2018-2019学年河北省唐山市高二上学期期末考试B卷数学(理)试题扫描版含答案

唐山市2018～2019学年度高二年级第一学期期末考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
A 卷：BACBD
CBCAB DA B 卷：BDCBA
CBCAB DA 二、填空题：
（13） 1 3 （14）6π （15）30° （16）5
三、解答题：
（17）解：
因为(⌝p )∧q 为真命题，所以p 为假命题，q 为真命题．
…2分 ⌝p ：直线(m 2－5m )x －2y ＋1＝0的斜率k ＝m 2－5m 2
≤3，得－1≤m ≤6．① …5分 因为方程x 25－m －y 2
m ＋3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，所以⎩⎨⎧5－m ＞0，m ＋3＞0， 解得，－3＜m ＜5．②
…8分 由①②可得，实数m 的取值范围[－1，5)．
…10分 （18）解：
（Ⅰ）∵圆C 与x 轴分别交于A (－2，0)，B (6，0)两点，
∴圆心C 在线段AB 的中垂线x ＝2上．
由⎩⎨⎧x ＝2，3x ＋2y ＝0，得圆心C (2，－3)， …3分 ∴圆C 的半径为r ＝|CB |＝5，
∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25． …6分 （Ⅱ）∵圆C 的半径为5，|MN |＝6，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝4， 当直线l 的斜率不存在时，圆心C (2，－3)到直线x ＝6的距离为4，符合题意．
…8分
当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＋1＝k (x －6)，
∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－4k |k 2＋1
＝4， 解得k ＝－34，
∴直线l 的方程为3x ＋4y －14＝0．
…11分 综上所述，直线l 的方程为x ＝6或3x ＋4y －14＝0．
…12分 （19）解： （Ⅰ）因为平面CBB 1C 1⊥平面BAA 1B 1，且两平面交线为BB 1，CB ⊥BB 1， CB ⊂平面CBB 1C 1，所以CB ⊥平面BAA 1B 1，
从而有CB ⊥AB ， …3分
在△AA 1B 中，由余弦定理可得，A 1B ＝3，
从而有AB 2＋A 1B 2＝AA 12，
所以AB ⊥A 1B ，
又因为CB ∩A 1B ＝B ，
所以AB ⊥平面CBA 1，
又因为A 1C ⊂平面CBA 1，
所以AB ⊥A 1C ． …6分
（Ⅱ）以BA ，BA 1，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz ，
则B (0，0，0)，A 1(0，3，0)，C (0，0，2)，
C 1(－1，3，2)，
A 1C →＝(0，－3，2)，BA 1→＝(0，3，0)，BC 1→＝(－1，3，2)． …8分 设平面BA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
BA 1→·n ＝0，BC 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨
⎪⎧3y ＝0，
－x ＋3y ＋2z ＝0，
可取z ＝1，得n ＝(2，0，1)． …10分 设A 1C 与平面BA 1C 1所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|A 1C →
·n |_________|A 1C →||n |＝ 235
35，
即直线A 1C 与平面BA 1C 1所成角的正弦值为 235
35．
…12分 （20）解：
（Ⅰ）由题意设抛物线C 的方程为：y 2＝2px （p ＞0）． ∵抛物线C 过点M (1，2)，
∴2p ＝4，
∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ． …4分 （Ⅱ）设直线的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)， 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，
y 2＝4x 得，y 2－4y ＋4b ＝0， …6分 因为∆＝16－16b ＞0，所以b ＜1．
y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4b ． …8分 因为OA ，OB 斜率之积为－2，
所以y 1y 2x 1x 2＝16y 1y 2＝ 4
b ＝－2，
解得b ＝－2，
所以直线l 的方程为y ＝x －2． …10分 S △AOB ＝ 1
2×2×|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43． …12分
（21）解：
（Ⅰ）证明：作EF ∥DC 交PD 于点F ，连接AF ，
因为E 在棱PC 上且PE ＝2EC ， A A 1 B C C 1 B 1 z x y B C A
D P
E
F z x y
所以FE ＝
2
3DC ＝2．
又因为AB ∥DC ，AB ＝2， 所以AB ∥FE ，且AB ＝FE ，
所以四边形ABEF 为平行四边形， 从而有AF ∥BE ．
又因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD ．
…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠FAD 即为异面直线AD 与BE 所成的角， 在直角三角形FAD 中，cos ∠FAD ＝
AD
AF ＝
25
5，
所以AF ＝5，DF ＝1． …6分
以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ， 则D (0，0，0)，B (2，2，0)，E (0，2，1)，
DB →＝(2，2，0)， DE →＝(0，2，1)，
…7分 平面BDC 的一个法向量m ＝(0，0，1)，
…8分
设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩
⎪⎨⎪⎧DB →·n ＝0，DE →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0，
取x ＝1，得n ＝(1，－1，2)．
…10分 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝6
3，
…11分
因为二面角E -BD -C 为锐二面角，
所以二面角E -BD -C 的余弦值为6
3． …12分 （22）解：
（Ⅰ）因为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F (1，0)，点F 与短轴的两个顶点围成直角三角形． 所以
c ＝b ＝1，a 2＝2．
所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1．
…4分
（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k (x －1)（k ＞0），代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1并整理， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0．
…6分
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则有∆＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－2)＝8k 2＋8＞0，
x 1，2＝2k 2±2k 2＋21＋2k 2，|x 1－x 2|＝22k 2＋21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，
…8分
又因为k ＞0且k ≠1， 所以|k PM －k PN |＝
|
y 1＋1x 1－y 2＋1x 2|＝|kx 1－k ＋1x 1－kx 2－k ＋1
x 2
|
＝|(k －1)(x 1－x 2)||x 1x 2|＝2·k 2
＋1
|k ＋1|＝2·√
_____k 2
＋1(k ＋1)
2＝2·√
__________
1－2k ＋ 1
k ＋2
∈(1，2)． 故直线PM 与PN 斜率差的绝对值的取值范围是(1，2)．
…12分。