职高数学常用公式

高中常用数学公式

一、集合与解不等式

集合（能够确定的对象的全体）

1、含n 个元素的集合的所有子集有n 2个，真子集有n 2-1个，非空真子集有n 2-2个。

2、正整数集N + ,自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。

3、元素与集合关系的符号是，属于∈或不属于?

4、集合与集合关系的符号是：?（含于）≠?（真含于） 空集?

解不等式

﹡1、一元二次不等式：

),,0(21两根是对应一元二次方程的x x a >

﹡2、分式不等式： ⑴0

>++d

cx b ax ?0))((>++d cx b ax

⑵

0≥++d cx b ax ???

?≠+≥++0

0))((d cx d cx b ax ⑶

0<++d

cx b

ax ?0))((<++d cx b ax

⑷

0≤++d

cx b

ax ???

?≠+≤++0

0))((d cx d cx b ax ﹡3、绝对值不等式：( c > 0 )

⑴c

b ax <+||?

c b ax c <+<- ⑵c b ax >+||?c b ax c b ax >+-<+或 ⑶c b ax ≤+||?c b ax c ≤+≤- ⑷c b ax ≥+||?c b ax c b ax ≥+-≤+或

二、函数部分

1、 几种常见函数的定义域 ⑴整式形式：??

?++=+=c bx ax x f b ax x f 2

)()(一元二次函数：

一元一次函数：

定义域为R 。 ﹡⑵分式形式：)

()()(x g x f x F =要求分母0)(≠x g 不为零 ﹡⑶二次根式形式：)()(x f x F =

要求被开方数0)(≥x f

⑷指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，定义域为R

﹡⑸对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且，定义域为（0，+∞） 对数形式的函数：)(log x f y a =，要求0)(>x f ⑹三角函数：

???

????

∈+≠===}

,2||{tan cos sin Z k k x x x y R x y R x y ππ的定义域为正切函数：的定义域为余弦函数：的定义域为正弦函数： ⑺几种形式综合在一起的，求定义域即在求满足条件的各式解集的交

集。

2、常见函数求值域

⑴一次函数b ax x f +=)(：值域为R ﹡⑵一元二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ：

???

????-≤<-≥>}

44|{0}44|{02

2a b ac y y a a b ac y y a 时，值域为当时，值域为当 ﹡⑶形如函数)0()(≠+++=d cx d

cx b ax x f 的值域：

}|{c a y y ≠，（其中a 为分子中x 的系数，b 为分母中x 的系数）；

⑷指数函数：)10(≠>=a a a y x 且值域为（0，+∞） ⑸对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且，值域为R ⑹三角函数：

??

?

??=-=*-=*R x y x y x y 的值域为正切函数：，

的值域为余弦函数：，

的值域为正弦函数：tan ]11[cos ]11[sin ﹡函数)sin(φω+=x A y 的值域为[-A,A] 3、函数的性质 ﹡ ⑴奇偶性

①??

?=--=-轴对称

图像关于偶函数图像关于原点对称奇函数：y x f x f x f x f ),()(:),()(

②判断或证明奇偶函数的步骤：

第一步：求函数的定义域，判断是否关于原点对称

第二步：如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；如果

对称，则求)(x f -

第三步：若)()(x f x f -=-，则函数为奇函数 若)()(x f x f =-，则函数为偶函数 ﹡⑵单调性

①判断或证明函数为单调增、减函数的步骤：

第一步：在给定区间（如果没给定，一定要先求函数的定义域）

内任取1x 、2x 且1x <2x 。

第二步：做差)()(21x f x f -变形整理；

第三步：??

?<->-，为增函数

，为减函数

0)()(0)()(2121x f x f x f x f ②几种常见函数形式的单调区间： 一次函数b ax x f +=)(：

???∞+∞<∞+∞>）上单调递减，时，在（当）上单调递增，时，在（当-0a -0a

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f ：

??

???

+∞∞<+∞∞>上单调递减。

在上单调递增时，在（当上单调递增；在（上单调递减，时，在（当),2a b -(,)2a b -,-0a ),2a b -,)2a b --0a 指数函数

)10(≠>=a a a y x 且???∞+∞<<+∞-∞>）上单调递减，

，在（上单调递增，在-10),(1a a

对数函数

)10(log ≠>=a a x y a 且??

?∞+<<+∞>）上单调递减，

，在（上单调递增

，在010),0(1a a

⑶周期性（主要针对三角函数）

﹡①??

???===πππ

的最小正周期为正切函数：的最小正周期为余弦函数：的最小正周期为正弦函数：x y x y x y tan 2cos 2sin

﹡②函数)sin(φω+=x A y 的最小正周期ω

π

2=

T

﹡三、指数部分与对数部分常用公式

1、指数部分：

⑴有理指数幂的运算法则：

①s r s r

a a a

+=?②s

r s r a a ?=)( ③r r r b a b a ?=?)(

⑵分数指数幂与根式形式的互化： ① n

m

n

m a a

= ② n

m

n

m a

a

1

=

-

)1*,(>∈n N n m 且、

⑶一些其它结论：

①10

=a ② a a n n =)( ③ ???=为偶数

，当为奇数当n a n a a n

n ||,

2、对数部分：

⑴1log =a a ；⑵01log =a ；⑶对数恒等式：N a

N

a =log 。

⑷N M N M a a a log log )(log +=? ⑸N M N

M

a a a log log )(

log -=； ⑹ M p M a p

a log log =

⑺换底公式：a

b

a b b c c a lg lg log log log == ﹡四、三角部分公式

1、弧度与角度

⑴换算公式：1800=π，10=180

π

rad 1rad=

π

180≈57018'

=57.300

⑵弧长、圆心角与半径之间关系式：R

l

=

||α（在这里 α为弧度，l 为弧长，R 为半径）

2、角α终边经过点P ),(y x ，22y x r +=，则 r y =αsin ，r x =αcos ，x

y =αtan

3、三角函数在各象限的正负情况：

4、同角函数基本关系式：

5、简化公式：

①??

?

??-=-=--=-ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin( ②

??

?

??-=-=--=-ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin( ③???

??-=--=-=-ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin( ④ ??

?

??=+-=+-=+ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(

⑤?????=+=+=+ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k （k Z ∈）⑥???

??????=-=-=-α

απααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(

6、两角和与差的正弦、余弦、正切： ⑴两角和与差的正弦：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

⑵两角和与差的余弦：

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

7、二倍角公式：

⑴二倍角的正弦：αααcos sin 22sin =

⑵二倍角的余弦：ααα22sin cos 2cos -=

= α2sin 21-= 1cos 22-α

8、解斜三角形：

⑴余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；bc

a

c b A 2cos 2

22-+=

B ac c a b cos 22

2

2

-+=；ac

b c a B 2cos 2

22-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=；ac

c b a C 2cos 2

22-+=

⑵正弦定理：C

c

B b A a sin sin sin ==

五、几何部分

1、 向量

⑴几何形式的运算：

①??

?=+=+C A D A B A C

A C

B B A ρρρρρρ

平行四边形法则：

三角形法则：加法： ②B C C A B A ρ

ρρ=-减法：三角形法则

③??

????=<=?==?=>=||||||,000,0||||||,0a a a a a a a a a a a ρρρρρ

ρρρ

ρρρρλλλλλλλλλλλ反向，与当当同向，

与当数乘向量： ④向量的数量积：θcos ||||??=?b a b a ρ

ρρρ（其中θ为两个向量的夹角）

﹡ ⑵代数方式的运算：设),(21a a a =ρ

，)(2,1b b b =ρ，

①加法：),(2211b a b a b a ++=+ρ

ρ

②减法：),(2211b a b a b a --=-ρ

ρ

③数乘向量：),(21a a a λλλ=ρ

④向量的数量积：2211b a b a b a +=?ρ

ρ（结果为实数）

⑶两个向量平行与垂直的判定：设),(21a a a =ρ

，)(2,1b b b =ρ，

①平行的判定：a ρ∥b ρ?a b ρ

ρλ=?1221b a b a =

②垂直的判定：a ρ⊥b ρ?0=?b a ρ

ρ?02211=+b a b a

⑷其它公式：设),(21a a a =ρ

，)(2,1b b b =ρ

①向量的长度：22

21||a a a +=ρ

﹡②设),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x B A --=ρ

；

|212212)()(|y y x x B A -+-=ρ

﹡③设

),(),,(2211y x B y x A ，则线段AB 的中点M 的坐标为

M )2

,2(

2

121y y x x ++ ﹡④两个向量的夹角为θ

，则2

2

212

2

2

12211|

|||cos b b a a b a b a b a b

a +++=

?=ρρρ

ρθ

⑤平移公式：图形F 上点P （x,y ）对应平移后的图形'

F 上的点

),('

'

'

y x P 平移向量),('

k h P P =ρ，则???+=+=k

y y h x x ''

2、 直线部分

⑴斜率公式：①）为直线的倾斜角，090(tan ≠=αααk

②)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

⑵直线方程的形式：

① 点斜式：)(00x x k y y -=- （k 为斜率，),(00y x 为直线过的点）；

② 斜截式：b kx y +=（k 为斜率，b 为直线在y 轴上的截距）； ③ 一般式：)0(0≠=++A C By Ax （斜率B

C

b B A k -=-=,） ⑶两条直线平行或垂直的条件：

① 两条直线斜率为21,k k ，且不重合则1l ∥2l ?21k k = ② 两条直线的斜率为21,k k ，则1l ⊥2l ?121-=?k k ⑷两条直线的夹角公式（设夹角为θ）： ①21k k =时，1l ∥2l ，夹角θ=00； ②121-=?k k 时，1l ⊥2l ，则夹角θ=900； ③|1|

tan 2

12

1k k k k +-=θ（121-≠?k k ）

⑷点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式： ||

2

200B A C

By Ax d +++=

⑸两平行线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 间距离 ||

2

22

1B

A C C d ++= 3、圆部分

⑴圆的方程：

① 标准方程：222)()(r b y a x =-+-(其中圆心为),(b a ，半径为r ) ② 一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中圆心为)2

,2(E

D --

，半径为2

422F

E D r -+=

）

⑵直线与圆的位置关系相交，相切，相离。判定方法有两种：

① 代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消元后得一二元一次方

程。当??

?

???时，直线与圆相离时，直线与圆相切时，直线与圆相交000

② 几何法：先求圆心到直线的距离d ，由d 与半径r 的大小情况来判

定??

?

??<=>，直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离r d r d r d

六、数列

1、 已知前n 项和公式n S ：???∈≥-==-),2()

1(11Z n n s s n s a n n n

2、 等差数列：

⑴通项公式d n a a n )1(1-+=（1a 是首项；d 为公差

n 为项数；n a 为通项即第n 项）

⑵等差公式：a ，A ，b 三数成等差数列，A 为a 与b 的等差中项，则)2(2

b a A b

a A +=+=

或 ⑶前n 项和公式：

① d n n n a S n 2

)

1(1-+

=（已知n d a ,,1时应用此公式） ②2

)

(1n n a a n S +=

（已知n a a n ,,1时应用此公式） ③特殊地：当数列为常数列,,,a a a ----时，na S n = 3、等比数列：

⑴通项公式：1

1-=n n q

a a

⑵等比中项公式：若a ，A ，b 三数成等比数列，则A 为a 与b

的等比中项，则)(2

b a A b a A ?±=?=或

⑶前n 项和公式：

①)1(1)1(1≠--=q q

q a S n

n （已知n q a ,,1时应用） ②)1(1)1≠--=q q

q a a S n n （已知n a a n ,,1时应用）

③当1=q 时，数列为常数列，则1na S n =

立体几何知识点总结

一.空间多边形

1.不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.

2.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的

空间折线.

3.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个

不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.

4.平面通常用一个平行四边形来表示.

5.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行

四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.

6.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…

表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

a)A∈l—点A在直线l上；A?α—点A不在平面α内；

b)l?α—直线l在平面α内；

c)a?α—直线a不在平面α内；

d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；

e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；

f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.

二.平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

四.空间线面的位置关系

共面平行—没有公共点

(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点

(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

六.线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这

条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.

③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.

④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩

γ=b,则a∥b

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平

行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.

(2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥

α,b?α，a⊥b.

④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的

射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a

∥α,b⊥α,则a⊥b.

⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β

=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平

行.即若a?α,b?α，a∥b,则a∥α.

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l?α，

则l∥β.

④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平

面平行.即若α⊥β,l⊥β，l?α，则l∥α.

⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点

的直线与这个平面平行，即若A?α，B?α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.

⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若

α∥β,a?α，a?β，a∥α，则α∥β.

⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平

行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.

⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面

(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b?α)

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个

平面.即若m?α，n?α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即

若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α

∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一

个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l?β，l⊥a,则l⊥α.

⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，

即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.

(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点?α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b?α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.

③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.

④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平

行，即若a,b?α,c,d?β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°?α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l?α，则α⊥β.

③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

七.直线和平面所成的角取值范围0°≤θ≤90°

(1)定义和平面所成的角有三种：

(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.

(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

八.二面角及二面角的平面角取值范围0°＜θ≤180°

(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的是

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.

名称棱柱直棱柱正棱柱图形

定义有两个面互相平行，而

其余每相邻两个面的交

线都互相平行的多面体

侧棱垂直于底面的

棱柱

底面是正多边

形的直棱柱

侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形

平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边

形

与底面全等的

正多边形

名称棱锥正棱锥图形

定义有一个面是多边形，其余各

面是有一个公共顶点的三

角形的多面体

底面是正多边形，且顶点在底面的

射影是底面的射影是底面和截面之

间的部分

侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等

侧面的形状三角形全等的等腰三角形

对角面的形状三角形等腰三角形平行于底的截

面形状

与底面相似的多边形与底面相似的正多边形

其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

V πr2h(即π

r2l) 3

1

πr2h

3

4

πR3