高等数学解题步骤

解题步骤

一、求极限：1）先代入判类型

2）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。 例1、 1lim sin

x x x

→∞

⋅ 【解】：（1）0⋅∞型

（2）原式=1

sin

lim

11

x x x →∞

=（由第一个重要极限得）

或原式=1lim 1x x x →∞⋅= （由等价无穷小11

1,0sin

x x x

x

→∞→⇒） 例2、24321

lim sin 213x x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-++⎝⎭

【解】：（1）0⋅有界函数

（2）231lim 021x x x x →∞-=-+，4

2sin 3

x x +有界

由无穷小性质：原式=0

例3、1lim ln x x e e

x

→-

【解】：（1）

型 （2）利用洛必达法则：原式=()()1

1lim

lim 1

ln x

x

x x e e e e x x

→→'

-==' 二、求导数：

1、利用定义求导数：1）先写出导数定义式 ()()()()()

000000

0lim

lim x h f x x f x f x h f x f x x h

∆→→+∆-+-'==∆ ()()()()

00000

lim

lim

x x x f x x f x f x f x x x x →→+--==- 导函数：()()()

lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

2）再将要求的式子凑成定义式

例1：设()1f a '=，求()()

1

431lim

1

x f x f x →---

【解】：（1）()()()

111lim

h f h f f h

→+-'=

（2）令1x h -=， 原式=()()()()

()()0

30131131lim

lim 33133h h f h f f h f f a h h

→-→----'=⋅-=-=-- 例2：设()2f a '=，求()1lim 22n n f f n →∞

⎡⎤

⎛

⎫+

- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

【解】：（1）()()()0

222lim

h f h f f h

→+-'=

（2）令

1

h n

=， 原式=()()

()0

22lim

2h f h f f a h

→+-'==

例3：设有任意的,x y 有()()()f xy f x f y =+且()11f '=，证明： 当1x ≠时()1f x x

'=

【证明】：（1）()()()

lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

（2）()()()0lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆()01lim x x f x f x x x ∆→⎡∆⎤

⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=∆ ()()01lim x x f x f f x x x

∆→∆⎛⎫

++- ⎪⎝⎭=∆ （由已知） ()()011111lim 1x x f f x f x x x x

x

∆→∆⎛⎫

+- ⎪⎝⎭'=⋅=⋅=∆ （()()()()10f xy f x f y f =+⇒=）

2、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、） 复合函数求导：1）分解函数成简单函数。 2）写出复合函数的求导公式。

()()()()),dy

a y f u u x f u x dx

ϕϕ''==⇒

=⋅ ()()()()()()),,dy

b y f u u v v x f u v x dx

φϕφϕ''===⇒=⋅⋅

()()()()()()()()()),,dy

c y f u u g x v v x f u g x v x dx

φϕφϕ''''==+=⇒=⋅+⋅

3）最后将中间变量回代。 例1、()

2ln 1y x x =++，求

dy dx

【解】：（1）2

ln ,1y u u x x ==++ （2）()()()22

121

ln 1211

dy x u x x x dx u x x +''=⋅++=+=++

例2

、y f

=，求y '

【解】：（1）(

)2

,1y f u u v x ===+ （2）(

)()(

)

212y f u x f u x f '

'''''

=⋅

⋅+==

例3

、(ln y x =，求y '

【解】：（1

）2

ln ,1y u u x v x ===+

（2）(

)(

)21ln 112y u x x x u ⎛⎫⎛⎫'

''''=⋅+

⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

1⎛⎫

=+= ⎝

隐函数求导：1）写明等式两边同时对x 求导。

2）利用复合函数的运算法则进行求导，遇含y 的函数则先对y 求导再乘以y '。 3）解出y '表达式。

4）如求()0y x '，则无需操作第3）步，只需将00,x y 代入2）中方程解得。 例1、方程2

2

4y

x xy y e ++=确定函数()y f x =，求y '