3-6理想流体模型-定常流动-伯努利方程
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伯努利方程的应用-山东大学课程中心
医学物理学
如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作稳定流动
p1 gh1 p2 gh2 w
或
( p1 p2 ) g(h1 h2 ) w
可见，由于黏性力的存在, 要流体在管道中作稳 定流动，管道两端要有压强差或者高度差 (h1h2) 或者两者兼而有之。
医学物理学
h1 =h2 ; v1 = v2 P1 —P2 = W 能量损失表现为： 压强降低
第三章、流体的流动
山东大学精品课程
医学物理学
第一节 理想流体的稳定流动
一、理想流体
实际流体
可压缩 粘滞性
理想流体
不可压缩 无粘滞性
医学物理学
流动性 ★突出流体的流动性 ★忽略次要性质 ★理想模型
二、定常流动
1、稳定流动：流体空间各点的速度不随时间变化的 流动。V (x, y, z)
●空间各点的速度可以不同，同一点的速度不随时 间变化。
单位：m3.S-1
医学物理学
2.连续性方程 条件：不可压缩的流体作稳定 流入
流动。 导出：质量守恒定律。
v1 S1
流出
v2
S2
物理意义：不可压缩的流体作稳定流动时，同一流 管不同截 面处的流量相等。
医学物理学
应用: 1.流线密处流速大
12
2.血液在毛细血管中流动速度与动脉比较 S1V1=S2V2
2、非稳定流动：流体空间各点的速度随时间变化 的流动。
医学物理学
3、流线： 任一瞬间，可以在流体中划这样一些线，线上各点 的切线方向和流经该点的流体粒子的速度方向相 同，这些线就叫做这一时刻的流线。
特点： ①切线——速度方向; 疏密——流速快慢。 ②流线不能相交； ③稳定流动，流线分布不随时间而改变 ④稳定流动时形状与液粒运动轨迹相同。
如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作稳定流动
p1 gh1 p2 gh2 w
或
( p1 p2 ) g(h1 h2 ) w
可见，由于黏性力的存在, 要流体在管道中作稳 定流动，管道两端要有压强差或者高度差 (h1h2) 或者两者兼而有之。
医学物理学
h1 =h2 ; v1 = v2 P1 —P2 = W 能量损失表现为： 压强降低
第三章、流体的流动
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医学物理学
第一节 理想流体的稳定流动
一、理想流体
实际流体
可压缩 粘滞性
理想流体
不可压缩 无粘滞性
医学物理学
流动性 ★突出流体的流动性 ★忽略次要性质 ★理想模型
二、定常流动
1、稳定流动：流体空间各点的速度不随时间变化的 流动。V (x, y, z)
●空间各点的速度可以不同，同一点的速度不随时 间变化。
单位：m3.S-1
医学物理学
2.连续性方程 条件：不可压缩的流体作稳定 流入
流动。 导出：质量守恒定律。
v1 S1
流出
v2
S2
物理意义：不可压缩的流体作稳定流动时，同一流 管不同截 面处的流量相等。
医学物理学
应用: 1.流线密处流速大
12
2.血液在毛细血管中流动速度与动脉比较 S1V1=S2V2
2、非稳定流动：流体空间各点的速度随时间变化 的流动。
医学物理学
3、流线： 任一瞬间，可以在流体中划这样一些线，线上各点 的切线方向和流经该点的流体粒子的速度方向相 同，这些线就叫做这一时刻的流线。
特点： ①切线——速度方向; 疏密——流速快慢。 ②流线不能相交； ③稳定流动，流线分布不随时间而改变 ④稳定流动时形状与液粒运动轨迹相同。
伯努利方程讲解
关于伯努利方程的知识讲解把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间(图8－29)，向漏斗口吹气，会把乒乓球吹跑吗？实际正好相反，乒乓球会贴在漏斗上不掉下来．平行地竖放两张纸，向它们中间吹气，会把两张纸吹开吗？实际正好相反，两张纸会贴近(图8－30)．怎样解释上述现象呢？现象中涉及空气的流动．你可能不会想到，解释上述现象，跟说明飞机能够上天，用的是同一个道理，这就是流动的流体中压强和流速的关系．通常把液体和气体统称流体。
这一节把功能关系应用到流动的流体中，推导压强和流速的关系．研究流体的流动，是一门复杂的学问．初步进行研究，需要作一些限定，采用简单的物理模型，这就是理想流体的定常流动．理想流体液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．气体容易被压缩，但在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的．流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，也就是说，流体具有粘滞性．不同的流体，粘滞性不同．油类的粘滞性较大，水、酒精的粘滞性较小，气体的粘滞性更小．研究粘滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有粘滞性．不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体．定常流动观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化．河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变．河水的这种流动就是定常流动．流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动．自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．流体的流动可以用流线形象地表示．在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹．图8－31是液体流过圆柱体时流线的分布．AB处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小，液体在CD处流得急，流速大．AB处的流线疏，CD处的流线密．这样，从流线的分布可以知道流速的大小．流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．伯努利方程现在研究理想流体做定常流动时，流体中压强和流速的关系．图8－32表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．a1处的横截面积为S1，流速为v1，高度为h1．a1处左边的流体对研究对象的压强为p1，方向垂直于S1向右．a2处的横截面积为S2，流速为v2，高度为h2．a2处右边的流体对研究对象的压强为p2，方向垂直于S2向左．经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2．两端移动的距离分别为Δl1和Δl2．左端流入的流体体积为ΔV1=S1Δl1，右端流出的流体体积为ΔV2=S2Δl2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV1=ΔV2，记为ΔV．现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功．作用在左端的力F1=p1S1，所做的功W1=F1Δl1=p1S1Δl1=p1ΔV．作用在右端的力F2=p2S2，所做的功W2=-F2Δl2=-p2S2Δl2=-p2ΔV．外力所做的总功W=W1＋W2=(p1-p2)ΔV．(1)外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a1到a2这段流体的机械能E1，末状态的机械能是b1到b2这段流体的机械能E2．由b1到a2这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变．这样，机械能的改变E2-E1就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．力势能为mgh2=ρgh2ΔV．机械能的改变为右边对这段液体的的作用力向左，而这段液体的位移向右，所以功是负值。
流体力学-伯努利方程
S11 S 2 2
1 S1 4 2 1 3m 2 2 1 S 2 2 1 0.5 2 1.5m 2 2 S2 1 2 0.1m / s S1
§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的 基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
粘滞流体在流动中各层的流速不同， 相邻两流层 之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力：
粘滞力和哪些因素有关？ 流体内相邻两层内摩擦力的大小： 与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
6.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空 气掠过机翼向后时，流经机翼上部的空 气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程，因此上部空气流速大 于下部空气的流速，上部空气对机翼 向下的压力就会小于下部空气对机翼向 上的压力，从而产生升力 ；
应用实例1. 水流抽气机、喷雾器 空吸作用：当流体流速增大时 压强减小，产生对周围气体或液 体的吸入作用； 水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理（速度大、压强小）设 计的。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
层流:实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴
心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层
流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流；
每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动 但不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。 （流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）
绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体； 一般情况下，密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞性小的 流体均可看成理想流体．
1 S1 4 2 1 3m 2 2 1 S 2 2 1 0.5 2 1.5m 2 2 S2 1 2 0.1m / s S1
§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的 基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
粘滞流体在流动中各层的流速不同， 相邻两流层 之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力：
粘滞力和哪些因素有关？ 流体内相邻两层内摩擦力的大小： 与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
6.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空 气掠过机翼向后时，流经机翼上部的空 气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程，因此上部空气流速大 于下部空气的流速，上部空气对机翼 向下的压力就会小于下部空气对机翼向 上的压力，从而产生升力 ；
应用实例1. 水流抽气机、喷雾器 空吸作用：当流体流速增大时 压强减小，产生对周围气体或液 体的吸入作用； 水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理（速度大、压强小）设 计的。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
层流:实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴
心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层
流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流；
每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动 但不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。 （流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）
绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体； 一般情况下，密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞性小的 流体均可看成理想流体．
第三章 流体的运动
x x
P1
s1
t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1
t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1
t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
3、理想流体的定常流动
ΔS·V=常数C
1)原理:在同一流管中，对不可压缩的流体而 言，流体的流速和流管的横截面积之 积为一恒量，叫体积流量。 2）流量单位：m3/s 应用： 在流量不变的情况下，流管中横截面积大的地 方，流速小；流管中横截面积小的地方，流速大
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ΔS·V=常数C
成立的前提之一是流量Q不变
毛细管的面积之和 大于主动脉的横截面 V毛细 << V主动脉
1 2 gh p v C 2
人的脚在心脏之下约1.35m处， 脚步上血压多大？ ρ =1.05×103 Kg/米3 P主=100 mmHg Δ h=1.35 m
gh脚 p脚 gh p 主 主 则P脚-P主=ρ g（h主 – h脚）
=1.05×103×9.8×1.35 =103 P脚=203 mmHg mmHg 整天站立
S
解： 出水速度应为
水平距离为
2
v出口 2 g ( H h) S v出口 t
g
而 h 1 gt 2 得 t 2h
S=
2h 2 g ( H h) g
4( H h)h
要得到S的最大值， 可以求下式的极值
H 为开口向下抛物线的最高点 h 2
H V出口 h S 普本作业：再做4-4 从“伯”推出出口速度
微重状态对人体的生理影响 影响1、生理平衡系统 影响2、心血管 影响3、肌肉组织 影响4、骨骼
9.8m/S2
身体上部血液流量加大
造成胸腹和大脑的高血压 上部有肿胀之感觉 四天太空飞行之后血流量减少20%左右 宇航员回到地面后 补偿方法： 飞行服 调节压力 使下身的外部压力小一些，则下身血管净 压力比上身血管净压力更大一些，于是促 使血液从上部往下部流。
理想流体模型流体：液体与气体都具有流动性,统称为流体
a1 b1
p2 S2
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
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现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。 假设流体没有黏性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁 对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体 对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正 功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
流管：在流体中任何一束流线都可形成流管[图(b)]。
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三、伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明 了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的 压强p、流速v和高度h三个量之间的关系。
下面用功能原理导出伯努利方程。
如图所示，我们研 究管道中一段流体的运 动。设在某一时刻，这 段流体在a1a2位置，经 过极短时间t后，这段 流体达到b1b2位置
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)
(
1 2
v12
gh1 )]
整理后得
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2
2
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处， 流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个 常量。在工程上，上式常写成
p v2 h 常量
g 2g
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p
g
、v 2 2g
因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是两段极短的位 移，在每段极短的位移中，压强p、截面积S和流速v都 可看作不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是a1b1与 a2b2处流体的压强、截面积和流速，则后面流体的作 用力是p1S1，位移是v1 t，所作的正功是p1S1v1 t，而 前面流体作用力作的负功是-p2S2v2t，由此，外力的 总功是：
伯努利方程
• • • •
参考链接：/view/94269.htm?fr=ala0_1
还有一个相近回答：这个方程并非是描述液体的运动，而应该是描述理想气体的绝热定常流动的，比如它 可以近似地描述火箭或者喷气式发动机中的气流（你可以参考第26届全国中学生物理竞赛复赛中的热学 题）。其中的伽马（像r一样的那个希腊字母，我打不出来，用r来替代）是气体的比热容比，即气体的定 压摩尔热容与定体摩尔热容之比，对理想气体来说是个常数。这个公式中，左边v是气体流动的速度，p是 气体的压强，p下面的希腊字母代表气体的密度。右边的p0\pho0是指速度为0的地方气体的压强和密度。 这个公式的推导和流体的伯努利方程思想相同，只是要考虑到此时气体是可压缩的，结合理想气体的状态 方程即可推导出。
• •
编辑本段]p+ρgh+(1/2)*ρv^2=C 式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度。 上式各项分别表示单位体 积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。 但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2 ＝常量(p0)，各项分别称为静压 、动压和总压。显然 ，流动中速度增大，压强就减小；速度减小， 压强就 增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强 大，上翼面速度高而压强小 ，因而合力向上。 据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托 管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式 中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流 动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。 图为验证伯努利方程的空气动力实验。 补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1） p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量 （2） 均为伯努利方程 其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静 压强。 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。 由伯努利方程可以看出，流速高处压力低， 流速低处压力高。 图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压 力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min（ANR），油杯内油的密度 ρ=800kg/m。问油杯内右面比喉部低多少就不能将油吸入管内进行喷油？ 解： 由气体状态方程，知进口 空气密度ρ=p1/(RT1）=（0.5+0.1）/（287*300）kg/m=6.97kg/m
伯努利方程
• 非完全冲击时按经验公式:
p c T v
t
51
二、空穴现象(气穴 )
• 1. 定义:由于压力降到某一值，而有气泡产生的现象称之为气
穴现象。
• 2. 原因:局部压力降低（漩涡、涡流）。
• 3. 后果:减少流量，引起流量、压力波动，使容积效率降低。
•
破坏连续性和动态性能，产生振动、噪声、冲击，
47
一、液压冲击
4. 冲击压力
1）冲击现象描述 2）冲击压力计算
根据动量方程
如果流速v0不是降到零，而是降到
v1，则上式变为: p c(v0 v1 ) c4v8
49
3）非完全冲击情况下的冲击压力
p c T v
t
50
3）非完全冲击情况下的冲击压力
• 关闭阀门时间 t T 2时l 称为完全冲击， t>T时为非完全冲击。 c
8
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 1. 压力所做的功
9
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 2. 重力所做之功 • 以水平面为基准面。
10
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 3. 动能变化 在稳定流动中，AB段液体的动能是不变的， AB段运动到AB段时动能的增量仅是AA段液 体移到BB段动能的变化，故动能的增量为：
6）适用于不可压缩流体，＝const（对于气体在v<50m/s时也可
按该式计算，如果v>50m/s且要求精度较高时，则应按可压缩 流体的伯努利方程计算，这时要计算气体的内能）。 7）基准面是水平面。
19
伯努利方程的应用例题
• 2. 应用举例 例：图3-8为文氏流量计
p c T v
t
51
二、空穴现象(气穴 )
• 1. 定义:由于压力降到某一值，而有气泡产生的现象称之为气
穴现象。
• 2. 原因:局部压力降低（漩涡、涡流）。
• 3. 后果:减少流量，引起流量、压力波动，使容积效率降低。
•
破坏连续性和动态性能，产生振动、噪声、冲击，
47
一、液压冲击
4. 冲击压力
1）冲击现象描述 2）冲击压力计算
根据动量方程
如果流速v0不是降到零，而是降到
v1，则上式变为: p c(v0 v1 ) c4v8
49
3）非完全冲击情况下的冲击压力
p c T v
t
50
3）非完全冲击情况下的冲击压力
• 关闭阀门时间 t T 2时l 称为完全冲击， t>T时为非完全冲击。 c
8
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 1. 压力所做的功
9
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 2. 重力所做之功 • 以水平面为基准面。
10
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 3. 动能变化 在稳定流动中，AB段液体的动能是不变的， AB段运动到AB段时动能的增量仅是AA段液 体移到BB段动能的变化，故动能的增量为：
6）适用于不可压缩流体，＝const（对于气体在v<50m/s时也可
按该式计算，如果v>50m/s且要求精度较高时，则应按可压缩 流体的伯努利方程计算，这时要计算气体的内能）。 7）基准面是水平面。
19
伯努利方程的应用例题
• 2. 应用举例 例：图3-8为文氏流量计
第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
一、流体运动的基本方程回顾 动量方程： 粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
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例题3-12 测流量的文特利 流量计如图所示．若已知 截面S1和S2的大小以及流 体密度ρ，由两根竖直向 上的玻璃管内流体的高度 差h，即可求出流量Q．
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解：设管道中为理想流体作定常流动，由伯努利方程，
得
1 2
v12
p1
1 2
v22
P2
因p1-p2=ρgh，又根据连续性方程，有
p v2 h 常量
g 2g
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p
g
、v 2 2g
、h
三项都相当于长度，分别
叫做压力头、速度头、水头。
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压 力头、速度头、水头之和是一常量，对作稳定 流动的理想流体，用这个方程对确定流体内部 压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、 航空等工程部门有广泛的应用。
*§3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程
一、理想流体模型
流体：液体和气体都具有流动性，统称为流体。
流体特点：流体各部分很容易发生相对运动，因而没 有固定的形状，其形状随容器的形状而异．液体不易 被压缩，具有一定的体积，能形成自由表面；气体易 被压缩，没有固定的体积，不存在自由表面，可弥漫 于整个容器内的空间．
量是
E2
E1
(
1 2
mv
2
2
mgh2
)
(
1 2
m
v2 1
mgh1)
V [( 1
2
v2 2
gh2
)
(1 2
v12
gh1 )]
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从功能原理得
( p1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p2 )V
V
[(
1 2
v
2
2
gh2
)
(
1 2
v12
gh1 )]
整理后得
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2
2
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处， 流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个 常量。在工程上，上式常写成
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A P1S1V1 P2 S2V2 t
因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和a2b2两小段流体
的体积S1v1t和S2v2t必然相等，用V表示，则上式可
写成
A P1 P2 V
其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定
流动来说，在b1a2间的流体的动能和势能是不改变的。 由此，就能量的变化来说，可以看成是原先在a1b1处的 流体，在时间t内移到了a2b2处，由此而引起的能量增
例题3-11 水电站常用水库出水管道处水流的动 能来发电．出水管道的直径与管道到水库水面高 度h相比为很小，管道截面积为S．试求出水处水 流的流速和流量。
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解：把水看作理想流体．在水库中出水管道很小，
水流作定常流动．如图所示，在出水管中取一条流 线ab.在水面和管口这两点处的流速分别为va和vb.在 大水库小管道的情况下，水面的流速va远比管口的 的小，可以忽略不计， 即va=0.取管口处高度为
二、定常流动
定常流动：流体流动时，其中任一质元流过不同地 点的流速不尽相同，而且流经同一地点，其流速也 会随时间而变．但在某些常见的情况下，尽管流体 内各处的流速不同，而各处的流速却不随时间而变 化，这种流动称为定常流动．
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流线：为了描述流体的运动，可在流体中作一系列曲 线，使曲线上任一点的切线方向都与该点处流体质元 的速度方向一致．这种曲线称为流线[图 (a)]
0，则水面高度为h.在a、
b两点的压强都是大气 压pa=pb=p0．由伯努利 方程，得
1 2
vb2
p0
gh
p0
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式中ρ是水的密度，由此求出
vb 2gh
即管口流速和物体从高度h处自由落下的速度相等． 流量是单位时间内从管口流出的流体体积，常用Q 表示，根据这个定义，可得
Q Svb S 2gh
因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是两段极短的位移， 在每段极短的位移中，压强p、截面积S和流速v都可看 作不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是a1b1与a2b2处 流体的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是 p1S1，位移是v1 t，所作的正功是p1S1v1 t ，而前面 流体作用力作的负功是-p2S2v2 t ，由此，外力的总 功是：
流管：在流体中任何一束流线都可形成流管[图 (b)]．
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三、伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了
理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压 强p、流速v和高度h三个量之间的关系.
下面用功能原理导出伯努利方程。
如图所示，我们研 究管道中一段流体的运 动。设在某一时刻，这 段流体在a1a2位置，经 过极短时间t后，这段 流体达到b1b2位置
a1 b1
p2 S2
v
1
h1
a2 b2
v h2p2 S2 2
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现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。 假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁 对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体 对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正 功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
由此解得
S1v1 S2v2
v1
S2 S1
v2
S2
2gh S12 S22
于是求出流量为
Q S1v1 S1S2
2gh S12 S22
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选择进入下一节 §3-0 教学基本要求 §3-1 刚体模型及其运动 §3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 §3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌
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在一些实际问题中，当可压缩性和黏滞性只是 影响运动的次要因素时，可把流体看作绝对不可压 缩，且完全没有黏性的理想流体．
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当理想流体流动时，由于忽略了黏性力，所以 流体各部分之间也不存在这种切向力，流动流体仍 然具有静止流体内的压强的特点，即压力总是垂直 于作用面的．
流体动压强：流体在流动时内部的压强称为流体动 压强．
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解：设管道中为理想流体作定常流动，由伯努利方程，
得
1 2
v12
p1
1 2
v22
P2
因p1-p2=ρgh，又根据连续性方程，有
p v2 h 常量
g 2g
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p
g
、v 2 2g
、h
三项都相当于长度，分别
叫做压力头、速度头、水头。
所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压 力头、速度头、水头之和是一常量，对作稳定 流动的理想流体，用这个方程对确定流体内部 压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、 航空等工程部门有广泛的应用。
*§3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程
一、理想流体模型
流体：液体和气体都具有流动性，统称为流体。
流体特点：流体各部分很容易发生相对运动，因而没 有固定的形状，其形状随容器的形状而异．液体不易 被压缩，具有一定的体积，能形成自由表面；气体易 被压缩，没有固定的体积，不存在自由表面，可弥漫 于整个容器内的空间．
量是
E2
E1
(
1 2
mv
2
2
mgh2
)
(
1 2
m
v2 1
mgh1)
V [( 1
2
v2 2
gh2
)
(1 2
v12
gh1 )]
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从功能原理得
( p1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p2 )V
V
[(
1 2
v
2
2
gh2
)
(
1 2
v12
gh1 )]
整理后得
p1
1 2
v12
gh1
p2
1 2
v
2
2
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处， 流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个 常量。在工程上，上式常写成
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A P1S1V1 P2 S2V2 t
因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和a2b2两小段流体
的体积S1v1t和S2v2t必然相等，用V表示，则上式可
写成
A P1 P2 V
其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定
流动来说，在b1a2间的流体的动能和势能是不改变的。 由此，就能量的变化来说，可以看成是原先在a1b1处的 流体，在时间t内移到了a2b2处，由此而引起的能量增
例题3-11 水电站常用水库出水管道处水流的动 能来发电．出水管道的直径与管道到水库水面高 度h相比为很小，管道截面积为S．试求出水处水 流的流速和流量。
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解：把水看作理想流体．在水库中出水管道很小，
水流作定常流动．如图所示，在出水管中取一条流 线ab.在水面和管口这两点处的流速分别为va和vb.在 大水库小管道的情况下，水面的流速va远比管口的 的小，可以忽略不计， 即va=0.取管口处高度为
二、定常流动
定常流动：流体流动时，其中任一质元流过不同地 点的流速不尽相同，而且流经同一地点，其流速也 会随时间而变．但在某些常见的情况下，尽管流体 内各处的流速不同，而各处的流速却不随时间而变 化，这种流动称为定常流动．
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流线：为了描述流体的运动，可在流体中作一系列曲 线，使曲线上任一点的切线方向都与该点处流体质元 的速度方向一致．这种曲线称为流线[图 (a)]
0，则水面高度为h.在a、
b两点的压强都是大气 压pa=pb=p0．由伯努利 方程，得
1 2
vb2
p0
gh
p0
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式中ρ是水的密度，由此求出
vb 2gh
即管口流速和物体从高度h处自由落下的速度相等． 流量是单位时间内从管口流出的流体体积，常用Q 表示，根据这个定义，可得
Q Svb S 2gh
因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是两段极短的位移， 在每段极短的位移中，压强p、截面积S和流速v都可看 作不变。设p1、S1、v1和p2、S2、v2分别是a1b1与a2b2处 流体的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是 p1S1，位移是v1 t，所作的正功是p1S1v1 t ，而前面 流体作用力作的负功是-p2S2v2 t ，由此，外力的总 功是：
流管：在流体中任何一束流线都可形成流管[图 (b)]．
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三、伯努利方程
伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了
理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压 强p、流速v和高度h三个量之间的关系.
下面用功能原理导出伯努利方程。
如图所示，我们研 究管道中一段流体的运 动。设在某一时刻，这 段流体在a1a2位置，经 过极短时间t后，这段 流体达到b1b2位置
a1 b1
p2 S2
v
1
h1
a2 b2
v h2p2 S2 2
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现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。 假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁 对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体 对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正 功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
由此解得
S1v1 S2v2
v1
S2 S1
v2
S2
2gh S12 S22
于是求出流量为
Q S1v1 S1S2
2gh S12 S22
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在一些实际问题中，当可压缩性和黏滞性只是 影响运动的次要因素时，可把流体看作绝对不可压 缩，且完全没有黏性的理想流体．
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当理想流体流动时，由于忽略了黏性力，所以 流体各部分之间也不存在这种切向力，流动流体仍 然具有静止流体内的压强的特点，即压力总是垂直 于作用面的．
流体动压强：流体在流动时内部的压强称为流体动 压强．