð.故选：B.2.复数z 满足(2i)i +=z ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A.2i 5B.25C.2i 5-D.25-【答案】D 【解析】【分析】由复数除法运算以及共轭复数、虚部的概念即可求解.【详解】由题意()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 5z -+===++-，所以12i 5z -=的虚部为25-.故选：D.3.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若513a a a =，且4a 与5a 的等差中项为3，则5S 等于（）A.312B.314C.152D.154【答案】B 【解析】【分析】根据基本量法求出1a 和q ，然后由求和公式可得.【详解】记等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由题可知，21533456a a a a a a ⎧==⎨+=⎩，即2134116a q a q aq ⎧=⎨+=⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1193a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去），所以()55112314124S -==-.故选：B4.已知正三棱台111ABC A B C -的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可.【详解】由题意可知正三棱台111ABC A B C -的上底面面积为16622⨯⨯⨯=，下底面面积为1121222⨯⨯⨯=设11,AB A B 中点为1,D D ，1,H H 为下、上底面中心，连接11,,DD CD HH ，过1D 作1D E ⊥底面ABC 交CD 于E ，由正三棱台的性质可知1DD AB ⊥，CD AB ⊥，因为平面11A B BA ⋂平面ABC AB =，所以1D DC ∠为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即160D DC ∠=︒，因为1112332DH DC ==⨯⨯=，1111116332D H D C ==⨯=，所以11DE DH D H =-=，1tan 603D E DE =⋅︒=，所以此三棱台的体积(133V =⨯+⨯=，故选：C5.设直线()()110R a x ay a +--=∈与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A.⎤⎦B.⎤⎦C.[]2,4 D.⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由条件可知直线过定点()1,1D ，直线CD l ⊥时，弦AB 最短，直线l 过圆心时，弦AB 最长，求解即可.【详解】设直线()()110R a x ay a +--=∈为l ，方程变形为()10a x y x -+-=，所以直线恒过定点()1,1D ，因为圆的方程为224x y +=，所以圆心()0,0C ，半径2r =，2<，所以D 在圆的内部，当直线CD l ⊥时，弦AB 最短，因为CD ==，所以AB ==，当直线l 过圆心时，弦AB 最长为24r =，故AB 的取值范围为4⎡⎤⎣⎦.故选：D .6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ¢的位置，且,,A B D '三点共线，40cm,AD B ='为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为25cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A.2332-B.1932-C.58-D.38-【答案】A 【解析】【分析】先通过题意求出,,AD AB BD ，再通过余弦定理求出cos BAD ∠，进而通过倍角公式可得BAC ∠的值.【详解】当伞完全张开时，402515cm AD =-=，因为B 为AD '的中点，所以120cm 2AB AC AD =='=，当伞完全收拢时，40cm AB BD AD '+==，所以20cm BD =，在ABD △中，2224002254003cos 2220158AB AD BD BAD AB AD ∠+-+-===⋅⨯⨯，所以2923cos cos22cos 1216432BAC BAD BAD ∠∠∠==-=⨯=-.故选：A.7.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l与E 的右支交于点P ，Q 设12PF F △与12QF F 的内切圆圆心分别是M ，N ，直线OM ，ON 的斜率分别是12,k k ，则123k k =-，则双曲线E 的离心率为（） A. B.1+ C.D.62【答案】C【解析】【分析】先根据内切圆的性质确定圆心的坐标，进而得出12,k k ，结合等量关系可得答案.【详解】设12PF F △的内切圆和三边分别相切于点,,D E H ,则1212122PF PF DF HF EF EF a -=-=-=，又122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以OE a =.设直线l 的倾斜角为θ，则由内切圆的性质可得2π2MF E θ-∠=，()22πtan tan2ME EF MF E c a θ-=∠=-，所以1πtan 2c a k a θ--⎛⎫=⎪⎝⎭；同理可得()tan2NE c a θ=-，所以2tan 2a c k a θ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为12πtan tan 322c a a c k k a a θθ---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()213e -=-，解得e =.故选：C.8.设函数()(1)e e (0)x x f x a x ax a a =+-+->，若关于x 的不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.3232e e ,4e 23e 1⎛⎫⎪--⎝⎭ B.3232e e ,4e 23e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭C.221e ,2e 3e 1⎛⎫⎪-⎝⎭D.221e ,2e 3e 1⎡⎫⎪⎢-⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】把不等式转化为111e x x x a ->+-，令1()1e x x h x x -=+-，求得e 2()ex xx h x ='+-，令()e 2x x x ϕ=+-，()e 2x x x ϕ=+-在R 上单调递增，存在唯一的()00,1x ∈使得0()0x ϕ=，得出函数()h x 的单调性，结合(0)h ，()h 1，1()h -，(2)h ，(3)h 的值和题设条件，得出2311234e e a -<≤-，求解即可.【详解】∵()(1)e e 0x x f x a x ax a =+-+-<，等价于111ex x x a ->+-.令1()1e x x h x x -=+-则e 2()ex xx h x ='+-，令()e 2x x x ϕ=+-，()e 2x x x ϕ=+-在R 上单调递增，又由(0)0ϕ<，(1)0ϕ>，∴存在唯一的()00,1x ∈使得0()0x ϕ=，当0x x <时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)2h =，(1)2h =，(1)2e h -=，21(2)3e h =-，32(3)4eh =-.所以当()0f x <有且仅有三个整数解时，有2311234e e a -<≤-，解得3232e e 4e 23e 1a ≤<--，即实数a 的取值范围是3232e e ,4e 23e 1⎡⎫⎪⎢--⎣⎭.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为42,55⎛⎫⎪⎝⎭B.“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充要条件C.若正数a ，b 满足2a b +=，且a b >，则ln ln 0a b +<D.已知,αβ为两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】CD 【解析】【分析】利用投影向量的求法可判定A 的正误，利用直线平行的条件可得B 的正误，利用对数运算及基本不等式可得C 的正误，根据空间位置关系可得D 的正误.【详解】对于A ，向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为()4842,1,555AB AC AC AC AC ⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，A 不正确.对于B ，直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则有26m m +=且1m ≠-，解得2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充分不必要条件，B 不正确.对于C ，因为2a b +=，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以ln ln ln ln10+=≤=a b ab ，因为a b >，所以等号不成立，故ln ln 0a b +<，C 正确.对于D ，因为,//m βαα⊥，所以m β⊥，因为//n β，所以m n ⊥，D 正确.故选：CD.10.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11,2n n n a b a S ==+，若数列{}n b 既是等差数列，又是等比数列，则（）A.{}n b 常数数列B.{}n a 是等比数列C.{}n S 为递减数列D.ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质，结合等比数列的定义逐一判断即可.【详解】对于选项A ：设等差数列{}n b 的公差为d ，由题意可知：1111b a a =+=，因为数列{}n b 也是等比数列，因此有()()2321211201n b b d d d b b b =⇒+=+⇒=⇒=，显然{}n b 既是等差数列，又是等比数列，符合题意，故A 正确；对于选项B ：可知1n n n b a S =+=，当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减得12n n a a -=，且112a =，可得112n n a a -=，可知数列{}n a 是以112a =为首项，公比为12的等比数列，则12n n a =，故B 正确；对于选项C ：因为12n n a =，1n n n b a S =+=，可得112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据指数函数的单调性和单调性的性质可以判断数列{}n S 为递增数列，故C 错误；对于选项D ：因为1ln ln 12ln 2nna n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，所以数列ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是不为零的常数列，所以它是等差数列，故D 正确；故选：ABD11.在三棱锥A BCD -中，已知BC BD ⊥，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，2AB AC AD CD ====，则（）A.过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面是菱形B.平面ADC ⊥平面BCDC.异面直线AC ，BD 互相垂直D.三棱锥A BCD -外接球的表面积为16π3【答案】ABD 【解析】【分析】A 项，利用中位线证明平行关系与长度关系得四边形为菱形；B 项，取CD 的中点P ，由勾股定理证明AP BP ⊥，由等腰三角形三线合一得AP CD ⊥，由线线垂直证线面垂直再证面面垂直即可；C 项，假设垂直推证BD AB ⊥，由斜边与直角边关系可推出矛盾；D 项，取ACD 的中心O ，由面面垂直性质定理得线面垂直关系，由勾股定理得OB OA =，利用球心到各顶点距离相等可得正三角形ACD 的中心O 即为球心.【详解】选项A ，如图，连接EF ，EG ，取BD 的中点H ，连接GH ，FH ，由F 是BC 的中点，得FH CD ∥，12FH CD =，同理得EG D C ∥，12EG CD =，所以EG FH ∥，112EG FH CD ===，四边形EFHG 是平行四边形，于是过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面即为四边形EFHG ，且由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF AB ∥，112EF AB ==，因此EF EG =，所以四边形EFHG 为菱形，故A 正确；选项B ，取CD 的中点P ，连接,AP BP ，由2AC AD CD ===，得AP =，由BC BD ⊥，得1BP =，又2AB =，所以222AB AP BP =+，所以AP BP ⊥，又AP CD ⊥，BP CD P = ，又,BP CD ⊂平面BCD ，所以AP ⊥平面BCD ，又AP ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面BCD ，故B 正确；选项C ，假设AC BD ⊥，已知BC BD ⊥，且,,AC BC C AC BC ⋂=⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，所以BD AB ⊥，所以AD AB >，这与已知“2AD AB ==”矛盾，故C 错误；选项D ，取正三角形ADC △的中心O ，连接,,,OA OB OC OD ，则OA OC OD ==，由于BCD △是直角三角形，CD 为斜边，则PB PC PD ==，由平面ADC ⊥平面BCD ，平面ADC 平面BCD CD =，由OP CD ⊥，且OP ⊂平面ADC ，所以OP ⊥平面BDC ，所以OP PB ⊥，则2222OB OP PB OP PC OC =+=+，所以ADC △的外心O 就是三棱锥A BCD -的外接球球心，所以外接球半径R 就是ADC △的外接圆半径，可知3232233R =⨯⨯=，所以三棱锥A BCD -外接球的表面积为216π4π3R =，故D 正确．故选：ABD.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）A.PM PN ⊥B.sin PMN ∠的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.若2AFFB =，则直线l 3D.tan AOB ∠有最大值43-【答案】BD 【解析】【分析】由题意计算可得4p =，即可得抛物线解析式，设()11,A x y 、()22,B x y ，:2AB l x my =+，联立曲线则可得与两交点有关韦达定理，借助中点公式与距离公式可得以线段AB 为直径的圆的方程，令0x =即可得M 、N 两点坐标，计算PM PN k k ⋅即可得A ，计算tan PMN ∠的范围即可得sin PMN ∠的范围即可得B ，由2AFFB =可计算出A ，B 两点具体坐标，即可得C ，由()tan tan AOB AOF BOF ∠=∠+∠，借助两角和的正切公式及所得韦达定理计算即可得D.【详解】由(2,)E t 在抛物线上，故有24t p =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又4EF =，4===，化简得()()4120p p -+=，又0p >，故4p =，即28y x =，设()11,A x y 、()22,B x y ，:2AB l x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，可得28160y my --=，0∆>，则128y y m +=，1216y y =-，则()2122121242284422222m y y x x my my m m +++++++====+，128422y y m m +==，故()242,4P m m +，AB ==288m ==+，则2442AB m =+，故以线段AB 为直径的圆的方程为()()()2222242444x m y m m --+-=+，令0x =，有()()()222222444421612y m m m m -=+---=+，故4y m=±，由圆的对称性，不妨设(0,4Mm +，(0,4N m-，则()222224444161204204242PM PNm m m m m k k m m m -+⋅=⨯=-----+，则PM PN k k ⋅不恒等于1-，故A 错误；过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则22tan PQ PMN MQ∠===2==，令2433m t +=≥，则234t m -=，则tan PMN ∠=，由对勾函数性质可知，1y t t=+在[)3,+∞上单调递增，故3tan 3PMN ∠≥=，故3090PMN ︒≤∠<︒，则1sin ,12PMN ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，故B 正确；若2AF FB = ，则有()()1212222020x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即2112262x x y y+=⎧⎨=-⎩，由1216y y =-，故22216y =，解得2y =±，则1y = ，则21x =，14x =，故(41lk -±==- ，故C 错误；()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠，由1111tan 00AO y x y F x -∠==-，22220tan 0y yBOF x x -∠==--，故1212211211222121tan tan tan 1tan tan 1x x x y x y AOF BOFAOB AOF BOF x y x y x y y y y x --∠+∠∠===-∠⋅∠++⋅()()()12212121212122241636464my y my y y y y y y y+-+-==-++，则当0m =时，tan AOB ∠有最大值，且其最大值为43-，故D 正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知π2cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】59-【解析】【分析】首先将5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【详解】由题意可得：5ππππsin 2sin 2cos 26626ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π252cos 121639α⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：59-.14.写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②离心率为12；③焦距大于8．【答案】22175100x y +=（答案不唯一，符合题意即可）【解析】【分析】根据离心率可得,,a b c 之间的关系，结合题意取c 的值，即可得方程.【详解】由题意可知：2221228c e a a b c c ⎧==⎪⎪=+⎨⎪>⎪⎩，可得24a cbc =⎧⎪=⎨⎪>⎩，令5c =，可得10,a b ==又因为中心在原点，焦点在y 轴上，可得椭圆的标准方程为22175100x y +=.故答案为：22175100x y +=（答案不唯一，符合题意即可）.15.已知O 的半径是1，点P满足||OP =，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当α=___________时，PA PD ⋅ 取得最大值．【答案】π8【解析】【分析】由题意可知：1PA =，π4OPD α∠=-，根据数量积的定义结合三角恒等变换整理得π1sin 2242PA PD α⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭ ，再根据正弦函数的有界性分析求解.【详解】由题意可知：点P 在以O的圆上，因为直线PA 与O 相切于点A ，则PA OA ⊥，221PA OP OA =-=，可知π4OPA ∠=，π4OPD α∠=-，又因为D 为BC 的中点，则OD PC ⊥，可得ππcos 244PD OP αα⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 2cos 4PA PD PA PD ααα⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ 21112π1cos sin cos sin 22sin 2222242αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，且π04α<<，可得ππ3π2444α<+<，可知：当ππ242α+=，即π8α=时，PA PD ⋅ 取到最大值2122+.故答案为：π8.16.已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是棱DP 上的动点，N 是平面ECD 内的动点，则当||||AM MN +取得最小值时，线段DN 的长度等于___________．【答案】31136【解析】【分析】取CE 中点O ，先由OP ⊥平面CDE ，得N 在线段DO 上，再把PDO △沿PD 翻折到平面APD 上，得到||||AM MN +取得最小值时AN OD ⊥，由此求出结果.【详解】取CE 中点O ，连接DO ，OP由正四面体性质可得DE AB ⊥，CE AB ⊥，因为DE CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE 因为//OP AB ，所以OP ⊥平面CDE ，当||||AM MN +取得最小值时，MN ⊥平面CDE ，所以N 在线段DO 上，由OP ⊥平面CDE ，得OP OD ⊥，111242OP AE AB ===，22213DP =-=，所以111342OD =-=，将PDO △沿PD 翻折到平面APD 上，如图由题意知30ADP ︒∠=，3sin 623OP ODP DP ∠==，1133cos 623OD ODP DP ∠==，则3113cos cos(30)12ODA ODP ︒∠=∠+=，所以当||||AM MN +取得最小值时，即AN OD ⊥，所以31133113cos 2126DN AD ODA =⋅∠=⨯=故答案为：31136四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan tan cos cb A b B A+=．（1）求B ∠的大小；（2）若4,3a c ==，直线PQ 分别交AB ，BC 于P ，Q 两点，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，求PQ 的最小值．【答案】（1）π3B ∠=（2【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式以及诱导公式即可求解；（2）由三角形面积公式首先得6xy =，进一步结合基本不等式以及余弦定理即可求解.【小问1详解】因为tan tan cos b A b B A+=，所以sin sin sin sin cos cos A B B B A B +=即()sin sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B C BB B A B A B A B ++===，所以tan B =，即π3B ∠=.【小问2详解】由题意不妨设,,z BP x Q Q B y P ===，由题意1113422222BPQ S xy =⋅=⨯⨯⨯⨯，所以6xy =，由余弦定理、基本不等式得2222212262z x y xy x y xy xy xy xy =+-⨯=+-≥-==，等号成立当且仅当3x y ==<，综上所述，PQ .18.己知数列{}n a 的前n 项积为n b ，且211n nb a +=．（1）证明：{}n b 是等差数列；（2）从{}n b 中依次取出第1项，第2项，第4项……第12n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n c ，求数列(){}1n n c -的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）1(1)22n n +-⋅+【解析】【分析】（1）由211n n b a +=，1n n n b a b -=，代入可得121n n n b b b -+=，化简即可证明结论；（2）由等差数列的通项公式可得n b ，从而得到数列{}n c 的通项公式，利用错位相减即可求得结果.【小问1详解】因为数列{}n a 的前n 项积为n b ，所以1nn n b a b -=()*2,N n n ≥∈，又因为211n n b a +=，所以121n n nbb b -+=，化简可得12n n b b --=()*2,Nn n ≥∈，当1n =时，11211b b +=，解得：13b =，所以{}n b 是等差数列，首项为3，公差为2.【小问2详解】由（1）可得32(1)21n b n n =+-=+,所以11222121n n n n c b --==⋅+=+，故()12n n n c n -=⋅，令数列(){}1n n c -的前n 项和为n T ，则231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②①-②可得：231121212122nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 化简可得：12(1)2n n T n +=+-⋅，所以数列(){}1n n c -的前n 项和12(1)2n n T n +=+-⋅19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，112PA AB BC ===，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE PC ⊥；（2）试求BF 的长，使平面AEF 与平面PCD 夹角的余弦值为105．【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，写出向量坐标，利用向量数量积证明垂直；（2）求出平面法向量，根据线面角可求答案.【小问1详解】以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z轴，建系如图，()()()()()1,0,0,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,0,0B P C D A ,因为E 为线段PB 的中点，所以11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭;11,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()1,2,1PC =-;因为0AE PC ⋅=,所以AE PC ⊥.【小问2详解】设[]0,2BF a =∈，则()1,,0F a ,则()11,0,,1,,022AE AF a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =，n AE n AF ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩()12x z x ay ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1y =-，则(),1,n a a =-- .()()1,0,0,0,2,1DC DP ==-,设平面PDC 的一个法向量为()111,,m x y z =，00m DC m DP ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ 111020x y z =⎧⎨-+=⎩，令11y =，则()0,1,2m = .设平面AEF 与平面PCD 的夹角为θ，cos m n m n θ⋅==5=，解得14a =，即14BF =.20.某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A 、B 、C 三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A ”的概率；（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B ”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）13（2）分布列见解析，53【解析】【分析】（1）分第一天吃的是“套餐A ”和第一天吃的是“套餐B ”（或“套餐C ”），结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为0,1,2,3，结合题意求分布列和期望.【小问1详解】若第一天吃的是“套餐A ”，则第二天吃的是“套餐B ”或“套餐C ”，此时的概率为11111326P =⨯⨯=；若第一天吃的是“套餐B ”（“套餐C ”），则第二天吃的是“套餐C ”（“套餐B ”），此时的概率为121113226P =⨯⨯=；所以第三天吃的是“套餐A ”的概率1213P P P =+=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为0,1,2,3，则有：()21111103222224P X ==⨯⨯⨯⨯=；()131111211121111111C 132223222322223P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；()112211111112112111132C 11111C 13223222322322224P X ==⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=；()111131132212P X ==⨯⨯⨯⨯=；可知X 的分布列为X0123P124131324112所以X 的期望为()111315012324324123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21.己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为12-，椭圆C 的短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若11||||PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．【答案】21.2212x y +=22.存在稳定点()1,0Q ±，理由见详解【解析】【分析】（1）根据题意可得,A B 两点坐标，设出点(),E x y ，由12⋅=-EA EB k k 化简可得椭圆C 的标准方程；（2）设直线0:PN x my x =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，又1PQ =，2QN y =，从而可求11PQ QN+的表达式，即可求解.【小问1详解】由题，22b =，即1b =，所以()0,1A ，()0,1B -，设(),E x y ，由12⋅=-EA EB k k 可得，1112y y x x -+⋅=-，化简得2212x y +=，又点,A B 满足上式，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】存在这样的点()0,0Q x ，设直线0:PN x my x =+，()11,P x y ，()22,N x y ，120y y <，联立02212x my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()222002220m y mx y x +++-=，012222mx y y m -∴+=+，2012222x y y m -=+，22088160m x ∆=-+>，又1PQ y ===，2QN =，1212121111y y PQ QN y y y y ⎛⎫+∴+=+=⎪⎪⎭121212y y y y -==-2002122x m =⨯-+，要使上式为定值，则2021x -=，故当01x =±时，11PQ QN+为定值，综上，存在这样的稳定点()1,0Q ±.【点睛】思路点睛：第二问，设出直线0:PN x my x =+与椭圆方程联立，得到根与系数关系，又利用两点间距离公式可得又()22210111PQ x x y m y =-+=+，221QN m =+，代入11PQ QN +运算化简得解.22.已知函数()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点，分别记为m ，n ，且m n <．（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式1e k k mn +>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围．【答案】（1）111a e<<+；（2）1k ≥.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最大值，由最大值大于0即可解得结果；（2）根据不等式1e k k mn +>，两边取自然对数后，得到1ln ln k m k n +<+，结合题设得1()k am m k an n +<-+-，消去a 后得)l 1n (ln m nm nk m kn -+<+-，再通过双变量化单变量，构造函数讨论单调性得出.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，1()1f x a x'=+-，当1a ≤时，因()0f x '>，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在两个零点，不合题意；当1a >时，设1()()1g x f x a x '==+-，21()0g x x'=-<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，即1()1f x a x'=+-在()0,∞+上单调递减，由()0f x '=，得11x a =-，当101x a <<-时，()0f x '>；当101x a <<-时，()0f x '<；所以当11x a =-时候，()f x 取得最大值.即111ln ln(1)11111a f a a a a a ⎛⎫=-+=---⎪----⎝⎭,当x 趋近于0时，(1)a x -趋近于0，ln x 趋近于负无穷，()f x 趋近于负无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于负无穷.所以若函数()f x 有两个不同的零点，则ln(1)10a --->，即1ln(1)1ln a e -<-=，解得11a e<+，又1a >，所以实数a 的取值范围111a e<<+.【小问2详解】因为()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点m ，n ，由题知0m n <<，且ln 0ln 0m am m n an n -+=⎧⎨-+=⎩，即ln ln am m man n n -=⎧⎨-=⎩，相减得到：ln ln 1m n a m n--=-由不等式1e k k mn +>恒成立，则1ln(ln )e k k mn +>恒成立，即1ln ln k m k n +<+恒成立，所以1()k am m k an n +<-+-恒成立，故1(1)(1)k m a kn a +<-+-恒成立，即1()(1)k m kn a +<+-恒成立，所以)l 1n (ln m n m n k m kn -+<+-恒成立，即)l 1n (ln m nm nk m kn -+<+-恒成立，即l 11n m mn mkn k n-++<恒成立.设mt n =，则(0,1)t ∈时，不等式1()ln 1t k t k t ++<-恒成立，因为0t k +>，10t -<进而得0(l 1)(n 1)t t t k k--<++在(0,1)t ∈时恒成立，设1()l 1)n ()(h t t t kt k -=-++，(0,1)t ∈，注意到(1)0h =.则21(1()()()()1)t k t h t t k k t +--'=-++，即222222221(1)()((())()(1))t t k h t t t k t t k t t t k --'=-=+--+++=+，又因为(0,1)t ∈且0k >，则2(1)0()t t t k -<+，所以当1k ≥时，20t k -<，即()0h t '>，故()h t 在(0,1)t ∈单调递增，而1t =时0(l 1)(n 1)t t t k k--=++，所以()0h t <恒成立，故1k ≥满足题意.当01k <<时，若2(,1)t k ∈，由()0h t '<，则()h t 在2(,1)t k ∈单调递减，所以当2(,1)t k ∈时()0h t >，与题设不符.综上所述，正数k 的取值范围1k ≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式恒成立的证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求高.。
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-4．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减5．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．257．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题8．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．3510．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D ．511．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>12．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2024届高三上学期期末数学含答案解析
潍坊市2023-2024学年上学期期末考试高三数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2P x x =<，12xQ y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则P Q = （）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,2 D.∅【答案】C【解析】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的值域为()0,∞+，所以{}0Q y y =>，又因为{}2P x x =<，所以()0,2P Q = .故选：C 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43iz=+（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A【解析】复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34i z =-+，则()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 43i 25z -+--+====+++-，故选：A3.已知角ϕ的终边落在()0y x =>上，下列区间中，函数()()2sin f x x ϕ=+单调递增的区间是（）A.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭D.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为角ϕ的终边落在()0y x =>上，可取一点(，则sin 2ϕ=，则ϕ与π3的终边相同，可令π3ϕ=，则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+2π,Z 232k x k k π-+≤≤+∈,所以5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，只有π5ππ,02π,2πZ 266k k k ⎛⎫⎡⎤-⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B,C,D 错误，故选：A.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A.B. C.3πD.9π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为l =，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ，解之得r =，则圆锥的高3h ==则该圆锥的体积为211ππ333π33r h =⨯⨯=，故选：C 5.如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前n 次操作共抠除图形的面积为（）A.1889n⎛⎫⎪⎝⎭B.819n⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1189n⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111889n⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】观察图形的变化可知：图①中，第一次操作涂黑部分正方形的面积为89，图②中，第二次操作涂黑部分正方形的面积为289⎛⎫ ⎪⎝⎭，图③中，第三次操作涂黑部分正方形的面积为389⎛⎫ ⎪⎝⎭，依次类推，可得第n 次操作涂黑部分正方形的面积为89n⎛⎫ ⎪⎝⎭，故前n 次操作共抠除图形的面积为819n⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 6.若函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，则实数m =（）A.1B.1-C.12D.12-【答案】C【解析】由函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，可得()()11f f -=，即1ln e 1ln e 1m m --+=--，解之得12m =，则()1ln e 1(0)2x f x x x =--≠，()()111ln e 1ln e 1ln e 1222x x x f x x x x x f x --=-+=--+=--=故()1ln e 12x f x x =--为偶函数，符合题意.故选：C 7.已知甲：1x ≥，乙：关于x 的不等式()01x aa x a -<∈--R ，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥B.1a > C.a<0D.0a ≤【答案】A【解析】甲：1x ≥，设此范围对应集合[)1,A =+∞；由1a a <+，则乙：()()01011x ax a x a a x a x a -<⇔---<⇔<<+--，设此范围对应集合(,1)B a a =+，若甲是乙的必要不充分条件，则B A ⊆，其中A B =必不成立；则(,1)a a +[)1,⊆+∞，所以1a ≥.故选：A.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点P 在C 上，且112PF AF =，2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.2B.2C.33D.12【答案】D【解析】由题意可得1AF a c =-，则11222PF AF a c ==-，则1222PF a PF c =-=，又212F F c =，2160PF F ∠=︒，则21PF F 为等边三角形，则222a c c -=，即2a c =，故C 的离心率12c e a ==.故选：D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.57.57.87.88.08.0乙：7.57.87.87.88.08.0则下列说法正确的是（）A.评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B.评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C.评委对甲评分的40%分位数为7.8D.评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【解析】选项A ，评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲，评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙，所以x x <甲乙，故A 正确；选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为7.8，且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同，其余数据相同，又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差，且差距较大，故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由640% 2.4⨯=不是整数，则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据，即：7.8，故C 正确；选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为7.8，故D 正确.故选：ACD.10.双曲线22:1E mx ny +=（0m >，0n <）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，则（）A.12PF PF -=B.12F F =C.ED.E的渐近线方程为y =【答案】ABD【解析】221mx ny +=（0m >，0n <），所以双曲线的标准方程为22111x y m n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线为焦点在x 轴，所以21a m =，a =21b n =-，b =，22211c a b m n=+=-，c =122PF PF a -==A正确；122F F c ==，所以B 正确；E的离心率为e ==，所以C 错误；双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，所以D 正确.故选：ABD 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的动点（不与端点重合），则（）A.直线AM 与BN 为异面直线B.存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC.当//AM 平面BDN 时，23CN =D.当N 为1CC 的中点时，点C 到平面BDN的距离为3【答案】AD【解析】如图：以D 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2M ，()0,2,N t （02t <<）.对A ：假设A ，B ，M ，N 共面，则存在,,R x y z ∈，使得DA xDB yDM zDN =++，且1x y z ++=，即()()()()2,0,02,2,00,1,20,2,x y z t =++⇒2202021x x y y tz x y z =⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，解得：1222x y z t =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，即()0,2,2N .故只有N ，1C 重合时，才有直线AM 与BN 共面.而条件N 不与线段1CC 端点重合，所以AM 与BN 必为异面直线，故A 对；对B ：若MN ⊥平面BDN ，则MN DB ⊥⇒()()0,1,2·2,2,00t -=⇒20=，故B 错误；对C ：当23CN =时，设平面DBN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n DB n DN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()(),,·2,2,002,,·0,2,03x y z x y z ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒003x y z y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =可得：()1,1,3n =- ，此时()()·2,1,2·1,1,33AM n =--= ，所以AM 与n 不垂直，即AM 平面BDN 不成立，故C 错误；对D ：当N 为1CC 中点时，设C 到平面BDN 的距离为h ，则··BDC BDN S CN S h = .而·2BDC S CN = ，在BDN 中，22DB =，5DN BN ==，所以DB 523-=122362BDN S =⨯= 636h ==，故D 正确.故选：AD 12.已知函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，则（）A.当1a =-时，()f x 为增函数B.若()f x 有唯一的极值点，则0a >C.当2a ≤-时，()f x 的零点为1±D.()f x 最多有2个零点【答案】ACD【解析】函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，对于A 中，当1a =-时，()1f x x =+单调递增，所以A 正确；对于B 中，当0a =时，()221f x x x =++，此时函数()f x 只有一个极大值点，所以B 错误；对于C 中，当2a ≤-时，设210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-≥，121=x x ，所以1201,1x x <≤≥，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a +=-<-=+，当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a -=>=-，如图所示，所以C 正确；对于D 中，由选项C 可知，当2a ≤-时，函数()f x 有两个零点，当22a -<≤时，240a ∆=-<，可得()2(1)(2)1f x a x a x =++++至多有两个零点；当2a >时，设方程210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-<，121=x x ，所以122,10x x <--<<，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时图象开口向上，对称轴为()21,01,(1)02(1)2a x f f a -+=<-=-=+；当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时图象开口向上，对称轴为()2(0,1),10,(0)12(1)a x f f a -=∈==--，(1)2(2)0f a -=->，如图所示，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -=r r ___.【答案】2【解析】向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -==r r2===，14.已知函数()()()ln e ,021,0x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2f =_________.【答案】4【解析】由题意()()()221404ln e=4f f f ===.故答案为：4.15.无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为__________.【答案】24【解析】分两类：第一类不含数字0，有以下几种组合125++和134++，结果为332A 12=；第二类含数字0，有以下几种组合017++、026++和035++，结果为12223C A 12=；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是24.故答案是：24.16.已知1n a n=，若对任意的()*n n ∈N ，都有()()()212222n a a a kn +++ ≥，则实数k 的最大值为___.【答案】158【解析】由题意可得：()()()122222n a a a k n +++≤对*n ∈N 恒成立.设()()()122222n n a a a b n +++=，令11n n b b +≥，得()2212111n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≥+⇒331n n ≥+⇒2n ≥，又11231b +==，()2112215248b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，所以158k ≤.故答案为：158四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 满足112a =，246a a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由已知得()23511a q a q ⋅=⋅，……………………………………………………2分所以112q =，2q =，…………………………………………………………3分所以121222n n n a --=⨯=.………………………………………………………4分（2）22n n na n -=⋅设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则10121222322n n S n --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，①所以()012121222122n n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②……………………………6分①-②得1121121212122n n n S n ----=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ，()11122212n n n --=-⋅-……………………………………………………8分()11122n n -=-⋅-……………………………………………………9分所以()11122n n S n -=-⋅+.…………………………………………………………10分18.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 在边BC ，AD 上，且2CE DF ==.将矩形CDFE 沿EF 折起至C D FE ''，使得60C EB '∠=︒，M ，N 分别为AB ，C D ''的中点.（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C AE '所成角的正弦值.【解析】（1）在矩形C D FE ''中，2C N C E ''==，90C '∠=︒，所以45C NE '∠=︒，同理45D NF '∠=︒，故EN NF ⊥，①…………………………………………2分连结BC '、ME ，在BEC '△中，由余弦定理知：2222cos 164812BC EB EC EB EC C EB =+-⋅⋅∠=+-''=''，所以BC '=MN =，又因为NE ===ME ===所以222ME MN NE =+，所以90ENM ∠=︒，即EN MN ⊥，②………………………5分由①，②及MN NF N = ，,MN NF ⊂平面MNF ，可得EN ⊥平面MNF .………………6分（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则()0,0,0E，(C '，()4,4,0A，(N，(EC '= ，()4,4,0EA =，设平面C AE '的法向量(),,n x y z =，则0440n EC y n EA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎪⎩'+=，令x =y =，1z =，所以)n =.…………………………………………………………9分因为(EN =，所以42cos ,14n EN n EN n EN⋅===，………………………………………………………11分所以EN 与平面C AE '所成角的正弦值为14.…………………………………………………………12分19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a c +=，3A C π-=.（1）求cosB ；（2）若b =ABC 的面积.【解析】（1）因为a c +=，所以由正弦定理得sin sin A C B +=，…………………………………………………………1分因为3A C π-=，且A B C π++=，所以32B C π=-，232B A π=-，…………………………………………………………2分所以2sin sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22sin cos cos sin sin cos cos sin 32323232B B B B B ππππ-+-=，…………………………4分2B B =，所以cos4sin cos 222B B B =，因为022B π<<，所以1sin 24B =，…………………………………………………………5分所以27cos 12sin 28B B =-=；…………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………7分即()27524a c ac ac =+--，得()21554ac =-，得443ac =，…………………………………………………………9分因为7cos 8B =，所以sin 8B =，………………………………………………………10分所以1sin 212ABC S ac B ==△…………………………………………………………12分20.已知函数()()()e 2ln 0x f x a a x a =+->，()f x 的导函数为()f x '.（1）当1a =时，解不等式()e xf x >；（2）判断()f x '的零点个数；（3）证明：()224ln 4a f x a ++≥.【解析】（1）当1a =时，()e 12ln e x x f x x =+->，所以1ln 2x <，所以0x <<，所以不等式的解集为(.…………………………………………………………3分（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2e 2e x xax f x a x x ='-=-.………………………………4分令()e 2x g x ax =-，则()()1e 0xg x a x =+>'，所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增.…………………………………………………………5分又因为()020g =-<，2222e 22e 10a a g a ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =，所以()f x '在区间()0,∞+上有且只有一个零点0x .……………………………………………………7分（3）证明：由（2）知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+上单调递增，所以()()()000e 2ln x f x f x a a x ≥=+-.…………………………………………………………9分因为00e 20x ax -=，所以002e x a x =，00ln ln 2ln a x x +=-.……………………………………10分所以()()()0200002e 2ln 2ln 2ln x f x a a x a a x x =+-=+---22220022ln 4ln 44a a x a a x =+++++≥，所以()224ln 4a f x a ≥++.…………………………………………………………12分21.某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.（1）若2n =，2m =，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.（2）已知；随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X p ==-==，.则11n i i n i i E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，且()2112,1,2,3,,n n i i i i i j i j E X p p p i j n ==<⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.【解析】（1）应选择第一条路线，…………………………………………………………1分理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量1X 、2X ，则10,1,2X =，20,1,2X =，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1122141C 339P X ==⨯⨯=，()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以()1484993E X =+=；…………………………………………………………3分又()212104510P X ==⨯=，()2321391454520P X ==⨯+⨯=，()233924520P X ==⨯=，所以()299272202020E X =+⨯=；……………………………………………………5分因为427320<，所以应选择第一条路线.………………………………………………6分（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以()11n n i i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；()22112n n i i i j i i i j E X E X p p p ==<⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑，………………………………………………8分设随机变量Y ，Y 取值为()1,2,3,,i Y i n =L ，其概率分别为i q ，且11n i i q==∑，()(){}21n i i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i i i Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22111222n n ni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X=-2112n n i i j i i i j i p p p p =<=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑21122n n i i j i i j i i j i i j p p p p p p =<=<⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑，………………………………………11分又因为12i i p =，所以()1111111111224411241124n n n n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅.…………………………………………………………12分22.在直角坐标系xOy 中，点P 到直线92y =的距离等于点P 到点70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求QMN 面积的最小值.【解析】（1）设(),P x y ，92y =-，…………………………………………………………1分整理得282x y =-；…………………………………………………………3分（2）如图：设2,42a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,42b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设0a b <<，因为242x y =-，所以y x '=-，…………………………………………………………4分所以过点A 的切线方程为()242a y a x a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即242a y ax =-++，同理可得过点B 的切线方程242b y bx =-++，………………………………………………………6分联立QA ，QB 方程，得8,22a b ab Q +-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y =，得4,02a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭，4,02b N b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()42a b b a MN ab --=+，…………………………………………………………8分所以QMN 的面积()4181822222a b ab b a ab S MN ab ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫=⨯=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0a ->，所以()()418222b a b a ab S ab ⎧⎫⎡⎤+-+--⎪⎪⎛⎫⎣⎦=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭142284822222ab ab ab ab ⎛⎛⨯--⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………………………10分t =，得234816416224t t S t t t t ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221643164S t t ⎛⎫=+- ⎝'⎪⎭，令0S '=，得283t =由0S '>⇒22643160t t +->⇒()()223880t t -+>⇒283t >；所以当2803t <<时，()S t 单调递减，当283t >时，()S t 单调递增；所以当283t =，即3t =时，9S =为最小值.…………………………………………………12分。
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷附答案解析
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷2024.01注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合2{|210}A x x x =--≤，{}ln B x y x ==∣，则()R A B ⋂=ð（）A．[]0,1B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．(],1-∞D．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知复数252ii i z +=+，则z 的虚部为（）A．12-B．1-C．32-D．323．与双曲线2219y x -=有共同的渐近线，且经过点)的双曲线方程为（）A．223126x y -=B．223162y x -=C．221218x y -=D．221182y x -=4．若数列{}n a 为等比数列，则“31a ≥”是“152a a +≥”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）A．60B．70C．80D．906．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b 上的投影向量为（）A．12b - B．13b - C．23b D．23b -7．已知tan 12A =，则cos44cos23cos44cos23A A A A -+=++（）A．116B．18C．14D．128．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B．若随机变量()()2~2,10.68X N P x σ>=，，则()230.18P x ≤<=C．设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P B A P B =∣，则事件A 与事件B 相互独立D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712=χ，依据0.05α=的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．已知()()()()()726701267211111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A．01a =B．7123731a a a a ++++=- C．5672a =-D．61237237143a a a a ++++=⨯ 11．抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设B 关于y 轴的对称点为B '，则下列说法一定正确的是（）A．sin FA p FA θ+=B．22sin pAB θ=C．22cos AOBp S θ= D．2tan AFB S p θ'= 12．已知0a b >>，0c d >>， 1.1ln 1ln 1a ba b ==++，()()1ln 1ln 0.9c cd d -=-=，则（）A．2a b +>B．2c d +>C．11a bd c ->-D．1ad >第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为13，小王每一局获胜的概率为23，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为.14．若点P 直线30x y ++=上的动点，过P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α的最大值为.15．将函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GHGM +的最小值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*532323N n n S S a a n ==+∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n n b +=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在三棱锥-P ABC 中，1PA BC ==，AB =PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ，M 是PC 的中点.(1)求证：AB BC ⊥;(2)求平面PAB 与平面MAB 的夹角.19．某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：月份x123456净利润y （万元）510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dxy c =与y a bx =+（a b c d ，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程；(3)已知该企业的产品合格率为90%，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？参考数据：xyω()6211i x x =-∑()621ii ωω=-∑()()61iii x x ωω=--∑()()61iii x x y y =--∑3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中lny ω=.参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.20．在ABC 中，已知sin 1,tan 2cos AAC B A ==-.(1)求AB 的长；(2)若BAC ∠的平分线AD 交BC 点D ，求AD BC ⋅的最大值.21．已知点(F 和直线l :y =，动点P 与定点F 的距离和P 到定直线l 的距离的比是常数22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知()1,1M ，过点M 作直线l '交C 于A ，B 两点，若2AM MB =，求l '的斜率k 的值.22．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>≠，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数xy x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ''''⎡⎤====+⎢⎥⎣⎦.(1)已知()1x xf x x x -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ≠，0x >.研究()112xxm g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2ts s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2st t a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭大小关系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题设1{|(21)(1)0}{|1}2A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|0}B x x =>，所以R {|0}B x x =≤ð，故()R 1{|0}2A B x x ⋂=-≤≤ð，即为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D2．C【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.【详解】252i 2i (2i)(1i)13i i i 1i (1i)(1i)22z +++--====--+-+-+--，故虚部为32-.故选：C 3．D【分析】设所求双曲线方程为229y x k-=，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为229y x k-=，又双曲线过点，∴2629k-=，即2k =-，∴双曲线方程为2229y x -=-，即221182y x -=，故选：D．4．C【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.【详解】若数列{}n a 的公比为q ，由2311a a q =≥，故10a >，则4510a a q =>，所以15322a a a +≥=≥，当且仅当15a a =，即21q =时取等号，故充分性成立；由152a a +≥，故23322a a q q +≥，若212q =，则345a ≥，故必要性不成立；故选：C5．B【分析】只需确定从8人中任抽4人放在第一排的方法数即可得答案.【详解】从8人中任抽4人放在第一排有48C 70=种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种.故选：B 6．D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=- ，由a 在b上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D7．A【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．【详解】1tan 2A =，则2244224cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4sin 1tan cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4cos 16A A A A A A A A A A A A A-+--+-=====++-+++．故选：A．8．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.9．BCD【分析】根据百分位数的定义可判定A，利用正态分布的对称性可判定B，利用条件概率及相互独立事件的定义可判定C，利用独立性检验的意义可判定D.【详解】对于A，因为1070%7⨯=，又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，所以第70百分位数为7.5，故A 错误；对于B，根据正态分布的性质可知为()20.5P x ≥=，()()()()2312120.18P x P x P x P x ∴≤<=<≤=>-≥=，故B 正确；对于C，根据条件概率可知()()()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A ==⇒=∣，由相互独立事件的判定可知C 正确；对于D，根据独立性检验的意义可知20.054.712x χ=>，故可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D 正确.故选：BCD.10．ABD【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.【详解】A：在已知等式中，令1x =，则有()7002111a a ⨯-=⇒=，所以本选项正确；B：在已知等式中，令2x =，则有()77012712722131a a a a a a a ⨯-=++++⇒+++=- ，所以本选项正确；C：因为()()7721211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，所以()51x -项的系数55257C 21672a =⨯⨯=，D：对已知等式，两边同时求导，得()()()6612772122171x a a x a x -⨯=+-++- ，在该式中，令2x =，则有612714327a a a ⨯=+++ ，所以本选项正确，故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得.【详解】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，准线方程为2p y =-，设11221(,),(,),0A x y B x y x >，过A 作AD x ⊥轴于D ，过F 作FM AD ⊥于M ，显然AFM θ∠=，由抛物线定义得1||2p FA y =+，1||||||||2pAM AD OF y FA p =-=-=-，而||||sin AM FA θ=，则||sin ||FA FA p θ=-，因此||sin ||FA p FA θ+=，A 正确；显然||1sin p FA θ=-，同理||1sin p FB θ=+，则22||||||1sin 1sin cos p p p AB FB FA θθθ=+=+=+-，B 错误；又π2OFB θ∠=-，则点O 到直线AB 的距离π||sin()cos 22pd OF θθ=-=，因此22112||cos 22cos 22cos AOBp p p S AB d θθθ=⋅=⋅⋅= ，C 正确；显然π2OFB OFB θ'∠=∠=-，则2AFB θ'∠=，又||||1sin pFB FB θ'==+，因此211||||sin 2sin 2tan 221sin 1sin AFB p p S FA FB p θθθθθ''==⋅⋅⋅=-+ ，D 正确.故选：ACD12．ABC【分析】构造函数()ln 1x f x x =+，则有()() 1.1f a f b ==、111 1.10.9ff c d ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得C、D，构造函数()213ln 122x F x x x x =-+-+，结合函数性质可得2a b +>，构造函数()()1ln g x x x =-及()()()2G x g x g x =--，可得2c d +>.【详解】令()ln 1x f x x =+，则()()2ln ln 1x f x x '=+，当110,,1e e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()111ln11f ==+，有()() 1.1f a f b ==，故11e b a <<<，又()11111ln ln 1c f c c c c ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，()11111ln ln 1d f d d d d ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，故11110 1.10.99f f c d ⎛⎫⎛⎫===> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有1111e b a cd <<<<<，故11a b d c ->-，即C 正确，11a d <<，即1ad <，故D 错误，令()213ln 122x F x x x x =-+-+，则()()2ln 1ln 1x F x x x =-++'，令()()2ln 1ln 1xx x x μ=-++，则()()()()()24311ln 12ln ln 11ln 11ln 1ln 1x x x x x x x x x x μ+-+-=-=-++'，当11e x <<时，()()31ln 11ln 1ln 0ln 1xx x x x x μ-=->--=-'>+，当1x >时，()()31ln 10ln 1x x x x μ-=-<+'，故()x μ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()()2ln11110ln11μ=-+=+，故()0x μ≤恒成立，即()0F x '≤恒成立，故()F x 在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()113110ln1122F =-+-=+，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，当()1,x ∞∈+，()0F x <，即当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，213ln 122x x x x >-++，当()1,x ∞∈+时，213ln 122x x x x <-++，令2131.122x x -+=，即220.80x x -+=，此时4 3.20.80∆=-=>，故该方程有两个不相等的实根，设两根为1x 、2x ，且121x x <<，则有122x x +=，由 1.111a b lna lnb ==++，且11e b a <<<，故有11x b x a <<<，由122x x +=，故122a b x x +>+=，即2a b +>，故A 正确；令()()1ln g x x x =-，有()()0.9g c g d ==，则()1ln 1ln g x x x -'=-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∞∈+，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()11g =，又0c d >>，故1d c <<，令()()()()()()21ln 21ln 2G x g x g x x x x x ⎡⎤=--=-----⎣⎦，则()()()()()22ln ln 2ln 2G x g x g x x x x x =+-=---=-'-''，由01x <<，故()222111x x x -=--+<，即()0G x '>，故()G x 在()0,1上单调递增，又()10G =，故()0G x <恒成立，即()()2g x g x <-，由1d c <<，即有()()2g d g d <-，又()()g d g c =，即有()()2g c g d <-，有21d ->，1c >，又()g x在()1,∞+上单调递减，故2c d>-，即2c d+>，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数()ln1xf xx=+，结合函数性质，从而得到a、b、1c、1d的大小关系，即可得C、D，构造函数()213ln122xF x x xx=-+-+与函数()()()2G x g x g x=--，从而得到a b+、+c d与2的关系.13．20 27【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求小王在比赛中获胜的概率.【详解】由题设，小王在比赛中获胜情况：小王在前2局都胜，小王在前2局胜一局且第3局胜，所以小王在比赛中获胜的概率为222122023333327⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：20 2714．5【分析】根据题设可得直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，有π(0,)22APCα∠=∈，结合点线距离求得52||2PC≥，再由22||||sin||AC APPCα==，即可求其最大值.【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，如下图，1π(0,)222APC APBα∠=∠=∈，且||PC≥=，所以22||||sin2sin cos22||AC APPCααα===，令212(0,||25tPC=∈，则sinα=所以max(sin)5α=.故答案为：15．10,3⎛⎤⎝⎦【分析】根据图象平移得()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，将问题化为siny t=在πππ(,π)266ωω++上递增，结合正弦函数性质求参数ω的取值范围.【详解】由题设()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，又π2π,63x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ(,π36266t xωωωω=++∈++，即siny t=在πππ(,π266ωω++上递增，又0ω>，所以ππ026πππ62ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩或ππ3π2π262π5ππ2π62kkωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩且Nk∈，故13ω<≤或843723kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且Nk∈，则1(0,]3ω∈.故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦16．24612【分析】根据给定条件，确定点H的位置，再把111,AA C ABC展开放置于同一平面内，借助三点共线，结合余弦定理求解即得.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C EF H'=，连接11B D，由1AA ⊥平面1111D C B A ，EF ⊂平面1111D C B A ，得1AA EF⊥，由,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，得11//EF B D ，而1111AC B D ⊥，则11A C EF⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C ，于是EF ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C，连接GH '，显然GH '⊂平面11AA C ，因此GH EF '⊥，则有GH GH '≥，当且仅当点H 与H '重合，即H 为线段EF 的中点时取等号，又MG ⊂平面1ABC ，把111,AA C ABC 展开放置于同一平面内，连接1MH AC G= ，于是GH GM +的最小值，即为线段MH 长，连接AH ，依题意，1A H =，在1Rt AA H 中，344AH =，11sin A AH A AH ∠=∠=1111sin A AC A AC ∠=∠=111sin sin 22A AB A AC ∠=∠=，21111cos cos 2123A AB A AC ∠=∠=-⨯=-，则111cos cos()33MAH A AB A AH ∠=∠-∠=-+在MAH 中，由余弦定理得MH =，GH GM +的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.17．(1)43n a n =-；(2)552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.【分析】（1）根据等差数列前n 项和、通项公式列方程求基本量，即可得通项公式；（2）写出n n nc a b =的通项公式，应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设有112115103(33)23a d a d a a d a +=+⎧⎨=+=+⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，即43n a n =-；（2）由（1）及已知得()1433n n n n c a b n -==-⋅，则()0111353433n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ①，()()12131353473433n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①，得()()121214333433n nn T n -=--++++-⨯ ()()13131443313n nn --=--⨯+-⨯-()5453nn =+-⨯，所以552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析；(2)π4.【分析】（1）作AH PB ⊥，垂足为H ，根据面面垂直性质得AH ⊥平面PBC ，再由线面垂直性质得AH BC ⊥、PA BC ⊥，最后由线面垂直的判定及性质证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小；法二：取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME ，由面面角的定义找到其平面角，再根据已知条件求平面角的大小.【详解】（1）作AH PB ⊥，垂足为H，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AH ⊂平面PAB ，所以AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AH A ⋂=，,PA AH ⊂面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，由AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.（2）（向量法）如图，以B 为原点，,BC BA 及垂直面ABC 向上为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系.所以()()()11,1,0,0,,,222A C P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()BA =，1122BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，易知平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则011022BA n BM n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1x =，所以(1,0,1)n =-，则||2|cos ,|2||||m n m n m n ⋅===，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.（几何法）取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又//DE PA ，所以DE AB ⊥，由（1）知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，在直角PBC 和直角PAC △中PC ===，12AM PC BM ===，所以MAB △是等腰三角形，所以ME AB ⊥，综上，DEM ∠即为二面角P AB M --的平面角，12DE =，12DM =，2EM ==，则222DE DM EM +=，所以DEM △为等腰直角三角形，故π4DEM ∠=，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.19．(1)e dx y c =(2)0.740.90ˆe x y +=(3)8件或9件【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值.【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择e dxy c =（2）两边取对数，得ln ln y dx c =+，设ln y ω=，ln c e =，建立ω关于x 的回归方程ˆˆˆwdx e =+，则()()()6126112.950.7417.50ˆi i i i i x x dx x ωω==∑--===∑-，3.490.74 3.500.90ˆˆe dx ω=-=-⨯=，所以ω关于x 的回归方程为0.74.0ˆ09x ω=+，所以0.740.90ˆe x y +=.（3）设抽到的产品中有X 件合格品，则()~9,0.9X B ，所以()()99C 0.90.101210k k k P X k k -==⋅⋅= ，，，，，()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即91189********C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，()()()()()()91891109!9!0.90.10.90.1!9!1!8!9!9!0.90.10.90.1!9!1!10!k k k kk k k kk k k k k k k k -+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪---⎩，解得89k ≤≤，所以最有可能是8件或9件.20．(1)2(2)2【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到2sin sin B C =，再利用正弦定理即可求出结果；（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，利用ABC ABD ACD S S S =+ 及条件得出4cos 3AD θ=，再利用余弦定理得BC =AD BC ⋅=【详解】（1）由题意得，sin sin cos 2cos B AB A =-，得到2sin sin cos sin cos B B A A B -=，所以()2sin sin cos sin cos sin sin B A B B A A B C=+=+=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得到2AB AC =，又1AC =，所以2AB =.（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin2sin sin 222bc AD c AD b θθθ=⋅+⋅，又2,1c b ==，所以4cos 3AD θ=，由余弦定理，BC ===所以AD BC ⋅=当3cos 4θ=时，AD BC ⋅取到最大值.21．(1)22142y x +=(2)k 【分析】（1）设(),P x y ，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线方程为(1)1y k x =-+代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x+，再由向量运算的坐标表示得出12,x x 的关系，结合越来可求得k 值．【详解】（1）设(),P x y=，化简得C :22142y x +=.（2）设l '：()()()()1122111,,y k x kx k A x y B x y =-+=+-，，，与C 联立得，()()2222222230kx k kx k k ++-+--=，因为221131424+=<，则定点()1,1在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以21222122222232k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩①②因为2AM MB = ，所以()2OM OA OB OM-=-，即1233OM OA OB =+ ，所以1223x x +=③，由①③得212222462262k k x k k k x k ⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩④⑤，将④⑤代入②，得222222462623222k k k k k k k k k --++--⋅=+++，化简得2732300k k ++=，，解得k .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出212222462262k kxkk kxk⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，最后得到关于k的方程，解出即可.22．(1)1y=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数()()()()ln1ln11ln2 t t t t t tϕ=-++++，即可求解，（3）根据()g x的单调性，即可令bma=求解.【详解】（1）()11lne x xx xxf x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，则()1ln2211e1ln1x xxf x xx x⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，所以()10f'=，又因为()11f=，所以切线方程为1y=.（2）()()1ln1ln21e2xmx xxmg x+-⎛⎫+==⎪⎝⎭，0x>，()()()()()()ln 1ln 22ln 1ln 11ln2e1x m x x x x x xxm m m m m g x x m +--++++=⋅+'，0x >令0x m t =>，令()()()()ln 1ln 11ln2t t t t t t ϕ=-++++，()()2ln ln 1ln2ln 1tt t t t ϕ=-++=+'，令()2ln01tt t ϕ'=>+，解得1t >，所以()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.（3）由（2）知，令b m a =，得()111122xxx x x b a b ag x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由（2）知()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()12xxxa b h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，当s t ≥时，1122ssttsta b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22tss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当s t <时，22t ss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．。
2023-2024学年湖北省武汉市武昌区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）A．所有三角形都是直角三角形B．所有三角形都不是直角三角形C．有些三角形不是直角三角形D．有些三角形不是锐角三角形2．若复数z满足z（i+1）＝1，则＝（）A．i B．﹣i C．D．3．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（）A．B．C．D．4．已知，则＝（）A．2B．C．D．15．已知集合A＝{y|y＝lnx，x∈B}，若A∪B＝[0，则集合B可以为（）A．（0，e]B．（0，1]C．（1，e]D．[1，e]6．为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，则（）A．y有最大值B．y有最小值C．y随x的增大而增大D．y随x的增大而减小7．已知函数f（x）＝sin（x+φ），0＜φ＜π（x）在上存在最大值，但不存在最小值（）A．B．C．D．8．已知O是坐标原点，过抛物线：y2＝4x上异于O的点M（a，b）作抛物线的切线l交x轴于点N（b，0），则△OMN的外接圆方程为（）A．（x+2）2+（y+6）2＝40B．（x+2）2+（y﹣6）2＝40C．（x+2）2+（y+6）2＝20D．（x+2）2+（y﹣6）2＝20二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．对于随机变量X，下列说法正确的有（）A．若E（X）＝1，则E（2X﹣1）＝1B．若D（X）＝1，则D（2X﹣1）＝4C．若X～N（2，4），则E（X）＝4D．若X～B（10，0.5），则E（X）＝510．已知不重合的直线m，n，l和平面α，β，则（）A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m⊥l，n⊥l，则m⊥nC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β11．已知数列{a n}满足a1＝1，，数列{b n}满足，则（）A．a1b1＝a2b2＝a3b3B．a n b n＝a n+1b n+1C．存在k∈N*，使得a k≤a k+1D．数列{b n}单调递增，且对任意n∈N*，都有12．已知P（x P，y P），Q（x Q，y Q）是曲线C：6x2﹣6x+7y2﹣21+|y2+6x﹣3|＝0上不同的两点，O为坐标原点，则（）A．的最小值为1B．C．若直线y＝k（x﹣3）与曲线C有公共点，则D．对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，都存在唯一点Q，使得曲线C在P，Q两点处的切线垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设P为△ABC所在平面内一点，满足，则＝．14．若点A（0，1）在圆C（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）上，则过A的圆的切线方程为．15．楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，笔画平直，可作楷模”，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，则不同的写法共有种．（用数字作答）16．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响cm2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边（a cos B﹣b sin A）＝a2﹣b2．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b+c．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．（1）求证：AC⊥PR；（2）求平面PQR与平面A1B1C1所成二面角的余弦值．19．（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位．为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关（1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m（m≠0），．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若[x]表示不超过x的最大整数，[S10]＝10，求实数m的取值范围．21．（12分）已知双曲线C：，点F（4，0）是C的右焦点．（1）求C的标准方程；（2）过点F的直线与C的右支交于A，B两点，以AB为直径的圆记为M，求出定圆的方程；若不存在22．（12分）已知函数，m∈R．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0）；（2）若f（x）有且仅有1个零点，求m的取值范围．2023-2024学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）A．所有三角形都是直角三角形B．所有三角形都不是直角三角形C．有些三角形不是直角三角形D．有些三角形不是锐角三角形解：“有些三角形是直角三角形”的否定为：所有三角形都不是直角三角形．故选：B．2．若复数z满足z（i+1）＝1，则＝（）A．i B．﹣i C．D．解：z（i+1）＝1，则z＝＝，故＝＝．故选：C．3．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（）A．B．C．D．解：因为正数a，b满足a+2b＝1时取等号，所以0＜ab．故选：C．4．已知，则＝（）A．2B．C．D．1解：，则＝．故选：D．5．已知集合A＝{y|y＝lnx，x∈B}，若A∪B＝[0，则集合B可以为（）A．（0，e]B．（0，1]C．（1，e]D．[1，e]解：当B＝（0，e]时，x∈B}＝{y|y≤1}，e]；当B＝（6，1]时，x∈B}＝{y|y≤0}，2]；当B＝（1，e]，x∈B}＝{y|0＜y≤4}，e]；当B＝[1，e]，x∈B}＝{y|0≤y≤2}，e]．故选：D．6．为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，则（）A．y有最大值B．y有最小值C．y随x的增大而增大D．y随x的增大而减小解：f（x）＝＝，0＜x＜1，f′（x）＝，令u（x）＝sin（πx）﹣πx，4＜x＜1，u′（x）＝πcos（πx）﹣π＝π[cos（πx）﹣1]＜2，∴u（x）＜u（0）＝0，∴函数f（x）在（0，5）上单调递减，因此只有D正确．故选：D．7．已知函数f（x）＝sin（x+φ），0＜φ＜π（x）在上存在最大值，但不存在最小值（）A．B．C．D．解：∵x∈，∴x+φ∈[φ，+φ）f（x）＝sin（x+φ），4＜φ＜π上存在最大值，①若最大值在处取得，则＜φ≤；②若最大值在φ处取得，则，解得；综上所述，＜φ≤．故选：D．8．已知O是坐标原点，过抛物线：y2＝4x上异于O的点M（a，b）作抛物线的切线l交x轴于点N（b，0），则△OMN的外接圆方程为（）A．（x+2）2+（y+6）2＝40B．（x+2）2+（y﹣6）2＝40C．（x+2）2+（y+6）2＝20D．（x+2）2+（y﹣6）2＝20解：由题意知，切线l过点M（a，N（b，且ab≠0，所以切线l的方程为x＝y+b，与抛物线y2＝7x联立，消去x得by2﹣4（a﹣b）y﹣5b2＝0，因为直线l与抛物线相切，所以Δ＝16（a﹣b）2+16b3＝0，即（a﹣b）3+b3＝0，又M（a，b）在抛物线y4＝4x上，所以b2＝2a①，所以（a﹣b）2+b•4a＝2，即（a+b）2＝0，所以a＝﹣b②，由①②解得a＝6，b＝﹣4，所以M（4，﹣6），0），0），所以直线ON的中垂线方程为x＝﹣4，直线OM的斜率为＝﹣1，﹣5），即y＝x﹣4，联立，得x＝﹣2，即△OMN外接圆的圆心为（﹣2，所以外接圆的半径为＝，所以△OMN外接圆的方程为（x+3）2+（y+6）4＝40．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．对于随机变量X，下列说法正确的有（）A．若E（X）＝1，则E（2X﹣1）＝1B．若D（X）＝1，则D（2X﹣1）＝4C．若X～N（2，4），则E（X）＝4D．若X～B（10，0.5），则E（X）＝5解：E（2X﹣1）＝5E（X）﹣1＝1，A对；D（7X﹣1）＝4D（X）＝3，B对；若X～N（2，4），C错；若X～B（10，8.5），D对．故选：ABD．10．已知不重合的直线m，n，l和平面α，β，则（）A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m⊥l，n⊥l，则m⊥nC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β解：若m∥l，n∥l，故A正确；若m⊥l，n⊥l，故B错误；若m⊂α，n⊂α，n∥β，有α∥β，有α∥β或α与β相交；若m⊥α，m⊂β，故D正确．故选：AD．11．已知数列{a n}满足a1＝1，，数列{b n}满足，则（）A．a1b1＝a2b2＝a3b3B．a n b n＝a n+1b n+1C．存在k∈N*，使得a k≤a k+1D．数列{b n}单调递增，且对任意n∈N*，都有解：a1＝1，，可得a n+1＝a n﹣，可得a2＝4﹣＝，a3＝﹣＝，a7＝﹣＝，…，a n＝（）n﹣3，由，可得b1＝1+5＝2，b2＝2+1+2＝2，b3＝1+8+2+4＝8，…，b n＝2n，则a1b3＝a2b2＝a7b3，故A正确；由b n＝，可得a n b n＝a n+1b n+1，故B正确；由b n＞8，可得a n＞a n+1，故C错误；由b n＝2n，可得{b n}递增，且b8+b2+...+b n＝2+8+8+...+2n＝＝2n+3﹣2＜2n+8，故D正确．故选：ABD．12．已知P（x P，y P），Q（x Q，y Q）是曲线C：6x2﹣6x+7y2﹣21+|y2+6x﹣3|＝0上不同的两点，O为坐标原点，则（）A．的最小值为1B．C．若直线y＝k（x﹣3）与曲线C有公共点，则D．对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，都存在唯一点Q，使得曲线C在P，Q两点处的切线垂直解：因为6x2﹣2x+7y2﹣21+|y4+6x﹣3|＝3，所以①当y2+6x﹣6≥0时，曲线C的方程为：6x2+8y2＝24，即，此时y2＝8×（1﹣），所以6x﹣，解得0≤x≤6，所以曲线C是右半椭圆；②当y2+6x﹣4＜0时，曲线C的方程为：6x2+6y2﹣12x﹣18＝8，即（x﹣1）2+y3＝4，（﹣1≤x＜8），曲线C是以（1，0）为圆心；对于A，|OQ|5＝+，当Q位于椭圆部分时，当Q位于圆部分时，最小值为4，故A正确；对于B，当P（﹣1，+＝2；对于C，当直线y＝k（x﹣6）过点（3，若直线y＝k（x﹣3）与曲线C有公共点，只需该直线与椭圆部分有公共点即可，由，得（4+4k2）x﹣24k7x+36k2﹣12＝0，Δ＝（﹣24k3）2﹣4×（36k5﹣12）×（3+4k3）≥0，解得k2≤，即﹣，故C错误；对于D，当点P（1﹣，，曲线C在点P处的切线方程为：y＝x+2，此时Q可以是（8﹣，﹣），Q也可以在曲线C的椭圆部分上，点Q不唯一，故D错误．故选：A．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设P为△ABC所在平面内一点，满足，则＝0．解：因为，所以＝（﹣﹣）＝•﹣•﹣•+•＝0﹣（﹣﹣）＝﹣（﹣）＝﹣•＝•＝7．故答案为：0．14．若点A（0，1）在圆C（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）上，则过A的圆的切线方程为y＝x+1．解：因为点A（0，1）在圆C：（x﹣7）2+y2＝r4（r＞0）上，所以（0﹣4）2+13＝r2（r＞0），即r2＝2，所以圆C：（x﹣1）6+y2＝2，因为，所以切线斜率k＝1，所以过A的圆的切线方程为y﹣8＝（x﹣0），即y＝x+1．故答案为：y＝x+7．15．楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，笔画平直，可作楷模”，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，则不同的写法共有232种．（用数字作答）解：因为短竖不超过3处，所以分4种情况：①短竖6处，则不同的写法有25＝32种，②短竖2处，则不同的写法有，③短竖2处，则不同的写法有，④短竖3处，则不同的写法有，所以一共有32+80+80+40＝232种．故答案为：232．16．棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响cm2．解：若水面至少与2条棱平行，且这两条棱不共面，如图所示，若水面平行与AS，BC，记AB，AC，SC中点分别为N，M，P，Q，则，即水面形状为平行四边形，不符合题意；则水面至少平行的2条棱相交共面，不妨设水面为△DEF，如图所示，即AB中点为G，连接CG，则O是CG三等分点，因为正四面体棱长为10，所以，，则＝＝＝，所以，如下图所示，正四面体容器倒放时，设SD＝SE＝SF＝a，则，则，则a＝6，所以水面面积；如下图所示，正四面体容器正放时，设SD＝SE＝SF＝b，则，则b3＝784＞216，水面面积更大．综上，水面面积的最小值为．故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边（a cos B﹣b sin A）＝a2﹣b2．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b+c．解：（1）由余弦定理及c（a cos B﹣b sin A）＝a2﹣b2，得，整理得，因为A∈（0，π），所以sin A＞0，所以cos A＞4，所以tan A＝1，即．（2）因为a＝5，，△ABC的面积为2＝bc，所以bc＝4，由余弦定理得，a7＝b2+c2﹣5bc cos A，所以4＝b2+c5﹣bc＝（b+c）2﹣4bc﹣bc＝（b+c）2﹣5﹣8，所以（b+c）6＝12+8，解得b+c＝4．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．（1）求证：AC⊥PR；（2）求平面PQR与平面A1B1C1所成二面角的余弦值．解：（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC1，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为BC∩CC3＝C，BC1⊂平面BCC1B8，所以AC⊥平面BCC1B1，因为PR⊂平面BCC4B1，所以AC⊥PR；（2）方法一：以C1为原点，C4A1，C1B6，C1C所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为C1C⊥平面A7B1C1，所以平面A8B1C1的一个法向量为，根据所建立的空间直角坐标系，可知P（0，1，Q（7，0，R（0，7，所以，，设平面PQR的法向量为，则，令y＝4，x＝5，设平面PQR与平面A1B6C1的夹角为θ，则＝，即平面PQR与平面A1B3C1的夹角的余弦值为．方法二：如图，取B2C1的中点T，连接PT1C7，因为平面BB1C1C⊥平面A8B1C1，平面BB3C1C∩平面A1B4C1＝B1C8，所以PT⊥平面A1B1C3，因为AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，因为AA2＝3，A1Q＝6AQ，BR＝2RB1，所以PR＝，PQ＝，RQ＝，在△PQR中，由余弦定理可得，所以sin∠QPR＝，则＝．设平面PQR与平面A1B6C1的夹角为θ，则cosθ＝．故平面PQR与平面A1B1C6夹角的余弦值为．19．（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位．为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关（1）依据α＝0.010的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．解：（1）零假设H0：数学考试中准确率与运算速度无关，，根据小概率值α＝3.010的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即数学考试中准确率与运算速度无关；（2）记事件A为“甲在8人一组”，则需从除甲以外的9人任选2人与甲形成一组，最后4人形成一组，所说，记事件AB为“甲在3人一组，乙在4人一组”、乙以外的6人任选2人与甲形成一组，最后3人形成一组，所以P（AB）＝＝由条件概率公式，得，所以甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m（m≠0），．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若[x]表示不超过x的最大整数，[S10]＝10，求实数m的取值范围．解：（1）证明：a1＝m（m≠0），，可得＝＝﹣，即a2＝2a1＝5m，当n≥2时，由S n＝，可得S n﹣1＝，两式相减可得a n＝（﹣），由a n≠0，化简可得a n﹣6+a n+1＝2a n，即a n+4﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝...＝a2﹣a7＝m，则数列{a n}是首项和公差均为m的等差数列；（2）由（1）可得S n＝nm+n（n﹣8）m＝，则S10＝×10×11m＝55m，由[S10]＝10，可得10≤55m＜11，解得≤m＜，则实数m的取值范围是[，）．21．（12分）已知双曲线C：，点F（4，0）是C的右焦点．（1）求C的标准方程；（2）过点F的直线与C的右支交于A，B两点，以AB为直径的圆记为M，求出定圆的方程；若不存在解：（1）因为点F（4，0）是C的右焦点，所以c＝4，b＝，a2＝c2﹣b8＝16﹣12＝4，所以C的标准方程是．（2）存在定圆（x﹣5）2+y2＝16与圆M内切，理由如下：设A（x3，y1），B（x2，y3），直线AB的方程为x＝my+4，由，得（3m2﹣2）y2+24my+36＝0，且Δ＝（24m）3﹣4×36×（3m4﹣1）＞0，（6m2﹣1＜3），y1+y2＝，y5y2＝，所以y M＝，x M＝my M+4＝，即M（，），|AB|＝|y1﹣y2|＝×＝，圆M的半径为＝．记N（6，0），而|MN|2＝（﹣6）8+（）2＝+＝＝（）2，所以|MN|＝；﹣4＝﹣8＝＝，所以定圆的圆心为（6，5），所以圆M与圆N内切，即存在定圆（x﹣6）2+y5＝16与圆M内切．22．（12分）已知函数，m∈R．（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0）；（2）若f（x）有且仅有1个零点，求m的取值范围．解：（1）当m＝1时，f（x）＝，则f′（x）＝，f（0）＝0，所以y＝f（x）在（8，f（0））处的切线方程为y＝0．（2）由（1）知m＝1时，f（x）＝，则f′（x）＝，令g（x）＝e x﹣（x﹣6）2（x＜1），则g′（x）＝e x﹣4（x﹣1）＞0，即y＝g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，e x（x﹣1）＜0，所以x∈（﹣∞，8）时，x∈（0，f′（x）＜0，即y＝f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，1）上单调递减，所以f（x）≤f（0）＝0，此时y＝f（x）只有一个零点；当m＞3时，f（x）＝，且f（0）＝lnm＞0，所以﹣1，设h（x）＝e x﹣x﹣5，则h′（x）＝e x﹣1，显然x＞0时，h′（x）＞8；当x＜0时，此时h（x）单调递减，所以h（x）≥h（0）＝0，即﹣1＜7，所以，所以根据零点存在性定理可知，5）＝0，又f（﹣m）＝+ln2m＝﹣me m+lnm+ln5，易知﹣m＜﹣1，ln2＜8m＜﹣e m⇒f（﹣m）＜﹣e m+lnm+1，由上证得⇒﹣e m+lnm+2≤﹣m﹣1+m﹣1+4＝﹣1＜0，即f（﹣m）＜2，故∃x1∈（﹣m，0）使得f（x4）＝0，所以此时f（x）至少存在两个零点，不符题意；当m＜1时，f（x）＝，又f（x）＜+ln（﹣x+4）≤0，不符合题意，综上，m＝1时，即m的取值范围为{4}．。
新高三数学上期末试题(及答案)
新高三数学上期末试题(及答案)一、选择题1．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．12．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．43．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．644．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2015．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．2 6．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,7．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．38．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．159．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．610．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5711．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．6012．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.14．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．15．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．16．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．17．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．18．如图，在ABC V 中，,43C BC π==时，点D 在边AC 上， AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =，则cos A =__________19．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式 n a =_______．20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 22．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 23．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==，面积3S =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.24．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+.（1）求角C .（2）若ABC V 的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S .25．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足(1)1 (1)nnn n abn n++=+（*n N∈），求数列{}n b的前n项和n S. 26．已知数列{}n a的首项1122,,1,2,3,...31nnnaa a na+===+.（1）证明: 数列11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）数列nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC∆内部（含边界），作直线:20l x y+=，把直线l向上平移，z增加，当l过点(3,2)B时，3227z=+⨯=为最大值．故选B．考点：简单的线性规划问题．2．A解析：A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C处取得最大值，其最大值为max33329z x y=+=+⨯=.本题选择A选项.3．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.4．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．5．C【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.7．B【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.8．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．9．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.11．B解析：B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα⨯⨯=-=-=-=-=-． 故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。
2024届北京市房山区高三上学期期末数学和答案
房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （ ）A. {}2 B. {}1,2 C. {}2,0- D. {}2,0,1,2-2. 在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（ ）A. 2B. 2iC. 2i- D. 2-3. 已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（ ）A.B.C.D.4. 432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A. 32- B. 32C. 23- D. 235. 已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确是（ ）A. 22a b > B.11a b> C.b a a b> D.2211ab a b>6. 已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（ ）A. 1或9B. 1-或9C. 1-或9- D. 1或9-7. 已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/的升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（ ）A. 12%B. 10%C. 9%D. 6%9. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（ ）A 2213y x -= B. 2213x y -=C. 22122x y -= D. 2214x y -=10. 数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.13. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos b a C =，则A ∠=______.14. 已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.15. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：.①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D .其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17. 已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.19. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.20. 已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.21. 若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N，都有n mna q a +=（其中q 为常数），则称的的的{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j ijQ j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （ ）A. {}2B. {}1,2 C. {}2,0- D. {}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】计算出集合B 后由交集定义运算可得.【详解】}{}01B x x x =>=<，故{}2,0A B ⋂=-.故选：C.2. 在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（ ）A. 2 B. 2iC. 2i- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数z ，再利用复数的乘法可求得()1i z --的值.【详解】在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，由复数的几何意义可得1i z =-+，因此，()()()1i 1i 1i 2z --=--⋅-+=.故选：A.3. 已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先表示出,,a b a b ⋅ ，然后根据πcos 3a b a b ⋅= 求解出m 的值.【详解】因为2a b m ⋅= ，2,a b ==所以πcos 3a b a b ⋅= ，所以1222m =，解得m =或m =，故选：B.4. 432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A. 32- B. 32C. 23- D. 23【答案】B 【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()()431241442C C 20,1,2,3,4kk k k k kk T x xk x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭，令1240k -=，可得3k =，因此，展开式中的常数项为3334C 24832T =⋅=⨯=.故选：B.5. 已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b> C.b a a b> D.2211ab a b>【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 举反例即可得，对D 作差计算即可得.【详解】对A ：若0a b >>，则22a b <，故错误；对B ：若0a b >>，则11a b<，故错误；对C ：若0a b >>，则22a b >，0ab >，左右同除ab ，有a bb a>，故错误；对D ：由a b >且a ，b 为非零实数，则2222110a bab a b a b --=>，即2211ab a b>，故正确.故选：D.6. 已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（ ）A. 1或9 B. 1-或9 C. 1-或9- D. 1或9-【答案】D 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,2C -因为直线:20l x y b -+=与圆C，即45b +=，解得1b =或9-.故选：D.7. 已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x 是R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x 满足()()0f x f x --=，得函数()f x 是R 上的偶函数，而()f x 在[0,)+∞上单调递减，因此22()()(||)(||)||||f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔<⇔<，所以“22a b <”是“()()f a f b >”的充要条件.故选：C8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（ ）A. 12%B. 10%C. 9%D. 6%【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得9001e5kP P -⋅=，解得1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t =代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kP P -⋅=，即91e ,5k -=所以1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011e e 0.58512%55k kP P P P P --⎛⎫⋅=⨯=⨯≈⨯⨯≈ ⎪⎝⎭．故选：A.9. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（ ）A. 2213y x -= B. 2213x y -=C. 22122x y -= D. 2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定2PQ PF +最小时，点Q 的位置，进而求出,a b 的关系即得.【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为0bx ay ±=，由对称性不妨令点P 在第二象限，由双曲线定义得211||||2||2PQ PF PQ PF a F Q a +=++≥+，当且仅当P 为线段1FQ 与双曲线的交点时取等号，因此2PQ PF +的最小值为1||F Q 的最小值与2a 的和，显然当1FQ 与渐近线0bx ay +=垂直时，1||F Q 取得最小值，而1PF 平行于渐近线0bx ay -=，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ba=，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0x y ±=，显然选项ABD 不满足，C 满足，所以双曲线C 的方程可能是22122x y -=.故选：C10. 数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（ ）A. 8 B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为2a 为强率，由310π13<<可得，373101331.31244159a +==>+，即3a 为强率；由313π14<<可得，473131631.41254159a +==>+，即4a 为强率；由316π15<<可得，573161931.51264159a +==>+，即5a 为强率；由319π16<<可得，673192231.61274159a +==>+，即6a 强率；由322π17<<可得，763222531.1252183.41597a +===<+，即7a 为弱率，所以7m =，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.为11. 函数2ln(12)y x x =-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故12x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.【答案】29n -【解析】【分析】由等差数列及其前n 项和的性质计算即可得.【详解】设()()1171n a a n d n d =+-=-+-，则313321315S a d d =+=-+=-，即2d =，故()72129n a n n =-+-=-.故答案为：29n -.13. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b a C =，则A ∠=______.【答案】π4【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在ABC 中，由cos b a C -=及正弦定理，得sin sin cos B C A C =，则sin()sin cos A C C A C +=，整理得cos sin A C C =，而sin 0C >，因此cos A =0πA <<，所以π4A =.故答案为：π414. 已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.【答案】28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点(,)M x y ，依题意，||||2MF y =+||2y =+，整理得24(||)x y y =-，所以M 轨迹方程是28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>.故答案为：28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>15. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.的【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、(),0,0A a 、()1,0,A a a 、(),,0B a a 、()10,0,D a 、()1,,B a a a 、()0,,0C a 、()10,,C a a ，则()1,0,B C a a =-- 、()1,,BD a a a =-- 、()11,,0A C a a =- 、()1,0,A D a a =-- 、()10,,AB a a = 、()11,0,0A D a =- 、()10,0,AA a = ，设11B P B C λ= ，[]0,1λ∈，则()11,,AP AB B P a a a a λλ=+=-- ，222210AP BD a a a a λλ⋅=-+-= ，故1AP BD ⊥，故①正确；设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z =，则有11100A C n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ax ay ax az -+=⎧⎨--=⎩，取1x =，则()1,1,1n =- ，有0AP n a a a λλ⋅=-+-+= ，故AP n ⊥ ，又AP ⊄平面11AC D ，则//AP 平面11AC D ，故②正确；当0λ=时，有()0,,AP a a = ，此时110000A A P D =+⋅+= ，即11AP A D ⊥，即此时直线AP 与直线11A D 所成角为π2，故③错误；由()1,1,1n =- ，()11,,PA AA AP a a a λλ=-=- ，则d ，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及CD PA ⊥去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及PB =结合勾股定理的逆定理去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B 与AP 中点E 、连接ME ，又M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，故//ME AD 、12ME AD =，又底面ABCD 是正方形，故//BN AD 、12=BN AD ，故//ME BN 且ME BN =，故四边形MEBN 为平行四边形，故//MN EB ，又EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，故//MN 平面PAB ；【小问2详解】选条件①：CD PA ⊥，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故2PD AD ===，有2PD AD AB BC CD =====，由CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则cos ,MN n MN n MN n⋅=== 故MN 与平面PBC.条件②：PB =，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故2PD AD ===，有2PD AD AB BC CD =====，由PB =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，又//AB CD ，故CD PA ⊥，又CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则cos ,MN n MN n MN n⋅=== 故MN 与平面PBC.17. 已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）π4ϕ= （2）π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值；（2）利用三角恒等变换化简得出()1sin 22g x x =-，由0x m <<可得022x m <<，结合题意可得出关于m 的不等式，解之即可.【小问1详解】解：将函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，可得到函数ππ2284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可知，函数π24y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()ππ4k k ϕ-=∈Z ，可得()ππ4k k ϕ=+∈Z ，又因为π2ϕ<，则π4ϕ=.【小问2详解】解：由（1）可知，()π2sin 2cos 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()()21112cos sin 2cos 21cos 2sin 2222g x f x x x x x x =-+=+-++=-，因为0x m <<，则022x m <<，由()0g x =，可得1sin 22x =，因为()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，则π5π266m <≤，解得π5π1212m <≤.因此，实数m 的取值范围是π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦.18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量概率；的（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.【答案】（1）27（2）X 的分布列见解析，()47E x =（3）23s >2212s s =【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量概率为27；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此0,1,2X =，()2527C 100C 21P X ===，()2227C 12C 21P X ===，()1011011212121P X ==--=，所以X 的分布列如下图所示：X012P 10211021121()1010140122121217E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，的所以， 23s >2212s s =.19. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.【答案】19. 22143x y += 20. 3260x y ±-=【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到P 、Q 两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由13A F a c =+=，12c e a ==，解得2a =，1c =，故3b ==，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】由椭圆C 的标准方程为22143x y +=，则()12,0A -、()22,0A 、()1,0F ，由题意可得直线2A P 斜率存在且不为0，设2:2A P l x my =+，令0x =，则2y m =-，故20,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立222143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234120m y my ++=，即()234120m y m y ⎡⎤++=⎣⎦，故0y =或21234m y m -=+，由()22,0A ，故21234P m y m -=+，则112121144222A PQ A A Q A A P Q P Q P S S S y y y y =-=⨯-⨯=- ，又()212122P A FP P y S y =⨯-= ，即2422P Q P P y y y y -=⨯=，即Q P P y y y -=，若Q P y y >，则2Q P y y =，即2122234m m m -=⨯+，即223412m m +=，即249m =，则23m =±，若Q P y y <，则P Q P y y y -=，即0Q y =，不符，故舍去，即23m =±，故22:23A P l x y =±+，即直线2A P 的方程为3260x y ±-=.20. 已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）e y =（2）,⎛-∞ ⎝、⎫+∞⎪⎪⎭ （3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当0a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当1a =时，求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的单调递增区间；（3）令()21g x ax x =+-，分析可知，函数()g x 在()0,1上有且只有一个异号零点，对实数a 的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当0a =时，()e xf x x =，则()()2e 1x x f x x-'=，所以，()1e f =，()10f '=，故当0a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=，即e y =.【小问2详解】解：当1a =时，()()1e 11e xx x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()221e x x x f x x +-'==，由()0f x ¢>，即210x x +->，解得x <或x >，因此，当1a =时，函数()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝、⎫+∞⎪⎪⎭.【小问3详解】解：因为()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则()()2221e 11e x x ax x f x a xx x +-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令()21g x ax x =+-，因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点，则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点，当0a =时，对任意的()0,1x ∈，()10g x x =-<，不合乎题意；当0a >时，函数()21g x ax x =+-在()0,1上单调递增，因为()010g =-<，只需()10g a =>，合乎题意；当a<0时，函数()g x 的图象开口向下，对称轴为直线102x a=->，因为()010g =-<，只需()10g a =>，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a 取值范围是()0,∞+.21. 若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N ，都有n m n a q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【答案】（1）53（2）{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，可得当2n ≥时，43n na a +=，结合题意计算即可得；（2）由题意计算出n a 通项公式后，检验2n na a +是否恒等于3即可得；（3）借助{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，则当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n jn a q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，通过运算得到12j i q q =，从而可验证对任意的1n i ≥+时，是否有2j i n j ij n a q a -+-=即可得.【小问1详解】由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，则当2n ≥时，43n n a a +=，故623a a =，953a a =，117339a a a ==，又31a =，52a =，故691125323393329120a a a a a a a ++=++=+⨯+⨯=，的即253a =；【小问2详解】{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由如下：设()11n b b n d =+-，112n n c c -=⋅，由234b c ==，112b c c +=，即有11111442b d c b c c +==⎧⎨+=⎩，解得1113b c d ==⎧⎨=⎩，故32n b n =-，12n n c -=，则1232n n n n a b c n -=+=+-，有()21122322234n n n a n n +-++=++-=++，则121234232n n n n a n a n ++-++=+-，不恒等于3，故{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”；【小问3详解】由{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，即当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j na q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，由i j <，故121212112212121j ii i j j i i j i j j i j i i j ia a a a a a a a a q a a a q a a a a a a ++++++++++⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ，故12j i q q =，即12i j q q =，由1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则21n j n i a q a q ++=，当1n i ≥+，即1n i -≥时，有22212j i n i j n j i j i n i in j a a q q q a a q q --++--+====，即对任意的1n i ≥+时，有2j i n j ij n a q a -+-=，即{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n i n a q a +=，2n j na q a +=，并由此得到12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i i a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，从而得出12j i q q =.。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
山西省太原市2023-2024学年高三上学期期末学业诊断数学试题含答案
2023~2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|22xB x =>，则A B = （）A.[0,)+∞ B.[0,1)C.(1,2]D.[2,)+∞2.已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.(1,1)B.(1,1)-C.(1,1)-D.(1,1)--3.圆22420x y x y +-+=的圆心坐标为（）A.(2,1)- B.(2,1)- C.(4,2)- D.(4,2)-4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（）A.18B.24C.32D.365.已知α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 3α=，tan 2β=，则αβ+=（）A.512π B.23π C.34π D.56π6.如图是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式为（）A.sin 6()22x x x f x -=-B.cos 6()22x x x f x -=-C.sin 6()22xxxf x -=- D.cos 6()22xxxf x -=-7.已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，12F MF ∠的角平分线交线段12F F 于点N ，则11MF NF =（）B.2C.5D.28.若实数a ，b ，c 满足3log a π=，ln b π=，2c =，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.b a c << D.b c a<<二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列{}n a 中，11a =，()*121n n a a n +=+∈N，数列{}na 的前n 项和为nS ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 是等比数列B.415a =C.101000a < D.2n n S a n=-10.已知函数()2sin sin 6f x x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.32f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.将()f x 的图象先向左平移3π个单位长度，再向下平移32个单位长度后得到的函数图象关于原点对称11.已知函数22|ln |,0e()44,ee e x xf x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.01a <<B.122x x +∈C.123414e 2,5e e x x x x ⎛⎫+++∈++⎪⎝⎭D.()2212343e ,4ex x x x ∈12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，点P 和Q 分别满足111D P D C λ=，11D Q D B μ=，其中λ，[0,1]μ∈，则下列结论正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥Q PDE -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥Q ABCD -的外接球的表面积是94πC.当1λ=时，不存在μ使得11PQ B D ⊥D.PQ EQ +的最小值为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.双曲线2214y x -=的渐近线方程为______.14.4211(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.15.已知非零向量a ，b 夹角为23π，则|2|||a b b +的最小值为______.16.已知实数λ，k 分别满足2e e λλ=，3(ln 1)k k e -=，其中e 是自然对数的底数，则k λ=______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知在等差数列{}n a 中，23a =，833a a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且满足()*231n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()*N n n n c a b n =∈，求数列{}nc 的前n 项和nT .18.（本小题12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，点D 在线段BC 上，BD DC λ=，2AD =，ABC△的面积为（1）当2λ=，且60ADB ∠=︒时，求B ；（2）当1λ=，且2228b c +=时，求ABC △的周长.19.（本小题12分）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，SA AB ⊥，SC BC ⊥，SA SC ==.（1）证明：四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）已知点E 在线段AC 上，且AE EC λ= ，若二面角A SE D --的余弦值为3015-，求直线SE 与底面ABCD 所成角的正切值.20.（本小题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为13；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为23.（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第()*n n ∈N 天选择米饭套餐的概率为nP ，（i ）证明：12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（ii ）证明：当2n ≥时，59n P <.21.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴相交于点D ，过抛物线C 焦点F 的直线与C 相交于A ，B 两点，DAB △面积的最小值为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点(5,2)E 的动直线l 交C 于M ，N 两点，试问抛物线C 上是否存在定点P ，使得对任意的直线l ，都有PM PN ⊥.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，则说明理由.22.（本小题12分）已知函数()ln (1)f x x x k x k =--+，1k ≥.（1）当1k =时，求()f x 的最小值；（2）当(1,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数k 取得的最大整数值.2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷参考答案及评分标准一.单项选择题：C BABCCAA二.多项选择题：9.BD 10.AC11.ACD12.ABD三.填空题：13.2y x =±14.2516.3e四.解答题：17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得()1113,732,a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩()1*1,21N 2,n a a n n d =⎧∴∴=-∈⎨=⎩；当1n =时，则1112231S b b ==-，11b ∴=，当2n ≥时，则11231n n S b --=-，112233n n n n S S b b --∴-=-，13n n b b -∴=，∴{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()1*3N n n b n -=∈；（2）由（1）得()1*(21)3N n n n n c a b n n -==-⋅∈，2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---∴=+++++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，②①－②得()2312123333(21)3n nn T n --=+⨯++++--⨯ ，∴()*(1)31N n n T n n =-⨯+∈.18.解：（1）由题意得13sin 22ABC S a AD ADB ∆=⋅∠==6a ∴= 2BD DC =，4BD ∴=，2CD =，∴2222cos 12AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=，AB ∴=，∴2223cos 22AB BD AD B AB BD +-==⋅，0180B ︒<<︒ ，30B ∴=︒；（2）由题意得BD CD =，1()2AD AB AC ∴=+，∴()()222222111()22cos 4444AD AB AC AB AC AB AC c b bc BAC =+=++⋅=++∠= ，2228b c +=，cos 6bc BAC ∴∠=-，∴2222cos 40a b c bc BAC =+-∠=，a ∴=，1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠=，sin bc BAC ∴∠=，12bc ∴=，∴222()252b c b c bc +=++=，b c ∴+=，∴a b c ++=，ABC ∴△的周长为.19.（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，SA AB ⊥，SA AD A = ，AB ∴⊥平面SAD ，SD AB ∴⊥，同理可证SD BC ⊥，AB BC B = ，SD ∴⊥平面ABCD ，∴四棱锥S ABCD -是一个“阳马”；（2）由（1）得SD ⊥平面ABCD ，SD AD ∴⊥，SA =，3AB =，3SD ∴=，以点D 为原点，DA ，DC ，DS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(0,0,0)D ，(3,0,0)A ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，(0,0,3)S ，AE EC λ=，33,,011E λλλ⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，设()111,,m x y z = 是平面SAE 的一个法向量，则,,m AC m SA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴1111330,330,x y x z -+=⎧⎨-=⎩令11z =，则111,1,x y =⎧⎨=⎩，(1,1,1)m ∴=，设()222,,n x y z = 是平面SDE 的一个法向量，则,,n SD n DE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩∴22230,330,11z x y λλλ=⎧⎪⎨+=⎪++⎩令21y =-，则22,0,x z λ=⎧⎨=⎩，(,1,0)n λ∴=- ，∴30cos ,||||15m n m n m n ⋅〈〉==-，13λ∴=，∴93,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4DE ∴==，SD ⊥平面ABCD ，∴直线SE 与底面ABCD所成角的正切值为5SD DE =.20.解：（1）设i A =“第i 天选择米饭套餐”(1,2)i =，则i A =“第i 天选择面食套餐”，根据题意()123P A =，()113P A =，号()211|3P A A =，()212|3P A A =，由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+2112433339=⨯+⨯=；（2）（i ）设n A =“第n 天选择米饭套餐”(1,2,)n = ，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，()11|3n n P A A +=，()12|3n n P A A +=，由全概率公式，得()()()()()11112||33n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A +++=+=-+，即11233n n P P +=-+，1111232n n P P +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭， 11126P -=，12n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13-为公比的等比数列；（ii ）由（i ）可得()1*111N 263n n P n -⎛⎫=+⨯-∈ ⎪⎝⎭，当n 为大于1的奇数时，12111111145263263279n n P -⎛⎫⎛⎫=+⨯-≤+⨯=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当n 为正偶数时，11111526329n n P -⎛⎫=-⨯<< ⎪⎝⎭.21.解：（1）由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为(R)2px ty t =+∈，()11,A x y ，()22,B x y ，由2,22p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y tpy p --=，∴122y y tp +=，212y y p =-，∴()()()2222121212441y y y y y y p t -=+-=+，∴DAB △面积2121||2DAB S DF y y p p ∆=⋅-=，当0t =时，DAB S ∆取最小值2p ，2p ∴=，∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由（1）得抛物线2:4C y x =，假设存在定点()00,P x y ，设直线l 的方程为5(2)()x m y m R -=-∈，()33,M x y ，()44,N x y ，则30y y ≠，40y y ≠，由25(2),4x m y y x-=-⎧⎨=⎩得244(25)0y my m -+-=，344y y m ∴+=，344(25)y y m =-，PM PN ⊥ ，0PM PN ∴⋅=，()()()()()()()()22223040304030403040116PM PN x x x x y y y y y y y y y y y y ⋅=--+--=--+-- ，()2034034160y y y y y y ∴++++=，()()2004240y m y ∴++-=，当020y +=时，即002,1y x =-⎧⎨=⎩时，PM PN ⊥恒成立，∴存在定点(1,2)P -.22.解：（1）当1k =时，()ln 1f x x x =+，(0,)x ∈+∞，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '<，则10x e <<；令()0f x '>，则1x e>，∴()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 在1x e=处取得最小值111f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）①当1k =时，则()ln 110f x x x =+>>，显然成立；②当1k >时，原不等式等价于ln 1x x xk x +<-，令ln ()1x x x g x x +=-，1x >，则2ln 2()(1)x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--，1x >，则1()0x h x x-'=>，()h x ∴在(1,)+∞上单调递增， (3)1ln 30h =-<，(4)2(1ln 2)0h =->，∴0(3,4)x ∃∈，()00h x =，即00ln 20x x --=，002ln x x ∴-=，当()01,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x ∴在()01,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x ∴在()0,x +∞上单调递增，∴()g x 在0x x =处取得最小值为()000000ln 1x x x g x x x +==-，∴()00k g x x <=，且0(3,4)x ∈，综上，实数k 的最大整数值为3.注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
【必考题】高三数学上期末试题(附答案)(1)
【必考题】高三数学上期末试题(附答案)(1) 一、选择题 1．若正实数x，y满足141xy，且234yxaa恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．1,4 B．1,4 C．4,1 D．
4,1
2．等差数列na中，已知70a，390aa，则na的前n项和nS的最小值为（ ） A．4S B．5S C．6S D．
7
S
3．在ABC中,,,abc分别为角,,ABC所对的边,若 2?abcosC,则此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角
三角形
4．若直线100,0axbyab把圆224116xy分成面积相等的两部分，
则122ab的最小值为( ) A．10 B．8 C．5 D．4
5．已知x，y满足2303301xyxyy，z＝2x+y的最大值为m，若正数a，b满足a+b＝m，则14ab的最小值为（ ）
A．3 B．32 C．2 D．
5
2
6．等比数列na的前n项和为nS，若36=2S=18S，，则105SS等于( ) A．－3 B．5 C．33 D．－31
7．在ABC中，,,abc是角,,ABC的对边，2ab，3cos5A，则sinB（ ）
A．25 B．35 C．45 D．
8
5
8．已知集合2A{t|t40}，对于满足集合A的所有实数t，使不等式2xtxt2x1恒成立的x的取值范围为(
)
A．,13, B．
,13,
C．,1 D．
3, 9．已知等比数列na的各项都是正数，且13213,,22aaa成等差数列，则8967
aaaa
A．6 B．7 C．8 D．
9
10．等差数列na中，已知611aa，且公差0d，则其前n项和取最小值时的n的值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9