湘教版初中数学导学案九年级上册·锐角三角函数

4.1正弦和余弦（1）【学习目标】：1. 知道三角形内角的对边、邻边和斜边的含义，记住正弦的定义.2. 会构造直角三角形，求30︒、45︒、60︒的正弦函数值，并能用定义利用计算器求任意角的正弦值.3. 通过探索发现，培养独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第109~113页的内容，自主探究，回答下列问题：1. 如图，BC ⊥AC ，HG ⊥AC ，EF ⊥AC ，当A ∠在不同直角三角形中时，A ∠对边与斜边的比是否是一个固定值？2. 请写出正弦的定义及其表示方法（1）正弦的定义：在直角三角形中，锐角α的 的比叫做角α的 正弦 ，记作 .即 =α角的对边斜边.（2）表示下列角的正弦：A ∠的正弦记作：____________； ABC ∠的正弦记作：_____________； 37︒角的正弦记作：___________； ∠α记作的正弦的平方：___________.3. 如图，Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒.（一般的，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ） 则sin A =__________；sin B =__________（用含a 、b 、c 的代数式表示）.4. 请求出sin30︒，sin 45︒，sin 60︒的值？5.学会用计算器计算非特殊角的正弦值. sin50°=__________ sin75°=__________ 二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.如下两图，分别求出每图的sin ,sin A B 的值？①②CB A68CB A 5 13HG FEBCAA第3题B C2. 已知在ABC ∆中，4=AC ，3=BC ，5=AB ，求A sin 的值.3．如图，在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，求BC 的长度？四、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1. 如图，在44⨯的正方形网格中，sin α＝（）AB.2C D .不存在2. 如图，ABC ∆中，若30C ∠=︒，6AB =，4AC =，求sin B 的值.【当堂检测】：1. 如图，在ABC Rt ∆中，若︒=∠90C ，3=BC ，5=AC ，则sin ____,sin ____.A B ==2. 如图，点P 是α∠的边上一点，且点P 的坐标为（2，3），则αsin =__________.第1题图3. 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角∠ABC 为α，引桥面AB 的长是_______米（用α表示）.ABCABCA BC【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】：神奇的正弦函数图像我们知道一次函数的图像是一条直线，那么正弦函数sin y x =（x 取任意角度）的图像又是什么样子呢？下面使用几何画板画出的图像.大家看看，是不是很像波浪啊！在我们的实际生活中应用也很广泛.例如正弦波（物理中的某种频率的信号的波形是数学上的正弦曲线而得名），正弦波广泛应用于广播、电视、通讯，工业自动控制，测量表计， 以及高频加热，超声波探伤等等方面.还有物理中的正弦交流电：大小和方向随时间作有规律变化的电压和电流称为交流电，又称交变电流.【课后精练】：1. 如图，则sin A =__________；sin B =__________.2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．34B ．43C ．35D ．453. △ABC 中，若∠C =90°，BC =2，2sin 3A =，则边AC 的长为____________.C BA815α4.1正弦和余弦（2）【学习目标】：1. 类比正弦的定义得到余弦的定义，并能构造直角三角形求30︒、45︒、60︒的余弦值.2. 会根据正弦、余弦定义得到它们的关系并能够进行简单的计算.3. 通过分析与讨论交流，提高观察、比较、分析和概括的能力. 【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第113~115页的内容，自主探究，回答下列问题：1. 如图，BC ⊥AC ，HG ⊥AC ，EF ⊥AC ，当A ∠在不同直角三角形中时，A ∠邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 2. 类比正弦，请你写出余弦的定义及其表示方法？3. 一起找找正弦与余弦之间关系，在t R ABC 中：sin ___________,cos _____________;sin ___________,cos _____________.A B B A ====你发现了什么？4.对于对于任意锐角α的正弦和余弦，我们可以得到什么关系？ (1)sin cos α= cos sin α=（2）你能说明对于任意锐角A ，一定有22sin cos 1A A +=成立吗？你能根据定义简单证明吗？4. 学会用计算器计算非特殊角的余弦值cos35°=_____________ cos47°=______________HG FEBCA二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 在小组内探究特殊角的余弦值、正弦值（不使用计算器，可以用根号表示）.0cos30= 0cos 45=_________ 0cos60= sin30︒= __________ sin 452. 已知ABC ∆中，8,6,10AC BC AB ===，求sin ______,cos ______A A ==.3. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，4cos 5A =，则AB 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.64. 已知90αβ∠+∠=︒，若sin 0.5354α=，则cos β=5. 计算：︒+︒-︒30cos 345cos 260cos 42四、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1. 在直角三角形中，各边都扩大到原来的3倍，锐角A 的余弦值（ ） A.扩大为原来的3倍 B.不变C.缩小为原来的3倍D.扩大为原来的2倍2. 已知如图，在ABC ∆中，7=AB ，5=BC ，ABC ∆的面积为14.求cos BAC ∠的值.A BC【当堂检测】：1. sin302cos45︒+︒=2. ABC ∆中，若21sin cos 02A B ⎫-+=⎪⎪⎝⎭，A ∠，B ∠是锐角，则ABC ∆的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3. 等腰ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，试求底角B ∠的正弦和余弦值.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】： 三角函数小知识三角函数中有许多符号，其中sin ，cos ，tan ，cot ，sec ，csc 是最重要的符号，但是在这些符号使用以前，人们都是用文字来进行叙述的，这样使用起来非常麻烦.在实际应用中，人们渐渐地用符号来代替它们.正弦的符号开始记为sin e ，这一词是由阿拉伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数上面的是雷基身蒙坦，他是15世纪西欧数学界的领导人物，在他1464年著的《论各种三角形》一书中，首先使用了“sin e ”这本书是专门讲三角学脱离了天文学，成为一门独立的数学分支.【课后精练】：1. 如图，在44⨯的正方形网格中求αsin ，αcos .2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，下列各式中不一定成立的是（ ）A.sin cos A B =B.cos sin A B =C.sin sin A B =D.1cos sin 22=+A A 3. 如图，等腰梯形ABCD 中，上底30CD =，高为16，底角的余弦值为35，求下底AB .CD4.2 正切【学习目标】：1. 理解并掌握正切的含义，了解计算一个锐角的正切值的方法.2. 能根据锐角三角函数定义以及特殊角三角函数值进行简单的计算.【体验学习】：一、新知探究阅读教材第117~119页的内容，自主探究，回答下列问题：1. 通过阅读教材117页的“探究”，我们发现∠α的对边与邻边的比值也是一个常数，因此你能类比正弦和余弦的定义，给出一个锐角的正切定义吗？2. 你能否结合图形，用三角形的三边表示∠A，∠B3. 你能利用图形求出︒30tan，︒45tan，︒60tan的值吗？4. 完成下列表格5. 学会用计算器计算非特殊角的正切值.︒35tan=______________ tan75︒=_______________ 三、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 计算：4sin304560︒-︒+︒cbaABC2. 如图，在44⨯的正方形网格中求 sin ,cos ,tan ααα.3. 等腰ABC ∆中，10AB AC ==，16BC =，试求底角B ∠的三个三角函数值.四、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1. 如图，一根旗杆在一次强台风中被吹断，倒下部分与地面成30︒角，触地点到旗杆底部的距离m BC 6=，求这根旗杆折断前的高度.（答案保留根号）2. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，求B t a n 的值.【当堂检测】：1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =，求 B tan 的值为___________.2. 计算：︒⋅︒-︒60cos 30sin 45tanA C B3. 如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】：正弦、余弦、正切值的特殊关系1.正、余弦、正切值随锐角大小的变化（即增减性）：正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大. 2．同角的正弦，余弦，正切间的关系：（1）平方和的关系：1cossin22=+AA．（2）大小比较：当︒<<︒450A时，AA sincos>．当︒<<︒9045A时，AA sincos<.（3）正切、余切与正弦、余弦间的关系：αααcossintan=【课后精练】：1. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是（）A.54B.53C.43D.342. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A.31B.21C.22D. 33. 计算：1112sin60tan602-⎛⎫-︒⋅︒⎪⎝⎭4.某课外活动小组测量学校旗杆的高度，当太阳光线与地面成35°角时，旗杆AB在地面上的投影BC的长为20米（如图）．求旗杆AB的高度．（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0. 7）4.3解直角三角形【学习目标】1. 知道直角三角形中五个元素的关系，学会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2. 综合运用解直角三角形逐步培养学生分析问题和解决问题的能力.3. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯. 【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第121~122页的内容，自主探究，结合右图回答下列问题： 1. 直角三角形两锐角的关系是什么？请用式子表示.2. 直角三角形三边的关系是什么？请用式子表示.3. 直角三角形边与角的关系是什么？请用式子表示.4. 每一组条件，画一个直角三角形，然后与小组成员所画的直角三角形进行交流比较. （1）一个锐角30︒；（2）一个锐角30︒，它的邻边长为3cm ； （3）一个锐角30︒，它的对边长为3cm ； （4）一个锐角30︒，斜边长为cm 6； （5）斜边长为cm 5，一直角边长为cm 4.如果全等的直角三角形算一个，那么根据每一组条件，我们画出了多少个直角三角形？ 从这些问题的结论你能猜想有什么规律？这个规律正确吗？ 5. 如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？6. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，10=AB ，解这个直角三角形. 在这个问题中，除直角外，已知 和 ， 要求出 和 .cba ABCcaA B二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，10a =，210=c ，求b 、B ∠ 、A ∠.2. Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，10b =，30B ∠=︒，求A ∠、a 、c三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.如图，在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，31sin =B ，D 是BC 上一点，45ADC ∠=︒，4AC cm =，求BD 的长.2.如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴的正半轴交于点M(2,0)，与y 轴的正半轴交于点N ，且60OMN ∠=︒.求此一次函数的表达式.ABCD【当堂检测】：1. 如右图是教学用直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长( ).A. 303cmB. 203cmC.103cmD. 53cm2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，cos A =，b =a = . 3. Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，10=c ，︒=∠30B ，解这个直角三角形.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】：大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字.而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.他发现，有了“0”进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了.但是，虽然“0”被禁止使用然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.【课后精练】：1. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AB =，1AC =，则B ∠= ，BC = ，A ∠= .2. 等腰三角形的腰和底边的比为1，则底角为 ，顶角为 .3. 已知ABC ∆中，45,30,3B C BC ∠=︒∠=︒=+AB 的长.4.4解直角三角形的应用（1）【学习目标】1. 在实际情境中，知道仰角、俯角、方位角的意义.2. 学会运用仰角、俯角、方位角解决一些简单的实际问题.3. 学会根据实际问题构建直角三角形的基本数学模型. 【体验学习】： 一、新知探究生活中，我们将视线和水平线的夹角称为视角，视角可分为仰角和俯角.其中视线在水平线上的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角（如下图）. 你能说出下左图中的仰角和俯角分别是哪个？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1. 如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 处测得标志物的仰角为45°，若点D 到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为（ ） A. a B. a 2 C. a 23 D. a 252. 如图，为了测量建筑物CD 的高度，用测量仪器在离建筑物CD 的底部C 处252米的B 处，测得D 处的仰角为37︒，测量仪器BA 的高度为1.5米，求建筑物CD 的高度（已知5337sin =︒，5437cos =︒，4337tan =︒）.视线三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如下图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60︒，然后下到城堡的C 处，测得B 处的俯角为30︒.已知40AC =米，若灰太狼以5/m s 的速度从城堡底部D 处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）【当堂检测】：1. 如图，河对岸有一铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30︒，向铁塔前进16米到达D 处，在D 处测得A 的仰角为45︒，求铁塔AB 的高.（结果保留3个有效数字）（73.13≈，41.12=）【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________【拓展链接】：要在宽28米的海堤公路边安装路灯，路灯的灯臂长为3米，且与灯柱成120︒的角，路灯利用圆锥形的灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想，问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？60º30ºABC DACDBAE BC D【课后精练】：1. 如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得︒=∠30ACB ，在D 点测得︒=∠60ADB ，又CD=60m ，则河宽AB 为_____________m.（结果保留根号）2. 如图，△ABC 中，B cos ＝22，C sin ＝53，AC ＝5， 则△ABC 的面积是（ ）A ．221B ．12C ．14D ．213. 如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从B 点测得D 点的仰角α为60°，从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB=36米.（1）求乙建筑物的高DC ；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）. （参考数据：414.12≈，732.13≈）。