华师大版八年级上数学导学案
华师大版-数学-八年级上册- 华师大数学命题与定理 导学案
19.1 命题与定理学习目标、重点、难点【学习目标】1、 了解命题、定义的含义.2、 正确理解命题的概念.3、 会区分命题的条件和结论.4、 知道判断一个命题是假命题的方法.【重点难点】1、重点： 找出命题的条件（题设）和结论.2、难点： 命题概念的理解.知识概览图⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧结论题设结构组成假命题公理定理定义真命题命题 新课导引随着我国综合实力的不断增强，我国在世界上的地位也越来越重要，博大精深的中国文化吸引了越来越多的外国友人，现在很多外国朋友都开始对中国的方块字产生兴趣，学起了中文.中国语言很丰富，如“今天是个晴天”与“今天是个晴天吗？”两句话一字之差，却反映了不同的含义，你能说出它们之间有什么样的区别吗？【问题探究】从语言表述的语气上可对两句话加以区别.【解答】 “今天是个晴天”是肯定语气，对天气情况加以判定；而“今天是个晴天吗？”是疑问语气，表示对天气情况不够了解，希望得到回答.教材精华知识点1 定义能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义.【拓展】定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的术语，如“一些”“差不多”“大概”等不能在定义中出现，正确的定义能把被定义的事物或名词与其他事物或名词区别开来.知识点2 命题可以判断一件事情是正确的或是错误的句子叫做命题.每个命题都由条件（或题设）和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件（或题设），用“那么”开始的部分是结论.一些命题前面的“附加部分”属于题设.命题有真假之分，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.【拓展】（1）命题是陈述句，而任何疑问句、祈使句等不属于命题范范畴.(2)命题的题设和结论一般可以通过“如果……那么……”的形式加以判断，如果不是这种形式，可将其进行改写，但改写后的命题内容与改写前命题的内容必须相同，句子完整、语言通顺.必要时可对原命题做一些“修饰”，补上原来省略的成分.知识点3 公理、定理、证明数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.【拓展】命题与定理既相互独立，又相互依存，定理是某些真命题的独立表现形式，命题与定理是一般与特殊的关系，并不是每个命题都能形成“理”，而任何一个“理”都是命题.只有反复理解概念，才能做到不混淆.根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.【拓展】（1）利用公理和定理进行证明，证明的一般格式是从条件出发，通过因果关系，得到最后的结论.证明要求步步有据，每步推理都要以定义、公理定理作依据.证明的一般步骤是：①审清题意，找出命题中的条件和结论；②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形；③用数学语言写出“已知”“求证”；④找出证明思路；⑤写出证明过程，每一步都要有理有据；⑥检查表达过程是否正确、完整.（2）在寻求证明思路的过程中，可以从已知向求证探索，也可以倒过来，从求证向已知追溯，还可以从已知和求证两个方向同时出发.课堂检测基础知识应用题1、下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，它是真命题还是假命题？（1）小于直角的角（不包括零度角）是锐角；（2）30°角的补角等于60°；（3）∠1与∠2是同旁内角吗？（4）直线AB与CD相交于点C；（5）平面内两条相交直线不可能同时垂直于同一条直线.2、下列命题的条件是什么？结论是什么？是真命题还是假命题？（1）每一个有理数都对应数轴上的一个点；（2）一个三角形的三个内角中，可能有两个钝角；（3）我们使用的三角板是用橡皮泥做的；（4）任何一条线段都是由无数个点组成的.3、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出其题设和结论.（1）对顶角相等；（2）等角的余角相等；（3）小于直角的角是锐角；（4）两点确定一条直线；（5）过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线.综合应用题4、举反例说明“同位角相等”是假命题.5、如图19-3所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，FG ∥CD ，求证∠CDE=∠BGF.探索创新题6、某中学举办田径运动会，其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛，赛后5名观众介绍了这场比赛结果.甲说：“A 是第二名，B 是第三名.”乙说：“C 是第三名，D 是第五名.”丙说：“D 是第一名，C 是第二名.”丁说：“A 是第二名，E 是第四名.”戊说：“B 是第一名，E 是第四名.”他们最后都声明：“我的话只有一半靠得住！”则这5名运动员的名次究竟各是多少？体验中考1、如图19-8所示，直线a ∥b ，直线AC 分别交a ，b 于点B ，C ，直线AD 交a 于点D ,若∠1=20°，∠2=65°，则∠3= .2、已知实数a,b 在数轴上的位置如图19-9所示，则以下三个命题：①a 3-ab 2＜0；②2)(b a +=a +b ；③.11a b a <-其中真命题的序号为 .学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析： 命题是判断某一事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是正确还是错误，因此疑问句或一般陈述句都不是命题，即（3），（4）都不是命题.命题中如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题，而不必管其语句的形式是肯定还是否定.解：（1），（2），（5）是命题；（1），（5）是真命题；（2）是假命题.2、解：（1）条件是“每一个有理数”，结论是“都对应数轴上的一个点”.是真命题.（2）条件是“一个三角形的三个内角中”，结论是“可能有两个钝角”.是假命题.（3）条件是“我们使用的三角板”，结论是“是用橡皮泥做的”.是假命题.（4）条件是“任何一条线段”，结论是“都是由无数个点组成的”.是真命题.3、解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.（2）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；题设：两个角相等；结论：它们的余角相等.（3）如果一个角小于直角，那么这个角是锐角.题设：一个角小于直角，结论：这个角是锐角.（4）如果过两个已知点作直线，那么能够作而且只能作一条直线；题设：过两个已知点作直线，结论：能作而且只能作一条直线.（5）如果过直线外一已知点作已知直线的垂线，那么能够作一条而且只能作一条；题设：过直线外一已知点作已知直线的垂线；结论：能够作一条且只能作一条.4、解：如图19-2所示，∠1与∠2是同位角，但∠1是锐角，∠2是钝角，显然∠1≠∠2.所以“同位角相等”是假命题.5、分析欲证∠CDE=∠BGF，由DE∥BC可得∠CDE=∠BCD，再由FG∥CD，可得∠BGF=∠BCD，则所求可证.证明：∵DE∥BC，（已知），∴∠CDE=∠BCD（两直线平行，内错角相等）,又∵FG∥CD（已知），∴∠BGF=∠BCD（两直线平行，同位角相等），∴∠CDE=∠BGF.6、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍“半真半假”，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况（分别见表1和表2）.A B C D E甲2√3×乙丙2×1√丁2√4×戊1√4×A B C D E甲2×3√乙3×5√丙2√1×解：①若甲认为A 为第二名是真的，则B 为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D 为第一名是真的，丁认为E 为第四名是假的，戊认为B 是第一名是真的，这样B ，D 都是第一名，从而产生了矛盾，这种情况应舍去（见表1）.②若甲认为A 为第二名是假的，则B 为第三名是真的，这样可以依次推出；乙认为D 为第五名是真的，丙认为C 为第二名是真的，丁认为E 为第四名是真的，戊认为B 为第一名是假的（见表2）.所以A ，B ，C ，D ，E 的名次分别为1，3，2，5，4.体验中考1、分析 本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，由直线a ∥b ，得∠4=∠2=65°，由∠4=∠1+∠3，得∠3=65°-20°=45°.故填45°.2、分析 本题借助数轴考查不等式与等式是否成立，关键是准确识图，弄清题意，因为b ＜0＜a ，|b |＞|a |，所以a 3-ab 2=a （a 2-b 2），由于a ＞0，a 2-b 2＜0，故a 3-ab 2＜0，①正确；2)(b a +=|a +b|=-a-b ,故②错误；ab a 11<-中分母均为正数，可变形为a ＜a -b ,因为-b ＞0，所以a ＜a ＜-b 成立，③正确，故填①③.。
华师大版-数学-八年级上册- 华师大版数学直角三角形三边的关系 导学案
14.1.1直角三角形三边的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.知道直角三角形的三边之间的关系.2.能根据直角三角形的两条边求第三条边.3.理解勾股定理的变形公式，计算边长时要会灵活选择公式.【重点难点】1.探索和验证勾股定理过程.2.通过面积计算探索勾股定理.知识概览图勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形三边的关系a2＋b2＝c2直角三角形三边的关系(c为斜边) c2－a2＝b2c2－b2＝a2新课导引【生活链接】客轮和货轮同时从港口出发，它们的速度相同，客轮沿着东北方向航行，货轮沿着东南方向航行．你能计算出3小时后它们之间的距离吗?【问题探究】要想求出3小时后它们之间的距离，需知道直角三角形的三边的关系，你知道直角三角形的三条边的关系吗?教材精华知识点1 有关勾股定理的历史古时候，把直角三角形中较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，因此有勾3、股4、弦5之说，其实，公元前一千多年前，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五．”意思是说：在直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5．这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一．勾股定理也叫毕达哥拉斯定理．拓展若三边长分别为3，4，5的倍数，很显然也是勾股数．知识点2 小正方形网格中大正方形面积的求法如图14－1所示，在边长为1的小正方形网格中有一个大正方形C，它的面积是多少呢?方法1：将大正方形分割成如图14－1所示的4个直角三角形和一个在中间的正方形，每个直角三角形的面积为12×1×3＝32，中间正方形的面积为2×2＝4，则所求大正方形的面积为32×4＋4＝10．方法2：将大正方形包含在如图14－2所示的大正方形中，其边长为4，面积为4×4＝16，而4个直角三角形中每个直角三角形的面积为12×1×3＝3 2，故所求大正方形的面积为16－32×4＝16－6＝10．拓展求和和求差是计算分割面积的两种常用的方法．知识点3 直角三角形三边的关系(勾股定理)如图14－3所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系：C的面积＝B的面积＋A的面积．现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．拓展(1)由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形中最长边(即斜边)的平方等于两短边(即两直角边)的平方和．(2)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了．知识点4 利用勾股定理的变式进行计算由a2＋b2＝c2，可推导出如下变式：(1)a2＝c2－b2，(2)b2＝c2－a2，(3)a22-(5)c22+.a bc b-，(4)b22c a拓展(1)上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确．(2)在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边．但有时也要考虑特殊情况．(3)除了利用a，b，c表示三边的关系外，还应会利用AB，BC，AC表示三边的关系，如图14－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，利用勾股定理有AB2＋BC2＝AC2．课堂检测基础知识应用题1、在△ABC中，∠C＝90°．(1)若a＝8，b＝6，求c：(2)若c＝20，b＝12，求a．2、如图14－5所示的阴影部分是两个正方形，其他是一个正方形和两个直角三角形，求两个阴影正方形面积的和．3、有一根70 cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30 cm，40 cm的木箱中，能放进去吗?4、如图14－7所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12 m处，则旗杆折断前有多高?综合应用题5、如图14－8所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，求CD的长．6、如图14－9所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么这块地毯需花多少元?7、如图14－10所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为BC，AC的中点，AD＝5，BE＝10，求AB的长．探索与创新题8、3，4，5既是三个连续的自然数，又可以作为直角三角形的三边长，除此之外，还有没有三边长为三个连续自然数的直角三角形呢?9、如图14－11所示，有一块边长为24 m的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走 m，踏之何忍?”，小颖不知处应填什么数字，你能通过计算帮助小颖在标牌的处填上适当的数字吗?10、直角三角形中有一条直角边为11，另外两边也都是自然数，求它的周长．11、如图14－12所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪音的影响，那么学校是否会受到噪音的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，则学校受到影响的时间有多长?体验中考1、如图14－15所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝ cm．2、如图14－16所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记作S1，S2，则S1＋S2的值等于 .3、如图14－17所示，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD，BC边上的点，将纸片的一角沿过点月的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M，N分别是AD，BC边上的中点，则A′N＝；若M，N分别是AD，BC边上距DC最近的n等分点(n≥2，且n为整数)，则A′N＝ (用含有n的式子表示)．4、如图14－8所示，以第①个等腰直角三角形的斜边作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边作为第③个等腰直角16厘米，三角形的腰，以此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为3则第①个等腰直角三角形的斜边长为厘米．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．(1)∵a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋b2＝82＋62＝64＋36＝100，∴c＝10．(2)∵a2＋b2＝c2，∴a2＝c2－b2＝202－122＝400－144＝256，∴a＝＝16．【解题策略】已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．2、分析两个阴影正方形面积的和正好等于大正方形的面积，而利用勾股定理可求出这个大正方形边长的平方，即此正方形的面积．解：由勾股定理得大正方形的面积为172－152＝64，而大正方形的面积又等于两个阴影正方形面积的和，故两个阴影正方形面积的和为64．【解题策略】从表面上看所求面积之和与已知两边没有关系，但是通过勾股定理就找到了已知和未知之间的桥梁，即中间的正方形的面积．3、分析本题考查勾股定理在空间图形中的应用．由于木棒长为70 cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．如图14－6所示，连结A1C1，AC1．在Rt△A1B1C1中，30＝3400．A1C12＝A1B12＋B1C12＝502＋2在Rt△AA1C1中，AC12＝AA12＋A1C12＝402＋3400＝5000，∵5000＞702，∴AC1＞70 cm；∴70 cm长的木棒能放人这只木箱中．【解题策略】解决此题的关键在于明确AC1即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力．4、分析因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，求出AB的长，再计算BC＋BA，即是旗杆折断前的高度．解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 m，AC＝12 m，所以AB2＝BC2＋AC2＝52＋122＝169．所以AB169＝13(m)．所以BC＋AB＝5＋13＝18(m)．所以旗杆折断前的高度为18 m．【解题策略】用勾股定理解几何应用题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用数形结合思想进行求解．5、分析此题可将CD放在Rt△ACD或Rt△BCD中，利用勾股定理列方程求解，但比较复杂，如果把CD看做是AB边上的高，利用面积列方程求解就容易多了．解法1：设AD的长为x，∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝25， ∴AB ＝5，则DB ＝AB －AD ＝5－x ．∵CD ⊥AB ，∴在Rt △ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝42－x 2．在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－DB 2＝32－(5－x ) 2，∴42－x 2＝32－(5－x ) 2，∴x ＝165，∴CD 2＝42－x 2＝42－(165)2＝14425，∴CD ＝125解法2：∵AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝25，∴AB ＝5．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴12×4×3＝12×5×CD ， ∴5CD ＝12，∴CD ＝125． 【解题策略】 解法1充分利用了CD 既是△BCD 的边又是△ACD 的边，抓住这个等量关系可列方程．解法2巧妙地利用面积求解，事半功倍，易理解掌握． 6、分析 从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC ，竖直方向的长度和为B C ，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出 AC ，再求AC ＋BC 即可．解：在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝25－9＝16， ∴AC ＝4米．∴地毯长度为AC ＋BC ＝4＋3＝7(米)， ∴地毯的总面积为7×2＝14(平方米)， ∴需花30×14＝420(元)．【解题策略】 从表面上看，无法求出所问的题目，但仔细观察可以发现，不用求出每节台阶水平和竖直的长度，因为楼梯水平方向的长度和为AC ，竖直方向的长度和为BC ，欲求地毯的长度，只要求出AC 与BC 的和，其中BC ＝3米，因此利用勾股定理求AC 即可．7、分析 因为AD ，BE 已知，所以根据勾股定理，AD 2＝CD 2＋AC 2和BE 2＝BC 2＋CE 2可求出AC 2＋BC 2的值，即AB 2的值，从而求出A B ． 解：设AC ＝b ， BC ＝a ，AB ＝c ．∵AD ，BE 是中线，∴CE ＝2b ，CD ＝2a．又∠C ＝90°，AD ＝5，BE ＝10，在Rt △ACD 中，CD 2＋AC 2＝AD 2，在Rt △BCE 中，BC 2＋CE 2＝BE 2，∴(2a )2＋2b ＝52，a 2＋(2b )2＝102，∴a 2＋b 2＝100．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝a 2＋b 2＝100，∴AB＝10．【解题策略】“设而不求”是解有关几何计算题的常用技巧，同时也是“整体思想”的运用．本题要求AB的长，关键是求出AC2＋BC2．8、分析我们可以假设有这样的直角三角形，这样就可以利用勾股定理列出关系式．解：假设存在三边长为三个连续自然数的直角三角形，三边长分别为m－1，m，m＋1(m是大于1的整数)，根据勾股定理，得(m－1) 2＋m2＝(m＋1) 2，整理得m2－4m＝0，即m(m－4)＝0．只有当m＝0或m＝4时，上式才成立，但当m＝0时，三边长不都是自然数，故舍去，当m＝4时，三角形的三边长恰好为3，4，5，可见，除了三边长为3，4，5的直角三角形之外，不存在三边长为三个连续自然数的直角三角形．【解题策略】解此题的关键是用一个字母设出三个连续的自然数，根据勾股定理列方程求得这个字母的值．|规律·方法| 对于存在性探索题，先假设所研究的对象存在，看是否能推出矛盾，这是解这类题目比较普遍的方法．9、分析空白处填少走的路程，而少走的路程＝ (AC＋BC)－AB，AC，BC已知，只需求AB的长．解：在Rt△ABC中，AC＝24 m，BC＝10 m，∠C＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AB2＝AC2＋BC2＝242＋102＝676＝262，∴AB＝26 m，∴少走的路程为(AC＋BC)－AB＝8 m．8．【解题策略】要充分利用正方形中∠C＝90°这个条件，找出直角三角形，利用勾股定理求A B．10、分析由于一直角边为11，另外两边也都是自然数，所以采用试验的方法较烦琐，也不可取．不妨设斜边为c，另一直角边为a，则利用勾股定理有。
华东师大版八年级上册数学导学案
第11章数的开方11.1平方根与立方根例题学习例1：16的平方根是A. 4B. −4C. ±4D. ±16例2：16的算术平方根是()A. 16B. 4C. −4D. ±4例3：计算√4的结果是()A. 2B. ±2C. −2D. 4例4：−8的立方根是()A. 2B. −2C. ±2D. −√23课堂练习1.4的平方根是()A. ±2B. 2C. −2D. ±162. 4的算术平方根是()A. ±2B. 2C. −2D. ±163. (−3)2的平方根是()A. −3B. 3C. 3或−3D. 94. −64的立方根是()A. ±8B. 4C. −4D. 16课后作业1.√16的值等于()A. 4B. −4C. ±2D. 22. 14的算术平方根是()A. ±12B. −12C. 12D. 116909111.2实数例题学习例1： 四个数0，1，√2，12中，无理数的是( )A. √2B. 1C. 12D. 0例2：在实数−1.414，√2，π，3.1.4.，2+√3，3.212212221…，3.14中，无理数的个数是( )个．A. 1B. 2C. 3D. 4例3：计算：|−2|+√−83−(−1)2017．课堂练习1. 下列四个实数中是无理数的是( )A. πB. √16C. 227D. 02. 有下列实数：227，−3.14159，√8，0，√273，0．3⋅1⋅，π2，其中无理数的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 计算：计算：(−2016)0+(14)−1−(−2)2课后作业1. 计算：(π−3)0+(12)−1−(−2)3+(−1)2015．第12章整式的乘除12.1.幂的运算1同底数幂的乘法例题学习例1：计算a2⋅a3，结果正确的是()A. a5B. a6C. a8D. a9例2：计算(−a)4⋅(−a)3的结果是______ ．例3：计算x3·x·x2的结果是______ ．课堂练习1.计算：−b3⋅b2=______ ．2.计算2×24×23的结果是______ ．3.下列计算中，正确的是（）A. a·a2=a3B. a+a2=a3C. a3⋅a3=a9D. a2+a2=a4课后作业1.计算：（1）x2·x5（2）a·a6（3）−a·(−a)3（4）102×1052幂的乘方例题学习例1.计算(a2)3的结果是()A. a5B. a6C. 3a2D. 2a3例2.计算(−a3)2的结果是()A. a6B. −a6C. −a5D. a5课堂练习1.计算：（1） (22)3（2）(x4)3（3）(y2)5 （4）(a3)2·(a2)3；2.下列计算中，正确的是()A. a3+a3=2a6B. a2⋅a3=a6C. (a2)3=a5D. (a2)3=a6课后作业1.计算(−a3)4⋅(−a)3的结果是______ ．2.下列计算中，正确的是A. a2·a5=a10B. (a5)2=a7C. (a3)4=a12D. a2+a2=a4923积的乘方例题学习例1.计算(4ab)2的结果是()A. 8abB. 8a2bC. 16ab2D. 16a2b2例2.计算(−2xy)2的结果是()A. 4x2y2B. 4xy2C. 2x2y2D. 4x2y 例3.计算(−2x2y)2的结果是()A. −2x4y2B. 4x4y2C. −4x2yD. 4x4y例4. 计算：(−2×103)2=______．课堂练习1.计算(ab2)3的结果是()A. 3ab2B. ab6C. a3b5D. a3b62. 计算(−x3y)2的结果是()A. −x5yB. x6yC. −x3y2D. x6y23.计算：(−2×103)3=______．课后作业1.计算(ab2)4的结果，正确的是()A. a4b8B. a4b6C. ab8D. ab62. 计算(−xy3)2的结果，正确的是()A. xy5B. x2y6C. −x2y6D. x2y53.计算：(−2x3)2=______．4同底数幂的除法例题学习例1.x9÷x3=()A. x3B. x6C. x12D. x27例2. 计算(−a)10÷(−a)3的结果等于______．例3. 计算(2a)7÷(2a)4的结果等于______课堂练习1.计算a6÷a3结果正确的是()A. a2B. a3C. a−3D. a82.计算(−a)3÷a结果正确的是()A. a2B. −a2C. −a3D. −a43.计算：(3x)8÷(3x)6=______ ．课后作业1.计算：106÷104=________ ；2.计算：a8÷a5=______ ．93幂的运算小练习一、选择题1.下列计算正确的是()A. a5+a5=a10B. a7÷a=a6C. a3⋅a2=a6D. (−a3)2=−a62.下列计算正确的是( )A. a3·a3=a9B. (a4)2=a6C. (2a2)3=6a6 D. a6÷a4=a2二、填空题1. 计算：(x3)3⋅x2=______ ．2. 计算：(−2xy2)2= ______ ．x⋅(−2x2)3=______．3. 计算：12三、计算题(1)(a 2) 3÷(−a) 2；(2)(−2m)2·(m2)2÷m312.2整式的乘法1单项式与单项式相乘例题学习例1.计算：3a2b⋅5a3b2=______．xy=______．例2.计算：2x2⋅13xy2)=__________．例3.计算：(−3x2y)⋅(13例4.计算：2x3⋅(−3x)2的结果等于___________．课堂练习1.计算：2x3y·3x2=_______.abc2=____________．2.计算：9ab⋅ 133.计算(2x)3⋅(−5xy2)=______ ．4.计算：(5×104)×(3×102)=________________课后作业1.计算：2x2y⋅(−3y2z)=______ ．2.计算：(−2x2y)⋅(−3x2y3)=______ ．3.计算：x3y2⋅(−2xy3)2=______．2单项式与多项式相乘94例题学习例1.计算5a⋅(2a2−ab)= __________________.例2.计算(−2a2)(a−3)=___________________ ．−3xy+y3)= __________________.例3.计算2x2y⋅(12课堂练习1.计算:−2a(a2−1)= __________________.x+5)=______________________．2.计算：2x(x2−323.计算:(−3x+1)(−2x)2= __________________.课后作业1.计算：3a⋅(2a−1)=_____________________ ．2.计算:(−3x2)⋅(4x−3)=_____________________ ．x2(6x2−2x+1)=___________________.3.化简：−133多项式与多项式相乘例题学习例1. 计算：(1)(x+4)⋅(x−5) （2）(x+1)(2x−1)=___________________ =___________________ =___________________ =___________________例2.化简：(a+4)(a−2)−a(a+1)=___________________=___________________课堂练习1.计算：（1）(x−1)(x−2) （2）(a−2b)(2a−b)=___________________ =___________________=___________________=___________________课后作业1.计算：2.化简(2x−3)(x+1) (a+2b)(a+b)−3a(a+b)=___________________ =___________________=___________________ =___________________12.3乘法公式95961两数和乘以这两数的差例题学习 例1.计算（1）(x +2)(x −2) （2）(2x +y)(2x −y) = ___________________ = ___________________ = ___________________ = ___________________ （3）(−a −b)(a −b) （4）2016×2018 = ___________________ = ___________________ = ___________________ = ___________________ 课堂练习1计算（1）(m +3)(m −3) （2）(4+√7)(4−√7) = ___________________ = ___________________ = ___________________ = ___________________（3）(x −2)(−x −2) （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s t s 21312131= ___________________ = ___________________ = ___________________ = ___________________课后作业1、计算：(√7−√5)(√7+√5)2、计算：(x −2y )(x +2y )= ___________________ = ___________________= ___________________ = ___________________2、计算：(13x −y)(13x +y)== ___________________972两数和（差）的平方例题学习1、计算：（1）(x +1)2= ____________________；（2）(a −3)2 = ___________________2、计算：(1)(2x +1)2 (2)(a +1)2+2(1−a)课堂练习 课后作业1、计算：(x +2)2−(x +1)(x −1) 1、计算：(a −1)(a +4)−(a −2)212.4整式的除法1、单项式除以单项式 例题学习 1、计算（1）223324ab b a ÷ （2）ab c b a 32132÷- （3）()xy xy 3622÷ （4）()()25312b a b a -÷-课堂练习 1、计算（1）−16x 3y 2z ÷8xy ；（2）6x 3÷(−x)2； （3）−4(a +b)4÷14(a +b)398=÷⎪⎭⎫⎝⎛+-222233221221xy y x y x y x 2、多项式除以单项式 例题学习1、计算：(4x 3y 2−2xy)÷2xy =________________________2、计算：(12a 3−6a 2)÷(−2a)= _________________________3、计算()=-÷-+b a b a b a c b a 222322371428）（ _________________________ 课堂练习1、计算：(12a 3−6a 2)÷(−2a)= _________________________2、计算 _________________________3、计算(3.6×10−5)÷(−9×102)= _________________________12.5因式分解例题学习1、分解因式：2a 2+ab = _________________________2、分解因式：x 2−4= _________________________3、分解因式：4a 2−4a +1= _________________________ 课堂练习1、分解因式：2a 2−3ab = ______2、因式分解：a 2b −4ab +4b =______． 课后作业1、分解因式：9−b 2=______．2、因式分解：a 3−16ab 2=_____第13章全等三角形13.1命题、定理与证明例题学习1、把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式是：__________________________________________________2、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是______(真或假)命题，此命题的题设是________________________，结论是_______________________3、写出命题的逆命题，并判断其真假：对顶角相等。
华师大版-数学-八年级上册- 华师大版数学勾股定理的应用 导学案
14.2勾股定理的应用学习目标、重点、难点【学习目标】1.理解购股定理及其逆定理2.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.【重点难点】1.正确熟练地运用勾股定理解决实际问题2.勾股定理的应用知识概览图勾股定理勾股定理的逆定理新课导引【生活链接】 1．小明家住高楼的20层，一天他买回一根2．8m长的钢管，想坐长、宽、高分别为1．2 m， 1．2 m，2．1m的电梯上楼，那么这根钢管能放人电梯吗?2．一楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼高3m，队员取来6．5 m长的云梯，如果梯子的底部离墙根2．5 m，那么消防队员能否从三楼窗户进入灭火?3．如左下图所示，有一个长方体，在A点有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，则它需要爬行的最短路线的长是多少?4．小颖在玩剪纸，如右上图所示的是她剪完后剩下的余料，根据图中数据，你能判断出她剪下的图形的面积吗?【问题探究】上述问题都是本节内容的实际应用，想一想，怎样将实际问题转化为数学问题呢?教材精华知识点应用勾股定理解决实际问题难点解决两点距离问题：画出正确图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边．解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解题．解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题．解决折叠问题；正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题．解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题．解决侧面展开图上两点间距离问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．→实际应用拓展运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活运用所学的知识，达到融会贯通的目的．其中利用勾股定理列方程也是常用方法之一．课堂检测基础知识应用题1、如图14－30所示，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，一只小蚂蚁从点A出发，沿长方体侧面到达点C处，小蚂蚁走的路程最短为多少?2、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方月点，则梯子最短需多少米?3、小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开距旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，求旗杆的高度，综合应用题4、如图14－34所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．5、如图14－35所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH的四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是 ( )A．CD，EF，GHB．A B．EF，GHC．AB，CD，GHD．AB，CD，EF6、如图14－36所示，甲、乙两人比赛的原定路线为A→C→B，已知AC＝600m，BC＝800m，甲的速度为7m／s，乙的速度为 10 m／s，甲先按原定路线跑1 min后，乙才开始跑，同时乙为了先到B，决定沿A→B这条近路跑．问甲、乙谁先到达B，请说明理由.7、如图14－37所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为 2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是．8、如图14－38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ( )A．92cm B．73cmC．72cm D．53cm探索与创新题9、如图14－39所示，王利家住高楼的15层，上、下楼都乘坐电梯，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别是1．2 m， 1．2 m，2．1 m，那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少?10、李老师让同学们讨论这样一个问题：如图14－40所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点有一只小蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则它怎样爬行路程最短?最短路程是多少?过了一会儿，李老师问同学们答案，甲生说：“先由A点到B点，再走对角线BF．”乙生说：“我认为应由A先走对角线AC，再由C到F点．”丙生说：“将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长．”丁生说：“将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．”你认为哪位同学的说法正确?(参考数据：29≈5．392)11、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图14－43(1)所示，根据勾股定理可知a2＋b2＝c2，若△ABC不是直角三角形，如图14－43(2)和(3)所示，请类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并证明你的结论．12、已知四边形ABCD中，AB＝BC＝3ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形，求AD的长．体验中考如图14－47所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示的方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为 .学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析把长方体的侧面展开，得到一个长方形，连结AC，再利用勾股定理即可解决问题．解：如图14－31所示，将此长方体侧面展开后得到长方形，连结AC，由勾股定理可知AC2＝32＋42＝52，即AC＝5cm．所以小蚂蚁所走的最短路程为5cm．【解题策略】长方体是立体图形，计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，而计算不同面上的两点之间的表面距离就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一个平面内进行求解．|规律·方法| 解此类问题一般运用的是转化思想的方法．2、分析环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题．解：如图14－32所示，将圆柱体的侧面沿AB展开，得到长方形AA′B′B，则AB＝A′B′＝5米，AA′＝BB′＝12米，∠A′＝90°，因此沿AB，建梯子，梯子最短．在Rt△AA′B′中，AB′2＝AA′2＋A′B′2＝122＋52＝169．∴AB′＝13米．答：梯子最短需13米．【解题策略】在实际生产、生活、建筑中有很多图形是直角三角形，或者可以构成直角三角形，在计算中常常应用勾股定理．3、分析旗杆与地面垂直，绳子拉开后构成直角三角形，其中一直角边为8米，斜边比另一直角边长2米，根据勾股定理，可列方程求解．解：如图14－33所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8米，AC比AB长2米，设AB＝x米，则AC＝(x＋2)米，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋82＝(x＋2) 2．解得x＝15米．答：旗杆的高度是15米．【解题策略】注意实际问题向几何图形的转化，即AC＝AB＋2，BC＝8，解题时要利用方程的思想，根据勾股定理可列出方程．4、分析由于S△BED＝12DE·AB，所以只要求出DE的长即可，而DE＝BE，AE＝AD－DE＝8－BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解．解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB＝E D．设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2．∴42＋(8－x) 2＝x2．∴x＝5，∴DE＝5．∴S△BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10．【解题策略】本题是折叠’问题，在折叠问题中常用到轴对称、勾股定理的知识，先把条件集中到一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解．5、分析本题综合考查勾股定理及其逆定理．先利用网格图中的线段、角的特征，结合勾股定理计算出线段的长，再判断哪些线段能构成直角三角形，比如由AB8EF5，GH13AB2＋EF2＝82＋5)2＝13，GH2＝132＝13，故AB2＋EF2＝GH2，因此AB，EF，GH能构成一个直角三角形．故选B．【解题策略】每一个小方格的边长都为1，因此可利用方格的直角构造直角三角形，从而可运用勾股定理解题．6、分析要比较甲、乙谁先到达B，先求出由A→C→B甲所用的时间，由A→B乙所用的时间，再比较．因甲、乙两人的速度是已知的，故只需求出A→C→B与A→B的路程即可．解：乙先到达B．理由如下：由图可知△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2＝6002＋8002＝10002，所以AB＝1000 m．所以甲用的时间为6008007＝200(s)，乙用的时间为100010＝100(s)．又因为甲先跑1 min，而200－60＞100，所以乙先到达B．7、分析由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2＝22＋72＝53，A′B2＝AB2＝53．在Rt△A′B′O中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝53－32＝44，所以36＜OB′2＜49，即6＜OB′＜7．BB′＝OB－OB′＜1．故填③．【解题策略】梯子问题是近几年中考的一个热点，该类题型以考查直角三角形的相关知识为主，解此类型题的关键是理解梯子在变化过程中(包括挪移、下降)梯子长度不变，梯子与墙、地面组成直角三角形，可利用直角三角形解题．8、分析本题主要考查勾股定理在折叠问题中的应用．由题意知△ADE与△BDE关于直线DE正对称，所以BD＝AD，设CD＝x cm，则AD＝BD＝(16－x)cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即122＋x2＝(16－x) 2，解得x＝72．故选C．9、分析所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，故利用勾股定理即可求解．解：连结AB，BC，在Rt△ABC中，BC2＝1．22＋1．22＝2．88，AC2＝2．12＝4．41，∴AB2＝BC2＋AC2＝2．88＋4．41＝7．29．∴AB＝2．7(m)．∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2．7 m．【解题策略】解此题的关键是从空间的立体图形中找出所用的平面图形，即直角三角形．10、分析要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连结AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方法类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图 14－41所示，则AE＝AB＋BE＝4 cm，EF＝3 cm，连结AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5 cm．连结BF，∵AF＜AB＋BF，∴丙的方法比甲的好．按丁生的办法：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图 14－42所示，则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连结AF．在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5．392，∴AF≈5．39 cm．连结AC，∵AF＜AC＋CF，∴丁的方法比乙的好．比较丙生与丁生的计算结果，可知丙生的说法正确．【解题策略】假如蚂蚁能飞，则应由A沿空间对角线AF直接飞到F，这个距离不是最短吗?这种想法很有创意，因为现实生活中的确有能飞的蚂蚁，但本题限定蚂蚁只能在盒子的外表面爬行，不能进入到里面的空间，所以这种办法是行不通的．11、分析本题综合考查有关勾股定理的探究性问题，通过添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求解．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2，若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2．当△ABC是锐角三角形时，如图14－43(2)所示，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x，根据勾股定理得b2－x2＝c2－(a－x) 2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，所以a2＋b2＝c2＋2ax，因为a＞0，x＞0，所以2ax＞0，所以a2＋b2＞c2．当△ABC为钝角三角形时，如图14－43(3)所示．过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则BD2＝a2－x2，根据勾股定理，得(b＋x) 2＋a2－x2＝x2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，所以a2＋b2＋2bx＝x2，因为b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a2＋b2＜c2．|规律·方法| 解本题运用了类比的方法．12、分析因为AD在Rt△ACD中，所以应该想到用勾股定理求解．由题可知△ABC为等边三角形．由∠BAD＝90°，可知∠DAC＝30°．只知△ACD是一个直角三角形，却不知△ACD中哪个角是直角，由于没有确定斜边，因此可分别以AC为斜边和AC为直角边两种情况讨论，不要丢解．解：①当∠ADC＝90°时，如图14－44(1)所示，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC =AB ＝3因为∠BAD ＝90°，所以∠CAD ＝30°，又因为∠ADC ＝90°，故CD 3所以AD 22(23)(3)-3．②当∠ACD ＝90°时，如图14－44(2)所示，易求∠CAD ＝30°，设CD ＝x ，则AD ＝2x ，根据勾股定理，得(2x )2＝32＋x 2，解得x ＝2，则AD ＝4，所以AD 的长为3或4．|规律·方法| 解此类图形未确定的问题，一般应考虑所有情况，运用分类讨论的思想来解决．体验中考分析 本题主要考查勾股定理在折叠问题中的应用．在 Rt △ABC 中，由∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6可知AB 22AC BC +10，由折叠可知BC ′＝BC ＝6，C ′D ＝CD ，易知 AC ′＝AB －BC ′＝4，设CD ＝x ，则C ′D ＝CD ＝x .在Rt △AC ′D 中，由AC ′2＋C ′D 2＝AD 2可得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3．所以在Rt △BCD 中，BD 22BC CD +2263+369+455.故填5．。
华东师大版八年级数学上册13.4.2尺规作图(2)导学案
南城中学八年级数学导学案班级：编制：八年级数学备课组课题：13.4.2尺规作图(2) 课时：第课时学习目标：1.了解两种基本作图：经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线.并能掌握基本步骤.2.会解尺规作图题，会写已知、求作和作法，能掌握准确的作图语言.重点：画图.难点：作图的主要画法及尺规作图的应用.预习案阅读教材P88-89内容，并解决下面问题.1.点和直线的位置关系有两种：⑴；⑵.2.“经过已知直线上一点作这条直线的垂线”的实质是作一个平角的并反向延长；“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”实质是相当于作一个的角平分线.3.用尺规作线段AB的垂直平分线.(不写作法保留作图痕迹)探究案探究一按教材画法画过一点作已知点垂线3.过点C作直线AB的垂线的思想方法是把这个问题转化为作_________ 的方法来解决. 探究二过一点作直线的垂线的应用4.利用直尺和圆规作一个等于45°的角．探究三作已知线段的垂直平分线作线段AB的垂直平分线.练习案1.用尺规作图，不能作出唯一三角形的( )A.已知两角和夹边B.已知两边和其中一边的对角C.已知两边和夹角D.已知两角和其中一角的对边2.用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是( )A.已知两条直角边B.已知两个锐角C.已知一直角边和一锐角D.已知斜边和一直角边姓名：BA1.如图1经过已知直线AB和AB上一点C，求作出直线AB的垂线.2.如图2,经过已知直线AB和AB外一点C，求作出直线AB的垂线.BA A BB3.如图1，过点P 作∠O 两边的垂线．8.如图6，作△ABC 边BC 上的高和AB 边的垂直平分线．4.如图2,请把线段AB 四等分.5.如图3,已知∠AOB ，作∠AOB 的平分线OC ，并在OC 上取一点P ，过P 作∠AOB 的两条边的垂线，垂足为M 、N ，探究PM 与PN 有怎样的大小关系.6.画一个等腰△ABC ，使底边长BC=a ，底边上的高为h ，如图4,(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明).7.已知：如图5，线段a ，b ，a ＞b .求作：Rt △ABC ，使∠C=90°，AC=a ，BC=b .*9.如图⑴,已知直线l 及l 同旁的两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使AP ＋PB 的值最小.变式：如图⑵,在直线l 上求作一点P ，使PB －AP 的值最大.变式：如图⑶,在直线l 上求作一点P ，使|PB －AP|的值最小(或距离相等).ah图4图1B O A 图5a b l ⑴ l ⑵ A B C图6l ⑶。
13.5.1互逆命题与互逆定理导学案华东师大版数学八年级上册
.1互逆命题与互逆定理一、激情导入2min1._________________叫做命题．2．命题分为_______和_______，每一个命题都是由_____和_____两部分组成，可以写成“如果……，那么……”的形式．学习目标：1．让学生理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力；2．能正确写出一个命题的逆命题，能判断一个命题的逆命题是否是逆定理（重点）；3．能正确理解互逆命题与互逆定理的联系与区别（难点）．二、自学思考8min认真阅读教材第9293页，完成下列问题1．两直线平行，内错角相等； 2．内错角相等，两直线平行；3．若a＝b，则a2＝b2； 4．若a2＝b2，则a＝b.观察上面几组命题，发现1和2、3和4这两个命题的_____和_____恰好互相换了位置．【自主归纳】一般来说，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做_________．如果把其中一个命题叫做________，那么另一个命题叫做它的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题不一定正确．三、合作探究 20min1、全等三角形的对应角相等．条件：____________________．结论：____________________．逆命题：_________________________________________．这个逆命题是___命题2、如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除；条件：___________________．结论：___________________．逆命题：________________________________．这个逆命题是___命题．3.命题：两直线平行，内错角相等；逆命题：________________________．因此它们是_________.4.命题：__________________ ___;逆命题：对顶角相等．此逆命题是___命题，且是_____．四、当堂检测15min1．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角相等C．等边对等角D．全等三角形的面积相等2．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．全等三角形的面积相等B．等腰三角形两个底角相等C．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角D．若a=b，则a3=b33．“同位角相等”的逆命题是_________________________．4．我们已经学习了一些定理，例如：①全等三角形的对应边相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等边三角形的三个内角相等．上述定理中存在逆定理的是（填序号）．5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．（1）全等三角形的对应角相等；（2）同旁内角互补，两直线平行．6．写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假.若为真命题，请证明；若为假命题，请举出反例．。
华师大版八年级数学上册导学案含答案-14.1 2直角三角形的判定
2.直角三角形的判定学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念（重点）；2.让学生理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会勾股定理的使用技巧；3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题（难点）.自主学习一、知识链接1.勾股定理的内容是什么？2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：① a＝3，b＝4；c=_____；② a＝2.5，b＝6；c=_____；③ a＝4，b＝7.5，c=_____.二、新知预习1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.A.3、4、3 ；B.3、4、5；C.3、4、6；D.6、8、10.2.判断:通过测量角度，判断上述你所画的三角形的形状.A._________B.__________C._________D._________3.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边（c）的平方与其他两边（a，b）的平方和之间的关系.A._________B.__________C._________D._________合作探究一、探究过程探究点1：勾股定理的逆定理活动有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题算一算上面边长的平方之间的关系，结合形状的判断，你发现了什么？猜测如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.验证下面我们根据全等进行证明.已知：△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形.．证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=_______+________。
∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.在△ABC和△A′B′C′中，′C′=AC，′C′=BC，∴△ABC____△A′B′C′(________) .∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.【要点归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.例1若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，判断△ABC的形状.【方法总结】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.【针对训练】1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，72.已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是．例2某木工做了一个长方形的门框，AB=1.5m，AD=2m，测得BD=2.6m．若∠DAB=90°，则符合要求，请问他做的门框符合要求吗？说明理由.探究点2：勾股数【概念提出】勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.【典例精析】例3下面各组a、b、c，是勾股数的是．（填序号）①a＝7，b＝24，c＝25 ②a＝5，b＝13，c＝12③a＝4，b＝5，c＝6 ④a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4【方法总结】根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.二、课堂小结内容勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.当堂检测1.下列各组数是勾股数的是( )A.3，4，7B.6，10，8C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.若a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则以a，b，c为边的三角形面积是．5.一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是 cm.6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝.（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．拓展提升7.若△ABC的三边长a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状，并说明理由.参考答案自主学习一、知识链接1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2.① 5 ②6.5 ③8.5二、新知预习1.画图略.2.锐角三角形直角三角形钝角三角形直角三角形3.a²+b²＞c² a²+b²=c² a²+b²＜c² a²+b²=c²合作探究一、探究过程探究点1：猜测a²+b²=c²直角验证 A′C′2 B′C′2 c A′B′ AB ≌ SSS = = 直角例1 解：设a=3k，b=4k，c=5k，且k≠0，则a2+b2=9k2+16 k2=25k2=c2.∴a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形．【针对训练】1.C2.等腰直角三角形例2 解：不符合，理由如下：因为1.52+22=6.25，2.62=6.76，所以AB2+AD2≠BD2，因此△ABD不满足直角三角形的条件，所以∠DAB≠90°.所以不符合要求.探究点2：例3 ①②课堂小结正整数当堂检测1.B2.A3.C4.305.126.（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝. （2）证明：由（1）知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5．∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．7.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可以变形为（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0.即a=3，b=4，c=5.∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．~。
华师大版八年级上册数学全册导学案(2021年8月修订)
正数有 根.
个算术平方根，0 的算术平方根是_____，负数____算术平方
当 a≥0 时， a
0.
当堂检测
1
1. 的算术平方根是（ ）
4
1
A．
16
1
B．
8
1
C．
2
2.若 x 是 49 的算术平方根，则 x =（ ）
A. 7
B. －7
C. 49
D． 1 2
D.－49
3.下列命题中，正确的个数为( ) ①1 的平方根是 1；②1 是 1 的算术平方根；③(−1)2 的平方根是−1；④0 的算术平方根是 0.
自主学习
一、知识链接
1.什么叫平方根？
答:一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的_________．
2.平方根的性质有哪些？
答：一个正数有_____个平方根，它们互为________.
0 只有_____个平方根，它的平方根是____.负数_______平方根.
二、新知预习
根据平方根的定义，填空：
开平方
当堂检测
8
1．B 2．D 3．B 4．±9 ±0.2 ±7 ±1 ±
7 5
5.解：（1）有平方根，±7. （2）有平方根，± .
2
2
（3）有平方根，± .
3
（4）没有平方根，因为负数没有平方根.
6.解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a+3）+（2a-15）=0.解得 a=4.当 a=4
【要点归纳】1 0 没有
3
例 1 解： (1)8. (2)0.6. (3) .
2
(4)3.
【针对训练】A
例 2 解：由题意得 3＋a=25，解得 a=22.
华师大版八年级(上)数学导学案全
第12章数的开方导学方案学习指导：一、自主学习：【导学提纲】1.我们已学过哪些数的运算?2.加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?3.什么是平方根？一个数的平方根如何表示呢？什么是算术平方根？什么叫开平方？4、一个数的平方根有什么特点？5、要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？【预习填空】★1、如果一个数的等于a，那么这个数叫做a的。
★2、一个正数必定有，它们互为，其中正数a的叫做a的算术平方根；0的平方根（有且只有个）；负数；3、一个正数a的平方根记作（符号表示），其中是算术平方根，称为被开方数；4、求一个，叫做开平方，将一个正数开平方，关键是找出它的一个；5、练习：(1)∵（）2=25 ∴正数25的平方根是，可表示为± =±5；(2)∵（）2=0.09 ∴正数0.09的平方根是，可表示为 = ；(3)∵（）2=16/25 ∴16/25的平方根是，可表示为 = ；(4)∵（）2=0 ∴0的平方根是，可表示为 = ；(5)∵负数，∴ -4 。
6、已知一个数的平方等于10000，那么这个数是 .【学贵有疑】组长或学科导生检查情况（等级）：组长或导生（签字）：二·展示提升1、填空（1）144的平方根是；（2）0的平方根是；（3）254的平方根是 ； （4） －4有没有平方根？为什么？ 2、求下列各数的算术平方根。
（1）121 （2）214（3）64 （4）102；（5）0；3、求下列各数的平方根：(1)81；(2)0.09；（3）1600；（4）49/25；（5）0.0256；4、下列各数有平方根吗?如果有，写出它的平方根；如果没有，请说明理由. (1)－64; (2)0; (3)(－4)2三、合作交流：如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根呢?为什么?知识回顾与小结1、平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们互为 ；0有一个平方根，它是 ；负数没有 ．2.一个非负数a 的平方根的表示法：当a ＞0时，a 的正的平方根用符号“2a ”表示，a 的负的平方根用符号“－2a ”表示，这两个平方根合起来可以记作“2a ”；其中a 叫做被开方数，2叫做根指数；根指数为2时，一般略去不写．3.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决四、达标检测：1、、下列说法正确的个数是（ ）①0.25的平方根是0.5；②-2是4的平方根；③只有正数才有平方根；④负数没有平方根．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．求下列各数的平方根．0，19，17，2564，（-2）2，214，-16．3 ）． A ．±4 B ．4 C ．±2 D ．2 4．求下列各数的算术平方根． （1）0.0025； （2）（-6）2； （3）0； （4）（-2）×（-8）．5．下列说法中错误的是（ ）A 5的平方根B ．-16是256的平方根C ．-15是（-15）2的算术平方根D ．±27是449的平方根 五、课外作业： 六、学后反思：你都学到了些什么？有哪些地方还是让你感到疑惑的？……数的开方 导学方案课 题 课型 学生姓名上课时间§12.1.1 平方根（2）新课学习 目标 1、正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，进一步掌握算术平方根的概念及其表示方法；2.对于a 表示的算术平方根中的a 的条件和a 的本身的意义作合理性的说明； 重点 理解平方根的概念的意义 难点 理解平方根的概念的意义学前准备学习指导：一、自主学习：【导学提纲】根据下面问题，用8分钟时间仔细阅读教材P4—5的部分，请勾画出重要内容，并在不明白的地方作上符号，或把问题写下来1.在(-5)2、-52、52中，哪些有平方根？平方根是多少？哪些没有平方根？为什么？2.求0.49的平方根的运算可记作_ ___＝__ __；3.的正的平方根记作36131＝ ；正的平方根叫做它的 ； 4. 正数a 的正的平方根叫做a 的 ．记作 ，读作“a 的算术平方根”． 这里强调两点：(1)这里的a 不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．(2)这里a 中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的（0除外）．特别地，0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即00 ．从以上可知，当a 是正数或是0时，a 表示a 的算术平方根． 5. 说出平方根的概念和性质．【学贵有疑】 组长或学科导生检查情况（等级）： 组长或导生（签字）： 二 ·展示提升1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？2.求下列各数的平方根和算术平方根：．；；；；；；0169144256101.040025.0121 3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：4. 解方程 （1）x 2 =4（2）25x 2=36． （3）5=x （4)(x-1)2=495、x 为何值时，下列各式有意义： ①x +5 ②x -三、合作交流：【问题1】9的平方根是 ，9的算术平方根是 ，39=表示的意义是什么？【问题2】根据平方根的性质判断，若42-x 有意义，则x .（取值范围） 练习：1、当x 时, 12-x 有意义。
华师大版八年级数学上册导学案含答案-13.2 5 边边边
5 边边边学习目标：1.探索三角形全等的条件（重点）；2.掌握“边边边（SSS）”判定三角形全等的方法并能够应用（难点）.自主学习一、知识链接1.前面我们学到了哪几种证明三角形全等的方法？请列出来.（用简写法）2.这几种证明方法各有什么特点？二、新知预习试一试：准备一些长都是13cm的细绳.（1）和同学一起，每人用一根绳，折成一个边长分别是3cm，4cm，6cm的三角形.把你折出的三角形和同学折出的三角形进行比较，它们能重合吗？__________.（2）和同学一起，每人用一根绳，余下1cm，用其余部分折成边长分别是3cm，4cm，5cm 的三角形.再和同学折出的三角形进行比较，它们能重合吗？__________.（3）每人用一根绳，任取一组能够构成三角形的三边长的数据，和同桌分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？____.合作探究一、探究过程探究点1：利用“边边边（SSS）”证明三角形全等问题根据上述画图，任意两个三边对应相等的三角形都全等吗？【要点归纳】基本事实三边分别相等的两个三角形全等.如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.【方法总结】判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【针对训练】如图，点C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．探究点2：全等三角形的判定（边边边）与性质的综合运用例2 如图，已知AC与BE交于点D，AD=CD，BD=DE，AE=BC，则AE和BC的位置关系是怎样？说明理由．例3 如图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，那么AD ⊥BC吗？请说明理由．【方法总结】将垂直关系转化为证明两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．【针对训练】雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝AB，AF＝AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．二、课堂小结内容“边边边”三边分别相等的两个三角形________(可以简写为“边边边”或“________”)．在△ABC和△A′B′C′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．在所给的两个三角形中，如果有两边对应相等，而又没有角对应相等时，往往通过寻找或构造另一组边也相等，从而利用“SSS”证明全等.当堂检测1. 如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要添加一个条件：___________________.2.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？请完成下列解题步骤.解：△ABC≌△DCB.理由如下：在△ABC和△DCB中，____________AB DCAC DB===⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△ABC ≌________（________ ）.3.如图，已知点B,D在AF上，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求证：(1)△ABC≌△FDE；(2) ∠C= ∠E.4.如图，AB ＝CB ，AD ＝CD ，求证：∠A ＝∠C ．参考答案自主学习 一、知识链接1.解：边角边（SAS ），角边角（ASA ），角角边（AAS ）2.解：边角边（SAS ）是已知两边及其夹角分别相等；角边角（ASA ）是已知两角及其夹边分别相等；角角边（AAS ）是已知两角分别相等及其中一组等角的对边相等.证明方法的不同源于已知条件的不同.二、新知预习 （1）能 （2）能 （3）能 合作探究 探究点1例1 证明：∵BE=CF ，∴BE+EC=EC+CF ，即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中，BC EF AB DE AC DF ===⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）． 【针对训练】证明：∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝CB ．在△ACD 和△CBE 中，，∴△ACD ≌△CBE （SSS ）． 探究点2例2 解：AE 与BC 平行，理由如下：在△ADE 和△CDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,EA BC ED BD CD AD ∴△ADE ≌△CDB （SSS ）.∴∠DAE=∠DCB.∴AE ∥BC.例3 解：AD ⊥BC ．理由如下：∵AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，∴BD ＝DC ．在△ABD 与△ACD 中，，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）.∴∠ADB ＝∠ADC ．∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ．【针对训练】解：∠BAD ＝∠CAD ．理由如下：∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，AF ＝AC ，∴AE ＝AF ．在△AOE 与△AOF 中，，∴△AOE ≌△AOF （SSS ）.∴∠BAD ＝∠CAD ．二、课堂小结 全等 SSS 当堂检测1.BF=CD 或 BD=FC2.BC CB △DCB SSS3.证明：（1）∵ AD=FB ，∴AB=FD.在△ABC 和△FDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧，，，FD =AB DE =BC FE =AC ∴△ABC ≌△FDE （SSS ）.（2）∵ △ABC ≌△FDE,∴ ∠C=∠E. 4.证明：连接BD ，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD ≌△CBD （SSS ）.∴∠A ＝∠C ．~。