广东2015-2016学年高中学业水平测试数学试题
广东省惠州市第一中学20152016学年高二下学期期中考试文数试题(附解析)
广东省惠州市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位,集合A={1,2,zi},B={1,3},A ∪B={1,2,3,4},则复数z 等于（ ） A ．-4i B ．4i C ．-2i D ．2i 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知4zi =，所以44z i i==-，故选A. 考点：集合运算与复数运算. 2．以下四个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③【答案】D 【解析】考点：随机抽样与相关性检验等基本概念.3.“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：()()333aiz ai i a i i-==-⋅-=--，若z 对应的点在第三象限内，则0,0a a -<∴>，所以充分性成立；但当0a ≥，复数z 对应的点可能在虚轴上，所以必要性不成立，故选A.考点：复数的基本运算与充要条件的判断. 4.下列命题中，真命题是（ ） A ．0x R ∃∈，使得00x e ≤B ．1sin 2(π,)sin x x k k Z x+≥≠∈ C ．2,2xx R x ∀∈>D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】考点：指数函数的性质、基本不等式与充要条件的判断.5.已知322＝ 32＋ 2，833＝ 83＋ 3，1544＝ 154＋ 4，…，依此规律，若a ba b 8＝ ＋ 8，则a ，b 的值分别是（ ） A ．65，8 B ．63，8 C ．61，7D ．48，7【答案】B 【解析】试题分析：观察给出的个式子中左边根号下分数的分子和整数部分相同，分母是正数部分的平方减去1，据此规律容易发现当整数部分为8时，28,8163b a ==-=，故选B. 考点：归纳推理.6.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是（ ） A ．k ≤6? B ．k ≤7? C ．k ≤8?D ．k ≤9?【答案】B 【解析】试题分析：运行程序可知10,10;9,90;8,S 720;7k S k S k k =======此时应当输出S 720=，也就是8不满足判断框的内容，但7满足，所以应选B.考点：程序框图中的循环结构.7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：若四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝（ ） A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【答案】C 【解析】考点：类比推理.8.已知抛物线28y x =与双曲线2221x y a-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．530x y ±=B ．350x y ±=C ．450x y ±=D ．540x y ±= 【答案】A 【解析】考点：抛物线的定义与双曲线的简单几何性质.9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如 下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝－4x ＋a ^.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概 率为（ ） A.16B ．13 C.12D ．23【答案】B 【解析】试题分析：样本中心点坐标为13,802⎛⎫⎪⎝⎭，所以13ˆ8041062a=+⨯=，所以回归直线方程为4106y x ∧=-+，经验证可知有2个点位于回归直线左下方，其概率为2163=，故选B. 考点：回归直线方程. 10.已知xbax x f +=2)(（0>a ，0>b ），曲线)(x f y =在点))1( , 1(f 处的切线经过点)21 , 23(， 则ba 11+有（ ） A ．最小值9 B ．最大值9 C ．最小值4 D ．最大值4 【答案】A 【解析】考点：导数的几何意义与基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程与基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题.本题首先利用导数的几何意义求出切线斜率，写出直线的点斜式方程，把点)21 , 23(代入得到,a b 的关系，通过把ba 11+变形为()1111445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，根据基本不等式求出其值域得其最值情况. 11.已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定 （ ）A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()()33,f x x x f x x x f x =+∴-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，()2310f x x '=+>，所以()f x 为增函数，由0,0,0a b b c c a +>+>+>可得,,a b b c c a>->->-，所以()()()()()()()()(),,f a f b f b f b f c f c f c f a f a >-=->-=->-=-，根据不等式的性质可得()()()()()()f a f b f c f a f b f c ++>-++⎡⎤⎣⎦所以()()()20f a f b f c ++>⎡⎤⎣⎦，故选A.考点：函数单调性与奇偶性.【方法点晴】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用，属于基础题.本题解答的关键是根据函数解析式求出函数的单调性和奇偶性，把0,0,0a b b c c a +>+>+>变形为,,a b b c c a >->->-，根据函数的单调性和奇偶性比较出它们的大小，并最后根据不等式的性质——“同向不等式相加”得到()()()f a f b f c ++的符号.12.设函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对于任意的x R ∈，()2f x '>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．()1,-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞ 【答案】B 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用，考查了函数的思想及学生分析问题、解决问题的能力.本题解答的关键是根据题目条件()2f x '>联想构造函数()()24g x f x x =-+，并利用()2f x '>判断出其单调性，由(1)2f -=求并求得其零点，得到()0g x >的解集，即得原不等式的解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 【答案】6- 【解析】试题分析：根据复数的运算法则可得()()()()()()31263231212125a i i a a ia i i i i +-++-+==++-，若其为纯虚数，则60,6a a +=∴=-. 考点：复数的概念与四则运算.14.执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．【答案】4 【解析】 试题分析：运行程序可得1,S 00.8;n p ==<=11,2,S ;22S n p ===<1143,3,S ;2444S n p =+===<3177,4,S 0.8,4888S n p =+===<=否，输出的4n =.考点：程序框图中的循环结构.15.阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1时，你能得到的结论为______________．【方法点晴】本题主要考查了类比推理、一元二次不等式的恒成立问题，考查考生的推理能力及利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的类比源构造函数()()()()()2222121221n n f x x a x a x a nx a a a x =-+-++-=-++++，并转化为一元二次不等式()0f x ≥在R 上的恒成立问题.16.已知F 1，F 2分别是椭圆22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为________．【解析】试题分析：因为12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，椭圆上的一点M 满足12MF MF ⊥，MA MO =,过M 作MN x ⊥轴，交x 轴于点N ，不妨设M 在第一象限，则N 是OA 的中点，点M的横坐标为2a，纵坐标为，所以()()12121,0,,0,22MF F F c F c S c -=⨯=，1222a a MF MF c c ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223044a c b =-+=，整理可得2247a c =，2247c a ∴=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，28a =，前6项的和666S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设122,...(1)n n n nb T b b b n a ==++++，求n T ．【答案】（1）24n a n =+；（2）1122n n T =-+. 【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由28a =得2d =，根据等差数列的通项公式即可求得通项公式n a ；（2）由（1）得()()112n b n n =++，裂项可得1112n b n n =-++，逐项相消即可求得n T .考点：等差数列的通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2 2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?参考数据：【答案】（I ）列联表见解析，没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（II ）35. 【解析】(Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人记为M, ………………6分则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （a, M ）, （b,c ）, （b,d ）,（b, M ）, （c, d ）, （c, M ）,（d, M ）.…………8分设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ，………………9分则事件A 所有可能的结果有：（a,b ）, （a,c ）, （a,d ）, （b,c ）, （b,d ）, （c, d ）,∴()63.105P A ==………………11分 所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35.………………12分 考点：相关性检验与古典概型中某事件的概率.19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，1BC =，12CC =，1BC =（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当32AB =时，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1BC ⊥平面ABC ，1BC ∴即为三棱柱111ABC A B C -的高，所以三棱柱111ABC A B C -的体积11131222V AB BC BC =⨯⨯⨯=⨯⨯= …………………………………………………………………………（12分） 考点：空间中的垂直关系及三棱柱的体积公式.20．（本小题满分12分） 设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222a b x y a b +=+，若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E 上任意一点P 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点. O 为坐标原点，若OA OB ⊥,证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（I ）椭圆C 的方程为2212x y +=，“相关圆”E 的方程为2223x y +=；（II ）m ≥或m ≤【解析】（Ⅱ）设1122(,),B(x ,y )A x y 联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=考点：椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定值为题，属于中档题.求椭圆和圆的方程，只要根据条件建立基本量,,a b c之间的关系，问题即可得解；定值问题也是直线与圆锥曲线位置关系的综合应用中的常见题型，解答的基本策略是把要证为定值量用参数表示，根据韦达定理、判别式及其它一些已知条件建立交点坐标与参数间的关系进行消元、运算，即可证得结论.21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=()f xx的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[12，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，函数()h x 在()0,+∞上单调递增，当0a >时，函数()f x 在()上单调递减，在),+∞上单调递增；（2）[)1,+∞. 【解析】（2）g （x ）=x 3﹣x 2﹣3，g′（x ）=3x （x ﹣23），由上表可知，g （x ）在x=2处取得最大值，即g （x ）max =g （2）=1所以当x ∈[12，2]时，f （x ）=a x+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x ﹣x 2lnx 恒成立， 记u （x ）=x ﹣x 2lnx ，所以a≥u （x ）max ，u′（x ）=1﹣x ﹣2xlnx ，可知u′（1）=0，当x ∈（12，1）时，1﹣x ＞0，2xlnx ＜0，则u′（x ）＞0，∴u （x ）在x ∈（12，2）上单调递增；请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（Ⅰ）求证：PM 2=PA•PC ；（Ⅱ）若⊙O 的半径为OM ，求MN 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）2.【解析】试题分析：（I ）由圆的切线性质可得90ONP ∠=,及2PN PA PC =⋅根据等边对等角可得OBN ONB ∠=∠,及对顶角相等可得PMN MNP ∠=∠,所以PN PM =,从而证得2PM PA PC =⋅；（II ）根据相交弦的性质可得CM MA BM MN ⋅=⋅,结合已知条件即可求得MN 的长.试题解析：（Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°，考点：圆的切线、割线的性质及三角形中的边角关系.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=-．以极点为坐 标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值．【答案】（1）()()22112x y -+-=；（2. 【解析】试题分析：（1）利用两角差的余弦公式把)4πρθ=-展开，并两边同乘以ρ，根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==即可把2C 的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）把1C的参数方程212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式求得2C 的圆心到直线1C 距离的最大值，加上半径即得2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值．试题解析：（1）π)2(cos sin )4ρθθθ=-=+，即()22cos sin ρρθρθ=+， 可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．（2）1C的直角坐标方程为20x +=，由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离d ∴动点M 到曲线1C的距离的最大值为． 考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--．（Ⅰ）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．【答案】（I ）(,3)(4,)-∞-+∞；（II ）(,1]-∞-. 【解析】（Ⅱ）若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-, 所以m 的取值范围是(,1]-∞-.考点：绝对值不等式的解法与性质.。
2015-2016学年度第一学期期末测试(数学)
2015～2016学年度第一学期期末测试七 年 级 数 学本卷分值 100分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．34-的相反数是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．单项式225x y-的系数和次数分别是A ．－2，2B ．2-，3C ．25-，2D ．25-，33．在下面的四幅图案中，通过平移图案（1）得到的是图案4．下列各组中的两项，不是．．同类项的是 A ．22x y 与23x y - B ．3x 与3xC ．232ab c -与32c b aD ．1与－18 5．若关于x 的方程710x a +-=解是1x =-，则a 的值等于A ．8B ．－8C ．6D ．－6 6．从三个不同方向看一个几何体，得到的三视图 如图所示，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．球7．已知有理数a ，b 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确．．．的是 A ．ab＜0 B ．a －b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．ab ＜0b 0a（1） A B C D（第6题）（第7题）8． 如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误．．的是 A ．∠1与∠2是邻补角 B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠3与∠4是内错角D ．∠2与∠4是同位角 9． 如图，点D 在直线AE 上，量得∠CDE=∠A=∠C ，有以下三个结论：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③∠B=∠CDA ．则正确的结论是A ．①②③B ．①②C ．①D ．②③ 10．王力骑自行车从A 地到B 地，陈平骑自行车从B 地到A 地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km ，到中午12时，两人又相距36 km ．求A 、B 两地间的路程．可设A 、B 两地间的路程为x km ，则下列所列方程中：①363624x x -+=；②36363622x -+=；③36362x -=⨯； ④3636x -=；其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．用科学记数法表示9600000为 ▲ ．12．点A 、B 在同一条数轴上，其中点A 表示的数为－1，若点B 与点A 之间距离为3，则点B 表示的数为 ▲ ． 13．已知2a b -的值是2015，则124a b -+的值等于 ▲ ．14．若23(2)0x y -++=，则16xy = ▲ ．15．飞机的无风航速为a 千米／小时，风速为20千米／小时．则飞机逆风飞行4小时的行程是 ▲ 千米．16．某服装店以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件 盈利25%，另一件亏损25%，若盈利记为正，亏损记为负，则该店卖这两件衣服总的盈亏金额是 ▲ 元．17．如图，把小河里的水引到田地A 处就作AB ⊥l ，垂足 为B ，沿AB 挖水沟，这条水沟最短的理由是 ▲ ． 18. 如图，将三角板与两组对边分别平行的直尺贴在一起， 使三角板的顶点C （AC ⊥BC ）落在直尺的一边上，若∠1=24°，则∠2等于 ▲ 度． 19．如图，平面内有公共端点的6条射线OA 、OB 、OC 、 OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写上数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字 “2016”应在射线 ▲ 上．20．已知线段AB =12㎝，若M 是AB 的三等分点，N 是AM 的中点，则线段BN 的长度为 ▲ ㎝．三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文ac1 234 A B C DE（第8题） （第9题）（第17题）（第18题）（第19题）字说明、证明过程或演算步骤） 21．（每小题4分，共16分）计算：（1） (20)(3)(5)(7)-++---+；（2） 111()(12)462+-⨯-；（3） 322(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦；（4） 471127326631440-+⨯-⨯÷．22．（每小题3分，共6分）（1）如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4㎝，求线段CD的长度．（2）如图，货船A 在灯塔O 的北偏东53°35′的方向上，客船B 在灯塔O 的南偏东28°12′的方向上．求∠AOB 的度数．23．（每小题4分，共8分）先化简，再求值：（1）求22113333a abc c a c +--+的值，其中1,2,36abc =-==-；（2）求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中22,3x y =-=．24．（每小题4分，共8分）解方程： （1）72(33)20x x +-=； （2）121224x x+--=+．25．（本小题6分）如图，AD ∥BC ，∠1=60°，∠B =∠C ，DF 为∠ADC 的平分线． （1）求∠ADC 的度数；（2）试说明DF ∥AB ． 解：（1）根据题意完成填空（括号内填写理由）： ∵AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1（ ） 又∵∠B =∠C （已知） ∴ =∠1=60°C D （第22题（2）） A O B 西 东 北南 （第22题（1））又∵AD ∥BC （已知）∴∠ADC +∠C =180°（ ） ∴∠ADC = ．（2）请你完成第2题的解答过程：26．（本小题4分）列方程解应用题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 27．（本小题6分）如图：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ． （1）如图1，若∠E ＝78°，则∠BFD = °；（2）如图2，若∠ABM ＝14∠ABF ，∠CDM ＝14∠CDF ，则∠M 和∠E 之间的数量关系为 ；（3）如图2，∠ABM ＝1n ∠MBF ，∠CDM ＝1n∠MDF ，设∠M ＝m °，直接用含有n ，m 的代数式表示出∠E ＝ °．28．（本小题6分）如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°． （1）求∠AOC 的度数；（2）在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求 t 的值； （3）在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求 t 的值．BE DFACBE DFA CM 图1图2CMNB（第27题）。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
广东省江门市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年广东省江门市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n= D．2．命题“若α=0，则sinα＜cosα”的否命题是（）A．若α=0，则sinα≥cosαB．若sinα＜cosα，则α≠0C．若α≠0，则sinα≥cosαD．若sinα≥cosα，则α≠03．下列不等式中，解集是空集的是（）A．x2﹣x+1＞0 B．2x﹣x2＞5 C．﹣2x2+x+1＞0 D．x2+x＞24．已知，，若，则常数m=（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．95．在△ABC中，∠A=60°，，，则△ABC解的情况（）A．无解 B．有唯一解 C．有两解D．不能确定6．“x＜1”是“|x|＜2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件7．在直角坐标系xOy中，直线y=x与抛物线x2=4y相交于O、A两点，则点A到抛物线焦点的距离为（）A．5 B．6 C．7 D．88．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（）A．a、b、c成等比数列B．a、b、c成等差数列C．a2、b2、c2成等比数列D．a2、b2、c2成等差数列9．设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为（）A．2 B． C．3 D．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，，则AB1与C1B所成角的大小为（）A．45°B．60°C．90°D．105°11．已知椭圆E：，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（，﹣1），则l 的方程为（）A．2x+y=0 B． C．2x﹣y﹣2=0 D．12．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．14．已知圆（x﹣2）2+y2=4，则过抛物线y2=4x的焦点的直线与已知圆相交的最短弦长等于．15．已知数列{a n}满足：∀m，n∈N*都有a m•a n=a m+n，且a1=2．记数列的前n项和为S n，则S n=．16．如图，三棱锥ABCD各棱的长均为1，E、F分别是AD、BC的中点，则EF=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．已知关于x的函数f（x）=（a+1）x2﹣ax+a﹣1，a∈R是常数．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若∀x∈R，都有f（x）＜2x2，求a的取值范围（用集合表示）．19．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求角C；（2）若c=7，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是CC1的中点，且A1B⊥A1D．（1）证明：平面A1BD⊥平面BDE；（2）求直线A1D与直线BE所成角的余弦值．21．平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=x﹣1与曲线C相交于P1，P2两点，Q是x轴上一点，若△P1P2Q的面积为，求Q点的坐标．请考生从第22、23、24题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．23．（2015秋•江门期末）不等式组表示的平面区域记为．（1）求平面区域面积；（2）求包含的整点个数．24．（2015秋•江门期末）平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为双曲线的右顶点．（1）求抛物线C的方程；（2）经过已知双曲线的左焦点作抛物线C的切线，求切线方程．2015-2016学年广东省江门市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n= D．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．【解答】解：设此数列为{ a n}，则由题意可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选C．【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．2．命题“若α=0，则sinα＜cosα”的否命题是（）A．若α=0，则sinα≥cosαB．若sinα＜cosα，则α≠0C．若α≠0，则sinα≥cosαD．若sinα≥cosα，则α≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用四种命题的逆否关系写出结果即可．【解答】解：命题“若α=0，则sinα＜cosα”的否命题是：若α≠0，则sinα≥cosα．故选：C．【点评】本题考查逆否命题的求法，是基础题．3．下列不等式中，解集是空集的是（）A．x2﹣x+1＞0 B．2x﹣x2＞5 C．﹣2x2+x+1＞0 D．x2+x＞2【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】利用根的判断式和一元二次不等式的性质能判断一元二次不等式的解集是否为空集．【解答】解：在A中，x2﹣x+1＞0，△=1﹣4=﹣3＜0，∴不等式x2﹣x+1＞0的解集为R，故A不成立；在B中，2x﹣x2＞5，即x2﹣2x+5＜0，△=4﹣20=﹣16＜0，∴2x﹣x2＞5的解集是∅，故B成立；在C中，﹣2x2+x+1＞0，即2x2﹣x﹣1＜0，△=1+8=9＞0，∴﹣2x2+x+1＞0的解集不是∅，故C不成立；在D中，x2+x＞2，即x2+x﹣2＞0，△=1+8=9＞0，∴x2+x＞2的解集不是∅，故D不成立．故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解集是否为空集的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．4．已知，，若，则常数m=（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】函数思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据时，•=0，列出方程求出m的值．【解答】解：，，当时，•=0，即﹣3×1+2m+5×3=0，解得m=﹣6．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的数量积的应用问题，是基础题目．5．在△ABC中，∠A=60°，，，则△ABC解的情况（）A．无解 B．有唯一解 C．有两解D．不能确定【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】根据正弦定理，结合题中数据解出sinB，再由∠B+∠C=180°﹣∠A=120°，得出B＜120°，所以∠B=30°，从而∠C=90°．由此可得满足条件的△ABC有且只有一个．【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，a=，b=，∴根据正弦定理，得sinB===，∵∠A=60°，得∠B+∠C=120°∴由sinB=，得∠B=30°，从而得到∠C=90°因此，满足条件的△ABC有且只有一个．故选：B．【点评】本题给出三角形ABC的两条边的一个角，求满足条件的三角形个数．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．6．“x＜1”是“|x|＜2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=﹣3时，满足x＜1，但|x|＜2不成立，若当x=时，满足|x|＜2，但x＜1不成立，即“x＜1”是“|x|＜2”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7．在直角坐标系xOy中，直线y=x与抛物线x2=4y相交于O、A两点，则点A到抛物线焦点的距离为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出A的坐标，直接利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：因为直线y=x与抛物线x2=4y相交于O、A两点，∴A（4，4）点A到抛物线焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：y=﹣1，所以点A到抛物线焦点的距离为4+1=5．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．8．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（）A．a、b、c成等比数列B．a、b、c成等差数列C．a2、b2、c2成等比数列D．a2、b2、c2成等差数列【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】将已知等式通分，整理后，利用余弦定理化简可得b2=ac，由等比数列的性质即可得解．【解答】解：∵，⇒=，⇒ac=bccosA+abcosC，⇒ac=bc×+ab×，⇒b2=ac，∴a、b、c成等比数列．故选：A．【点评】本题主要考查了余弦定理，等比数列的性质的综合应用，属于基础题．9．设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为（）A．2 B． C．3 D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先由线性约束条件画出区域，欲求|AB|的最大值，观察平面区域知，D、F两点距离最大，故只要求出此两点的距离即得．【解答】解：原不等式组可以化为，画出对应的平面区域图形如图所示的阴影部分．坐标依次为F（0，3），D（2，0）．显然在平面区域内，D、F两点距离最大为=，即|AB|的最大值为．故选：B．【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，，则AB1与C1B所成角的大小为（）A．45°B．60°C．90°D．105°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与C1B所成角的大小．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设BB1=，则A（0，0，0），B1（，1，），C1（0，2，），B（，1，0），=（），=（），∵=3﹣1﹣2=0，∴AB1与C1B所成角的大小为90°．故选：C．【点评】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．已知椭圆E：，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（，﹣1），则l 的方程为（）A．2x+y=0 B． C．2x﹣y﹣2=0 D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（，﹣1）是线段AB的中点，则x1+x2=1，y1+y2=﹣2；依题意，，①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y2﹣y1），由题意知，直线l的斜率存在，∴k AB==﹣×=，∴直线l的方程为：y+1=（x﹣），整理得：．故直线l的方程为．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．12．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．【考点】命题的否定；特称命题．【分析】根据命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“=“改为“≠”即可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题∴命题的否定为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．14．已知圆（x﹣2）2+y2=4，则过抛物线y2=4x的焦点的直线与已知圆相交的最短弦长等于．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】过抛物线y2=4x的焦点的直线与已知圆相交，弦长最短，圆心到直线的距离最大，即可得出结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点是（1，0），准线方程x=1．∵（1﹣2）2+02=1＜4，∴焦点在圆内．过抛物线y2=4x的焦点的直线与已知圆相交，弦长最短，圆心到直线的距离最大，此时直线方程为x=1，圆心到直线的距离为1，所以最短弦长等于2=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．15．已知数列{a n}满足：∀m，n∈N*都有a m•a n=a m+n，且a1=2．记数列的前n项和为S n，则S n=4n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】在已知递推式中，取m=1可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式，代入后得答案．【解答】解：令m=1，则由a m•a n=a m+n，得a n a1=a n+1，即，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴=，∴数列的前n项和为S n=4n．故答案为：4n．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．16．如图，三棱锥ABCD各棱的长均为1，E、F分别是AD、BC的中点，则EF=．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】由AB=BD=AC=CD=AD=2，F是AD中点，得BF=CF，由能能求出EF==．【解答】解：如图，正四面体ABCD棱长为1，F、E分别为BC、AD中点，连结EF、BF、CE，∵AB=BD=AC=CD=AD=1，E是AD中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，∴BE=CE=22﹣12=，∵BC=1，∴EF⊥BC，∴EF==．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由{a n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{a n}的通项公式（Ⅱ）由{b n}是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．18．已知关于x的函数f（x）=（a+1）x2﹣ax+a﹣1，a∈R是常数．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若∀x∈R，都有f（x）＜2x2，求a的取值范围（用集合表示）．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用二次不等式求解即可．（2）通过①若a=1，②若a≠1，分别求解即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，由f（x）＞0得，2x2﹣x＞0…（1分）解得或x＜0…（3分），解集为…（5分）（2）由f（x）＜2x2得（a﹣1）x2﹣ax+a﹣1＜0①若a=1，则（a﹣1）x2﹣ax+a﹣1＜0当且仅当x＞0，不符合题意…（7分）②若a≠1，则有…（9分）解（﹣a）2﹣4（a﹣1）2＜0得，a＞2或…（11分）所以，a的取值范围为（或）…（12分）【点评】本题考查函数的恒成立，二次不等式的解法，考查计算能力．19．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求角C；（2）若c=7，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；规律型；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理求解即可．（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．【解答】解：（1）由和得，…（3分）因为，所以…（5分）（2）由余弦定理a2+b2﹣2abcosC=c2得，a2+b2﹣ab=49…（7分）由△ABC的面积为得，，ab=40…（9分）所以a2+b2+2ab=（a2+b2﹣ab）+3ab=169，a+b=13…（11分）△ABC的周长为a+b+c=20…（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是CC1的中点，且A1B⊥A1D．（1）证明：平面A1BD⊥平面BDE；（2）求直线A1D与直线BE所成角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）（方法一）设AB=a，AA1=b，连接AC交BD于O，说明∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，利用勾股定理，，证明平面A1BD⊥平面BDE．（方法二）连接AC交BD于O，则AC⊥BD，作OG∥CC1，以O为原点，、、所在方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，AA1=b，通过数量积，证明OE⊥A1B，OE⊥A1D，推出OE⊥平面A1BD，即可证明平面A1BD⊥平面BDE．（2）（方法一）连接B1C交BE于F，说明∠CFE是直线A1D与直线BE所成的角，利用△BB1F～△ECF，通过余弦定理求解即可．（方法二）作OG∥CC1，以O为原点，、、所在方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求解所求角的余弦值即可．【解答】证明：（1）（方法一）设AB=a，AA1=b，则，…（2分）连接AC交BD于O，则BO=DO，，…（3分）所以A1O⊥BD，EO⊥BD，∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角…（4分），，…（5分）因为A1B⊥A1D，所以3a2=2（a2+b2），即a2=2b2…（6分），，平面A1BD⊥平面BDE…（7分）（方法二）连接AC交BD于O，则AC⊥BD，作OG∥CC1，以O为原点，、、所在方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系…（1分）设AB=a，AA1=b，则，，…（2分），，，…（3分），，…（4分），依题意，，a2=2b2…（5分）所以，…（6分）OE⊥A1B，OE⊥A1D，A1B∩A1D=A1，所以OE⊥平面A1BD，又OE⊂平面BDE，所以平面A1BD⊥平面BDE…（7分）（2）解：（方法一）连接B1C交BE于F，则B1C∥A1D，∠CFE是直线A1D与直线BE所成的角…（8分）由BB1∥CC1，△BB1F～△ECF得，，…（10分）…（12分）（方法二）作OG∥CC1，以O为原点，、、所在方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系…（8分）则，，，…（9分）（无论第（1）问是否建立空间直角坐标系，正确写出各点坐标这一步都给到9分），…（10分）所求角的余弦值为…（12分）【点评】本题考查与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的判断，异面直线市场价的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=x﹣1与曲线C相交于P1，P2两点，Q是x轴上一点，若△P1P2Q的面积为，求Q点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；分析法；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），利用直线的斜率之积是，化简整理得，点M的轨迹C的方程．（2）由消去y，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），通过韦达定理，设Q（m，0），Q到直线l的距离与弦长公式，通过数据线的面积，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设M（x，y），则…（2分）化简整理得，点M的轨迹C的方程（x≠±2）…（4分）（2）由得，7x2﹣8x﹣8=0…（5分）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，…（6分），…（7分）…（8分）设Q（m，0），Q到直线l的距离…（9分）依题意，…（10分）代入化简得，|m﹣1|=7…（11分）解得m=8或m=﹣6，所求点为Q（8，0）或Q（﹣6，0）…（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．请考生从第22、23、24题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】四种命题的真假关系．【分析】已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．【点评】本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式．23．（2015秋•江门期末）不等式组表示的平面区域记为．（1）求平面区域面积；（2）求包含的整点个数．【考点】简单线性规划．【专题】规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】（1）画出可行域，判断三角形的形状，然后求解三角形的面积．（2）写出可行域中整点的数目即可．【解答】解：（1）平面区域如图…（2分），解得，，即A（2，3）…（3分），同理B（1，0），C（0，2）…（5分），…（6分），所以平面区域的面积为…（7分）（2）内的整点有A（2，3），B（1，0），C（0，2）和（1，1），（1，2），共5个…（10分）【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力．24．（2015秋•江门期末）平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为双曲线的右顶点．（1）求抛物线C的方程；（2）经过已知双曲线的左焦点作抛物线C的切线，求切线方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出抛物线C的方程，利用双曲线的简单性质求出顶点坐标，然后求解抛物线方程．（2）求出双曲线的左焦点坐标，设出切线方程，联立方程组求解切线方程．【解答】解：（1）依题意，设抛物线C的方程为y2=2px…（1分）抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为双曲线的右顶点…（2分），所以p=2，抛物线C的方程为y2=4x…（3分）（2）双曲线的左焦点为F（﹣2，0）…（4分）显然x=﹣2不是抛物线C的切线，设所求切线为y=k（x+2）…（5分）由及k≠0得，…（6分），依题意…（8分），解得…（9分）切线方程为…（10分）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．。
2015-2016学年广州市海珠区高二数学第二学期期末考试模拟试题
2015-2016学年广州市海珠区高二数学第二学期期末考试模拟试题一、选择题（题型注释） 1．复数3ii-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 3．已知cos cos 2tan sin sin ααααα+=+,则的值为 （ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．12D ．2 4．直线sin 220x y α++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．),0[π B ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[π D ．),2(]4,0[πππ⋃5．如图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．10i >B ．10i <C ．20i >D ．20i <6．将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B ．0 C ．4πD ．4π- 7．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是 （ ） A ．12()S x x dx =-⎰ B ．12()S xx dx =-⎰C ．12()S yy dy =-⎰ D ．1()S y y dy =-⎰8．设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） ①若α⊥l ，则l 与α相交 ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．49．如图，已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且AOC ∠=030，设 (),OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于（ ）A ．13B ．3C ．33D ．3 10．已知曲线22:x y C =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．（4，＋∞） B ．（－∞，4） C ．（10，＋∞） D ．（－∞，10）11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．22．4 C ．23．2612．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[3,3]- B ．[3,)+∞ C ．[2,)+∞ D ．(,2][2,)-∞-+∞二、填空题（题型注释） 13．已知关于x 的二项式n xax )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为 ． 14．变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为 ．15．∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，若sin B =513，cos B =12ac，则a c +的值为 ．16．()f x 是定义在R 上的函数，且(3)()3f x f x +≤+，(2)()2f x f x +≥+，(0)0f =，则(2016)f = ．三、解答题（题型注释）17．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且332-=n n a S ，（+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记nn a n b 14+=，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求n T .18．2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115（Ⅰ）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率； （Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．在（Ⅰ）的前提下，记X 为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X 的分布列和数学期望；19．如图，在四棱柱ABCD-PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC ，∠ABC ＝45o，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．（1）求PD 与BC 所成角的大小； （2）求证：BC ⊥平面PAC ； （3）求二面角A-PC-D 的大小．20．（12分）已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S 的方程；（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．①若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； ②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．21．（14分）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m ≤﹣1．22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-⎧⎨=+⎩,（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2312cos ρθ=+.(Ⅰ)直接写出直线l 、曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 上的点到与直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.参考答案1．B(3)31133(3)(3)101010i i i i i i i i +-===-+--+，对应的点为13(,)1010-，位于第二象限． 考点：复数的除法运算． 2．A 【解析】试题分析：∵22a a >，∴0a <或2a >，∴“2a >”是“22a a >”的充分不必要条件． 考点：充分必要条件． 3．D∵sin cos αα+=2(sin cos )2αα+=，∴1sin cos 2αα=，∴cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα+=+==．考点：平方关系、商数关系． 4．B设直线的倾斜角为θ，0θπ≤<，根据直线的斜率的计算方法，可得AB 的斜率为k α=，易得k ≤≤由倾斜角与斜率的关系，易得tan θ≤≤，由正切函数的图象，可得θ的范围是),43[]4,0[πππ⋃． 考点：直线的倾斜角．5．A201614121+⋅⋅⋅+++是10个数的和，通过程序框图的分析，选A ． 考点：程序框图． 6．C∵函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，∴sin(2())sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，∵所得到的函数图象关于y 轴对称， ∴42k ππϕπ+=+，k Z ∈，∴4k πϕπ=+，k Z ∈，所以选C ．考点：三角函数的图象平移、函数的奇偶性． 7．A由图象可得：120()S x x dx =-⎰．考点：积分运算． 8．C由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m 、n 的相交，不符号线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，//l n ，故l α⊥时，一定有n α⊥，即③正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得//m n ，再根据平行线的传递性，即可得//l n ，即④正确．故正确的有①③④，共3个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 9．B过点C 作//CE OA ，//CF OB ，设||OC a =，有CEB ∆∽AFC ∆，∴BE CECF AF=，①， ∵AOC ∠=030，则12CF a OE ==，32OF CE ==，∴132BE a =，322AF a =-，代入①中化简整理可得：35a =，366255a OF OA ===，23225a OE OB ===， ∴6255OC OE OF OA OB =+=+，∴3mn=． 考点：平面向量的数量积的运算．10．D视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向，设切线2(0)y kx k =->与抛物线方程联立得2220x kx -+=，2160k ∆=-=，∴4k =（负的舍去），∴切线为42y x =-，取3x =，得10y =，B 点只要在此切线下面都满足题意，∴10a <． 考点：抛物线的简单性质． 11．C由三视图知该几何体为棱锥S-ABD ，如图，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S-ABCD 的四面体中SBD 面的面积最大，三角形SBD是边长为面积最大的为84⨯= 考点：简单空间图形的三视图． 12．B令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-= ∴函数()g x 为奇函数， ∵(0,)x ∈+∞时，//()()0g x f x x =-<，函数()g x 在(0,)x ∈+∞为减函数，又由题可知，(0)0,(0)0f g ==，所以函数()g x 在R 上为减函数，2211(6)()186(6)(6)()186022f m f m mg m m g m m m ---+=-+----+≥，即(6)()0g m g m --≥，∴(6)()g m g m -≥，∴6,3m m m -≤∴≥．考点：函数的奇偶性、单调性．13．2 ∵二项式n xax )(3+展开式的二项式系数之和为32，∴232n =，∴5n =，∵55526155r rrr r r r T C C a x--+==，∴55026r -=，∴3r =，∴常数项为33580C a =，∴2a =．考点：二项式定理． 14．5变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x 满足的区域如下，22)2(y x +-表示区域内的点到点(2,0)的距离的平方，由图象可知点(0,1)到点(2,0)的距离的平方最大．考点：线性规划． 15．37∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，∵sin B =513，cos B =12ac，∴13ac =，∴2222cos b a c ac B =+-，∴2237a c +=，∴2()63a c +=，∴37a c +=考点：等比中项、平方关系、余弦定理． 16．2016∵(2016)(2013)3(2010)6(0)20162016f f f f ≤+≤+≤≤+= (2016)(2014)2(2012)4(0)20162016f f f f ≥+≥+≥≥+=(2016)2016f ∴=考点：函数值．17．（1）当1=n 时，323321111=⇒=-=a a a S ； 1分 当2≥n 时，332,33211-=-=--n n n n a S a S ，∴当2≥n 时，n n n n n a a a S S 2)(32211=-=---，整理得13-=n n a a . 3分 ∴数列}{n a 是以3为首项，公比为3的等比数列.∴数列}{n a 的通项公式为nn a 3=. 5分（2）∵nn a n b 14+=， ∴n n b b b b T ++++= 321n n n n )31)(14()31)(34()31(9)31(5121++-++⨯+⨯=- ，①∴=n T 31132)31)(14()31)(34()31(9)31(5+++-++⨯+⨯n n n n ，②由①—②得=n T 32121211111111115()4[()()](41)()4[()()](41)()333333333n n n n n n ++⨯+++-+=++++-+1)31)(14(311)311(31431++---⋅⋅+=n n n 1)31)(14()311(231++--+=n n n 10分 ∴n n n T )31)(74(72+-=，∴711(47)()223nn T n =-+. 12分【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.18．（Ⅰ）甲区通过监测的概率约为42201331004++=．乙区通过监测的概率约为4032841005++=．（Ⅱ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-．433(90)545P X ==⨯=；411(45)545P X ==⨯=；133(30)5420P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=； 所以，随机变量的分布列为:所以1390453015665520204EX =⨯+⨯+⨯-⨯=（百万元）． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列19．（1）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD=CD 所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH 所以∠PDH 为PD 与BC 所成角因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以⊥DA ⊥AB又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt △PAD 、Rt △DAH 、Rt △PAH 都为等腰直角三角形 所以PD=DH=PH=2，故∠PDH=60o（2）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1 在Rt △BHC 中，∠ABC=45o， ∴CH=BH=1，CB=2 ∴AD=CH=1，AC=2∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC ……6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……7分 ∵PA ∩AC=A ∴BC ⊥平面PAC（3）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， ∴AP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1)设m=(a ，b ，c)为平面PAC 的一个法向量， 则0m AP m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00c a b c =⎧⎨+-=⎩设1a =，则1b =-，∴m=(1，-1，0)同理设n=(x ，y ，z) 为平面PCD 的一个法向量，求得n=(1，1，1) ∴1110011cos m,n 222m n m n ⋅⨯-⨯+⨯===⋅⨯ 所以二面角A-PC-D 为60o考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定 20．（1）在直线10x y -+=中令0x =得1y =； 令0y =得1x =-1c b ∴==， 22a ∴= 则椭圆方程为2212x y +=（2）①(2,0)M ，(0,1)N -，M 、N 的中点坐标为（2，12-），所以2k =②法一：将直线PA 方程y kx =代入2212x y +=，解得2221x k =±+ 记2221m k =+，则(,)P m mk ，(,)A m mk --，于是(,0)C m ，故直线AB 方程为0()()2mk ky x m x m m m +=-=-+代入椭圆方程得22222(2)240k x k mx k m +-+-=，由2222B A k m x x k +=+，因此2322(32)(,)22m k mk B k k +++(2,2)AP m mk ∴=，2322222(32)22(,)(,)2222m k mk mk mkPB m mk k k k k +-=--=++++2222222022mk mkAP PB m mk k k -∴=⨯+⨯=++ PA PB ∴⊥法二：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则， ∵ A 、C 、B 三点共线，010110010,2y y y y x x x x x +∴==-+又因为点P 、B 在椭圆上，222200111,12121x y x y ∴+=+=， 两式相减得：01012()PB x x k y y +=-+00110010011001()()[]12()()()PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=-=-=-+++PA PB ∴⊥考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．21．（1）f'（x ）=e x （x 2+2x+1）=e x （x+1）2∴f ′（x ）≥0，∴f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0∴f （0）＜0．当x →+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x ）=e x （x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0…12分∴g （m ）=e m﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1 ∴e m （m+1）2≥（m+1）3 即： ∴m ≤…14分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．22．（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为30x y -+=，因为θρ2cos 213+=，所以3)cos (222=+θρρ，则3322=+y x ，即曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=.（Ⅱ）∵曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=，即2213y x +=， ∴曲线C 上的点的坐标可表示为()cos 3αα.∵2sin 3106πα⎛⎫-+≥> ⎪⎝⎭，∴2sin 3d πα⎛⎫-+ ⎪===，∴d的最小值为2，d2.d ≤≤， 即d的取值范围为⎣⎦.考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2xf x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数，（Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．(21)（Ⅰ）证明：∵()()2xg x f x e ax '==+，()2xg x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210ae --<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分（Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分（2）当0a =，由xe b ≥，得0b ≤，∴0a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >； 即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分 ∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <，∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020xb e ax -≥--，于是0020001122x xx a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分记1()(1)22xx h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x =-+，-----------------10分由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增，∴min 1()(1)h x h e =-=-， 综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分。
珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学参考答案
珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ＤＤＣＣＢ ＤＡＢＢＡ ＣＣ1． 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x n n N ==+∈,则M N ⋂=（ ） A. (0,8) B. {3,5,7} C. {0,1,3,5,7} D. {1,3,5,7} 2． 已知复数11z i =+，232z i =-，则复数21z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3． 若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值是（ ）A. 6B. 7C. 9D. 10 4==，则与的夹角为（ ） A. 30oB. 45oC. 60oD. 120o5． 当2x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）A ．最大值是1，最小值是．最大值是2，最小值是 C ．最大值是1，最小值是1- D ．最大值是2，最小值是1- 6． 函数2cos y x =的单调增区间是（ ）A. (2,2),k k k Z πππ-∈B. (2,2),2k k k Z πππ-∈C. (,),k k k Z πππ-∈D. (,),2k k k Z πππ-∈7．已知函数2()(1)x f x e x ax =++在点(0,(0))f 的切线与直线260x y -+=垂直,则a =（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．38． 已知cos()(0,[0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A. 32πB. 74πC. 4π D. 09．执行如右下图的程序框图，若输入2015n =，则输出T 的值为（ ） A ．12- B ．23 C ．3 D ．3410．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．3π．3π．2π．2π11．若0a >，且1a ≠，设函数2,1()2,1x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若不等式()3f x ≤的解集是(,3]-∞，则a 的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B. (1,3)C. (0,1)D. [3,)+∞12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点个数为（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ,且231n n S b =-,则n b = ．13n -14．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为 ．122515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直线l 与双曲线的（第10题图）俯视图左视图正视图22222一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．1216．(3)n x y +展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则展开式中的中间项是 ．2254x y 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =. （1）求n a ； （2）若n b =,求数列{}n b 的前n 项和为n T ．解(1) 1(1)2n n n S na d -=+Q ,2d =，10120S =……………………………………………………2分 11091021202a ⨯∴+⨯=,即13a =………………………………………………………………………3分 所以1(1)21n a a n d n =+-=+……………………………………………………………………………4分(2) 12n b ===Q ………………………………7分11112222n T ∴=++++L ……………10分即11)2n T =……………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示； (1)求合唱团学生参加活动的人均次数； (2)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求ξ的分布列.（结果用最简分数） 解：（1）由题意得：1102603302.2100⨯+⨯+⨯=………………………………………………………… 2分∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为2.2………………………………………………………………… 3分 （2）由题意得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6…………………………………………………………… 5分1091(2)10099110P ξ⨯===⨯，210604(3)1009933P ξ⨯⨯===⨯，21030605923(4)100991009955P ξ⨯⨯⨯==+=⨯⨯，230604(5)1009911P ξ⨯⨯===⨯，302987(6)10099990P ξ⨯===⨯，………………………………………………………………………………10分∴ξ的分布列为：…………………………………………………………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ；(2)求二面角C DE A --的余弦值.解：（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ， ABCD 是矩形∴G 为AC 的中点…………………………………… 1分 由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥由EB BC =知：点F 为CE 中点 (2)分 ∴FG 为ACE∆的中位线∴FG//AE …………………………………………………………………………………… 3分 ∵ AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ；∴ //AE 平面BFD ；………………………………………………………………………… 4分 （2）由BF ⊥平面ACE得：BF AE ⊥；由BC ⊥平面ABE 得: BC AE ⊥，BC BE ⊥；∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥………………………………………………………… 6分 在BCE Rt ∆中，CE ===同理可得：DE AB CD ===AC = 8分 ∵ 2AD BC AE ===F E D C B A∴ 取DE 中点H ，连结AH ，CH ,则AH DE ⊥,CH DE ⊥且12AH DE ==CH == 10分 ∴CHA ∠即为二面角C DE A --的平面角；在CHA ∆中，222cos 2CH AH AC CHA CH AH +-∠===⋅；∴ 二面角C DE A --的余弦值为………………………………………………………………… 12分20．（本小题满分12分）已知动圆过定点1(0,)4F ,且与定直线1:4l y =-相切． （1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为,M N ，求证：直线MN 恒过定点，并求AMN ∆面积S 的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1(0,)4F 为焦点，以定直线1:4l y =-为准线的抛物线；………………………………………………………………………………………………2分 设2:2(0)C x py p => ∵ 点1(0,)4F 到准线1:4l y =-的距离为12,∴12p =∴ 圆心的轨迹C 的方程为2x y =………………………………………………………………………… 4分 (2) ∵2x y =,∴2y x '=设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,222x y =则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2222y x x x =-，即222y x x y =- ∵过点,M N 的切线都过点00(,)A x y ∴01012y x x y =-，02022y x x y =-∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上∴直线MN 的方程为002y xx y =-，即0020x x y y --=…………………………………………………6分 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-=∴直线MN 恒过定点1(,1)2…………………………………………………………………………………8分联立00220x x y y y x--=⎧⎨=⎩得到20020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即200210x x x x -+-=…① 则12x x 、是①的二根∴20012012044(1)021x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩,∴MN ===10分点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是:d ===11分∴200112S MN d x x ∆=⋅==-+即14AMN S ∆==≥=∴面积的最小值是14…………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数21()(2)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，证明:()0f x <； （2）讨论函数()f x 零点的个数.解(1) 证明:当0a =时, ()22ln (0)f x x x x =-+>22(1)()2x f x x x-'=-+= 列表:max ()(1)20f x f ∴==-<max ()()0f x f x ≤<,即()0f x <………………………………………………………………………………2分(2) 2()(2)(0)f x ax a x x'=-++>…………………………………………………………………………3分 2(2)2(1)(2)()(0)ax a x x ax f x x x x-++--'==>讨论: 01 当0a =时,由第(1)问可得函数()f x 没有零点; ……………………………………………4分02 当21a>,即02a <<时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,或2x a >,即函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a +∞ 令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2(1,)a 而11(1)(2)2ln12022f a a a =-++=--<,因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2()(1)0f f a <<又函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a +∞所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<所以当2(,)x a ∈+∞时, 2()()f x f a>，x →+∞时，()f x →+∞所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2(,)a+∞有一个零点………………………………………6分03 当21a=,即2a =时, 2(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x-----'===≥恒成立即函数()f x 在(0,)+∞上递增 而11(1)222022f a =--=-⨯-<，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间(0,)+∞有一个零点……………………………………………………………………8分04 当201a<<,即2a >时, 令(1)(2)()0x ax f x x --'=>得20x a<<,或1x >,即函数()f x 的增区间为2(0,)a ,(1,)+∞ 令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a<<,即函数()f x 的减区间为2(,1)a 因为2a >,所以2222()22ln 22ln10f a a a a =--+<--+<，又x →+∞时，()f x →+∞根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点……………………10分05 当20a<,即0a <时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1) 令(1)(2)()0x ax f x x--'=<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞ 0x →时，()f x →-∞x →+∞时，()f x →-∞而114(1)(2)2ln12222a f a a a --=-++=--= 当4(1)02a f --=>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点; 当4(1)02a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 当4(1)02a f --=<即40a -<<时, 函数()f x 没有零点. ………………………………………11分 综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点;4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点；0a >时, 函数()f x 有一个零点；………………………………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP OM ⊥于P(1)证明：2OA OM OP =⋅；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K .证明：090OKM ∠=．证明：（1）由MA 是圆O 的切线知:AM OA ⊥ …………………………………………………………2分 又∵AP OM ⊥；∴ 在Rt OAM 中，由射影定理知：2OA OM OP =⋅……………………………………………………4分（2）证明：由BK 是圆O 的切线知：BN OK ⊥．同（1）2OB ON OK =⋅……………………………6分由OB OA =得：OM OP ON OK ⋅=⋅………………………………………………………………………7分 即:OP OKON OM=．又NOP MOK ∠=∠，则NOP MOK V :V …………………………………………9分 ∴ 090OKM OPN ∠=∠=．………………………………………………………………………………10分 (用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分) 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线1C :()03πθρ=≥，动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈．(1)求1C ，2C 的直角坐标方程；(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两点，求0x 的取值范围. 解(1) ()tan ,03y x πθθρ==≥Q(0)yx x∴=≥, 所以1C的直角坐标方程为(0)y x x =≥…………………………………………………………2分cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩Q ,所以2C 的直角坐标方程22200240x y x x x +-+-=.…………………………2分(2) 联立()22000032cos 40()x x x R πθρρρθ⎧=≥⎪⎨⎪-+-=∈⎩ 关于ρ的一元二次方程2200040()x x x R ρρ-+-=∈在[0,)+∞内有两个实根…………………………6分即220012021204(4)0040x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪⋅=->⎩,……………………………………………………………………………………8分得000002,2x x x x ⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪><-⎪⎪⎩或,即023x <<…………………………………………………………………10分(用数形结合法解出也给分) 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式221x x a +-->． (1)当0a =时，求不等式的解集；(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.解： (1)由题意得：2210x x +-->，即：221x x +>-……………………………………………1分 ∴22(22)(1)x x +>-，即：231030x x ++>……………………………………………………………3分 解得：3x <-或13x >-； ∴不等式的解集为1(,3)(,)3-∞-⋃-+∞……………………………………………………………………5分 (2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,则:3,(41)()31,(11)3,(12)x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩, ……………………………7分其图像如图示：则()f x 的最大值为(2)5f =……………………8分 ∵ 不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解，∴实数a 的取值范围为[5,)+∞…………………………………………10分。
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2015-2016学年度广东高中学生学业水平测试数学试题（2015-2016学年广州学业水平考试测试题）2015年12月24日一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A.14 B.12C. 2D.4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 189.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11.不等式x 2-3x +2<0的解集是__________.12.已知角q 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边为射线l ：y =-2x x £0()，则cos q 的值是__________.13.执行如图所示的程序框图，若输入1=x ，则输出y 的值是__________。
14.若函数f x()=log a x+m()+1（a>0且a¹1）恒过定点2,n()，则m+n的值为__________.15、在ABC∆中，角CBA,,的对边分别是cba,,，且︒===60,8,10Aba.（1）求Bsin的值；（2）求Ccos的值.16、甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.17、设nS为数列{}n a的前n项和，且*21NnnnSn∈++=，.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11nnaa的前n项和nT.18、如图，在三棱锥ABC P -中，︒=∠=====30,3245ACB BC AB PB PC PA ，，. （1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥ABC P -的体积.19、已知圆C 的圆心为点()30，C ，点()2,3R 在圆C 上，直线l 过点()01，-A 且与圆C 相交于Q P ,两点，点M 是线段PQ 的中点.（1）求圆C 的方程；（2）若9=⋅AC AM ，求直线l 的方程.20、已知点B A ,是函数[]()1,12-∈=x x y 图像上的两个动点，x AB //轴，点B 在y 轴的右侧，点()()2,1>m m M 是线段BC 的中点.（1）设点B 的横坐标为a ，ABC ∆的面积为S ，求S 关于a 的函数解析式()a f S =； （2）若（1）中的()a f 满足()1262--≤mk m a f 对所有(]1,0∈a ，()+∞∈,4m 恒成立，求实数k 的取值范围.2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案二、 选择题：本大题共10小题，每小题5分。
1. 【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =0 2. 【答案】D 【解析】a 4a 2=q 2=4 3. 【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得： 7c ∴=-4. 【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】B 【解析】y =x -z ,作l 0:y =x ,当l 0移至12,l l 两直线交点H 时截距z -最小，即z 最大，(1,2)H --，z max =-1+2=18.【答案】A【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯=9.【答案】C【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间:3222,223,44k x k k Z k x k k Z ππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈10.【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab ΘΘ 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足， 则最小值为22+3。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11.【答案】1,2()【解析】()(){}2320,210,12x x x x x x -+<∴--<∴<< 12.【答案】-33【解析】终边在：()0,cos 0y x θ=≤∴<22tan cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩13.【答案】7【解析】x =1,y =5-2´1=3,3-1>5，否x =3,y =5-2´3=-1,-1-3>5，否x =-1,y =5-2´-1()=7,7--1()>5，是，7y =14.【答案】0【解析】f x ()=log a x +m ()+1过定点2,n ()，则()log 21a m n ++=，恒成立，\2+m =11=nÞm =-1n =1ìíîìíïîï\m +n =015.【答案】解:（1）由正弦定理得，sin sin a b A B= 10,8,60a b A ===︒Qsin sin b A B a ∴==（2）由（1）得，sin 5B =，且a b >cos 5B ∴==又60A =︒Q1sin 2A A ∴== ()cos cos sin sin cos cos 12C A B A B A B∴=-+=-=-=16.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12()()()()22222891112104158109101110121042x S +++∴==⎡⎤=⨯-+-+-+-=⎣⎦甲甲（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11 设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ，以(),x y 记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：()()()()8,8,8,8,8,9,8,11,()()()()9,8,9,8,9,9,9,11,()()()()11,8,11,8,11,9,11,11,()()()()12,8,12,8,12,9,12,11，共16种满足事件A 的基本事件为：()()()()9,11,11,9,12,8,12,8，共4种()41164P A ∴== 答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为14.17.【答案】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，21n S n n =++①21(1)(1)1n S n n -=-+-+② -①②得：221(1)(1)n n S S n n n n --=+----(21)12n a n n =-+=但13a =不符合上式，因此：3,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，1121113412T a a ===⋅ 当2n ≥时，1111111()22(1)4(1)41n n a a n n n n n n +===-⋅+++1223341111111111111()()()124233411111()1242151244(1)n n n T a a a a a a a a n n n n +∴=++++⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-+=-+L L 且1112T =符合上式，因此：51244(1)n T n =-+ 18. 【答案】解:（1）证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD在∆ABC 中：BC AB =, D 为AC 中点AC BD ⊥∴在PAC ∆中PC PA =, D 为AC 中点AC PD ⊥∴又D PD BD =⋂Θ,BD 、PBD PD 面⊂PBAC PBD PB PBDAC ⊥∴⊂⊥∴面面Θ（2）方法一：BCD P ABD P ABC P V V V ---+=A PBD C PBD V V --=+在ABC ∆中，AB BC =, 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，PD DC ⊥, 5=PC , 3=DC4=∴PD41833)23(42122=⨯-⨯=∴∆PBD S13133A PBD PBD V S AD -∆=⨯⨯==又C PBD A PBD V V --== 2183=+=∴---PBD C PBD A ABC P V V V （2）方法二：取BD 中点M ,连接PM由（1）可知PBD AC 面⊥又PBD PM 面⊂ΘPM AC ⊥∴在ABC ∆中，BC AB =Θ, 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，DC PD ⊥Θ, 5=PC , 3=DC4=∴PDPBD ∴为等腰三角形BD PM ⊥∴又D BD AC =⋂Θ, ABC BD AC 面、⊂ABC PM 面⊥∴, 即PM 为三棱锥ABC P -的高h 易得261=PM h S V ABC ABC P ∆-=∴31 2183261362131=⨯⨯⨯⨯=19. 【答案】解：(1)2R =,圆的方程为22(y 3)4x +-=(2)方法一：①k 不存在时1x =-，则P(1,3-，Q(1,3-+，M(1,3)-显然有=9AC AB ⋅u u u r u u u r②k 存在时设(1)y k x =+∴l 的方程为y kx k =+11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)M x y∴(1,3)AC =u u u r ，00(1,)AM x y =+u u u u r∴有00139x y ++= 即121213922x x y y ++++⋅= 联立22(3)4y kx k x y =+⎧⎨+-=⎩ 则2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+= ∴2122621k k x x k -+=+，231226221k k y y k k -+=++ ∴21202321x x k k x k +-==+，231202321y y k k y k k+-==++ 代入方程：00139x y ++=得：223223313[]911k k k k k k k --+++=++ 解得：43k = 综上所述，l 的方程1x =-或4340x y -+=方法二：AM ⋅+=⋅+=+⋅=⋅2)(M Θ是线段PQ 的中点，∴根据垂径定理，即PQ CM ⊥，即0AM MC ⋅=u u u u r u u u u r,3,9==∴AM AM10)03(122=-+=CA在ABC Rt ∆中，191022=-=-=AM CA CM①若k 存在时，设直线l 为)1(0+=-x k y 即0=+-k y kx圆心)3,0(C 到直线l 的距离1132=++-=k kd ，解得34=k∴直线l 的方程为0434=+-y x②若k 不存在时，过)0,1(-A 的直线为1-=x也满足)3,0(C 到直线1-=x 的距离为1.综上所述，直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .方法三：(1,0)A -，(0,3)C ，设点00(,)M x y ，则：(1,3)AC =u u u r ，00(1,)AM x y =+u u u u r ，00(,3)CM x y =-u u u u r由题意得：00139AM AC x y ⋅=++=u u u u r u u u r ，得0083x y =-①又因为M 是弦PQ 的中点，因此AM CM ⊥u u u u r u u u u r ，0000(1)(3)0AM CM x x y y ⋅=++-=u u u u r u u u u r ，将①式代入，得：0000(83)(93)(3)0y y y y --+-=，整理得：00(3)(1024)0y y --=，解得：03y =或0125y =得M 的坐标为(1,3)-,或412(,)55，因此直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .20. 【答案】解：（1）设)22,2(),,1(),2,(),2,(a m a C m M a a A a a B ---则ma a a a m a a f S 24)222(221)(2+-=--⨯⨯==∴. （2）12624126)(222--≤+---≤mk m ma a mk m a f 得由 ma a a f 24)(2+-=的对称轴为4m a =，4,14m m >∴>Q ， m a 24]1,0(+-∈∴上的最大值为在，恒成立126242--≤+-∴mk m m ， 32622+-≤∴m m mk 恒成立，即12312-+≤mm k 恒成立. 222312≥+m m Θ当且仅当23=m 时成立， .122-≤∴k更多资料请关注公众号:广东学业水平考试版权所有:砖本教育。