2021年考研数学模拟卷1(数学一) - 解析
12021数学全真模拟测试卷解析（数学一）本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设220ln(1sin )()=d x t f x t t+⎰，1cos 20()=tan d x g x t t -⎰，则当0x →时，()f x 是n x 的低阶无穷小，()g x 是nx 的高阶无穷小，则正整数n 的值为（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6【答案】（C ）【解析】由等价无穷小替换得：当0t →时，2ln(1sin )t t t+ ，22tan t t ，当0x →时，2240ln(1sin )1()=d 2x t f x t x t +⎰，1cos 2601()=tan d 24x g x t t x -⎰ ，又因为()f x 是n x 的低阶无穷小，()g x 是n x 的高阶无穷小，则5n =，故选（C ）。
（2）设()f x 在[,+a ∞）上二阶可导，()0f a <，()0f a '=，且()(0)f x k k ''≥>，则()f x 在(,+a ∞）内零点的个数为（ ） ()A 0个()B 1个()C 2个()D 3个【答案】()B【解析】因为()0f a '=，且()(0)f x k k ''≥>，所以22()()()()()+()()(),22f kf x f a f a x a x a f a x a ξ'''=+--≥+-！其中ξ介于a 与x 之间，而2lim ()()2x kf a x a →+∞+-=+∞，故lim ()x f x →+∞=+∞，再由()0f a <得()f x 在(,+a ∞）内至少有一个零点，又因为()0f a '=，且()(0)f x k k ''≥>，所以2()0()f x x a '>>，即()f x 在[,)a +∞上单调增加。
所以零点是唯一的，故选()B 。
（3）若由曲线y =，曲线上某点处的切线以及1,3x x ==围成的平面区域的面积最小，则该切线是（）()A y =+()B 22x y =+()C 1y x =+()D y =【答案】()A【解析】曲线y =(,t处的切线方程为)y x t =-=于切线位于曲线y =的上方，所以由曲线y =，切线及1,3x x ==围成的面积由定积分得311()2S S t dx ==+=+⎰⎰。
()02S t t '=+=⇒=。
当(0,2)t ∈时，()0S t '<；当(2,3)t ∈时，()0S t '>，则当2t =时，()S t 取最小值，此时切线方程为y =()A 。
（4）设()f x 在0x =的某邻域内有连续的二阶导数，且0()lim 1sin x xf x x x→'=-，则（）（A ）(0)0f ''≠，0x =是()f x 的极大值点.（B ）(0)0f ''≠，0x =是()f x 的极小值点.（C ）(0)0f ''=，点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.（D ）(0)0f ''=，点(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点.3【答案】（C ）.【解析】因为当0x →时，33311sin ()66x x x x x o x x ⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦ ，则有32000()()()1lim6lim 6lim (0)0sin x x x xf x xf x f x f x x x x→→→''''===⇒=-，20001()()()1lim lim lim (0)0623x x x f x f x f x f x x x →→→'''''''==⇒=⇒=.在0x =两侧，()f x ''的符号与x 相同，由负变正，所以点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点（5）若函数f 在(,)-∞+∞上()0f x ''>，且lim ()0x f x →+∞=，则在下列四项函数性质： ①lim ()0x f x →+∞'=；②()0f x '<；③()0f x >；④lim ()x f x →-∞=+∞中（ ）（A ）f 仅有第①项性质.（B ）f 仅有第①，②两项性质. （C ）f 仅有第①，②，③三项性质. （D ）f 具有四项性质.【答案】（D ）.【解析】对于①：由(,)x ∈-∞+∞，()0()f x f x '''>⇒单调递增，因为()f x '单调递增，对(,)u ∀∈-∞+∞，12,ξξ∃：1211u u u ξξ-<<<<+，使得12()(1)()()()(1)()f u f u f f u f f u f u ξξ'''--=<<=+-.当u →+∞时，因为lim ()lim (1)lim (1)0u u u f u f u f u →+∞→+∞→+∞=+=-=，故有lim ()0x f x →+∞'=.对于②：因为在(,)-∞+∞内()f x '单调递增，所以对(,)x ∀∈-∞+∞，有()lim ()0u f x f u →+∞''<=.对于③：因为在(,)-∞+∞内()0()f x f x '<⇒↓，又由于lim ()0x f x →+∞=，所以()0f x >.对于④：(,)x ∀∈-∞+∞，2()(0)(0)()(0)(0)2x f x f xf f f xf ξ''''=++≥+，(0)0f '<，所以lim ()x f x →-∞=+∞.可见，f 具有全部四项性质，故应选（D ）.（6）已知级数1!n n n a n n∞=∑，其中0a >，则下列说法正确的是（ ）（A ）当1a >时级数发散（B ）当01a <<时级数发散（C ）当a e >时级数收敛（D ）当0a e <<时级数收敛【答案】（D ）【解析】由比值判别法可知：111(1)!(1)(1)lim lim lim 1!(1)(1n n n n n n n n n na n a n a a n a n n e n n n+++→∞→∞→∞+++===++，故当a e >时，1a e >，级数发散；当0a e <<时，01ae<<，级数收敛，故选（D ）。
（7）已知3阶矩阵A 与3维列向量α，若向量组2,,αααA A 线性无关，且3232ααα=-A A A ，则矩阵A 属于特征值=1λ的特征向量是（ ）（A ）223ααα+-A A （B ）23αα+A A （C ）2αα-A A （D ）α【答案】（B ） 【解析】由定义可知： A ≠ α，ααλ =0 ，则 α为矩阵 A 属于特征值 λ的特征向量，由于 A A (3A =+αα)A 23+αA 3=α2A 3−αA 2+α2A 3αA =2+α2A 3，α 且向量组αα,,A A 2α线性无关，可知23A A ≠+αα0 ， 45所以23αα+A A 为矩阵A 属于特征值=1λ的特征向量，故选（B ）。
（8）设n 阶实对称矩阵A 经第一行与第二行对调得到矩阵B ，矩阵B 再经第一列与第二列对调得矩阵C ，则矩阵A 与C 为（ ）（A ）等价但不相似（B ）相似但不合同（C ）合同但不相似（D ）相似、合同且等价【答案】（D ）【解析】由题可得：12=E A B ，12=BE C ，故可得：1212=E AE C ，矩阵A 通过初等变换得到矩阵C ，故矩阵A 与C 等价；因为11212()-=E E ，1212()T =E E ，故112121212()-==E AE E AE C ，故矩阵A 与C 相似，12121212()T ==E AE E AE C ，且A为实对称矩阵，故矩阵A 与C 合同，故选择（D ）。
（9）设随机变量X 和Y 相互独立，X 服从参数为λ的指数分布，Y 的分布律为{1}P Y =1{1}2P Y ==-=，则X Y +的分布函数（ ）（A ）是连续函数（B ）恰有一个间断点的阶梯函数（C ）恰有一个间断点的非阶梯函数（D ）至少有两个间断点【答案】（A ）【解析】由全概率公式知，对任意的常数a R ∈，{}{|1}{1}{|1}{1}P X Y a P X Y a Y P Y P X Y a Y P Y +==+===++==-=-{1}{1}{1}{1}P X a P Y P X a P Y ==-=+=+=-11{1}{1}022P X a P X a ==-⋅+=+⋅=，所以X Y +的分布函数是连续的函数，故选（A ）。
（10）设随机变量X 服从分布(,)F n n ，记1{1}P P X =≥，21{1}P P X=≥，则（ ）（A ）12P P >（B ）12P P <6（C ）12P P =（D ）因n 未知，无法比较12,P P 大小 【答案】（C ）【解析】如果随机变量(,)XF m n ，则1(,)F n m X。
由题中条件知m n =，于是X 与1X 均服从分布(,)F n n ，因此，121{1}{1}P P X P P X=≥=≥=，故选（C ）。
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （11）设(,)z f x y =在(1,0)处可微，且(,)lim 0x y→=，则(1,0)(1,2)limh f h f h h→+-=_______。
【答案】4 【解析】由题(,)lim0x y →=可知：(1,0)2x f '=，(1,0)1y f '=-，而0(1,0)(1,2)(1,0)(1,0)[(1,2)(1,0)]limlim h h f h f h f h f f h f h h →→+-+---=00(1,0)(1,0)[(1,2)(1,0)]lim2lim (1,0)2(1,0)42x y h h f h f f h f f f h h→→+--''=-=-=。
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析
因为 P(A A B) P(A A B) ，固有 P(A) P(B) P(AB) ，故选 D .
(9) 设 ( X1,Y1) ，( X 2 ,Y2 ) ， ，( X n ,Yn ) 为来自总体 N (1, 2;1, 2; ) 的简单随机样本，
令
1 2 ， X
1 n
n i 1
Xi
，Y
1 n
5 2
， l2
[3, 2 ] [2, 2]
2
1 2
.故选 A
.
(7) 设 A ， B 为 n 阶实矩阵，则下列不成立的是（ ）
A O
(A)
r
O
AT
A
2r
(
A)
.
A AB
(
B
)r
O
AT
2r
(A
).
A BA
(C)
r
O
AAT
2r
(
A)
.
A O
(D)
r
BA
AT
2r
(
A)
.
【答案】 C
f
2
(1,1)2ຫໍສະໝຸດ 联立可得f1 (1,1)
0
，f
2
(1,1)
1，df
(1,1)
f1(1,1)dx
f
2
(1,1)dy
dy
，故选 C .
(3) 设函数 f (x) sin x 在 x 0 处的 3 次泰勒多项式为 ax bx2 +cx3 ，则（ ） 1 x2
(A) a 1，b 0， c 7 . 6
(D) 若 P(A A B) P(A A B) ，则 P(A) P(B) .
【答案】 D
2021年考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题欧阳光明(2021.03.07)填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上)x2(1)曲线y=莎刁的斜渐近线方程为。
1 1［答案l y = ^-4【解析】_ 1 1所以斜渐近线方程为7 =^-401 1综上所述，本题正确答案是y =^-4o【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性.拐点及渐近线(2)微分方程兀"+ 2y »屁满足以1)=-話勺解为。
［答案】y -押处_ 9%【解析】原方程等价于y+2、lnx所以通解为将y(i)=鳥代入可得c = °综上所述，本题正确答案是y =^/nx"k【考点】高等数学一常微分方程一一阶线性微分方程2 2 2(3)设函数u(x,y,z) = 1 +石+正+码单位向量九=乔｛I」」｝,贝［］du1 1+「希V3综上所述，本题正确答案是三。
【考点】高等数学一多元函数微分学一方向导数和梯度（4）设°是由锥面Z =与半球面z = J" _X 2_『围成的空间区域，，是"的整个边界的外侧，则If xdydz + ydzdx + zdxdy =Zo【答案】2*（1-字）R ： 【解析】综上所述，本题正确答案是W-T ）«3O【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、 性质及计算（5）设旳，％也均为三维列向量，记矩阵力=（旳，也°） 如果⑷=1,那么⑹=。
【答案】2。
【解析】 【方法一】 【方法二】dn (1,2,3) 一o£【答案】丁。
【解析】du x du y du 因为 Ox— 3f dy ~ 6f dzdu1 1所以乔(1,2,3) =3 •蔚两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以 综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数一行列式T 亍列式的概念和基本性质，行列 式按行(列)展开定理(6) 从数1234中任取—个数记为X,再从1,2,…,X 中任一个数,记为侦］P{Y = 2} = o13【答案】屁。
考研数学一真题(WORD清晰版)
2021 考研数学〔一〕真题完整版一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .〔1〕假设反常积分1b dx 收敛，那么〔〕0x a 1xA a 1且b 1B a 1且b1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么f x的一个原函数是〔〕ln x, x1x121x21A F x, xB F x1 , xx ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1212, x1C F x, xD F xx 1x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么q x〔〕A 3x 1 x2B 3x 1 x2C1x D1x x2x2x, x0〔4〕函数f x111，那么〔〕,x,n 1,2,n n1n〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那么 f x1 , x2 , x3 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔 B〕双叶双曲面〔 C〕椭球面〔 C〕柱面〔7〕设随机变量X ~ N ,20，记 p P X2，那么〔〕〔A 〕p随着的增加而增加〔 B 〕p随着的增加而增加〔C〕p随着的增加而减少〔D 〕p随着的增加而减少〔 8〕随机试验E有三种两两不相容的结果A1 , A2 , A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验 E 独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果A1发生的次数，Y表示 2 次试验中结果A2发生的次数，那么X 与 Y 的相关系数为〔〕二、填空题： 914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．xt sin t dtt ln 1〔9〕lim02__________x 01cos x〔10〕向量场A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度rotA_________〔 11〕设函数f u, v可微，z z x, y 由方程 x 1 z y 2x2 f x z, y 确定，那么dz 0,1_________〔12〕设函数f x arctanxx，且 f ' ' 01，那么a________ 12ax100010____________.〔13〕行列式014321〔14〕设x1, x2,..., x n为来自总体N ,2的简单随机样本，样本均值x，参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么的置信度为的双侧置信区间为______.三、解答题： 15—23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解容许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .〔15〕〔此题总分值10 分〕平面区域D r ,2r 2 1 cos,22，计算二重积分xdxdy .D〔16〕〔此题总分值10 分〕设函数y(x)满足方程y'' 2 y'ky 0, 其中 0k1.证明：反常积分y( x) dx 收敛；假设 y(0) 1, y ' (0) 1, 求y( x)dx 的值 .〔17〕〔此题总分值10 分〕设函数 f ( x, y) 满足f ( x, y)(2x 1)e 2 x y , 且 f (0, y) y 1, L tx是从点 (0,0) 到点(1,t) 的光滑曲线，计算曲线积分I (t)L t f (x, y) dx f (x, y) dy ，并xy求 I (t) 的最小值〔18〕设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，计算曲面积分 Ix 2 1 dydz 2ydzdx 3zdxdy〔19〕〔此题总分值10 分〕函数 f ( x) 可导，且 f (0)1 ， 0 f '( x)1，设数列x n2满足 x n 1 f (x n )(n 1,2...) ，证明：〔I 〕级数(x n 1 x n ) 绝对收敛；n 1〔II 〕 lim x n 存在，且 0 lim x n 2 .nn1 1 12 2 〔20〕〔此题总分值11 分〕设矩阵 A2a1 , B1 a1 1aa 12当 a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解0 1 1 〔21〕〔此题总分值11 分〕矩阵 A2 3 0〔I 〕求 A 99〔II 〕设 3 阶矩阵 B( , 2 , 3 ) 满足 B2BA ，记 B100(1 ,2 ,3 )将 1 , 2 ,3 分别表示为 1, 2 , 3 的线性组合。
2021年考研数学模拟测试题及参考答案(一)
的右导数存在=x 0在点f x )(存在当且仅当-→h f h lim 1cosh 102)(，可知-≥1cosh 0由于）正确。
B （可导的充要条件。
可知=x 0在点f x )(存在为-→h f e h h lim 110)(存在。
可知，--=→→-=e t f e f t h t h h e t h 1lim 1lim 1001)()(存在等价于-→h f e h hlim 110)(：】【解析）B （：答案【、4⎰⎰⎰==---=--+f x dx x d x xC 231111112222213)()()()(可知=f x )(，因此==xf x x arcsin ')()(可得⎰=+xf x dx x C arcsin )(由：】【解析）D （：、答案3）C 条渐近线，故选（3有=++x y e x ln 11)(可知。
=y x 有斜渐近线=++x y e x ln 11)(，故++-=→+∞x e x x x lim ln 101)(，=++→+∞xx e x x lim 1ln 11)(。
=y 0有水平渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=→-∞xe x x lim ln 101)(。
=x 0有垂直渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=∞→x e x x lim ln 110)(：】【解析）C （：．答案2。
）C 是同阶无穷小。
故选（x 3与Fx ')(时，→x 0可知当⎰===≠→→→x x x f f x F x f t dt x x x x 2lim lim lim (0)02()2()000320'')(则⎰=Fx x f t dt x 2()0')(：】【解析）C （：答案1.选择题一、考研数学测试卷（一）参考答案因此（A）错误。
令()f x x =，此时有()2200sinh 1lim sinh lim 0h h h f h h h →→--==，可知()201lim sinh h f h h →-，但()f x 在点0x =不可导，可知（C）错误。
考研数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”-4y’-4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘-y”-4y’+4y=0．D．y”‘-y”+4y’-4y=0．正确答案：D解析：(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0．从而可知微分方程是y”‘-y”+4y’-4y=0．选(D)．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是A．y”‘-y”-y’+y=0．B．y”‘+y”-y’-y=0．C．y”‘-6y”+11y’-6y=0．D．y”‘-2y”-y’+2y=0．正确答案：B解析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y”‘+y”-y’-y=0．应选(B)．知识模块：常微分方程3．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=y/(1+x2)△x+α，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2π．B．π．C．e4．D．πe4．正确答案：D 涉及知识点：常微分方程4．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程5．设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则( )．A．A与B有相同的特征值B．det A=detC．A与B相似D．r(A)=r(B)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程填空题6．设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．正确答案：-5/13 涉及知识点：常微分方程7．用欧拉方程x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0(x>0)的通解为_______.正确答案：y=C1/x+C2/x2.解析：作自变量替换x=et(t=lnx),将它化成常系数的情形。
2021考研管理综合(管综)能力数学基础部分(模拟一)试题及答案解析
总路程为 ，则所用时间为 .
（1）顺流而下的路程等于逆流而上的路程 （2）顺流而下的时间等于逆流而上的时间 选项：A.条件（1）充分，但条件（2）不充分 B.条件（2）充分，但条件（1）不充分 C.条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D.条件（1）充分，条件（2）也充分 E.条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分 题干：23. [单选题]一个盒子里装有若干个小球，小球数不多于 颗，则盒子里的小球数 唯一确定. （1）如果每次 颗， 颗， 颗， 颗地取出，最终盒内都剩下一颗小球 （2）如果每次取出 颗，那么正好取完 选项：A.条件（1）充分，但条件（2）不充分 B.条件（2）充分，但条件（1）不充分 C.条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D.条件（1）充分，条件（2）也充分 E.条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
题干：19. [单选题]已知 ， 为实数，则
.
（1）
（2）
选项：A.条件（1）充分，但条件（2）不充分 B.条件（2）充分，但条件（1）不充分 C.条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D.条件（1）充分，条件（2）也充分 E.条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
D. E. 题干：4. [单选题]某单位下设 个部门，在年终评选优秀中共有 个先进工作者名额随机分 给各部门，要求每个部门至少 3 个名额，则不同分配的方式共有（ ）. 选项：A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 E. 种
题干：5. [单选题]已知 ， 为非负有理数，且满足
2021年12月27日考研数学真题+逐题解析(数一)
，3
1
，记
1
1 ，2
2
k1
，3
3
l11
l2 2
，
1
1
2
若 1 ， 2 ， 3 两两相交，则 l1 ， l2 依次为
(A) 5 , 1 . 22
(B) 5 , 1 . 22
(C) 5 , 1 . 22
(D) 5 , 1 . 22
(7)设 A, B 为阶实矩阵，下列不成立的是
(A) lim n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
.
(B)
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 n
.
(C)
lim
n
2n k 1
f
k 1 2n
1 n
.
(D) lim x0
2n k 1
f
k 2n
2 n
.
【答案】B.
【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 0,1 分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则
(1)求 X 的概率密度；
(2)求 Z 的概率密度.
(3)求
E
X Y
.
3
2021 考研数学真题
数学（一）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)函数
f
(
x)=
e
x
x
1
1
1
3
(6)已知 1
0
， 2
2
，3
2021考研数学一真题及答案解析 (1)
x2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、 选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上． （1） 当 x → 0+ ，下列无穷小量中最高阶的是（A ） ⎰x(e t 2 -1)dt 0 （B ） ⎰⎰⎰0 ln(1+t3 )dt（C）sin x sin t2dt 0．（D）1 cos x 0sin3tdt【答案】（D）．f (x)（2）设函数在区间(-1,1)lim f (x) = 0 有定义，且 x→0，则（）（A）当x lim f (x ) = 0x →0 时， f (x ) 在x = 0处可导lim x →0（B ） 当 f (x )x 2x f (x ) = 0 x = 0时， f (x ) 在 x = 0 处可导limf (x ) = 0 x →0 （C ） 在x 2 x y处可导时， lim f (x ) = 0（D ）f (x ) 在 x = 0 处可导时， x →0【答案】（C ）． f (x , y )(0，0) 在可微，f (0, 0) 0 ，n =(f ' , f ' , -1) (0,0) ，非0向量α⊥n ，则（）（A）( x, y )→(0,0)存在（( x, y )→(0,0)存在（C）( x, y )→(0,0)存在（n ∑a xlim( x, y )→(0,0)存在【答案】（A）．∑a x n（3）R 为n=1收敛，r 为实数，则（）∞2n2n（A）n=1发散，则 r ≥R∑ a x ∞2n2n （B ） n =1收敛，则 r ≤ R（C ） r∑a x ∞ 2n≥R 2n，n=1r发散（D）∑ a xi ∞2n≤ R 2n，则 n =1 收敛 【答案】（A ）．（4） 若矩阵 A 由初等列变换为矩阵 B ，则（）（A ）存在矩阵P ，使 PA = B ； （B ）存在矩阵 P ，使 BP = A ； （C ）存在矩阵 P ，使 PB = A ； （D ）方程组AX = 0 与 BX =0 同解； 【答案】（B ）．l : x -a 2 = y -b 2 = z -c 21 a b c ⎛ a ⎫ 1 1 1⎪l : x - a 3 = y - b 3 = z - c 3 2 a b cαi = bi⎪c ⎪i = 1, 2,3（5）已知3 2 2相交于一点，令⎝i ⎭，，则（）（A）α1可由α2，α3线性表示（B）α2可由α1，α3线性表示（C）α3可由α1，α2线性表示（D）α1,α2,α3线性无关【答案】（C）．P(A)=P(B)=P(C )=1 , P(AB)=0, P(AC )=P(BC )=4112 ，则A, B, C恰好发生一个的概率为（）3 （A）42 （B）31 （C）25（D）12【答案】（D）．（6）设为x1, x2,..., x100 来自总体X 的简单随机样本，其中P {x 0} P {x 1} Φ= = = = 12 ， (x ) 表示标准正态分布函 数，则由中心极限定理可知，∑100P { x ≤ 55}i =1 的近似值为（ ）（A ）1- Φ(1)(1) （B）1-Φ(0.2) （C）⎦． （D ）Φ(0.2) 【答案】（B ）．二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上． lim⎡ 1 - 1 ⎤ =⎢ x（9） x →0 ⎣ e 【答案】 -1-1 ln (1+x)⎥ （10）设⎪ ⎩( )⎧x = ⎪⎨ y = ln (t + t 2 +1 ,则 t =1 ．【答案】 - （ 11 ） 设 函 数 +∞f x 满 足 f '( x ) + af '( x ) + f (x ) = 0 (a > 0) , 且f (0) = m ,f '(0) = n , 则 ⎰0 f ( x )dx = ．【答案】 am + n= （12） 设函数 【答案】 4e t2 +1 d 2 y dx 2 2 ∂2 f ∂x ∂y ⎰) =f (x, y)=xy e xt2 dt 0 ,则(1,1)．a 0 -1 10 a 1 -1=-1 1 a 0 （13）行列式11 0a．【答案】a4 - 4a2 ．⎛-π,π⎫2 2 ⎪() Cov (X ,Y )=（14）已知随机变量X 服从区间⎝⎭上的均匀分布, Y = sin X ,则．2【答案】π．三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．（15）（本题满分10分）f x, y =x3+ 8y3-xy求函数的极值.⎧x =1【详解】x y f ' =3x 2 - y = 0 f ' =24y 2 - x = 0⎧x= 0⎩ ⎨y =0⇒⎧ ⎪ ⎨ xx xy⎪ 6⎨ ⎪ y = 1或⎪⎩ 12 '' = 6x '' = -1 ⎧ x = 0f f⎧A = 0⎪B =-1⎨⎪f '48 y⎨y = 0 ⎪C = 0又 ⎩yy当⎩时⎩,.AC -B2 =-1<0 ，不为极值点⎧x =1⎧x =1⎪ 6 ⎧A 1⎪ ⎨ ⎩ ⎧ A C - B 2 =3>0 ⎪ 6 ⎨ ⎪ y = 1 当 ⎩ 12。
2021年考研数学数一数二数三强化检测模拟题
绝密★启用前2021年全国硕士研究生招生考试数学（一）检测试卷（一）（科目代码：301）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）下列函数在其定义域内连续的是().(A)xx x f sin ln )(+=(B)⎩⎨⎧>≤=0,cos 0,sin )(x x x x x f (C)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=0,10,00,1)(x x x x x x f (D)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x xx f （2）已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且,2cos 1)(lim,0)0(==→xx f f 则在点0=x 处)(x f ().(A)（3）当x (A)-1（4）设(f (A)2x（5）函数(A)0（6(A)（7）设(f (A)(g (C)(f （8）当a (A)2（9）设函数)(x f 满足关系式x x f x f ='+''2)]([)(，且0)0(='f ，则().(A))0(f 是)(x f 的极大值.(B))0(f 是)(x f 的极小值.(C)点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点.(D))0(f 不是)(x f 的极值，点))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点.（10）行列式=dc d c b a b a000000().(A)2)(bc ad -(B)2)(bc ad --(C)2222cb d a -(D)2222da cb -二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。
2021考研数学一试卷线性代数部分难度解析
2021考研数学一试卷线性代数部分难度解析
就总体难度而言，2021年考研数学一试题与2021年相比，难度相差无几。
不过今年的题目又有一些新的特点，第一道选择题考察二次型以及特征值的性质，是一道综合性较强的题目，只需要把特征值的性质及惯性定理理解了就比较容易做出来，这两部分知识点有一个不熟悉就做不出来了。
第二道选择题考察线性方程组解的结构同时与解析几何结合，实际上重点还在线性方程组解的结构上，解析几何只不过是个幌子，要学会看到题目背后本质要考察的点。
填空题考察了方程组解的判定定理，即非齐次线性方程组有无穷多解的条件。
总体来说，这份试题中线代考察的重点与以往类似，没有特别偏特别难。
总结试卷会发现依然是换汤不换药，无论形式怎么变，对线性代数来讲，重点依旧是线性方程组、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型这四部分知识。
只要抓住了考试重点，线代部分拿个比较理想的分数还是不难的。
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