指数函数与相关复合函数

当前

形势

函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～10分

高考要求

内容

要求层次

具体要求

A B C

有理数指数幂的含义√理解有理指数幂的含义

实数指数幂的含义√通过具体实例了解实数指数幂的意义幂的运算√掌握幂的运算

指数函数的概念及其性质√

通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C

的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数

函数模型的实际背景;

理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算

机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数

的单调性与特殊点;

在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一

类重要的函数模型

北京高考解读

2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第3题5分

第13题5分

第6题5分

第14题5分

第6题5分

第13题5分

第14题5分第5题5分新课标剖析

满分晋级

第5讲指数函数与相关

复合函数

函数13级

函数的奇偶性（二）

与周期性

函数14级

指数函数与相关复合函数

函数15级

对数函数与相

关复合函数

考点1：幂的运算

1．根式

⑴ 如果存在实数x ，使得n x a = (a ∈R ，1n >，n *∈N )，则x 叫做a 的n 次方根． ⑵

n 叫做根指数．

⑶ 根式的性质：①

n a =，(1n >，且*n ∈N )

a n a n ??=???

，

当为奇数，当为偶数

2．分数指数

⑴

规定正数的正分数指数幂的意义：)01m

n

a a m n n *>∈>N ，，，

且 ⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：()101m n

m n

a

a m n n a

-

*

=

>∈>N

，，，且

3．实数指数幂的运算法则

a a a αβαβ+=；()a a αβαβ= ；()a

b a b ααα= （其中0a >，0b >，对任意实数α，β）

．

【教师备案】本板块主要是化简、求值问题，可小结如下：

⑴一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分 数进行运算，便于进行乘除、开方运算，以达到化繁为简的目的.

⑵当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外将分数指数幂写出，然后再 利用性质运算.

⑶对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂 的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分 数指数，也不能既含有分母又含有负指数.

⑷解题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简后计算 ⑸妙用公式化简指数式 ①11112

2

2

2

()()a b a b a b +-=-； ②11112

2

22

2

()2a b a a b b ±=±+； ③1121123

3

3

333

()()a b a

a b b a b ±+=±．

暑假知识回顾

知识点睛

5.1幂的运算

1.

化简：①5526

2

a a

a -?=_______

；②85

-

=?

?

_______；

③()1110a b c c a

a b

b c

a b

b c

c a

x x x x ------????????>= ? ? ??

?

??

?

?

_______．

【解析】 ①2

a ；②415

x ；③1．

2. ⑴化简求值：①113

3

151********

++；②1

102

18138-??

-+ ???

．

⑵若1

232x =

，则x =________

2x =，则x =_______．

【解析】 ⑴①2；②2．

⑵5-，2

3

-．

【例1】 ⑴

计算下列各式（式中每个字母均为正数）

①3

211133

442

3234x y x y xy --

?????- ? ?????；②121

13344

128a b a b ---??÷- ???； ③131311

42422

223234x x x x x -??????+--- ??? ???????

； ⑵

设11*20132013

()2

n

n

a n -

-=

∈N

，那么)n a 的值是（ ）

A ．12013-

B ．12013--

C ．(1)2013n -

D ．1(1)2013n --

【解析】 ⑴ ①27

2

y -；

②113

216a b -； ③23-； ⑵A ；

指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数．

知识点睛

5.2指数函数及其性质

经典精讲

【教师备案】指数函数定义的讲解：

⑴定义域 ：因为指数的概念已经扩充到实数，所以在底数0a >的前提下，x 可以是 任意实数

⑵规定底数0a >且1a ≠的理由是：

①如果0a =，当0x >时，x a 恒等于零 ；当0x ≤时，x a 无意义；

②如果0a <，比如(4)x y =-，这时对于11

,, (42)

x x ==等，(4)x -都无意义；

③如果1a =，对于任何实数x ，11x y ==是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了.

【教师备案】指数函数的图象与性质的讲解

⑴ 当底数a 大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论 ⑵ 当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时，x →-∞，0y → ⑶ 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快； 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快； ⑷ 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系 在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

考点2：指数函数的图象

【例2】 ⑴已知指数函数()(0, 1)x f x a a a =>≠且的图象经过点(38)，，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的

值．

⑵函数243x y a -=+（0a >且1a ≠）必过定点___________.

⑶

在下图中，二次函数2

y ax bx =+与指数函数x

b y a ??

= ???

的图象只能是（ ）

经典精讲

【解析】 ⑴(0)1f =，(1)2f =，31

(3)28

f --==．

⑵()2,4 ⑶ A

【方法规律】当两个函数的图象在同一坐标系内，判断其正确选项时，首先要使两个函数中的字母的

取值在图象上一致（矛盾的淘汰），然后如果还确定不出唯一的正确选项，再考虑各特征数据的范围．

考点3：幂的大小比较

【方法总结】幂的大小比较的方法

比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小．

在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． ⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．

⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．

1. 三个数1，20.3，0.3

2的大小顺序是（ ）． A ．20.30.321<< B ．20.30.312<< C ．0.32210.3<< D ．20.310.32<<

【解析】 B

2. 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：

①___b c a a ；②1b

a ??

???

1c

a ?? ???

；③11

___b c

a a ；④__a a

b

c ． 【解析】 ①>； ②<； ③<； ④>． 暑假知识回顾

【例3】 ⑴设 1.8

112y -??

= ?

??

，0.62y =

，3

3y -=??

，则（ ）

A ．312y y y >>

B ．213y y y >>

C ．123y y y >>

D ．132y y y >> ⑵

比较下列各组数的大小．

① 1.2a ， 1.1a （0a >且1a ≠）；② 2224，3333； ③ 20.8-，1

343-?? ???．④1

312?? ???，1

2

13?? ???

【解析】 ⑴ D

⑵ ①当01a <<时， 1.2 1.1a a <；当1a >时， 1.2 1.1a a >；

②22233343<． ③13

240.83--??

> ???．

④1

3

12??> ???1213?? ???

．

考点4：指数函数图象的变换规律 【教师备案】⑴平移规律

若已知x y a =的图象，则把x y a =的图象向左平移b ()0b >个单位，则得到x b y a +=的图象，把x y a =的图象向右平移()0b b >个单位，则得到x b y a -=的图象，把x y a =的图象向上平移()0b b >个单位，则得到x y a b =+的图象，向下平移()0b b >个单位，则得到x y a b =-的图象． ⑵对称规律

函数x y a =的图象与x y a -=的图象关于y 轴对称，x y a =的图象与x y a =-的图象关于x 轴对称，函数x y a =的图象与x y a -=-的图象关于坐标原点对称．

【铺垫】已知()2x f x =，利用图象变换作出下列函数的图象：

⑴()1f x -；⑵()11f x ++；⑶()f x -；⑷()f x -；⑸()f x -．

【解析】 以()2x f x =图象为依据，经过平移、对称变换画出各自的图象，如图所示：

经典精讲

经典精讲

f (x

⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸

【教师备案】指数函数是我们在高中课本上第一次遇到有渐近线的函数，所以老师在给学生讲指数函

数的图象平移的时候一定要注意渐近线，尤其是向上和向下平移的时候，有渐近线的限制，所以值域会受到限制

【例4】 ⑴

函数e x y =-的图象（ ）

A ．与e x y =的图象关于y 轴对称

B ．与e x y =的图象关于坐标原点对称

C ．与e x y -=的图象关于y 轴对称

D ．与e x y -=的图象关于坐标原点对称 ⑵

若函数1x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A ．01a <<且0b > B ．1a >且0b > C ．01a <<且0b < D ．0a >且0b <

⑶（2013北京理5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于 y 轴对称，则()f x =（ ）

A ．1e x +

B ．1e x -

C ．1e x -+

D ．1e x --

【解析】 ⑴D

⑵C ⑶ D

考点5：与指数函数相关的基本性质

【教师备案】在暑假的时候我们只讲了外层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性的问题，

秋季我们将重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问

5.3与指数函数相关的复合函数的性质

题，对于考点5我们不涉及与二次函数的复合，因为下边的考点6将单独研究与二次函数复合．

求下列函数的定义域和值域：⑴12

3

x y -=

；⑵5y =

【解析】 ⑴定义域为{}2x x x ∈≠R ，

且，值域为{}01y y y >≠，且． ⑵定义域为[)1+∞，，值域为(]01，

．

【例5】 ⑴

①函数()f x =的定义域为

，值域为____________． ②函数()f x 的定义域为

，值域为____________；

③函数()g x 的定义域为 ，值域为____________

．

⑵ 设函数()170

20x

x f x x ???-

?，≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是 ． ⑶函数(]10()3(21)(1)(0)x

x f x a x a x ???∈-∞? ?=???

?-+-∈+∞?

，

，，，在()-∞+∞，上是减函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．102?? ???，

B ．102??????，

C ．12??-∞ ???，

D ．12??

+∞ ???

，

⑷若1

()21

x f x a =+-是奇函数，则a

=_______．

【解析】 ⑴①R ，)+∞；②(]0-∞，，[)01

，；③[)1-+∞，，0??

； ⑵()31-，

； ⑶B ； ⑷12

；

【例6】 已知函数21

()21

-=+x x f x ．

⑴ 求()f x 的定义域，值域； ⑵ 证明()f x 为奇函数； ⑶ 讨论()f x 的单调性．

【解析】 ⑴ 定义域为()-∞+∞，．值域为(11)-，．

⑵ ()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．

暑假知识回顾

经典精讲

⑶ 法一：用定义证明单调性

设任意12x x <，则1212122121()()2121---=-

++x x x x f x f x 12122(22)(21)(21)

-=+?+x x x x ． ∵1222x x <，∴122(22)0-x ，2210+>x ， ∴12()()0f x f x -<，12()()f x f x <， ∴()f x 为R 上的增函数．

法二：利用复合函数的单调性

2()121x

f x =-+，21x u =+在R 上单调递增，且1u >；2

1y u

=-在(1)+∞，上单调递增， 故它们复合后得到的()f x 在R 上单调递增．

【拓展】已知4()42

x

x f x =+，若01a <<，求：

⑴ ()(1)f a f a +-的值；

⑵ 12310001001100110011001f f f f ????????+

+++ ? ? ? ???

??

??

??

的值．

【解析】 ⑴ 1；

⑵ 500．

考点5：指数函数与二次函数的复合

【教师备案】本考点重点考查外层是二次函数，内层是指数函数的复合函数，对于外层是指数函数的

复合函数老师可以借助暑假知识回顾给学生讲解．

1. 函数2

232x x y --=的单调增区间为（ ）

A ．(1]-∞，

B ．[1)+∞，

C ．[]13-，

D ．(1][1)-∞-+∞，， 【解析】 B ．

2. 求函数2

1212x x y +-??

= ?

??

的定义域、值域和单调区间．

【解析】 定义域为()-∞+∞，，值域为14??

+∞????

，，

单调减区间是(1]-∞，，单调增区间是[)1+∞，．

3. 求函数2

32

x

x y a -++=（0a >，且1a ≠）的单调区间．

【解析】 1a >时，2

32

x

x y a -++=在32?

?-∞ ???，上是增函数，在32?+∞?????

，是减函数；

01a <<时，232x x y a -++=在32?

?-∞ ???，上是减函数，在32?+∞?????

，是增函数．

暑假知识回顾

【铺垫】⑴函数()342x x f x =?-，求()f x 在R 上的最小值．

⑵函数()342x x f x =?-，求()f x 在[)0x ∈+∞，

上的最小值． 【解析】 ⑴()f x 在R 上最小值为

1

12

-

． ⑵()f x 在[)

0+∞，

上最小值为2．

【例7】 ⑴

求函数()923x x f x =-?的单调区间及其值域．

⑵

如果函数()22101x x y a a a a =+->≠，在区间[11]-，上的最大值是14，求a 的值．

【解析】 ⑴ 函数的递增区间为[)0+∞，，递减区间为(]0-∞，，函数的值域为[)1-+∞，．

⑵ a 的值为3或13

．

设()124()x x f x a a =++?∈R ，当(]1x ∈-∞，时，()f x 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．

【解析】 本题等价于当1x ≤时，1240x

x

a ++?>恒成立()21

14

x x a x +?>-≤恒成立．

令()()221

111422x x x x u x x ??+????=-=-+?? ? ?????????

≤，问题等价于求()max u x ???? 令12x

t ??

= ???

，∵1x ≤，∴12t ≥

()2

2

1124u x t t t ??=--=-++ ???在12??

+∞????

，上是减函数

当12

t =，()max

34u x =-????，则34a >-即为所求．

经典精讲

【演练1】化简：⑴1111

222

2a b a b ????+-= ???????

；

⑵112112

33333

3a b a a b b ????±+= ???????

． 【解析】 ⑴ a b -；⑵a b ±．

【演练2】函数101x y =-的图象为( )

A ．

B ． D ．

【解析】 D

【演练3】(2010重庆理5)函数()41

2

x x f x +=的图象（ ）

A ．关于原点对称

B ．关于直线y x =对称

C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称 【解析】 D ．

【演练4】若函数(2)2()1122x a x x f x x -??

=???-

?，≥，是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(2)-∞，

B ．138??-∞ ???，

C ．(02)，

D ．1328??

????

，

【解析】 B ．

【演练5】设a ∈R ，()()2

21

x f x a x =-

∈+R ，若()f x 为奇函数，则a =_____． 【解析】 1．

【演练6】已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+?-的最大值和最小值． 【解析】 ()f x 的最大值为12，最小值为24-．

实战演练

（2009上海高中数学竞赛第6

题）不等式223242x x ?+?≤的解集是 ．

【解析】 [04]，

首先0x ≥

，不等式转化为(

242

0x x

-?+≤，

所以242x x ?=≤

?2x +

≤1)0?≤，解得04x ≤≤．

大千世界