血管切片的三维重建
血管的三维重建课件
m(:,:,b+1)=imread([int2str(b),'.bmp']); end
血管的三维重建
-10-
建模方法思想
需考虑的细节：
2）何谓边界点？
四邻域的概念 找边界点坐标的算法
血管的三维重建
-2-
Z=0
Z=49
Z=98
Z=1
Z=50
血管的三维重建
Z=99
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假设
1）血管的表面是由半径固定、球心沿着某一曲 线（称为中轴线）的球滚动而形成的包络面。 2）中轴线上任两点处的法截面圆不相交。 3）管道中轴线与每张切片平面有且只有一个交 点。
血管的三维重建
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图象的矩阵表示
后面的切片。
Z=57
Z=60
血管的三维重建
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误差大的原因和改进途径
误差大的原因：
1）图象误差 实际图象边界上的点是连续的，在转换成
bmp图象时，象素表示的图象边界是离散的，成 锯齿状，与实际图象有误差（舍入误差）。 2）同一张切片上的最大内切圆不唯一
解决办法：
1）方法一：取平均 求出同一张切片上的所有最大内切圆的圆心，然 后求平均值。
问题重述
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将 样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断 面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成 数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并 采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、 器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是 由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。 例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固 定的球滚动包络形成。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g精品
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
基于广义锥理论的血管三维重建方法
Ｃ ｒ网易教育频道 ：假设某些血 管可视为一类特殊的管 ＯＮ 道． 该管道 的表面是 由球心沿着某一曲线 （ 称为 中轴线 ） 的球滚动包络而成 。 例如 圆柱就是这样一种管道 ． 其中轴 线 为直线 ，由半径固定的球 滚动包络形成 。 现有某管道 的相继 １Ｏ张平行切 片图像 ．记录 了管 Ｏ 道与切片的交。 图像文件 名依 次为Ｏｂｎ 、 ｒｐ ９ ｒｐ １ｂｎ 、 ９ ｂ ，格式均为 ＢＭ 宽 、高均 为 ５ ２ ｍｐ Ｐ． １ 个象 素 （ ｉ １。 ｐｘ ） ｅ 为简化起见 ．假设 ：管道 中轴线与每张切片 只有 一个交 点 ：球半径 固定 ：切 片间距 以及图像象素的尺寸均 为 １ 。 取坐标系的ｚ轴垂直于切片 ． １ 第 张切片 为平面 Ｚ ０ 第 ＝， １Ｏ Ｏ 张切片 为平面 Ｚ ９ 。Ｚ Ｚ 片图像 中象素 的坐标依 ＝９ ＝ 切 它们在文件 中出现 的前后次序为
Ｖｏ． Ｎｏ １ ０ ２ １ ８ ． ２ ｏ
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２ 血管的三维重 建问题
血管 的三维重建是 医学图像处理领域一个传统的公
开问题 。 该问题如下形式 的描 述及图像来源于Ｗ Ｗ １ ３ Ｗ ６ ．
３ １ 广义锥理论 表示三维物体有一 种通用 的方法： 广义锥 。 它有 三 维空间的曲线 （ 表示三 维物体的轴线 ）和一组正交于轴 的物体截 口的轮廓组成 。 广义锥有队下 三个 要素来表示：
（ ５ ， ５ ．） 一５ ． ５ ， ． （ ５ ．５ ） 一 ６－ ６ｚ ， ２ ６－ ５ｚ ２ ２ （ ２ ） － ６２ ５ｚ， ２ （ ５ ２ ６ｚ ， ２ ５一５ ，） （ ５ ．５ ．） － ５－５ ．） －５ ． ５ ．．２ ５２ ５ｚ， ２ （ ２ ｚ － （ ５ ． ５ ，）（ ５ ， ５ ： … （ ５ ，５ ，） 一 ５－ ６ｚ ． ２ ５－ ５ｚ ２ ２ 一 ２ ） 一 ５２ ５ｚ． ２
数学建模血管的三维重建问题
A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。
其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。
此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。
如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。
本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。
最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。
考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。
最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。
该模型最终计算结果如下。
血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。
本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。
三维血管的重建
血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。
针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。
中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。
针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。
针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。
关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。
1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。
对血管切片做三维重建的一种方法
可 知 ， 存 在 一 点 ∈ ： ， ： 使 得 ｒ（） ｏ 即 半径 存 在 最 大 必 ∈ ｆ ， ＝ ’ 一 ． ｛ 值 ， 于 球 心 在 截 面 上时 对 应 相 交 所 得 圆 最 太 ， 以 ． 时 所 由 所 此
０ 引言
在 医学 、 文 观 测 、 业 非 破 坏 性 试 验 等 一 些 工 业 天 工
对 血 管 切 片做 三 维 重建 的 一种 方 法
王 斯 刚 ， 有 前 ：赵 学 军： 王 锦 江 （第 四军 医大学 冯 ， ，
生 物 医 学 工 程 系 物 理 学 教 研 室 西 西 安 ７ ９ ３ ， 空 军 工 陕 １ ０ ３ 程 大 学 导 弹学 院 ． 西 三 原 ７ ３ ０ ） 陕 １８ ０
由 单个截 面所 给 的信息 ． 我们便 可确定 每个切片 与管道
中 轴 线 的 交 点 ， 通 过 求 解 其 最 大 内 切 圆 的 平 均 半 径 得 出球 并 体 半 径 ．形 成 管 道 的 平 移 球 体 穿 过 截 面 时 ， 形 成 的 相 交 图 所 形 是 一 系 列 半径 可 变 的 圆 ． 设 其 半 径 函 数 为 ｒ ｒ ， ＜ 可 （１ ￡ ＜ ｆ 由其 穿 越 过 程 可 知 一 最 衬 接 触 截 面 及 最 后 离 开 截 面 ｒ ． 在
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研 究 腱报 ・ 文 章 编 号 ：０ ０２９ （０ ８ １ ０ ８０ １ ０ ７ ０ ２ ０ ）１１ ４ ２
迹 是 一 个 工 程 上 可 接 受 其 精 度 的 近 似 值 ） 由于 问题 中 假 设 ． 管 道 中 轴 线 与 每 张 切 片 有 且 只 有 一 个 交 点 ． 切 片 图 像 在 则
血管的三维重建数学建模
血管的三维重建数学建模
首先，血管的三维重建通常是通过医学影像学来实现的。
医学
影像学包括CT、MRI等技术，这些技术可以提供血管的断层扫描图像。
在这些图像的基础上，可以利用图像处理的方法，如边缘检测、分割等技术，来提取血管的形状和结构信息。
其次，几何建模是血管三维重建的关键环节。
在图像处理的基
础上，需要进行几何建模，将提取到的血管形状转化为数学模型。
这涉及到曲面重建、体素网格生成等技术，以及对血管内部结构的
建模。
另外，数学算法在血管三维重建中也起着重要作用。
例如，曲
面重建可以利用曲面拟合算法，体素网格生成可以利用体细胞自动
机等算法。
此外，对血管的分支、扭曲等特征的识别和建模也需要
借助数学算法来实现。
除此之外，血管的三维重建数学建模还涉及到计算机图形学、
计算几何学等领域的知识。
这些知识和技术的综合运用，可以实现
对血管形状、结构和特征的全面建模和重建。
总的来说，血管的三维重建数学建模是一个复杂而多样化的过程，涉及到多个学科和领域的知识。
通过综合运用图像处理、几何建模、数学算法等技术，可以实现对血管的全面、准确的三维重建和建模。
血管三维重建01年A题 数学建模
A 题 血管的三维重建摘要对于血管的三维重建问题，关键是找出理论假设下血管的中轴线和血管的直径。
通过这两个参数的确定就可以基本上绘制出血管图来。
首先，对给出的100张血管断面的二进制图像进行取反操作，应用软件获得图片中血管图像内部点和边缘点的坐标，根据程序求得最大内切圆的半径及其圆心坐标。
具体是（1）求出内部任意一点与边缘点的距离，取距离最小的值作为以该点为圆心的内切圆半径；（2）在这些半径中找到数值最大的值即为该图像的最大内切圆半径，对应的点坐标即为最大内切圆的圆心坐标。
对所有求得的半径取平均值得到29.185=R 。
然后，根据100个圆心坐标进行多项式曲线拟合，得到中轴线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯-⨯+⨯-=-+⨯-⨯+⨯-⨯=-------t z t t t t t y t t t t t x 9625.348124.0022526.0107491.4102666.4103623.158958.0045879.0102546.1100385.4108532.8105539.4234465824354759 剩余标准差为1.5518，说明此回归模型的显著性好。
绘制出曲线图，并投影到X-Y ，X-Z ，Y-Z 坐标面上。
关键词：边界提取最大内切圆法多项式拟合1 问题重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约um 1的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交。
图像文件名依次为0.bmp 、1.bmp 、…、 99.bmp ，格式均为BMP ，宽、高均为512个象素（pixel ）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在X-Z 、Y-Z 、X-Y 平面的投影图。
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五、模型构成
首先我们用第一个C程序把BMP图 象文件格式转换为保存了图象点阵信 息的文本文件。每个BMP文件对应一 个文本文件（从00.txt到99.txt），每 个文本文件均为512行，512列，按图 象的视觉直观顺序，以0表示白色象素 点， 1表示黑色象素点( 如右图)，以 此方便后续程序的读写及人为地纠错。
给我们的计算带来一定的误差， 但是由于象素很小，误差就不会 很大，我们依然可以应用上述理 论，人为的进行误差分析和修改， 更准确地得到球心(x y z)及由假设 4可知半径r=29个像素单位 （29=<ri<=29.69）。
XYZXYZXYZXYZXYZ
(-161 0 0) (-161 0 1) (-161 0 2) (-161 0 3) (-161 0 4) (-161 0 5)(-161 0 6)(-161 1 7)(-161 1 8)(-161 1 9) (-161 2 10)(-161 2 11)(-161 2 12)(-161 4 13)(-161 5 14) (-161 6 15)(-161 8 16)(-161 10 17)(-161 13 18)(-161 17 19) (-161 18 20)(-161 19 21)(-161 20 22)(-161 20 23)(-161 20 24) (-161 20 25)(-161 20 26)(-160 29 27)(-160 30 28)(-159 35 29) (-159 35 30)(-159 35 31)(-158 40 32)(-157 44 33)(-156 48 34) (-155 51 35)(-156 48 36)(-156 48 37)(-152 60 38)(-150 65 39) (-150 65 40)(-138 88 41)(-136 91 42)(-136 91 43)(-136 91 44) (-136 91 45)(-136 91 46)(-119 112 47)(-118 113 48)(-117 114 49) (-116 115 50)(-115 116 51)(-114 117 52)(-113 118 53)(-112 119 54) (-104 126 55)(-96 132 56)(-71 147 57)(-71 147 58)(-60 152 59) (-60 152 60)(-46 157 61)(-20 163 62)(-20 163 63)(-20 163 64) (-13 164 65)(-13 164 66)(-13 164 67)(38 163 68)(43 162 69) (48 161 70)(53 160 71)(60 158 72)(60 158 73)(67 156 74) (75 153 75)(80 151 76)(87 148 77)(87 148 78)(116 131 79) (119 129 80)(131 119 81)(131 119 82)(132 118 83)(144 106 84) (144 106 85)(145 105 86)(145 105 87)(151 98 88)(151 98 89) (163 81 90)(166 76 91)(175 58 92)(175 58 93)(177 53 94) (180 45 95)(180 45 96)(181 42 97)(183 35 98)(184 31 99) 在此之后我们找到两种求中轴线的方案，并对其进行分析
假设某些血管可视为一类特殊的管 道，该管道的表面是由球心沿着某 一曲线（称为中轴线）的球滚动包 络而成。例如圆柱就是这样一种管 道，其中轴线为直线，由半径固定 的球滚动包络形成。 现有某管道的相继100张平行切片 图象，记录了管道与切片的交。图 象文
件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均 为512个象素（pixel）。为简化起见， 假设：管道中轴线与每张切片有且 只有一个交点；球半径固定；切片 间距以及图象象素的尺寸均为1。 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张 切片为平面Z=0，第100张切片为平 面
接着，第二个程序实现了各个球心坐 标求取。确定每张切片与中轴线的交 点的坐标及半径：按理论来说，血管 截面边界是圆滑曲线，对一个球体过 球心切割，无论怎样切，都必得到一 个大圆，由假设5，每个切片包含且 仅包含一个这样的大圆，即它的最大 内切圆，圆心即球心，圆半径即球半 径。下面我们确定每张切片中最大内 切
圆的圆心。对第i 张切片上的第j个内 点，求到边界点 k的距离Sjk,从中选取 一个最小距离Sj,=min{Sjk}再从中选取 一个最大的,记为ri=max{Sj}.不难理解， 这就是第i张切片的最大内切圆的半径。 相应的内点即为圆心（中轴线与截面 的交点）。对100张切片搜索后就得到 100个球心点。但我们要面临的问题是 切片是由大量的象素点近似描绘出来 的，会
三、模型假设 1、假设血管管道的表面是由球 心沿着某一曲线（中轴线）的球 滚动而成的，也就是血管管道半 径（即球体半径）固定且中轴线 是连续的。 2、我们很合理的假设所有数据 均是准确的。用大量象素能够非 常近似地描绘一个图形。
3、因血管管道可以看作是一个半径 固定的球体滚动包络而成的，因此我 们认为中轴线，中轴线的一阶导数及 二阶导数都是连续的。 4、数据精确到单位像素。因切片厚 度为1uM，因此像素单位亦为１uM， 对于５１２＊５１２的信息距阵来说， 此精确程度已足以解释问题。 5、切片与血管中轴线的交点存在且 唯一。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、符号说明
r：表示血管管道半径。 ri：表示第i张切片中计算得到的管道半径。 ro：表示r的初始估计值（ro<r）。 Sjk：表示第 i张切片中第j个内点到第k个 边界点的距离。 Sj ：表示第i张切片中第j个内点到边界的 最短距离。 (xi,yi,zi)：表示第 i张切片得到的最大内切 圆的圆心坐标。
心轴线，得到血管半径为29个像 素单位，并模拟给出血管的三维 空间形态(如下图)，进而对结果 进行了广泛的分析与评价。同通 过矩阵投影到XY，YZ，ZX平面 而获得的图象进行比较，可以验 证模型的正确性，以及模型的先 进性。
血管切片的三维重建图
一、问题重述
断面可用于了解生物组织、器官等的 形态。例如，将样本染色后切成厚约 1m m的切片，在显微镜下观察该横 断面的组织形态结构。如果用切片机 连续不断地将样本切成数十、成百的 平行切片，可依次逐片观察。根据拍 照并采样得到的平行切片数字图象， 运用计算机可重建组织、器官等准确 的三维形态。
=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在 文件中出现的前后次序为 （-256，-256，z），（-256，-255， z），…（-256，255，z）， （-255，-256，z），（-255，-255， z），…（-255，255，z）， ……（255，-256，z）,（ 255，-255， z），…（255，255，z）。 根据以上所给信息,如何重建血管的三维形 态,是一个重要而且实用的问题。解决方案 如下:
二、问题分析
我们主要求解的是血管管道的中轴 线与半径。管道可以近似地看作是一 个半径固定的球体滚动而成的，中轴 线是球心滑过的曲线，是连续的。我 们等距平行切割血管，中轴线与每张 切片有且仅有一个交点，也就是每张 切片上有且仅有一个球心，那么在每 张切片上总可以找到且只能找
到一个以球心为圆心，球半径为半径 的圆，而且是此切片的最大内切圆， 反过来也是成立的。因此，我们只需 找到每张切片中的球心坐标就可以用 样条插值得到中轴线，通过寻找最大 内切圆得到半径，而中轴线在XY， YZ，ZX平面的投影图只需令Z=0， X=0，Y=0就可以得到。
摘 要：为了利用血管切片图象 重建血管的三维形态，我们首先 编程对切片图象进行由BMP数据 格式向文本格式的转换，而这样 获得的数据文件将较大，共约 50M。显然在利用计算机做进一 步读写与处理前，要着重面对的 问题是对大量数据的处理，而其 中却有大量冗余信息存在，于是
我们在寻找每张血管切片中心轴 点的过程中，利用多种优化算法 以简化问题，并确定出100个中 心轴点。以此100个中心轴点为 样点，依靠样条插值，利用 Matlab 软件对分别对平面及空间 曲线进行插值，先后建立了模型 一、模型二，从而拟合得到XY， YZ，ZX平面的投影曲线以及中