职高高考数学公式(最全)

职高高考数学公式

令狐采学

预备知识：（必会）

1. 相反数、绝对值、分数的运算

2.

因式分解

（1） ?十字相乘法

如：)2)(13(2532-+=--x x x x

（2）

两根法 如：)2

5

1)(251(12--+-

=--x x x x 3. ?配方法 如：8

25)41(23222-

+=-+x x x 4. 分数（分式）的运算

5.

一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法

（1） 代入法 （2）

消元法

6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-

7.平方差公式：))((2

2b a b a b a -+=-

8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+

9.?注：所有的公式中凡含有“=”的，注意把公式反过来运用。

第一章 集合

1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2.

集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

注：?描述法 },|

取值范围

元素性质元素

｛?∈?=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y

3.

常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集）

4.

元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1） 元素与集合是“∈”与“?”的关系。

（2）

集合与集合是“?”“”“=”“?/”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑φ是否满足题意）

（2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。

5.

集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）

（1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ：A 与B 的公共元素（相同元素）组成的集合

（2）}|{B x A x x B A ∈∈=或 ：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。 注：B C A C B A C U U U =)(B C A C B A C U U U =)(

6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7.

命题：能判断真假的语句。

8.

逻辑联结词：

且（∧）、或（∨）非（?）如果……那么……（?） 量词：存在（?） 任意（?） 真值表：

q p ∧：其中一个为假则为假，全部为真才为真； q p ∨：其中一个为真则为真，全部为假才为假； p ?：与p 的真假相反。

（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。）

9.

命题的非

（1）是→不是

都是→不都是（至少有一个不是）

（2）?……，使得p 成立→对于?……，都有p ?成立。 对于?……，都有p 成立→?……，使得p ?成立 （3）q p q p ?∨?=∧?)(q p q p ?∧?=∨?)(

10. 充分必要条件

?p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论 p q ==?<=≠=充分不必要

→的充分不必要条件是q p （充分条件） p q =≠?<===不充分

必要

→的必要不充分条件是q p （必要条件）

p q ==??==充分必要

→的充分必要条件是q p (充要条件)

注：另外一种情况，p 的条件是q 。（q 是条件，p 是结论）

第二章 不等式

1.

不等式的基本性质：（略）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：

2008

200920092010--与（倒数法）等。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.

重要的不等式：（?均值定理）

（1）ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 （2）),(2

+∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。

（3）),,(3+∈≥++R c b a abc c b a ，当且仅当c b a ==时，等号成立。

注：

2

b

a +（算术平均数）≥a

b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4.

一元二次不等式的解法

（1） 保证二次项系数为正

（2）

分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）

定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；

小于两根之间

注：若00

5.

绝对值不等式的解法

若0>a ，则??

?-<>?><<-?

x a x a x a

x a a x 或||||

6.

分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

7.

多因式不等式的解法：穿根法。

标根后，从右上角开始划线，“奇次一穿而过，偶次穿而不过”

第三章 函数

1.

映射

一般地，设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →:。

注：理解原象与象及其应用。

（1）A 中每一个元素必有惟一的象；

（2）对于A 中的不同的元素，在B 中可以有相同的象； （3）允许B 中元素没有原象。

2.

函数

（1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。 （2）

函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

3.

函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（1） ?定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围

主要依据：

① 分母不能为0

② 偶次根式的被开方式≥0 ③

特殊函数定义域

（2） ?值域的求法：y 的取值范围 ① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y +=的值域为R

②

二次函数：c bx ax y ++=2的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像

③

反比例函数：x

y 1

=的值域为}0|{≠y y

④ d cx b ax y ++=的值域为}|{c a

y y ≠

⑤ c

bx ax n

mx y +++=2

的值域求法：判别式法 ⑥

另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3）

解析式求法：

在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

4.

函数图像的变换

（1） 平移 （2） 翻折

5.

函数的奇偶性

（1） 定义域关于原点对称 （2）

若)()(x f x f -=-→奇若)()(x f x f =

-→偶

注：①若奇函数在0=x 处有意义，则0)0(=f ②常值函数a x f =)(（0≠a ）为偶函数 ③0)(=x f 既是奇函数又是偶函数

6. ?函数的单调性

对于],[21b a x x ∈?、且21x x <，若

增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。

减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。 复合函数的单调性：))(()(x g f x h =

)(x f 与)(x g 同增或同减时复合函数)(x h 为增函数；)(x f 与)(x g 相异时

（一增一减）复合函数)(x h 为减函数。

注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。

7.

二次函数

（1）二次函数的三种解析式 ①一般式：c bx ax x f ++=2)(（0≠a ）

②?顶点式：h k x a x f +-=2)()( （0≠a ），其中),(h k 为顶点

③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ），其中21x x 、是0)(=x f 的两根

（2）图像与性质

?二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

①

开口→>0a 开口向上 →<0a 开口向下

② ?对称轴：a

b x 2-

= ③ ?顶点坐标：)44,2(2

a

b a

c a b -- ④ ?与x 轴的交点：??

?

??→?无交点交点有有两交点0100

⑤

一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）

⑥ c bx ax x f ++=2

)(为偶函数的充要条件为0=b ⑦ 二次函数（二次函数恒大（小）于0） ⑧ 若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。

⑨

若二次函数0)(=x f 的两根21x x 、

ⅰ.若两根21x x 、一正一负 则??

?<≥?0

21x x

ⅱ.若两根21x x 、同正（同负）

ⅲ.若两根21x x 、位于),(b a 内，则利用画图像的办法。

注：若二次函数0)(=x f 的两根21x x 、；

1x 位于),(b a 内，2x 位于),(d c 内，同样利用画图像的办法。

8.

反函数

（1）函数)(x f y =

有反函数的条件

y x 与是一一对应的关系

（2）求)(x f y =的反函数的一般步骤：

①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由原函数的解析式，求出?=x

③将y x ,对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。

（3） ?原函数与反函数之间的关系 ①

原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域

② 二者的图像关于直线x y =对称

③ 原函数过点),(b a ，则反函数必过点),(a b ④

原函数与反函数的单调性一致

第四章 指数函数与对数函数

1.

指数幂的性质与运算

（1）根式的性质： ①n 为任意正整数，n n

a )(a =

②当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，||a a n n = ③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：10

=a )0(≠a

（3） 负数指数幂： （4） 分数指数幂：

（5）

实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈>

①n m n

m a a a +=?②mn n m a a =)(③n n n b a b a ?=?)(

2.

幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般

将每个数都化为最小的一个数的n 次方。

3. ?幂函数?

??∞+=<∞+=>=）上单调递减，在（时，当）上单调递增

，在（时，当0000a

a a

x y a x y a x y 4.

指数与对数的互化

b N N a a b =?=log )10(≠>a a 且

、

)0(>N

5.

对数基本性质：

①1log =a a ②01log =a ③N a N

a

=log

④N a N a =log

?⑤互为倒数与a b b a log log a

b a b b a b a log 1

log 1log log =?=??

?⑥b m

n

b a n a m log log =

6.

对数的基本运算：

7. ?换底公式：a

N

N b b a log log log =

)10(≠>b b 且

8. ?指数函数、对数函数的图像和性质 指数函数

对数函数

定 义 )1,0(的常数≠>=a a a y x )1,0(log 的常数≠>=a a x y a

图 像

9.?利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大

小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。

10.指数方程和对数方程

（1）指数式和对数式互化

（2）同底法

（3）换元法

（4）取对数法

（5）?超越方程（作图法）

注：?解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章数列

1.

已知前n 项和n S 的解析式，求通项n a

2. ?弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。

（见教材）

第六章 三角函数

1. 理解正角、负角、零角的定义，并能表示终边相同的角。

2.

弧度和角度的互换

π

=o 180弧度

180

1π=

o 弧度01745.0≈弧度

1弧度'1857)180(o o

≈=π

3.

扇形弧长公式和面积公式

?2||2

1

21r Lr S ?==

α扇 （记忆法：与ah S ABC 2

1

=?类似）

注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。 重要例题：3+X 书P106例4.

4.

任意三角函数的定义：

斜边对边=

αsin ααsin 1

csc =??→←倒数 记忆法：S 、C 互为倒数 斜边邻边=

αcos α

αcos 1

sec =??→←倒数 记忆法：C 、S 互为倒数

5.

特殊三角函数值

α 000= 0306

=π

0454

=π

0603

=π

0902

=π

一象限

αsin

2

2

1 2

2 2

3 2

4 ↑

αcos

24 23 22 21 2

0 ↓

αtan

0 3

3 1 3

不存在

↑

6.

三角函数的符号判定

（1）

口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）

（2）

图像记忆法

7. ?三角函数基本公式

α

αααcot 1

cos sin tan =

=

（可用于化简、证明等）

1cos sin 22=+αα （1.可用于已知αsin 求αcos ；或者反过来运用。 2.

注意1的运用）

αα22sec tan 1=+

（可用于已知αcos （或αsin ）求αtan 或者反过

来运用）

8.

诱导公式

（1）

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

解释：指)(2

Z k k ∈+?απ

，若k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。

（2） 分类记忆

① 去掉偶数倍π（即πk 2） ②

将

剩

下

的

写

成

（四象限）（三象限）、（二象限）、（一象限）、ααπαπα-+-再看象限

定正负号（函数名称不变）；或写成（二象限）（一象限）、απ

απ+2

-2

，

再看象限定正负号（要变函数名称）

③ ?要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先

观察两角之间是否是互余或互补的关系。

9.

已知三角函数值求角α

（1） 确定角α所在的象限

（2） 求出函数值的绝对值对应的锐角'α （3） 写出满足条件的π2~0的角 （4）

加上周期（同终边的角的集合）

10. ?和角、倍角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 注意正负号相同 βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±

注意正负号相反

特别注意当4

π

βα=

+时

的运用

注：半角公式可由倍角公式推得。 另重点类型：

重要例题：X +3书121119P P -例1~例3.

11. 三角函数的图像与性质

函数

图像

性质

定义域

值域

同期

奇

偶性

单调性 x y sin =

R x ∈

]1,1[- π2=T 奇

↑+

-

]2

2,2

2[π

ππ

πk k

↓++]2

32,22[ππππk k

x y cos =

R x ∈ ]1,1[- π2=T 偶

↑-]2,2[πππk k

↓+]2,2[πππk k

x y tan =

Z

k k x ∈+≠2π

π R

π=T 奇 ↑+

-

)2

,2

(π

ππ

πk k

12. 正弦型函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA

(1)定义域R ，值域],[A A - （2）周期：ω

π

2=

T

（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将

x 的系数提出来，再看是怎样平移的。

（4）x b x a y cos sin +=类型

13. 正弦定理

R C

c

B b A a 2sin sin sin === （R 为AB

C ?的外接圆半径）

其他形式：

（1）A R a sin 2=B R b sin 2=C R c sin 2=（注意理解记忆，可只记一个） （2）C B A c b a sin :sin :sin ::=

14. 余弦定理

A bc c b a cos 22

2

2

-+=?bc

a c

b A 2cos 222-+=

（注意理解记忆，可只记

一个）

15. 三角形面积公式

B ac A bc

C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===

? （注意理解记忆，可只记一

个）

另海伦公式：ABC ?中，三边长分别为c b a ,,则

))()((c P b P a P P S ABC ---=?（其中P 为ABC ?的半周长，2

c

b a P ++=

） 16. 三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角

形本身边、角的关系。如两边之各大于第三边、三内角和为0180，第一个内角都在),0(π之间等。

第七章 平面向量

1.

向量的概念

（1） 定义：既有大小又有方向的量。

（2）

向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A ，终点为B 的向量表示为AB 。

（3） 向量的模（长度）：||||a AB 或 （4）

零向量：长度为0，方向任意。 单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。 反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2.

向量的运算

（1）

图形法则

三角形法则 平

形四边形法则 （2）计算法则

加法：AC BC AB =+ 减法：CA AC AB =-

（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律

3.

数乘向量：a λ（1）模为：||||λ （2）方向：λ为正与a 相同；

λ为负与相反。

4. 的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。),(A B A B y y x x AB --=

5. ?向量共线（平行）：?惟一实数λ，使得λ=。

（可证平行、

三点共线问题等）

6.

平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a ，都存在惟一的一对实数21,a a ，使得2211e a e a a +=。向量在基21,e e 下的坐标为),(21a a 。

7.

中点坐标公式：M 为AB 的中点，则)(2

1

OB OA OM +=

8. ?注意ABC ?中，（1）重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：

三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义

（2）若D 为BC 边的中点，则)(2

1

+= 坐标：两点坐标相加除以2

（3）若O 为ABC ?的重心，则0=++CO BO AO ;(重心坐标：三点坐标相加除以3)

9.

向量的内积（数量积）

（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π。 （2）

内积公式：><=?b a b a b a ,cos ||||

10. 向量内积的性质：

（1）|

|||,cos b a >=< （夹角公式）

（2）a ⊥b

0=??b a

（3）a a a a ==?||||2或 （长度公式）

11. 向量的直角坐标运算：

（1）),(A B A B y y x x AB --= （2）设),(),,(2121b b b a a a ==，则

2211b a b a +=?

（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）

12. 向量平行、垂直的充要条件

设),(),,(2121b b b a a a ==，则

∥2

1

21b b a a =?

（相对应坐标比值相等）

⊥?=??002211=+b a b a

（两个向量垂直则它们的内积为0）

13. 长度公式 （1） 向量长度公式：设),(21a a a =，则2221||a a a += （2）

两点间距离公式：设点),(),,(2211y x B y x A 则

14. 中点坐标公式：设线段AB 中点为M

，且),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ，

则

??

???

+=+=2221

21y y y x x x （中点坐标等于两端点坐标相加除以2）

15. 定比分点公式：P 为有向线段21p p 的分点，且

),(),,(),,(222211y x P y x P y x P ，点P 分有向线段21p p 成定比2

1PP P

P =

λ(注意

方向) )1(-≠λ ，则有λ

λ++=

121x x x ，λ

λ++=

121y y y 。

注：遇到这种类型的题，可用向量的办法来解更简单。利用

21PP P λ=用坐标来算。

16. 向量平移 （1）

平移公式：点),(y x P 平移向量)','('),(21y x P a a a 到=，则

?

?

?+=+=21

''a y y a x x 记忆法：“新=旧+向量”

（2）?图像平移：)(x f y =的图像平移向量),(21a a =后得到的函数

解析式为：)(12

a x f a y -=-

第八章 平面解析几何

1.

曲线C 上的点与方程0),(=y x F 之间的关系：

（1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；

（2）

以方程0),(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。

则曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。

2. ?求曲线方程的方法及步骤 （1） 设动点的坐标为),(y x

（2） 写出动点在曲线上的充要条件；

（3） 用y x ,的关系式表示这个条件列出的方程 （4） 化简方程（不需要的全部约掉） （5）

证明化简后的方程是所求曲线的方程

如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 重要题型：3+X 书P171题4.

3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.

直线

（1）

倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是),0[π