第六章集合代数
数集 表示自然数集, 表示整数集, 表示有理数集, 用N表示自然数集, 用Z 表示整数集, 用Q表示有理数集, 用R表 示实数集, 示实数集, 用C表示复数集
®
§6.1 集合的基本概念
集合间的包含与相等关系
定义6.1 设A, B为两个集合 如果 的每一个元素都属于 则称 为两个集合, 的每一个元素都属于A 定义 为两个集合 如果B的每一个元素都属于 则称B 是A的子集 记为B ⊆A 或 A ⊇ B, 也称 A包含 。 的子集, 记为 包含B。 的子集 包含 如果B不被 包含, 则记作 B ⊈ A 如果 不被A包含 不被 包含 包含的符号化表示为 B ⊆A ⇔ (∀x) ( x∈B ∀ ∈ x ∈A ) 对任何集合A都有 A ⊆ A 对任何集合A都有 例如: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C 例如 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系,对某些集合可以同时成 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系 对某些集合可以同时成 立这两种关系 例如: 例如 A={ a, {a} } ,则 {a} ∈A 并且 {a} ⊆ A 则
®
§6.1 集合的基本概念
为两个集合, 则称A与 相等 相等, 定义 6.2 设A, B为两个集合 若B ⊆ A且 A⊆ B, 则称 与B相等 为两个集合 且 ⊆ 记作 A = B
相等的符号化表示为 A ⊆B ⇔ (B ⊆ A) ∧ ( A ⊆ B )
为集合,如果 则称B为 的真子集或 的真子集或A 定义 6.3 设A,B为集合 如果 B ⊆ A 且B≠A 则称 为A的真子集或 为集合 真包含B, 记为B 真包含 记为 ⊂ A
定义6.11 A为非空集合 的所有元素的公共元素构成的集合称为A 为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为 定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为A 的广义交
A的广义交记为∩A 的广义交记为∩ 的广义交记为 A的广义交符号化表示为 的广义交符号化表示为 ∩A={x| ∀z (x∈A ∈ x ∈z)}
为集合,把 的全体子集构成的集合叫做 的全体子集构成的集合叫做A的幂集 定义 6.5 设A为集合 把A的全体子集构成的集合叫做 的幂集 为集合 记作P(A)或2A 或 记作
例如: 例如 设A={a, b, c}, 则P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A} ∅
§6.2 集合的运算
定义6.10 设A为集合 的元素的元素构成的集合称为 的广义并 为集合,A的元素的元素构成的集合称为 定义 为集合 的元素的元素构成的集合称为A的广义并
A的广义并记为∪A 的广义并记为∪ 的广义并记为 A的广义并符号化表示为 的广义并符号化表示为 ∪ ∅= ∅ 例如: 例如 A={ {a,b,c},{a,c,d},{a,e,f} } ,则 ∪A={a,b,c,d,e,f } 则 ∪A={x| ∃z ( z∈A ∧ x∈z ) } ∈ ∈
§6.1 集合的基本概念
集合: 把一些事物汇集到一起组成的整体称为集合, 集合 把一些事物汇集到一起组成的整体称为集合 组成集合的那些 事物称为该集合的元素或成员. 事物称为该集合的元素或成员 集合一般有两种表示法: 集合一般有两种表示法 列举法: 列举法 把属于集合的元素以某种方式列举出来, 写在花括号{ 里 把属于集合的元素以某种方式列举出来 写在花括号 }里 例: 由四个数 -1, 2, 3, -4 构成的集合表示为 构成的集合表示为{-1, 2, 3,-4} 描述法 描述出来, 把属于某个集合的元素所具有的特定性质P 描述出来 写在花 括号{ 里记为 括号 }里记为 { x | P(x) } 例: { x | 3x+1< 2 } 集合由其元素完全确定, 集合中的元素是不考虑次序的, 集合由其元素完全确定 集合中的元素是不考虑次序的 而且也应是 互不相同的。 互不相同的。
在集合论中没有意义,不是集合 ∩ ∅在集合论中没有意义 不是集合 例如: 例如 A={ {a,b,c},{a,c,d},{a,e,f} } ,则 ∩ A={a} 则
®
§6.2 集合的运算
集合运算的优先次序
广义并,广义交 幂集 广义并 广义交,幂集 绝对补运算为一类运算 广义交 幂集,绝对补运算为一类运算 相对补,对称差运算为二类运算 并,交,相对补 对称差运算为二类运算 交 相对补 一类运算优先于二类运算 一类运算之间由右向左顺序进行 二类运算之间由括号决定先后顺序
在一个具体的问题中， 定义 6.6 在一个具体的问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子 则称这个集合为全集,记作 集,则称这个集合为全集 记作 。全集是相对的。 则称这个集合为全集 记作E。全集是相对的。
®
§6.2 集合的运算
定义6.7 设A,B为集合 与B的并 交,差(相对补 运算定义如下 为集合,A与 的并 的并,交 差 相对补 运算定义如下: 相对补)运算定义如下 定义 为集合 的并集记为A∪ 并: A与B的并集记为 ∪B , A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } 与 的并集记为 ∪ ＝ ∈ ∨ ∈ 的交集, 交: A与B的交集 记为 ∩B ,A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } 与 的交集 记为A∩ ∩ ＝ ∈ ∧ ∈ 的差集, 的差称为B 关于A 的相对补. 差: A与B的差集 记为 与 的差集 记为A–B , A 与 B 的差称为 关于 的相对补 A–B＝{ x|x∈A∧x ∉ B } ＝ ∈ ∧ 定义6.8 定义 为集合, 设A, B为集合 A与B 的对称差集 A⊕B,定义为 为集合 与 ⊕ 定义为
§6.3 有穷集的计数
使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。
首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。 一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。 一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。 如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的， 如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素 数填入表示该集合的区域内。 数填入表示该集合的区域内。 通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白 通常从 个集合的交集填起， 个集合的交集填起 区域。 区域。 如果交集的数字是未知的，可以设为 。 如果交集的数字是未知的，可以设为x。 根据题目中的条件，列出一次方程或方程组， 根据题目中的条件，列出一次方程或方程组， 就可以求得所需要的结果。 就可以求得所需要的结果。
第六章
集合代数
漳州师范学院计算机科学与工程系
第六章
集合代数
集合的基本概念 集合的运算 有穷集的计数 集合恒等式 集合的概念与表示、集合的运算、 知 识 点：集合的概念与表示、集合的运算、包含排斥原理 、集合恒 等式 教学要求： 教学要求：深刻理解和掌握有关集合的基本概念和基本运算 教学重点： 教学重点：集合的基本概念和基本运算 学时: 学时 2
五种运算的文氏图
E A B A B
E A
E B
并 E A 补
交
差 E A B 对称差
§6.2 集合的运算
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： 两个集合的并和交运算可以推广成 个集合的并和交： 个集合的并和交 A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} ∪ ∈ ∈ ∨ ∈ A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} ∩ ∈ ∈ ∧ ∈
上述的并和交可以推广成n个集合的并和交： 上述的并和交可以推广成 个集合的并和交： 个集合的并和交 ＝A1∪A2∪…∪An ＝A1∩A2∩…∩An ∪ ∩
并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： ＝A1∪A2∪… ＝A1∩A2∩…
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§6.3 有穷集的计数
名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。 例6.4 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下： 名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查 其统计结果如下： 会英、 德和法语的人分别为13， ， 和 人 会英、日、德和法语的人分别为 ，5，10和9人，其中同时会英语和日语的 有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是 人。已知会日语的人既不懂法 人 会英、德和法语中任两种语言的都是4人 语也不懂德语，分别求只会一种语言(英 语也不懂德语，分别求只会一种语言 英、德、法、日)的人数和会三种语言的 的人数和会三种语言的 人数。 人数。 分别表示会英、 日语的人的集合。 解: 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出 ， ， ， 分别表示会英 文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人 只会英、 文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语 所示 言的分别为y 填入图中相应的区域， 言的分别为 1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应的区域，然后依次 和 填入其它区域的人数。 填入其它区域的人数。 根据已知条件列出方程组如下： 根据已知条件列出方程组如下：
§6.4 集合恒等式
基本集合恒等式 , A,B,C代表任意集合 代表任意集合
解得x＝1，y1＝4，y2＝2，y3＝3 解得 ＝ ， ， ，
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§6.3 有穷集的计数
定理6.2 (包含排斥原理 设S为有穷集 1,P2,…,Pn是n个性质 中的 包含排斥原理) 为有穷集,P 个性质.A中的 定理 包含排斥原理 为有穷集 个性质 任何元素x或者具有性质 或者不具有性质P 两种情况必居其一 两种情况必居其一.令 任何元素 或者具有性质Pi或者不具有性质 i,两种情况必居其一 令Ai 或者具有性质 表示A中具有性质 的元素构成的子集,则 中不具有性质 中不具有性质P 表示 中具有性质Pi的元素构成的子集 则A中不具有性质 1,P2,…,Pn 中具有性质 的元素数为
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§6.1 集合的基本概念
至少有一个元素的集合称为非空集. 至少有一个元素的集合称为非空集 由无限多个元素构成的集合称为无限集. 由无限多个元素构成的集合称为无限集 由有限个元素构成的集合称为有限集. 由有限个元素构成的集合称为有限集
集合代数
1/11/2020 1:46 AM
Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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集合的表示方法
集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},
D={桌子，灯泡，自然数，老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如， P(x) 表示x是正奇数，则B是所有正奇数的集合.
{1,2,4}={1,4,2} 集合中的元素不一定同类。
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Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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幂集
定义 (A) = { x | xA }，或记为(A),2A 实例 () = {}， ({}) = {,{}} ({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数：如果 |A| = n，则 | (A)| = 2n
xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
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Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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隶属关系的层次结构
例1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
注意：集合的元素也可以是集合.
证明 设A={a1,a2,…,an},把a1a2…an与一个n位二进制数b对应, ai对应于b的第i位。定义二进制数b所对应A的子集B ：与b 中的1对应的A中元素组成的集合。这样B与该二进制一一 对应，有多少个不同n位二进制就有多少个不同的子集。
1/11/2020 1:46 AM
高等代数第六章
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
初中知识代数——集合
代数部分集合1.集合把某种共同性质的一些事物看作一个整体，就是一个集合。
集合里的各个事物叫做这个集合的元素。
集合一般用大写字母A，B，C......表示，集合的元数一般用小写字母a，b，c......表示。
自然数记作N；整数集记作Z;有理数集记作Q；实数集记作R。
不含任何元素的合集叫作空集。
空集通常记作∅。
如果a是合集A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果b不是合集A的元素，就说b不属于集合A，记作b∉A。
关于合集的概念，要注意以下几点：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素是确定的。
这就是说，任何一个对象或者是这个合集的元素，或者不是它的元素，二者必具其一。
②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。
这就是说集合中任何两个元素都是不同对象。
因此，集合中的元素没有重复现象。
③无序性：集合只与组成它的元素有关，而与它的元素顺序无关。
2.集合的表示法集合表示方法，常用的有以下三种：①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在一个大括号内。
例如：小于10的正偶数组成的集合可表示为｛2468｝。
②描述法：把合集中元素的公共属性描述出来，写在一个大括号内。
例如：所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；不等式x-5＞2的解的集合可表示为｛x | x-5＞2｝.③文氏图法：把集合中的全部元素用一条封闭的曲线圈起来（其实就是写在圆圈内），或用曲线内的平面表示集合。
如下图：二、集合之间的关系1.子集如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作：A⊆B，或B⊇A它们分别读作：“A包含于B““B包含A“。
如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A就叫做集合B的真子集，表示为：A⊂B、B⊃ A空集是任何集合的子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊇A，我们就说这两个集合相等，记作：A＝B2.交集对于给定的集合A，B，有同时属于A与B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作：A∩B，读作：“A交B”。
关系代数 集合代数
关系代数集合代数嘿，朋友！咱们今天来聊聊关系代数和集合代数这俩神秘又有趣的家伙。
你知道吗？关系代数就像是个神奇的魔法盒子，里面装满了各种处理数据关系的奇妙工具。
它能帮我们从错综复杂的数据网中找出我们想要的宝贝。
比如说，选择运算就像是一个超级挑剔的筛选器，只把符合特定条件的数据挑出来。
这不就像咱们在一堆水果里，只挑出又大又甜的苹果一样吗？而投影运算呢，则像是个会变魔术的手，把数据中的某些列给单独拎出来展示，就像从一大束花里只拿出自己喜欢的那几种颜色的花朵。
再来说说集合代数，它就像是个数据的大派对！交运算就好比是两个朋友圈的共同好友，把大家都认识的那部分给找出来。
并运算呢，就像是把两个朋友圈的所有人都凑到一起，不管之前认不认识，都放在一块儿。
差运算呢，就像是从一个朋友圈里去掉另一个朋友圈里的人，只留下独特的那些。
想象一下，如果没有关系代数和集合代数，我们在数据的海洋里是不是就像没头的苍蝇，到处乱撞？在实际应用中，这两者可帮了大忙啦！比如在数据库管理中，要找出同时满足几个条件的数据，这时候关系代数的选择运算就派上用场啦。
而在整合不同来源的数据时，集合代数的并运算能让我们快速把数据汇总起来。
就拿电商平台来说吧，通过关系代数和集合代数的运算，可以轻松找出哪些用户既买了衣服又买了鞋子，哪些商品是最受欢迎的，哪些商品很少有人问津。
这不就像给商家开了个天眼，能清楚看到用户的喜好和市场的走向吗？你看，关系代数和集合代数虽然听起来有点复杂，但其实就像我们日常生活中的各种分类整理一样。
只要我们掌握了它们的窍门，就能在数据的世界里游刃有余，轻松搞定各种难题。
所以啊，别再对关系代数和集合代数感到头疼啦，用心去理解它们，你会发现它们就是我们在数据世界里的得力助手，能帮我们创造出更多的可能！。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学第六章集合代数
集合算律
6.3 集合恒等式
1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
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2．涉及两个不同运算的算集律合：算 律 分配律、吸收律
与
分配
A(BC)=
(AB)(AC)
A(BC)=
(AB)(AC)
吸收
A(AB)=A
A(AB)=A
与
A(BC) =(AB)(AC)
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3．涉及补运算的算律： 集合算律 DM律，双重否定律
D.M律
双重否定
A(BC)=(AB)(A C)
A(BC)=(AB)(A C)
(BC)=BC (BC)=BC
A=A
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4．涉及全集和空集的算律集：合 算 律 补元律、零律、同一律、否定律
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.
28
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：
把 #2022 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可
能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法
若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否 在B中出现.
（交换律）
八． = A E
（零律）
九． = A
（同一律）
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例6 证明AB AB=B AB=A AB=
#2022
①
②
③
④
证明思路：
确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④
集合代数
集合代数对事物进行分类是科学研究的一项基本工作。
在数学上通常把分类的结果称为集合。
因此，“集合”是数学中最常用的概念。
事实上，现代数学中所有对象都可以视为集合，所有数学概念都可以用集合进行定义。
数理逻辑学家们正努力用集合及其若干公理重新构造整个数学体系。
我们学习集合论的意义有两点：（1）集合论是数学的基础，学习集合论有助于理解现代数学的公理化方法。
（2）集合论为应用领域提供建模和分析工具。
本讲学习集合论的基础知识，包括如下4个部分：1.集合代数：若干基本概念和集合运算及其运算定律。
2.二元关系：用集合定义二元关系，二元关系的分类和性质。
3.函数：用二元关系定义函数，函数的分类和性质。
4.ZFC公理系统：学习由Zermelo和Frankel等人所设计的10组集合论公理，并用以证明某些对象的分类是集合。
1.集合的概念和表达式我们所能感知的客观事物和思想中产生的观念，是我们的认知对象（object，entity）。
我们根据对象的各种共同性质把对象划分为不同的类（class）。
在数学中，我们通常把一个类称为集合（set），其中的对象称为该集合的成员（member）或者元素（element）。
通常用大写字母表示某集合，小写字母表示该集合中的元表示x是A的成员，读作“x属于A”。
这个素。
对于任何集合A，我们用x A成员隶属关系是集合论中的一个基本关系，可以定义其它的关系，包括两个集合相等、包含，等等。
在现代数学中，“集合”被选作为一个基础性概念，用以定义其它数学概念。
作为整个数学体系的第一概念，它自身是没有定义的，也是不可能被定义的。
尽管集合概念没有通用的定义，每个集合实例都是有严格定义的。
我们有两种定义集合实例的方法，即枚举法和概括法。
ZFC公理系统严格地描述了这两种定义集合的方法。
这里我们先对两种定义方法做直观的描述。
枚举法：也称列举法，明确地将一个集合的所有元素（的名字）排列在花括号内，元素之间用逗号分隔。
集合的代数闭包与代数方程
集合的代数闭包与代数方程代数闭包是代数数论中的一个重要概念。
集合的代数闭包是指在某个域中，所有代数方程都有解的最小域。
定义设K是一个域，S是K的一个子集。
如果在K中，对于任何系数在S中的多项式f(x)，如果f(x)=0有解，那么称S是代数闭合的，或者说S是K的代数闭包。
性质集合的代数闭包具有以下性质：•每个域都有一个代数闭包。
•代数闭包是唯一的。
•代数闭包是一个代数扩张。
•代数闭包是一个无限域。
•代数闭包是代数封锁的。
构造集合的代数闭包可以通过以下方法构造：•代数扩张：给定一个域K ，可以构造一个代数扩张K(a)，其中a 是K 中的一个代数元素。
K(a)是K 的一个代数闭包。
•超越扩张：给定一个域K ，可以构造一个超越扩张K(x)，其中x 是K 中的一个超越元素。
K(x)不是K 的一个代数闭包，但可以将K(x)代数闭合得到K(x,a)，其中a是K(x)中的一个代数元素。
K(x,a)是K的一个代数闭包。
应用集合的代数闭包在代数数论和代数几何中有广泛的应用。
在代数数论中，代数闭包可以用来研究代数数的性质。
在代数几何中，代数闭包可以用来研究代数曲线的性质。
代数方程代数方程是指形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个多项式。
如果f(x)的系数在一个域K中，那么这个方程称为K上的代数方程。
代数方程的解代数方程的解是指满足方程f(x)=0的元素x。
代数方程的解可以是代数数，也可以是超越数。
代数方程的根代数方程的根是指方程的解中，位于该方程系数域的元素。
代数方程的根是代数数。
代数方程的根的存在性代数方程的根的存在性是代数数论中的一个重要问题。
代数方程的根的存在性可以通过以下方法证明：•代数闭包：如果一个域K是代数闭合的，那么对于任何K上的代数方程，都存在一个解在K中。
•代数扩张：如果一个域K不是代数闭合的，那么可以构造一个代数扩张K(a)，其中a是K中的一个代数元素。
K(a)是K的一个代数闭包，因此对于任何K上的代数方程，都存在一个解在K(a)中。
6-4 布尔代数
第六章 格和布尔代数
a≼a1∨a2∨…∨ak 于是有 a≼(a1∨a2∨…∨ak)∧(a1∨a2∨…∨ak)′=0 即 a≼0 这与a是原子相矛盾。所以b∧(a1∨a2∨…∨ak)′＝0，根 据引理6-4.2有 b≼a1∨a2∨…∨ak 由≼的反对称性知 b＝a1∨a2∨…∨ak
第六章 格和布尔代数
引理6-4.3
设X,∨,∧,′是有限布尔代数，如果
bX且b≠0，a1,a2,…,ak是X中满足aj≼b(j=1,…,k)的 所有原子。则b=a1∨a2∨…∨ak是将b表示为原子的 唯一形式。 说明：这里唯一性的含义分为两个方面，式中任一原子
aj 都有aj≼b；所有aj≼b的原子都在式中，所以可用反
设a≼b，由于b′≼b′，根据定理有a∧b′≼b∧b′，而 b∧b′=0，所以a∧b′≼0。又因为0≼a且0≼b′，故有 0≼a∧b′。由≼的反对称性知a∧b′=0。
第六章 格和布尔代数
引理6-4.2设X,∨,∧,′是有限布尔代数，0是全下界， 如果bX且b≠0，a1,a2,…,ak 是X中满足aj≼b(j=1,…,k)的所 有原子，则b=a1∨a2∨…∨ak 证明：因为aj≼b(j=1,…,k)，所以a1∨a2∨…∨ak≼b 再证b≼a1∨a2∨…∨ak，根据引理6-4.1，只需证明 b∧(a1∨a2∨…∨ak)′=0。 用反证法。设b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≠0 由定理6-4.2，至少存在一个原子a，使得 a≼b∧(a1∨a2∨…∨ak)′ 又因为b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≼b和 b∧(a1∨a2∨…∨ak)′≼(a1∨a2∨…∨ak)′ 由≼的传递性可得a≼b和a≼(a1∨a2∨…∨ak)′ 因为a是原子且满足a≼b，所以a必是原子a1,a2,…, ak中 的一个，因此