人教版八年级上数学全册导学案

第十一章 三角形

11.1.1 三角形的边 导学案

【学习目标】1．认识三角形，?能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．

2．知道三角形三边不等的关系．

3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，?并能用于解决有关的问题

【学习重点】知道三角形三边不等关系．

【学习难点】 判断三条线段能否构成一个三角形的方法． 【学习过程】 一、学前准备

回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。并写出来。

二、探索思考

知识点一：三角形概念及分类

1、学生自学课本2-3页探究之前内容，并完成下列问题：

（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段___________________所组成的图形叫做三角形。如图，线段____、______、______是三角形的边；三角形的边，有时也用小写字母 来表示。点A 、B 、C 是三角形的______；____、____、____是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。上图中三角形记作__________。读作 （2）三角形按角分类可分为_____________、______________、_________________。 （3）我们知道，一般的三角形三边都不相等，也就是常说的不等边三角形。如果三边都相等

的三角形叫做 ，其中只有两边相等的三角形叫做 。如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC,腰是__________，

底是_________,顶角指_______，底角指_____________. 等边三角形DEF 是特殊的_______三角形，DE=____=_____.

图1

故三角形按边分类可分为 _____________

三角形 _____________ ——————— _____________

1、下列图形中是三角形的有_______________？

2、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．

知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形 阅读第3页探究：请同学们画一个△ABC ，分别量出AB ，BC ，AC 的长，并比较下列各式的大小：AB+BC____AC ， AB+ AC ____ BC ， AC +BC ____ AB 从中你可以得出结论：__________________________________________。 1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10

2、有四根木条，长度分别是12cm 、10cm 、8cm 、4cm ，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。

3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ）

A 、1

B 、9

C 、3

D 、10

4、认真阅读课本第3页例题，仿照例题解法完成下面这个问题：

一个三角形有两条边相等，周长为20cm ，三角形的一边长6cm ，求其他两边长。

三、当堂反馈

1、 课本4页1、2题

2、 一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）

A 、7

B 、9

C 、12

D 、9或12

3、若三角形的周长是60cm ，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.

4、（选做）若△ABC 的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.

5、（选做）已知线段3cm,5cm,xcm,x 为偶数，以3，5，x 为边能组成______个三角形。 四、课堂小结：本节课你学到了那些知识？

D

E F

A

B

C

A

五、课后反思

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 导学案

【学习目标】1.认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；

2.认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；

3.认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；

【学习重点】 认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形 【学习难点】 画出三角形的高线、中线与角平分线． 【学习过程】 一、学前准备

1、三角形按边分可分为什么？ 按角分可分为什么？

2、下列长度的三个线段能否组成三角形？为什么？

（1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2 二、探索思考

知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 自学课本4页三角形的高并完成下列各题： 1、作出下列三角形三边上的高：

2、上面第1个图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = °

3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．

知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 自学课本4页三角形的中线并完成下列各题： 1、 作出下列三角形三边上的中线

2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =

2

1

， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点； （2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形 的三条中线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ； （5）三条中线的交点我们叫做三角形的 。

练习二：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，

BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中________上的中线；

知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本5页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线：

2、AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ =

2

1

∠ 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）三条角平分线的交点我们叫做三角形的内心。 练习三：如图，已知∠1=

2

1

∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 .

总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、当堂反馈

1．课本5页练习第1、2题。 2．三角形的角平分线是（ ）．

A ．直线

B ．射线

C ．线段

D ．以上都不对

3．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；?②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 4.如图，过点A 画BC 边的高AD 、角平分线A

E 和中线A

F ，写出图中所有相等的角和相等的线段。 5．（选做）在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长

分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长．

四、课堂小结 本节课你学到了那些知识？

A C

B A C

B A

C

B A

C

B A C

B A

C B A B

C

五、课后反思

11.1.3 三角形的稳定性导学案

【学习目标】1．认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题；

2、通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段。

【学习重点】三角形的稳定性

【学习难点】三角形的稳定性的理解

【学习过程】

一、学前准备找找生活中的引用三角形和四边形的例子，写出来。

二、探索思考

知识点一：三角形的稳定性

自学课本6-7页内容，回答下列问题：

1、通过观察，你发现生活中哪些物体的结构是三角形？

实际动手做一做

1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

4、如图4所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

5、想一想：在实际生活中还有哪些地方利用了“三角形的稳定性”来为我们服务？“四边形易变形”是优点还是缺点？生活中又有哪些应用？

1.如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两

条斜拉的木条，这样做的数学道理是；

2.⑴下列图中哪些具有稳定性？。

⑵对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性。

3.造房子的屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了______________，而活动接架则应用了四边形的_______________。

知识点二：通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段

三、当堂反馈

1．如图：(1)在△ABC中，BC边上的高是________

(2)在△AEC中，AE边上的高是________

(3)在△FEC中，EC边上的高是_________

(4)若AB=CD=2cm,AE=3cm,则＝_______,CE=_______。

2.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是 ( )

A.1cm,2cm,4cm;

B.8cm,6cm,4cm

C.12cm,5cm,6cm;

D.2cm,3cm,6cm

3.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是( )

A.9cm

B. 12cm

C. 12cm或15cm

D. 15cm

4.如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取

一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离

不可能是（）

A.20米

B.15米

C.10米

D.5米

5、如图，点D是BC边上的中点，如果AB=3厘米，AC=4厘米，

则△ABD和△ACD的周长之差为________，面积之差为__________。

6、请将课本第8页习题11.1第1、2、3、4、5做在书上，第6、

7、

8、9做在作业本上。

四、课堂小结本节课你学到了那些知识？

A

O

B

A

B D

C

AEC

s

△

_F

_A

_D

_C

_B

_E

123456

五、课后反思 11.1 与三角形有关的线段练习 导学案

【学习目标】通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段。 【学习重点】巩固三角形的边和相关线段； 【学习难点】 三角形三边不等关系的运用 【学习过程】 一、学前准备 1、什么叫做三角形？

2、三角形按边可分为什么？按角可分为什么？

3、三角形三边不等关系是什么？

4、三角形的高、中线、角平分线各有什么特征？

5、三角形具有_______性，四边形具有_________性。 二、达标检测：

1.如图1，图中所有三角形的个数为 ，在△ABE 中，AE 所对的角是 ，∠ABC 所对的边是 ，在△ADE 中，AD 是∠ 的对边，在△ADC 中，AD 是∠ 的对边；

2.如图2，已知∠1=2

1

∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线

为 ；

3.如图3，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中 边上的中线；

图1 图2 图3

4.若等腰三角形的两边长分别为7和8，其周长为 ；若两边长分别为4和8，其周长为_____.

5. 一个三角形的三边之比为2∶3∶4，周长为36cm ，则此三角形三边的长分别为____________.

6.已知△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB=10cm ，AC=6cm ，则△ABD 与△ACD 的周长之差为_______. 7．如右图，图中共有三角形 （ ）

A 、4个

B 、5个

C 、6个

D 、8个 8.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ）

A 、 3cm ，5cm ，8cm

B 、8cm ，8cm ，18cm

C 、0.1cm ，0.1cm ，0.1cm

D 、3cm ，40cm ，8cm 9.如果线段a ，b ，c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是 （ ） A 、1∶2∶4 B 、1∶3∶4 C 、3∶4∶7 D 、2∶3∶4

10.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11.如图，分别画出三角形过顶点A 的中线、角平分线和高。

12.已知：△ABC 的周长为48cm ，最大边与最小边之差为14cm ，另一边与最小边之和为25cm ，求：△ABC 的各边的长。

13.⑴ 已知等腰三角形的一边等于8cm ，另一边等于6cm ，求此三角形的周长；

⑵ 已知等腰三角形的一边等于5cm ，另一边等于2cm ，求此三角形的周长。

14.在△ABC 中AB=AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角

形的三边长。

15.【探究】如图，在△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则有BD = =21

，若过A 点作BC 边上的高AE ，利用三角形的面积公式可求得S △ABD = =

2

1

S △ABC ， A

C

B

D E

A

B C

C

C

A

A

请你任意画一个三角形，将这个三角形的面积四等分。 11.2.1 三角形的内角 导学案

【学习目标】1.经历实验的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理

2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题

【学习重点】三角形内角和定理

【学习难点】三角形内角和定理的推理的过程 【学习过程】 一、学前准备

每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形 二、探索思考

知识点一：探究三角形的内角和定理

1、自学课本11页内容，利用手中的硬纸片运用拼合法探究三角形的内角和。 （1）在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 （2）叫几名同学到黑板运用不同的方法粘贴演示。

（3）由拼合过程你能想出证明三角形内角和等于180°的方法吗？ 2、证明三角形的内角和定理 （1）阅读课本12页证明过程。

（2）仿照课本证明过程选择下面的任意一个图形中辅助线的做法，完成证明。

图一 图二

3、 归纳：（1）三角形的内角和等于180°。

（2）证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。 知识点二：应用三角形内角和定理解决简单的实际问题 自学课本12页例1、例2，完成下面的练习：

1、填空： （1）在△ABC 中，∠A = 60°∠B = 30°，则∠C = ；

（2）三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为 ；

（3）在△ABC 中，∠A =∠B = 4∠C ，则∠C = ； （4）在△ABC 中，∠A = 40°，∠B =∠C ，则∠B = ；

2、如图，C 岛在A 岛的北偏东ο

50方向，B 岛在A 岛的北偏东ο

80方向，C 岛在B 岛的北偏西ο

40方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角ACB ∠是多少度？

三、当堂反馈 1、判断：

（1） 三角形中最大的角是ο

70，那么这个三角形是锐角三角形（ ） （2） 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（ ） （3）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ） （4） 一个三角形最少有一个角不大于ο

60（ ） 2、课本13页练习第1、2题；课本第16页习题11.2第1题。 知识点三：直角三角形的性质及运用

如图，在直角三角形ABC 中，∠C =900

，由三角形的内角和定理， 得 即 ，所以 ， 于是有直角三角形的性质：

直角三角形可以用符号“ ”表示，直角三角形ABC 可以写成

请同学们讨论回答：

1、将上述性质改写成逆命题 .

2、此逆命题是真命题吗？为什么？

由此有一条判定直角三角形的方法：有两个角互余的三角形是直角三角形. 3、自学课本14页例题3，并完成14页练习第1、2题

四、课堂小结 本节课你学到了什么？

A

B

C D

E

A

B

C

E

五、课后反思

11.2.2 三角形的外角导学案

【学习目标】1．认识三角形的外角；

2．知道三角形的外角的两个性质；

3．能利用三角形的外角性质解决实际问题。

【学习重点】三角形外角的两个性质；

【学习难点】三角形的外角性质的证明

【学习过程】

一、学前准备

1.三角形的内角和是多少？

2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．

3.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2，则∠A=_____，∠B=______，∠C=_______．

二、探索思考

知识点一：三角形外角的定义

1、自学课本14页下面第一段理解三角形的外角的定义。

2、任意画一个三角形，并画出三角形的外角。像这样，三角形的一边与_______________组成的角，叫做三角形的外角。

3、找出右图中的外角。

4、一个三角形有几个外角？。

知识点二：三角形外角的两个性质

1、探究外角的性质

（1）如图9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？

（2）你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内

角有什么关系呢？并说明理由？

结论：________________________________________

理由：

（3）外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？

结论：_________________________________________

理由：练习（1）课本15页练习

（2）在△ABC中，∠B=50°，∠C的外角等于100°，则∠A=_____．

（3）如右图所示，则∠a=________．

3、自学课本15页例4从中你会发现什么结论？

结论：_____________________________________.

三、当堂反馈

1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．

2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．

3．如图1，x=______．

(1) (2) (3)

4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．

5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数

6．如右图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，求∠C

四、课堂小结通过本节课学习，你有什么收获？

五、完成课本16页习题11.2第2～11题

六、课后反思

11.3.1 多边形导学案

【学习目标】1．知道多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有

关概念． 2．能够解决与多边形的对角线有关的问题

【学习重点】多边形的相关概念；

【学习难点】多边形对角线

【学习过程】

一、学前准备

回顾三角形的概念、性质及三角形的内角、外角的知识

二、探索思考

知识点一：多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念

1、自学课本19-----20页，完成下列问题：

（1）在平面内，由一些线段________________相接组成的

________叫做多边形。图1中分别是什么多边形？

（2）多边形_________组成的角叫做多边形的内角。图2中

内角有____________________。

（3）多边形的边与它的邻边的__________组成的角叫做

多边形的外角。图2中外角有______________________。

（4）连接多边形_________的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

（5）_________都相等，_________都相等的多边形叫做正多边形。

2、对应练习（1）五边形有____条边，___个顶点，__ 个内角。六边形有____条边，____个顶

点，______个内角。类似的，n边形有_______条边，______个顶点，________个内角。

（2）下列图形不是凸多边形的是（）．

知识点二：解决与多边形的对角线有关的问题

1、探究：画出下列多边形的对角线．回答问题：

（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了个三角形；四边形

共有____条对角线．?

（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了个三角形；五边形

共有____条对角线．?

（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了个三角形；六边形

共有____条对角线．?

（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把100边形分成了个三

角形；

100边形共有___?条对角线．②从n边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把n分成

了个三角形；n边形共有_____条对角线．

练习：

（1）从n边形的一个顶点出发可作______?条对角线，?从n?边形n?个顶点出发可作_____条对

角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线的总数为_____条．

（2）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，?则（m-k）

=________．

（3）过十边形的一个顶点可作出几条对角线？把十边形分成了几个三角形？

（4）十二边形共有条对角线，过一个顶点可作条对角线，?可把十二边形分成个三角形。

三、当堂反馈

1、课本21页练习

2、下列图形中，是正多边形的是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形

3、九边形的对角线有（） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条

4、过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是____。

5、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数。

6、如图，3

,2

,1∠

∠

∠是三角形ABC的不同三个外角，则=

∠

+

∠

+

∠3

2

1

7、三角形的三个外角中最多有锐角，最多有个钝角，最多有个直角

8、ABC

?的两个内角的角平分线交于点E，ο

52

=

∠A，则=

∠BEC

9、已知ABC

?的C

B∠

∠,的外角平分线交于点D，ο

40

=

∠A，那么D

∠=

10、在ABC

?中A

∠等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B

∠的两倍，那么

=

∠A，=

∠B，=

∠C

四、课堂小结通过本节课学习，你有什么收获？

五、课后反思

11.3.2 多边形的内角和导学案

【学习目标】 1．知道多边形的内角和与外角和定理；

2．运用多边形内角和与外角和定理进行有关的计算．

【学习重点】多边形的内角和与外角和定理；

【学习难点】内角和定理的推导

【学习过程】

一、学前准备

1.三角形的内角和是多少？。

2.正方形、长方形的内角和是多少？

3.从n边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把n边形分成了个三角形；

二、探索思考

知识点一：多边形的内角和定理

探究1：任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，?量一量、算一算．你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180?°得出这个结论？

结论：。

探究2：从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和

各是多少吗？观察图3，?请填空：

（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角

线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等

于180°×______．

（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．

探究3：一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______ ．

结论：多边形的内角和与边数的关系是。练习一

1．十二边形的内角和是_________．

2．一个多边形的内角和等于900°，求它的边数．

知识点二：多边形的外角和

探究4：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，?这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

因此可得结论： .

练习二：1、课本24页练习。

2、七边形的外角和是_______；十二边形的外角和是________；三角形的外角和是_______。

3、一个多边形的每一个外角都等于36°则这个多边形是_______边形。

4、在每个内角都相等的多边形中，若一个外角是它相邻内角的

2

1

，则这个多边形是_____边形。

5、阅读课本22页例1，回答：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也

三、当堂反馈

1、一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是_______；一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是_______。

2、如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，?那么这三个内角的度数分别为________。

3、若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。

4、当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加_________度。

5、正十边形的一个外角为______．

6、_______边形的内角和与外角和相等．

7、已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是_____?边形．

8、若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。

四、课堂小结通过本节课学习，你有什么收获？

A

B

C E A

B

C E

A

B

C E

A

B

C E

A

B

C

D

五、课后反思

三角形复习题

【学习目标】通过做练习进一步巩固三角形的基本知识点 【学习重点】三角形的边角关系，特殊的三角形和多边形 【学习难点】所学知识的综合引用

1．如图1所示，共有_____个三角形，其中以AB 为边的三角形有_____，以∠C?为一个内角的三角形有______．

2．以下面各组线段为边，能组成三角形的是（ ）． A ．1cm ，2cm ，4cm B ．8cm ，6cm ，4cm C ．12cm ，5cm ，6cm D ．2cm ，3cm ，6cm

3．D 是△ABC 内一点，那么，在下列结论中错误的是（ ）．

A ．BD+CD>BC

B ．∠BDC>∠A

C ．BD>C

D D ．AB+AC>BD+CD 4．等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为______． 5．下列图形中有稳定性的是（ ）

A ．正方形

B ．长方形

C ．直角三角形

D ．平行四边形 6．下列四组图形中，B

E 是△ABC 的高线的图是（ ）

7．下列说法中正确的是 （ ）

A ．三角形的内角中至少有两个锐角

B ．三角形的内角中至少有两个钝角

C ．三角形的内角中至少有一个直角

D ．三角形的内角中至少有一个钝角 8．已知在△ABC 中，∠A=40°，∠B-∠C=40°，则∠B=_____，∠C=______．

9．如图2所示，∠α=_______．

10．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，?这个三角形的外角不可能是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130°

11．三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个． 12．在△ABC 中，∠A =60°，∠C =2∠B ，则∠C =__________.

13．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 14．若n 边形的内角和是1260°，则边数n 为（ ）．

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

15．某人到瓷砖店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，?他购买的瓷砖形状不可以是（ ）． A ．正三角形 B ．矩形（长方形） C ．正八边形 D ．正六边形

16．如右图，BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，∠1=60°，∠BDC=80°， 求∠C 的度数．

17．如图：（1）画△ABC 的外角∠BCD ，再画∠BCD 的平分线CE ． （2）若∠A=∠B ，请完成下面的证明：

已知：△ABC 中，∠A=∠B ，CE 是外角∠BCD 的平分线．

求证：CE ∥AB ．

18．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数.

19．一个零件的形状如图，按规定∠A= 90°，∠ABC 和∠ACB ，应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC = 148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由

20．如图所示，有一块三角形ABC 空地，要在这块空地上种植草皮来美化环境，已知这种草皮

每平方米售价230元，AC =12m,BD =15m ，购买这种草皮至少需要多少元？

图1 图2 A

B

C

D

D

A

B

C

15m

12m

21．如图所示，在△ABC中：（1）画出BC边上的高AD和中线AE．

（2）若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数．

三角形单元测试

一、选择题（3分×8=24分）

1．一个三角形的三个内角中（）

A 、至少有一个钝角

B 、至少有一个直角

C 、至多有一个锐角 D、至少有两个锐角

2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、 3，4，8

B、 5，6，11

C、 1，2，3

D、 5，6，10

3．关于三角形的边的叙述正确的是（）

A、三边互不相等

B、至少有两边相等

C、任意两边之和一定大于第三边

D、最多有两边相等

4．图中有三角形的个数为（）

A、 4个

B、 6个

C、 8个

D、 10个

5．如图在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。那么图中与∠A相等的角是（）

A、∠B

B、∠ACD

C、∠BCD

D、∠BDC

6．下列图形中具有稳定性有

（）

A、 2个

B、 3个

C、 4个

D、 5个

7．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）

A 、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）

A、 6

B、 7

C、 8

D、 9

二、填空题（4分×9=36分）

9．一个三角形有条边，个内角，个顶点，个外角

10．如图，图中有个三角形，把它们用符号分别表示为

11．长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别

是

12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：

⑴BE= =

2

1

；⑵∠BAD= =

2

1

; ⑶∠AFB= =900；

13．在△ABC中，若∠A=800，∠C=200，则∠B= 0，若∠A=800，∠B=∠C，则∠C= 0

14．已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B= 0，

∠C= 0

15．如图，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，

则∠DAC= 0，∠ADB= 0

16．十边形的外角和是0；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是_______0

17．如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，则=

x0，=

y0.

三、解下列各题

18．对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高（4分×3=12分）

19．求出下列图中x的值：（4分×3=12分）

20．（8分）一个多边形的外角和是内角和的

7

2

，求这个多边形的边数

21．在△ABC中，∠A=

2

1

∠C=

2

1

∠ABC， BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数（8分）第（4）题

E

D

C

B

A

第（5）题

D

C

B

A

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

第（10）题

E

D

C

B

A

第（12）题

B

第（15）题

D

C

B

A

800

y

x

4

3

2

1

第（17）题

E

D

C

B

A

(1)

C

B

A

C B

A

(2)

C

B

A

(3)

(1)

x0x0

(2)(3)

4x?

3x?

3x?2x?

D

C

B

A

12.1 全等三角形 导学案

学习目标：1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点：全等三角形的性质．

学习难点：找全等三角形的对应边、对应角． 学习过程：

一．获取概念：

阅读教材P31-32页内容，完成下列问题：

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、

对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于”

（4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 点A 1是对应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应角： 对应边： 。 C 1

B 1

C

A

B

A

1

二 观察与思考：

1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF （图甲）；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC （图乙）； 将△ABC 旋转180°得△AED （图丙）．

甲

D

C

A

B

F

E 乙

D

C

A

B

丙

D

C

A

B

E

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、当堂反馈

1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的

边 。相等的角 。

D C A B

O D C A B E D C A

B

E

O

图1 图2 图3 图4

2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角 对应边：AB AE BE

3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边

对应角 ． 4.如图4，,DBE ABC ???AB 与DB ，AC 与DE 是对应边，已知：ο

ο30,43=∠=∠A B ，求BED ∠。

解：∵∠A+∠B+∠BCA=1800

( ),ο

ο30,43=∠=∠A B ( )

∴∠BCA=

∵,DBE ABC ???( )

∴∠BED=∠BCA= ( )

5.完成教材P32练习1、2 四、概括总结

找两个全等三角形的对应元素常用方法有：

1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。

2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．

3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

五．课后反思

12．2 三角形全等的判定（1） 导学案

学习目标： 1．判定三角形全等的“边边边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程． 3．掌握用尺规画一个角等于已知角的方法 学习重点： 三角形全等的条件．

学习难点： 寻求三角形全等的条件． 学习过程：

一、：温故知新

1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？

2、如果两个三角形全等，那么它们的 会相等， 也会相等。 二、读一读，想一想，画一画，议一议

根据全等三角形的定义，两个三角形只要满足三条边和三个角分别 ，那么就能判断这两个三角形全等。反之，要想判定两个三角形全等，就一定非要保证这六个条件都相等吗？能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷判定两个三角形全等呢？

请认真阅读教材35页探究1，动手画一画：

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

总结：通过我们画图 可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），?画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、一边两内角。

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

问题：已知三角形△ABC 你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？ 阅读教材35页探究2，完成下列问题： （1）、全等三角形的判定方法一： 的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”． （2）、完成证明：

如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中

C 1

1A

B

A 1

∴ △ABC ≌△A 1B 1C 1（SSS ）

3、探究用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法（阅读课本36页下面，动手画一画）

已知：∠AOB 求作：∠A ,O ,B , ,使∠A ,O ,B ,

= ∠AOB 作法：

三、当堂反馈

（1）如图1，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．

求证：△ABD ≌△ACD ．

证明：∵D 是BC 的中点

∴__________________________ 在△ABD 和△ACD 中

(AB AC BD CD AD AD =??

=??=?

公共边)

∴△ ≌△ （ ）．

（2）如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有一个条件：______________________，怎样才能得到这个条件？

∵__________________________ ∴__________________________ ∴__________________________

（3）如图,AB=AC, AD 是BC 边上的中线，求证：∠BAD= ∠CAD

（4）完成课本 37页练习1、2题 四、课堂小结：

1、“边边边”定理

2、画一个角等于已知角方法：

F

D

C

B

E

A

五、课后反思

12．2 三角形全等的判定（2）导学案

学习目标： 1．判定三角形全等的“边角边”定理．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题． 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．学习重点：会运用“SAS”判定两个三角形全等．

学习难点：寻求三角形全等的条件．

学习过程：

一、：温故知新

1、判定三角形全等的方法：（1）定义判定： .

（2）“SSS”公理判定： .

2、用尺规画“一个角等于已知角”的方法：

二、探究新知

阅读课本37页探究3，完成下列问题

1、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全

重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

边AO＝CO，角∠AOB＝∠COD，边BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可

以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与

点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么

这两个三角形全等吗？

2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC

＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)如果把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，想一想△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3、“边角边”公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

书写格式:在△ABC和△ A1B1C1中

C1

B1

C

A

B

A1

∴△ABC≌△ A1B1C1（SAS）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角

形全等．所以“SAS”是证明三角形全等又一种方法

4、阅读课本39页“思考”并回答问题：在两个三角形中，若有两边对应相等，另外任意一

组角（不是这两边的夹角）也对应相等，这样的两个三角形还会全等吗？为什么？

5、阅读课本38页例题2，并思考：要证明分别属于两个三角形中的边相等或角相等时，常

常可以利用证明这两个三角形来解决问题。

三、当堂反馈

1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：△ABE≌△CDF．

3、如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，

这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件

_____________(这个条件可以证得吗？)．

4、如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要

满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________还需要一个条件

_____________(这个条件可以证得吗？)．

5、已知： AD∥BC，AD＝ CB，AE=CF(图5)．求证：△ADF≌△CBE

6、完成课本 39页练习1、2题 四、概括总结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件． 2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理． 五、课后反思

12．2 三角形全等的判定（3） 导学案

学习目标： 1．掌握三角形全等的“角边角”条件．

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 学习重点：已知两角一边的三角形全等探究． 学习难点：灵活运用三角形全等条件证明． 学习过程：

一．温故知新 1．（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义__________________________________________________ ；

②“SSS ”公理__________________________________________________ ； ③“SAS ”公理 ； 2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了二种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？ 3.三角形中已知两角一边有几种可能？

①．两角和它们的夹边． ②．两角和其中一角的对边． 二、探究新知

阅读教材39页的“探究4”

判定全等三角形的第三种方法“角边角”定理 （可以简写成“ ”或“ ”）．

书写格式: 在△ABC 和△A 1B 1C 1中

1

B 1C

A

B

A 1

∴ △ABC ≌△ A 1B 1C 1（ASA ） 三、当堂反馈

1.如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．

证明：在△ 和△ 中

A A AC A

B

C B ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△ADC ≌△_____________ （__________ ） ∴ AD=AE ．（_______ ）

2.观察下图中的两个三角形，它们全等吗？请说明理由．

50?50?

45?

45?D

C

A

B (1)

D

C

C

3、如图11：在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。求证：PA=PD 。

证明：在△ABC 和△DBC 中 ∠1=∠2（ ）

∵ BC=BC （ ）

∠3=∠4（ ）

△ABC ≌ △DBC （ ）

∴AB =__________( ) 在△ABP 和△DBP 中 AB=______ （ ） ∵ ∠1 = ∠2 （ ） BP = BP （ ） ∴ △ABP ≌ △DBP （ ）

∴_________=________( )

四、概括总结

至此，我们有四种判定三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义

2．判定定理： 边边边（SSS ） 边角边（SAS ） 角边角（ASA ）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

D C

A

B

E P 4321（图11）

D

B

A

五、作 业：

课本43页习题12.2《复习巩固》第1、2、3、4

六、课后反思

12．2 三角形全等的判定（4） 导学案

学习目标：1．掌握三角形全等的“角角边”条件．

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 学习重点： 已知两角一边的三角形全等探究． 学习难点：灵活运用三角形全等条件证明． 学习过程：

一．温故知新：

1.我们已经学习过可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

2.三角形中已知两角一边有几种可能？ 1．两角和它们的夹边． 2．两角和其中一角的对边． 二、新课

1．阅读教材40页例4并归纳完成判定全等三角形的第四种方法：

“角角边”定理 （可以简写成“ ”或“ ”）． 书写格式: 在△ABC 和△A 1B 1C 1中

1

B 1

C

A

B

A 1

∴ △ABC ≌△A 1B 1C 1（AAS ）

2.定理证明

已知：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ， 求证：△ABC 与△DEF

D

A

B

F

E

证明：

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）． 三、当堂反馈

1.如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠ADC=∠AEB ．求证：BD=CE ．

2如图，若AE=BC 则这两个三角形全等吗？请说明理由．

29?

29?

D

C A

B

(2)

E

3.课本P41练习1、2． 第1题。 证明：

第2题。 解：

四．概括总结:判别两三角形全等的常用方法有几种？各是什么？

①“SSS”公理________________________________________________ __

②“SAS”定理___________________________________________ ______

③“ASA”定理__________________________________________ _______

④“AAS”定理_______________________________________________ __

五．课后反思

12．2三角形全等的判定（5） ---直角三角形全等的判定导学案

学习目标：

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。学习重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习过程：

一、想一想，填一填：

1、判定两个三角形全等常用的方法：、、、

2、如上图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是

3、如下图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

二、探索新知：

（一）阅读教材42页“探究5”并作出三角形（动手操作）：从中你发现了什么？

根据以上探究，可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．（可以简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”）（二）当堂反馈

1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

答：

理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）

∴∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）

在Rt△和Rt△中

?

?

?

=

=

_________

_______

________

_______

∴≌（）

∴∠ = ∠（）

∴（内错角相等，两直线平行）

三、练习

1、判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

2、如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C、D,AC=BD。求证BC=AD

C

D

A B

3、课本43页练习第1、2题 四、 概括总结

六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．边边边（SSS ） 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ） 3．HL （仅用在直角三角形中） 五、课后反思

12.3 角的平分线的性质（1） 导学案

学习目标：1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的性质原理；

2、会用尺规作已知角的平分线．

学习重点：理解并掌握角平分线的性质

学习难点：利用作已知角的平分线解释角的平分线的性质 学习过程： 一、温故知新

如图1，在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点． 求证：（1） Rt △MOC ≌Rt △NOC

（2） ∠MOC=∠NOC ． 二、自主探究 合作展示 探究（一）：先阅读课本48页内容，完成下面的问题。 1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？

2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，使MC=NC ，连接OC ，则OC 即为∠AOB 的平分线。”结论是否仍然成立呢？

3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？

探究（二）

思考：如何作出一个角的平分线呢？ 已知：∠AOB ．

求作：∠AOB 的平分线．

作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．

（2）分别以M 、N 为圆心，大于

1

2

MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 请同学们依据以上作法画出图形。

议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于12

MN 的长”这个条件行吗？

2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？

三、探究角平分线的性质：

如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点.

操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：

观察测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，写出结论：

下面用我们学过的知识证明此结论：

已知：如图4，AO 平分∠BAC ，OE ⊥AB ，OD ⊥AC 。求证：OE=OD 。

由以上的猜想和证明，我们可以得到角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

四、当堂反馈

1、如图5所示，在△ABC 中，∠C= 90，BC=40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ， 且DC ：DB=3：5，则点D 到AB 的距离是___________。

2、如图6所示，∠AOC=∠BOC ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M 、N ，则下列结论中错误的是（ ） A ．CM=CN B. OM=ON C. ∠MCO= ∠NCO D. ON=CM

图2 图4 图1 A

B

C D 图5

OD OE

第一次 第二次 第三次

B

O A

图7

A

E

D B

C

M

3、如图7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：

⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？为什么？

五、课后反思

12.3 角的平分线的性质（2）导学案

学习目标：1、掌握角的平分线的性质的逆定理；

2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．

学习重点：角平分线的性质的逆定理

学习难点：应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．

学习过程：

一、温故知新

1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.

2、写出命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.

二、自主探究合作展示

（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。

已知：如图1，

求证：

证明：

结论：

（二）思考：

如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？三、应用举例

例：如图3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

四、当堂反馈

1.如图4，在ABC

△中，90

C

∠=o，AD平分CAB

∠，8cm5cm

BC BD

==

，，

那么D点到直线AB的距离是cm．

2.如图5，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D.

(1) 若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明理由;

(2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数.

3、如图6，所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，

BD、CE相交于点O。求证：AO⊥BC。

4、课本50页练习1、2题

第1题画在课本上

第2题，证明：

图4

A

B

D

C

图2

图3

P

A

B C

D

图5

A

B

O

E D

C

图6

图1

五、学习反思

第十二章 《全等三角形》 复习

一、复习目标

1、掌握全等三角形的概念及其性质；

2、会灵活运用全等三角形的判定方法解决问题；

3、掌握角平分线的性质并能灵活运用。 二、知识再现

1、全等三角形的概念及其性质

1）全等三角形的定义： 2）全等三角形性质：

（1） （2） （3）周长相等 （4）面积相等 例1．如图1, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ， 交DE 于G,

ο105=∠=∠AED ACB ,οο25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.

2、 全等三角形的判定方法：

全等三角形常用的四种判定方法： 如果是直角三角形，可以考虑一种特殊的判定方法： 例2.如图2,AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：DBA CAB ∠=∠

例3.如图3，在ABC ?中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上。

且B ADE ∠=∠,AD=DE 求证：ADB ?≌DEC ?.

3、角平分线

角平分线的性质定理 性质定理的逆定理 例4.如图4，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC

三、自我检测

1、下列命题中正确的（ ）

A ．全等三角形的高相等

B ．全等三角形的中线相等

C ．全等三角形的角平分线相等

D ．全等三角形对应角的平分线相等 2、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）

A ．已知两边和夹角

B ．已知两角和夹边

C ．已知两边和其中一边的对角

D ．已知三边 3、完成下列证明过程． 如图5，ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，

E ，

F 分别在AB ，BC ，AC 上，且BD CE =，=DEF B ∠∠ 求证：=ED EF ．

证明：∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE （ ）， 又∵∠DEF ＝∠B （已知），

∴∠______＝∠______（等式性质）．

在△EBD 与△FCE 中，

∠______＝∠______（已证），

______＝______（已知）， ∠B ＝∠C （已知）， ∴EBD FCE △≌△( )．

∴ED ＝EF ( )．

4、如图6⑴，AB=CD ，AD=BC ，O 为AC 中点，过O 点的直线分别与AD 、BC 相交于点M 、N ，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若过O 点的直线旋转至图⑵、⑶的情况，其余条件不变，那么图⑴中的∠1与∠2的关系还成立吗？请说明理由。

图1

图2 图4 A

D

E

B F 图5

第十二章 《全等三角形》 检测题

一、选择题

1.下列说法正确的是（ ）

A.形状相同的两个三角形全等

B.面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等

D.所有的等边三角形全等 2.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B =∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A .AB =AC B.∠BAE =∠CAD C.

BE =DC D.AD =DE 3.

如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定

成立的是（ ）

A.△ACE ≌△BCD

B.△BGC ≌△AFC

C.△DCG ≌△ECF

D.△ADB ≌△CEA

4. 要测量河两岸相对的两点的距离，先在的垂线上取两点

，使，再作出的垂线，使

在一条直线上（如图所示），可以说明△

≌△

，得

，因此

测得的长就是的长，判定△≌△最恰当的理由是（ ）

A.边角边

B.角边角

C.边边边

D.边边角 5. 在△

和△FED 中，已知∠C =∠D ，∠B =∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）

A.AB =ED

B.AB =FD

C.AC =FD

D.∠A =∠F

6.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ；②△BAD ≌ △BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④ 二、填空题

7. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠

3= .

8.如图所示，已知等边△ABC 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 是 度. 9.如图所示，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= . 10.如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，BC =8 cm ，BD =5 cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.

11.如图所示，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =3，则△ABC 的面积是 ．

18. 如图所示，已知在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，若BC = 15 cm ，则△DEB 的周长为 cm ． 三、解答题 19.如图，已知△

≌△是对应角．

（1）写出相等的线段与相等的角；

（2）若EF =2.1 cm ，FH =1.1 cm ，HM =3.3 cm ，求MN 和HG 的长度.

20.如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC .

求证：（1）EC =BF ；（2）EC ⊥BF.

第2题

第3题

第6题

第8题图

第10题图

第11题图

第7题图

第9题图

第20题图

第4题