湖南省怀化市辰溪县第一中学2019-2020学年高二11月月考数学试题 Word版含答案

数学试卷

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设,A B 是两个集合，则“A B A ?=”是“A B ?”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.复数z ＝i

1＋i

在复平面上对应的点位于( )

A 第一象限

B 第二象限

C 第三象限

D 第四象限

3.已知向量1,2,1-=?==b a b a

,则向量a 与b 的夹角为 （ ）

A.

3π B. 23π C. 6π

D. 56π 4.设抛物线28=y x 上一点P 到x 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ). A.4 B.6 C.8 D.12 5.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）

单调递增的函数是（ ） A 3y x = B 21y x =-+ C 1y x =+ D 2x

y -=

6.若a 为实数，且2i

3i 1i

a +=++，则a =（ ） A.-4

B.-3

C.3

D.4

7.为了得到函数2sin(3)4

y x π

=+的图象,只需把函数2sin3y x =的图象上所有的点

（ ）

A. 向左平移

4π个单位 B. 向左平移12π

个单位 C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移12

π

个单位

8.设2

3

2

555

322,,555a b c ??????=== ? ? ???????

,则,,a b c 的大小关系是( )

A.a c b >>

B.a b c >>

C.c a b >>

D.b c a >>

9.已知()()23'1f x x xf =+,则()'2f = ( )

A.1

B.2

C.4

D.8

10.一个焦点为()0,6，且与双曲线2

212x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是( ）

A ．2211224x y -=

B ．2211224y x -= C. 2212412y x -= D ．2212412

x y -=

11.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞,且满足()()0f x x f x '+?> (()'f x 是()f x 的导函数),则不等式()()

()2111x f x f x --<+的解集为( ) A. ()1,2-

B. ()1,2

C. ()1,+∞

D. (),2-∞

12.抛物线)0(22

>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满

足 60=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则

AB

MN 的最大值是( )．

A.

32

B. 23

C. 61

D. 1

二填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.函数2

33)(x x x f +-=的极大值为 .

14.已知向量()()2,1,3,a b x =-=，若3a b =，则x = ． 15.函数

是幂函数,则实数

的值为 。

16.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i 〈j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示.

①若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；

②若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)

数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (1)求{}a n 的通项公式； (2)求S n .

18.(本小题满分12分)

在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量2m a c b =-（，）与向量

cos cos n C B =（，）共线.

（1）求角B 的大小；

（2

）若b =3a =，且2AD DC =，求BD 的长度. 19.(本小题满分12分)

在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期数据资料下表：

（1）在散点图中16号旧井位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归线方程为 6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；

（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1、3、5、7号井计算出的??,b

a 的值（??,

b a 精确到0.01）相比于（1）中,b a 的值之差（即：??,b

b a a b a

--）不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结

果：44

21

212121

2

21

1

1

???,,94,945n

i i

i i i i n

i i i i x y nx y

b

a y bx x x y x nx

=---===-==-==-∑∑∑∑） （3）设出油量与钻探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号26的

井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率．

20.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；

(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

21.(本小题满分12分)

已知椭圆()2222:10x y E a b a b

+=>>的左焦点1F 与抛物线2

4y x =-的焦点重合，椭圆E

的离心率为

2

2

，过点(),0M m 作斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于,A C 两点，点5,04P ?? ???

，且PA PC 为定值． （1）求椭圆E 的方程； （2）求m 的值．

22.(本小题满分12分)

已知函数)R ()()(∈-=a e a x x f x

.

(1)当2=a 时，求函数)(x f 在0=x 处的切线方程； (2)求)(x f 在区间]2,1[上的最小值.

答案

一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C

A

B

A

C

D

B

A

A

B

B

D

13_4__ 14__3___ 15__-1或2__ 16_5___2m-3____

17．【解析】(1)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，两式相减得a n ＋1－

a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥2，(3分)

又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3n －

1.(7分)

(2) S n ＝1×（1－3n ）1－3

＝3n 2－1

2.(12分)

18.

19.【解析】（1）因为5,50x y ==，回归直线必过样本中心点()

,x y ，则

50 6.5517.5a y bx =-=-?=，故回归直线方程为 6.517.5y x =+，

当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24；

（2）因为4

4

2

21

21211

1

4,46.25,

94,945i i i i i x y x

x y ---======∑∑，所以

4

2121

1

4

2

2

2211

49454446.25

? 6.839444

4i i i i i x

y x y

b

x x

--=-=--??==

≈-?-∑∑， ??46.25 6.83418.93a

y bx =-=-?=，即??6.83,18.93, 6.5,17.5b a b a ====， ??5%,8%b b a

a b a

--≈≈，均不超过10%， 因此可以使用位置最接近的已有旧井()61,24；

（3）由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：

()()()()()()()()()()2,3,4,2,3,5,2,3,6,2,4,5,2,4,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,3,5,6,4,5,6，

共有10种，其中恰有2口是优质井的有

()()()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,4,5,6，6种，

所以所求恰有2口是优质井的概率是63

105

P =

=．

20解：（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=,

由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故

BD ⊥AD …………………………………………………………3分

又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故

PA ⊥BD …………………………………………………………5分

解法二：取AB 中点为E ，连接DE, 因为60,2DAB AB AD ∠=?=，故AD=AE ，

ADE 是等腰三角形，∵AE=EB=DE , ∴

0260AED EBD BDE EBD ∠=∠+∠=∠=,即090ADB ∠=,故BD ⊥AD

又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD

所以BD ⊥平面PAD. 故

PA ⊥BD …………………………………………………………5分

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A ,(

)03,0

B ，,()

1,3,0C -,()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-………………………………………

…7分

设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则0,

0,n AB n PB ??=???=??

即

3030

x z -=-=

因此可取n=(3,1,3)……………………………9分

设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,

m 0,PB BC ??=???=??

可取m=（0，-1，3

27

cos ,727

m n =

=-……………………………11分 故二面角A-PB-C 的余弦值为

27

7

-

…………………………………………………………12分

21.【解析】（1）∵2

4y x =-的焦点为()1,0-，∴1c =，又∵2e =

，

∴1a b ==，∴椭圆E 的方程为2

212

x y +=；

（2）由题意，k 存在且不为零，设直线l 方程为()()()1122,,,,y k x m A x y C x y =-，

联立方程组()2

212x y y k x m ?+=?

??=-?，消元得()22222124220k x mk x k m +-+-=，

∴222121222422

,1212mk m k x x x x k k -+==

++， ∴222121222

422

,1212mk m k x x x x k k

-+==++， ∴()()21212121255554444PA PC x x y y x x k x m x m ?????

???=-

-+=--+-- ??? ????????

??? ∴()()()22

2

22212122

35225252514161216m m k k x x mk x x k m k ---??=+-++++=+ ?+??

， ∵PA PC 为定值，∴2

3524m m --=-，

即2

3520m m -+=，∴1221,3m m ==

，∴m 的值为1或23

．

22、解 (1)设切线的斜率为k .

因为a ＝2，所以f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x (x －1). 所以f (0)＝－2，k ＝f ′(0)＝e 0(0－1)＝－1. 所以所求的切线方程为y ＝－x －2， 即x ＋y ＋2＝0.

(2)由题意得f ′(x )＝e x (x －a ＋1)， 令f ′(x )＝0，可得x ＝a －1. ①若a －1≤1，则a ≤2，

当x ∈[1,2]时，f ′(x )≥0，则f (x )在[1,2]上单调递增. 所以f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e.

②若a－1≥2，则a≥3，

当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，则f(x)在[1,2]上单调递减.所以f(x)min＝f(2)＝(2－a)e2.

③若1

所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

所以f(x)

所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(a－1)＝－e a－1.

综上所述：当a≤2时，f(x)min＝f(1)＝(1－a)e；

当a≥3时，f(x)min＝f(2)＝(2－a)e2；

当2