职高数学常用公式

一、集合与解不等式

集合（能够确定的对象的全体）

、含n 个元素的集合的所有子集有n

2个，真子集有n

2-1个，非空真子集有n

2-2个。

2、正整数集N + ,自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。

3、元素与集合关系的符号是，属于∈或不属于?

4、集合与集合关系的符号是：?（含于）≠?（真含于） 空集?

解不等式

﹡1、一元二次不等式：

),,0(21两根是对应一元二次方程的x x a >

﹡2、分式不等式： ⑴0

>++d

cx b ax ?0))((>++d cx b ax

⑵

0≥++d cx b ax ???

?≠+≥++0

0))((d cx d cx b ax ⑶

0<++d cx b

ax ?0))((<++d cx b ax

⑷

0≤++d

cx b ax ???

?≠+≤++0

0))((d cx d cx b ax ﹡3、绝对值不等式：( c > 0 ) ⑴c

b ax <+||?

c b ax c <+<- ⑵c

b ax >+||?

c b ax c b ax >+-<+或

⑶c b ax ≤+||?c b ax c ≤+≤- ⑷c b ax ≥+||?c b ax c b ax ≥+-≤+或

二、函数部分

1、

几种常见函数的定义域

⑴整式形式：??

?++=+=c bx ax x f b ax x f 2

)()(一元二次函数：

一元一次函数：

定义域为R 。 ﹡⑵分式形式：)

()()(x g x f x F =要求分母0)(≠x g 不为零 ﹡⑶二次根式形式：)()(x f x F =

要求被开方数0)(≥x f

⑷指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，定义域为R

﹡⑸对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且，定义域为（0，+∞） 对数形式的函数：)(log x f y a =，要求0)(>x f ⑹三角函数：

???

????

∈+≠===}

,2||{tan cos sin Z k k x x x y R x y R x y ππ的定义域为正切函数：的定义域为余弦函数：的定义域为正弦函数： ⑺几种形式综合在一起的，求定义域即在求满足条件的各式解集的交

集。

2、常见函数求值域

⑴一次函数b ax x f +=)(：值域为R ﹡⑵一元二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ：

???

????-≤<-≥>}

44|{0}44|{02

2a b ac y y a a b ac y y a 时，值域为当时，值域为当 ﹡

⑶形如函数)

0()(≠+++=

d cx d

cx b ax x f 的值域：}|{c a y y ≠，（其中a

为分子中x 的系数，b 为分母中x 的系数）； ⑷指数函数：)10(≠>=a a a y x 且值域为（0，+∞） ⑸对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且，值域为R ⑹三角函数：

??

?

??=-=*-=*R x y x y x y 的值域为正切函数：，的值域为

余弦函数：，的值域为

正弦函数：tan ]11[cos ]11[sin ﹡函数)sin(φω+=x A y 的值域为[-A,A] 3、函数的性质 ﹡ ⑴奇偶性

①??

?=--=-轴对称

图像关于偶函数图像关于原点对称奇函数：y x f x f x f x f ),()(:),()(

②判断或证明奇偶函数的步骤：

第一步：求函数的定义域，判断是否关于原点对称

第二步：如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；如果对称，则求)(x f -

第三步：若)()(x f x f -=-，则函数为奇函数

若)()(x f x f =-，则函数为偶函数

﹡⑵单调性

①判断或证明函数为单调增、减函数的步骤：

第一步：在给定区间（如果没给定，一定要先求函数的定义域

）内任取1x 、2x 且1x <2x 。

第二步：做差)()(21x f x f -变形整理；

第三步：??

?<->-，为增函数

，为减函数

0)()(0)()(2121x f x f x f x f ②几种常见函数形式的单调区间： 一次函数b ax x f +=)(：

???∞+∞<∞+∞>）上单调递减，

时，在（当）上单调递增，时，在（当-0a -0a

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f ：

??

???

+∞∞<+∞∞>上单调递减。

在上单调递增时，在（当上单调递增；在（上单调递减，时，在（当),2a b -(,)2a b -,-0a ),2a b -,)2a b --0a 指数函数

)10(≠>=a a a y x 且???∞+∞<<+∞-∞>）上单调递减，

，在（上单调递增

，在-10),(1a a

对数函数

)10(log ≠>=a a x y a 且??

?∞+<<+∞>）上单调递减，

，在（上单调递增

，在010),0(1a a

⑶周期性（主要针对三角函数）

﹡①??

???===πππ的最小正周期为正切函数：的最小正周期为余弦函数：的最小正周期为正弦函数：x y x y x y tan 2cos 2sin

﹡②函数)sin(φω+=x A y 的最小正周期ω

π

2=T

﹡三、指数部分与对数部分常用公式

1、指数部分：

⑴有理指数幂的运算法则：

①s r s r

a a a

+=?②s

r s r a a ?=)( ③r r r b a b a ?=?)(

⑵分数指数幂与根式形式的互化： ① n

m

n

m a a = ② n

m

n

m a

a

1

=

-

)1*,(>∈n N n m 且、

⑶一些其它结论：

①10

=a ② a a n n =)( ③ ???=为偶数，当为奇数当n a n a a n n ||,

2、对数部分：

⑴1log =a a ；⑵01log =a ；⑶对数恒等式：N a

N

a =log 。

⑷N M N M a a a log log )(log +=? ⑸N M N

M

a a a log log )(

log -=； ⑹ M p M a p

a log log =

⑺换底公式：a

b

a b b c c a lg lg log log log == ﹡四、三角部分公式

1、弧度与角度

⑴换算公式：1800=π，10=

180

π

rad

1rad=

π

180≈57018'

=57.300

⑵弧长、圆心角与半径之间关系式：R

l

=

||α（在这里 α为弧度，l 为弧长，R 为半径）

2、角α终边经过点P ),(y x ，22y x r +=，则 r y =αsin ，r x =αcos ，x

y =αtan

3、三角函数在各象限的正负情况：

4、同角函数基本关系式：

5、简化公式：

①??

?

??-=-=--=-α

αααα

αtan )tan(cos )cos(sin )sin( ② ?????-=-=--=-ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(

③??

?

??-=--=-=-α

απααπα

απtan )tan(cos )cos(sin )sin( ④ ?????=+-=+-=+ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(

⑤?????=+=+=+ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k （k Z ∈）⑥????????

?

=-=-=-ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( 6、两角和与差的正弦、余弦、正切： ⑴两角和与差的正弦：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

⑵两角和与差的余弦：

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

7、二倍角公式：

⑴二倍角的正弦：αααcos sin 22sin =

⑵二倍角的余弦：ααα22sin cos 2cos -=

= α2sin 21-= 1cos 22-α

8、解斜三角形：

⑴余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；bc

a

c b A 2cos 2

22-+=

B ac c a b cos 22

2

2

-+=；ac

b c a B 2cos 2

22-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=；ac

c b a C 2cos 2

22-+=

⑵正弦定理：C

c

B b A a sin sin sin == 五、几何部分

1、

向量

⑴几何形式的运算：

①??

?=+=+C A D A B A C

A C

B B A

平行四边形法则：

三角形法则：加法： ②B C C A B A

=-减法：三角形法则

③??

????=<=?==?=>=||||||,000,0||||||,0a a a a a a a a a a a

λλλλλλλλλλλ反向，与当当同向，

与当数乘向量： ④向量的数量积：θcos ||||??=?b a b a

（其中θ为两个向量的夹角

）

﹡ ⑵代数方式的运算：设),(21a a a =

，)(2,1b b b = ，

①加法：),(2211b a b a b a ++=+

②减法：),(2211b a b a b a --=-

③数乘向量：),(21a a a λλλ=

④向量的数量积：2211b a b a b a +=?

（结果为实数）

⑶两个向量平行与垂直的判定：设),(21a a a =

，)(2,1b b b = ，

①平行的判定：a ∥b ?a b

λ=?1221b a b a =

②垂直的判定：a ⊥b ?0=?b a

?02211=+b a b a

⑷其它公式：设),(21a a a =

，)(2,1b b b =

①向量的长度：22

21||a a a +=

﹡②设),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x B A --=

；

|212212)()(|y y x x B A -+-=

﹡③设

)

,(),,(2211y x B y x A ，则线段AB 的中点M 的坐标为M

)2

,2(

2

121y y x x ++ ﹡④两个向量的夹角为θ

，则2

2

212

2

2

12211|

|||cos b b a a b a b a b a b

a +++=

?=

θ

⑤平移公式：图形F 上点P （x,y ）对应平移后的图形

'F 上的点

),('''y x P 平移向量),('

k h P P = ，则???+=+=k

y y h x x ''

2、 直线部分

⑴斜率公式：①）为直线的倾斜角，090(tan ≠=αααk

②)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

⑵直线方程的形式：

① 点斜式：

)(00x x k y y -=-

（k 为斜率，),(00y x 为直线过的点）；

② 斜截式：b kx y +=（k 为斜率，b 为直线在y 轴上的截距）；

③ 一般式：)0(0≠=++A C By Ax （斜率B C

b B A k -=-=,） ⑶两条直线平行或垂直的条件：

① 两条直线斜率为21,k k ，且不重合则1l ∥2l ?21k k = ② 两条直线的斜率为21,k k ，则1l ⊥2l ?121-=?k k ⑷两条直线的夹角公式（设夹角为θ）： ①21k k =时，1l ∥2l ，夹角θ=00； ②121-=?k k 时，1l ⊥2l ，则夹角θ=900； ③|1|

tan 2

12

1k k k k +-=θ（121-≠?k k ）

⑷点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式： ||

2

200B A C

By Ax d +++=

⑸两平行线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 间距离 ||

2

22

1B

A C C d ++= 3、圆部分

⑴圆的方程：

① 标准方程：222)()(r b y a x =-+-(其中圆心为),(b a ，半径为r ) ② 一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中圆心为)2

,2(E

D --

，半径为2

422F

E D r -+=

）

⑵直线与圆的位置关系相交，相切，相离。判定方法有两种：

① 代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消元后得一二元一次

方程。当??

?

???时，直线与圆相离时，直线与圆相切时，直线与圆相交000

② 几何法：先求圆心到直线的距离d ，由d 与半径r 的大小情况来判

定??

?

??<=>，直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离r d r d r d

六、数列

1、 已知前n 项和公式n S ：???∈≥-==-),2()

1(11Z n n s s n s a n n n

2、 等差数列：

⑴通项公式d n a a n )1(1-+=（1a 是首项；d 为公差 n 为项数；n a 为通项即第n 项）

⑵等差公式：a ，A ，b 三数成等差数列，A 为a 与b 的等差中项，则

)2(2

b a A b

a A +=+=

或 ⑶前n 项和公式：

① d n n n a S n 2

)

1(1-+

=（已知n d a ,,1时应用此公式） ②2

)

(1n n a a n S +=（已知n a a n ,,1时应用此公式）

③特殊地：当数列为常数列,,,a a a ----时，na S n = 3、等比数列：

⑴通项公式：1

1-=n n q a a

⑵等比中项公式：若a ，A ，b 三数成等比数列，则A 为a 与b

的等比中项，则)(2

b a A b a A ?±=?=或

⑶前n 项和公式：

①)1(1)1(1≠--=q q

q a S n

n （已知n q a ,,1时应用） ②)1(1)1≠--=q q

q a a S n n （已知n a a n ,,1时应用）

③当1=q 时，数列为常数列，则1na S n =

立体几何知识点总结

一.空间多边形

1.不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.

2.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.

3.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.

4.平面通常用一个平行四边形来表示.

5.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M 、N 、P 来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.

6.在立体几何中，大写字母A ，B ，C ，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

a) A ∈l —点A 在直线l 上；A ?α—点A 不在平面α内； b) l ?α—直线l 在平面α内； c) a ?α—直线a 不在平面α内； d) l ∩m=A —直线l 与直线m 相交于A 点； e) α∩l=A —平面α与直线l 交于A 点； f) α∩β=l —平面α与平面β相交于直线l. 二.平面的基本性质

公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在

这个平面内.

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.