平面图形的认识复习
平面图形的认识13大必考考点精讲精练
2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.7平面图形的认识13大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】1直线、射线、线段（1）直线、射线、线段的表示方法①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．）角的和差倍分（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．6方向角方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方向角以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．7.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．8.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．9.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．10.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【典例剖析】【考点1】直线、射线、线段的认识【例1】（2019年秋·东海县校级月考）如图，两条平行直线m，n上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连条直线（ ）A．20B．36C．34D．22【分析】采用分类讨论的思想，有两种情况：一是任选两点都在m（或n）上；二是任选两点分别在m，n上．【解析】任选两点都在m（或n）上，只能连出直线m（或n）．若任选两点分别在m，n上，则可连4×5＝2O条．所以一共可以连22条直线．故选：D．【变式1.1】（2021·江苏·七年级专题练习）如图，下列说法正确的是（）A．点O在线段AB上B．点B是直线AB的一个端点C．射线OB和射线AB是同一条射线D．图中共有3条线段【答案】D【分析】根据直线、线段、射线的有关知识判断即可．【详解】解：A、点O在线段AB外，选项说法错误，不符合题意；B、点B是直线AB的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意；C、射线OB和射线AB不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查直线、线段、射线，关键是根据直线、线段、射线的区别解答．【变式1.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P 与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．【详解】解：根据题意可知：当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，∵AD和BC的中点是同一个，∴直线l上会发出警报的点P有5个．故选：C．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．【变式1.3】（2021·江苏·七年级专题练习）同一平面内有四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+2n＝（ ）A．1B．6C．8D．4故选B．【点睛】本题考查了直线之间的位置关系，交点个数，代数式求值，分类讨论求得m,n的值是解题的关键．【考点2】直线、线段的性质【例2】（2019秋•雨花区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ）A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．【解析】∵两点确定一条直线，∴至少需要2枚钉子．故选：B．【变式2.1】（2022·江苏盐城·七年级期末）下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】C【分析】根据两点确定一条直线，两点之间，线段最短进行逐一判断即可．【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是因为两点确定一条直线，不符合题意；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是因为两点之间，线段最短，符合题意；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是因为两点确定一条直线，不符合题意；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是因为两点之间，线段最短，符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，熟知相关定义是解题的关键．【变式2.2】（2019·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）AB+BD＞AD；（3）射线AC和射线AD是同一条射线；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】试题解析：（1）直线BA和直线AB是同一条直线；正确，（2）AB+BD＞AD；正确（3）射线AC和射线AD是同一条射线；正确，（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故不正确．共3个说法正确．故选C．【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）小亮准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．平行于同一直线的两直线平行D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据两点之间，线段最短即可得．【详解】解：由题意可知，能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选：A．【点睛】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键．【考点3】线段的中点【例3】（2019秋•沭阳县期末）已知点A、B、C、D在同一条直线上，线段AB＝8，C是AB的中点，DB＝1.5．则线段CD的长为（ ）A．2.5B．3.5C．2.5或5.5D．3.5或5.5【分析】根据点D在点B左右两侧进行推理计算即可求解．【解析】∵AB＝8，C是AB的中点，∴AC＝BC＝4，∵DB＝1.5．当点D在点B左侧时，CD＝BC﹣BD＝4﹣1.5＝2.5，当点D在点B右侧时，CD＝BC+BD＝4+1.5＝5.5，则线段CD的长为2.5或5.5．故选：C．【变式3.1】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）如图，已知B是线段AC 上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（ ）A．2B．3C．4D．5若AN＝6，则AM+AB的值为（ ）A．10B．8C．12D．以上答案都不对【答案】C【分析】画出图形，设NM＝x，根据点N是线段MB的中点，得MN＝BN＝x，进而表示出AM、AB的长，然后求和即可．【详解】解：如图所示：设NM＝x，∵点N是线段MB的中点，∴MN＝BN＝x，∵AN＝6∴AM＝AN﹣MN＝6﹣x，AB＝AN+BN＝6+x，∴AM+AB＝6﹣x+6+x＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键．【变式3.3】（2022·江苏省南通中学附属实验学校七年级阶段练习）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t(t>0)秒，则下列结论中正确的有（）①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，t=2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．A．①③④B．②③④C．②③D．②④【答案】D【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为4，且AB=6，∴4―x=6，∴x=―2，∴点B对应的数是-2，故①错误；由题意得：6÷2=3（秒），∴点P到达点B时，t=3，故②正确；【考点4】线段的长短比较【例4】（2019秋•路南区期末）下列说法不正确的是（ ）A．若点C在线段BA的延长线上，则BA＝AC﹣BCB．若点C在线段AB上，则AB＝AC+BCC．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外D．若A，B，C，三点不在一直线上，则AB＜AC+BC【分析】熟练掌握线段的概念和定义，进行分析．【解析】A、根据线段的延长线的概念，则BA＝BC﹣AC，故错误；B、根据线段的和的计算，正确；C、根据两点之间，线段最短，显然正确；D、根据两点之间，线段最短，显然正确．故选：A．【变式4.1】（2022·江苏南通·七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD的长度可表示为（ ）A．a+b B．a+2b C．2a﹣b D．2b﹣a式中正确的是（）AB；③DB=2AD―AB；④CD=AD―CB．①DB=3AD―2AB；②CD=13A．①②B．③④C．①④D．②③合思想是解题的关键．【变式4.3】（2022·江苏·七年级单元测试）点A、B、C在同一直线上，AB=10cm，AC=2 cm，则BC=（）．A．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对【答案】C【分析】分两种情况分别计算，即可分别求得．【详解】解：当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，故BC的长为12cm或8cm，故选：C．【点睛】本题考查了求线段的和差，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．【考点5】角的概念及表示【例5】（2019秋•高邮市期末）下列四个图形中的∠1也可用∠AOB，∠O表示的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角可得答案．【解析】A、图形中的∠1可用∠AOB，但不能用∠O表示，故此选项错误；B、图形中的∠1可用∠AOB，也可用∠O表示，故此选项正确；C、图形中的∠1不可用∠AOB和∠O表示，故此选项错误；D、图形中的∠1可用∠AOB，但不能用∠O表示，故此选项错误；故选：B．【变式5.1】（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本选项正确；C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角．【变式5.2】（2021·江苏·七年级专题练习）如图所示，与∠B不是同一个角的是（）A．∠1B．∠ABC C．∠DBE D．∠DAC【答案】D【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．【详解】解：除了∠DAC，其他三种表示方法表示的都是同一个角∠B．故选：D【点睛】利用了角的概念求解．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字．【变式5.3】（2021·江苏·七年级专题练习）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）∠AOB与∠BOA表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与角的两边张开的程度有关；根据角的概念、表示及大小逐一进行判断即可．【详解】（1）角的大小与角的两边张开的程度有关，与角的两边长短无关，故说法错误；（2）∠AOB与∠BOA表示同一个角，此说法正确；（3）角的两边是两条射线，射线是向一端无限延伸的，故此说法错误；（4）此说法正确；所以错误的有2个故选：B．【点睛】本题考查了角的概念、角的大小、角的表示等知识，掌握这些知识是关键．【考点6】度分秒的换算及角的大小比较【例6】（2020秋•锦江区校级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15′，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将48°15′，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较．【解析】∵∠A＝48°15′＝48°+（）°＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°，∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大，故选：B．【变式6.1】（2019·江苏·宿迁市钟吾初级中学七年级期末）下列各数中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=23.48°C．18°18′18″=18.33°D．22.25°=22°15′【答案】D【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，即可得到答案．【详解】解：A、63.5°=63°30'≠63°50'，故A不符合题意；B、23.48°=23°28'48''≠23°12'36''，故B不符合题意；C、18.33°=18°19'48''≠18°18'18''，故C不符合题意；D、22.25°=22°15'，故D正确.故选D．【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握角度的互化是解题关键．【变式6.2】（2020·江苏南通·七年级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，则∠2的度数是（）A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°20′【答案】C【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．【详解】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故选：C．【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．【变式6.3】（2022·江苏·七年级专题练习）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大!”∠B说：“我是30.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C【例7】（2019秋•宿豫区期末）若射线OC在∠AOB的内部，则下列式子中：能判定射线OC是∠AOB的平分线的有（ ）①∠AOC＝∠BOC，②∠AOB＝2∠AOC，③∠BOC=12∠AOB④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断．【解析】当OC在∠AOB的内部，OC是∠AOB的平分线时，∠AOC＝∠BOC，∠AOB＝2∠AOC，∠BOC=12∠AOB，所以①、②、③都能判定OC是∠AOB的平分线．④∠AOC+∠BOC＝∠AOB只能说明射线OC在∠AOB内，不一定是角平分线．故选：C．【变式7.1】（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）有下列说法：①射线AB与射线BA 表示同一条直线；②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间，线段最短；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC=12∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线；⑥在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个一点，OC平分∠AOD，∠BOD=4∠DOE，∠COE=α则∠BOE的度数为（）A ．αB ．150°―αC ．180°―2αD ．270°―3αOD 、OE 分别平分∠AOB 、∠AOC ，若∠AOC =m °，∠BOC =n °，则∠DOE 的大小为（ ）A ．(m 2)∘B ．(n 2)∘C ．(m n 2)∘D ．(m n 2)∘【例8】（2019秋•邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，则点P到直线l的距离是（ ）A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm【分析】根据垂线段最短，即可求解．【解析】根据垂线段最短，则点P到直线l的距离应该小于PA、PB中最小的，故选：C．【变式8.1（2021·江苏·七年级专题练习）已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，那么直线l1与l3的距离是（）A．3cm或7cm B．3cm C．5cm D．7cm【答案】A【分析】分l1与l3在l2同侧和l1与l3在l2两侧两种情况，根据直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm分别求出l1与l3的距离即可得答案．【详解】①当l1与l3在l2同侧时，∵直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，∴l1与l3的距离为5-2=3cm，②当l1与l3在l2两侧时，∵直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，∴l1与l3的距离为5+2=7cm，综上所述：l1与l3的距离是3cm或7cm，故选：A．【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键．【变式8.2】（2022·江苏南京·七年级期末）如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两点之间线段最短与垂线段最短可判断方案B比方案C、D中的管道长度最短，根据垂线段最短可判断方案B比方案A中的管道长度最短．【详解】解：四个方案中，管道长度最短的是B．故选：B．【点睛】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．【变式8.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（）A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°【答案】C【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40∘，所以可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．【详解】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B=∠A=x∘，x=3x―40解得，x=20，故∠A=20∘，②两个角互补时，如图2：x+3x―40=180，所以x=55，3×55∘―40∘=125∘故∠A的度数为：20∘或125°故选：C．【点睛】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B数量关系．【考点9】余角与补角【例9】（2019秋•南京期末）如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）A．∠1与∠2相等B．∠AOE与∠2互余C．∠AOE与∠COD互余D．∠AOC与∠COB互补【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得．【解析】∵∠COB＝∠EOD＝90°，∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，∴∠1＝∠2，故A选项正确；∵∠AOE+∠1＝90°，∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；∵∠COB＝90°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC与∠COB互补，故D选项正确；无法判断∠AOE与∠COD是否互余，C选项错误；故选：C．【变式9.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（ ）A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3【答案】A【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．【详解】解：∵∠1+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1，又∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3，∴180°﹣∠1＝90°﹣∠3，∴∠1﹣∠3＝90°．故选：A．【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．【变式9.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列关于余角、补角的说法，正确的是（）A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补【答案】A【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补．根据此定义判断即可．【详解】A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意；B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互余，此选项不符合题意；C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．【变式9.3】（2021·江苏·七年级专题练习）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据余角：若两角和为90°则两角互余；计算判断即可；【详解】解：A．两角不一定互余，选项错误，不符合题意；B．∠α=45°，∠β=30°，两角不互余，选项错误，不符合题意；C．∠α+∠β=180°-90°=90°，两角互余，选项正确，符合题意；D．∠α+∠β=180°，两角互补，选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了余角的定义，掌握互余的两角和是90°是解题关键．【考点10】对顶角与邻补角【例10】（2018秋•兴化市期末）如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，先分别延长AO、BO得到∠COD，然后通过测量∠COD的度数从而得到∠AOB的度数，其中运用的原理是（ ）A．对顶角相等B．同角的余角相等C．等角的余角相等D．垂线段最短【分析】根据对顶角相等的性质，延长AO、BO得到∠AOB的对顶角，测量出对顶角的度数，也就是∠AOB的度数．【解析】延长AO到C，延长BO到D，然后测量∠COD的度数，根据对顶角相等可得∠AOB＝∠DOC．故其中运用的原理是对顶角相等．故选：A．【变式10.1】（2021·江苏·七年级专题练习）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是；故选：C．【点睛】本题考查了对顶角的定义；掌握定义是解题关键．【变式10.2】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∠AOD＝148°，则∠BOC的度数为（ ）A．122°B．132°C．128°D．138°【答案】A【分析】利用∠AOC与∠BOD互余得出∠AOC+∠BOD＝90°，再由平角的定义求出∠COD，即可求出答案．【详解】解：∵点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠COD＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣90°＝90°，∵∠AOD＝148°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣148°＝32°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+32°＝122°，故选：A．【点睛】本题考查余角，解题关键是掌握余角的定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角．【变式10.3】（2022·江苏·七年级单元测试）如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC ∠AOE，∠BOE=90°，下列正确的是（）=50°，AOD=13A．∠BOD=155°B．∠BOC=120°C．∠DOE=60°D．∠AOD=25°【例11】（2019秋•姜堰区期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则射线OB表示的方向是（ ）A．东偏北30°B．东偏北60°C．北偏西30°D．北偏西60°【分析】根据题意得到∠AOC的度数，根据垂直的定义计算即可．【解析】由题意得，∠AOC＝30°，∵射线OB与射线OA垂直，∴∠BOC＝60°，∴OB的方向角是北偏西60°．故选：D．【变式11.1】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，海上有两艘军舰A和B，由A测得B的方向是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．南偏东60°【答案】D【分析】根据方向角的分类及已知角度即可求解．【详解】解：由图可得A在B的北偏西60°的方向上，故B在A的南偏东60°的方向上．故选：D．【点睛】本题考查了方向角的分类及表示，熟练掌握方向角的概念及分类是解题的关键．【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，OB⊥OA，那么轮船B的方向是（）A．南偏西46°B．北偏西36°C．南偏西36°D．南偏西54°【答案】C【分析】根据题意：轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，OB⊥OA，再结合平角的定义，即可得出结论．【详解】解：∵轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，又∵OB⊥OA，∴根据平角定义，可得：180°―54°―90°=36°，∴轮船B位于灯塔O的南偏西36°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角问题，解本题的关键在正确描述方位角．【变式11.3】（2022·江苏·扬州市梅岭中学七年级阶段练习）如图，甲从O点出发向北偏西。
平面图形的整理与复习课件
位似变换
总结词
位似变换是指将图形乘以一个缩放因子，得 到的新图形与原图形相似。
详细描述
位似变换可以看作是由一个缩放矩阵所定义 的，该矩阵决定了图形在各个方向上的缩放 因子。位似变换会改变图形的形状、大小和 方向，但不会改变图形的比例关系。
05
CHAPTER
平面图形的综合应用
利用平面图形性质解决实际问题
色彩
区分不同的图形元素，表示图 形的特征和属性。
02
CHAPTER
平面图形的性质与判定
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质
平行四边形是两组对边平行的四 边形，其所有内角之和为360度 ，对角相等，对边平行且相等。
平行四边形的判定
如果一个四边形满足两组对边平 行，那么这个四边形就是平行四 边形。
运用平行四边形、矩形、菱形等图形的性质，解决实际问题中关于面积、周长等问 题。
利用圆的相关性质，计算面积、周长，解决实际问题中关于最短路径、最大视角等 问题。
通过将实际问题转化为数学问题，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
平面图形与三角形全等的综合应用
掌握三角形全等的判定方法，如 SSS、SAS、ASA等。
平面图形的分类与特点
直线图形
角图形
由直线段组成的图形，如三角形、四 边形等。
由角组成的图形，如等腰三角形、直 角三角形等。
曲线图形
由曲线段组成的图形，如圆、椭圆等 。
平面图形的组成要素
01
02
03
04
点
构成图形的基本元素，表示位 置。
线
连接点的路径，表示形状和轮 廓。
面
由线围成的区域，表示图形的 内部和外部。
等腰三角形面积
《平面图形的认识》复习课件
三角形
长方形
正方形
平行四边形
梯形
圆
如果把这些平面图形分成两类，你打算这些平面图形分成两类，你打算怎样分？
三角形 长方形 正方形 平行四边形 梯形
平面图形 都是由线段围成的图形——多边形
圆是曲线图形 圆 多边形包括哪些图形？ 多边形包括：三角形、四边形、五边形……
（平行四边形）
（
（
（ 长方形 ） （ 正方形 ）
等
腰 梯
梯 形
形
）
）
圆
怎样用圆规画圆？
圆心 直径d O
半径
O
直径
O
5厘米，它的面积是（ A ）平方厘米。
h
四边形
1 2
67 5
4 3
8
2+3 2+6 3+7 6+7
中垂线） 中垂线）
副
三角形
什么是三角形？三角形各部分的名称是什么？ 由三条线段首尾相接围成的平面图形叫三角形。
顶点
顶点
边
角边
角
角
边
顶点
由三条线段首尾相接围成的平面图形是什么图形？
三角形
由四条线段首尾相接围成的平面图形是什么图形？
四边形
由五条线段首尾相接围成的平面图形是什么图形？
五边形 由n条线段首尾相接围成的平面图形是什么图形？ n边形
锐角三角形 三个锐角
三角形
直角三角形 一个直角
钝角三角形 一个钝角
两边之和大 于第三边
内角和是 180度
等腰三角形 两条边相等，两个底角相等。
等边三角形 三条边相等，三个角相等。
A
A
A A
教学课件：第七章平面图形的认识(二)复习课
在几何学中，相似是研究图形性质的重要工具，可以用于解决长度、角度、面积等问题。
全等应用
全等是证明两个图形是否相等的标准方法，可以用于解决几何证明题。
实例
在日常生活中，相似和全等的应用非常广泛，例如建筑设计、机械制造、测量等领域。建 筑设计中的窗户、门等形状的设计，常常需要考虑相似和全等的原理，以确保建筑的整体 美观和功能性。
定义
平面图形是指在平面上形 成的图形，包括直线、曲 线、多边形等。
分类
根据形状和结构，平面图 形可以分为多边形、圆、 椭圆等类型。
平面图形的性质与特点
总结词
特点
掌握平面图形的性质和特点是理解其 应用和实例的关键。
不同的平面图形具有不同的特点，如 三角形稳定、圆形转动等，这些特点 在日常生活和生产中有着广泛的应用。
图形的认识和应用。
02
平面图形的面积与周长
面积的计算方法与公式
面积计算方法
直接测量法、格子法、割补法等 。
面积公式
长方形面积=长×宽，正方形面积= 边长×边长，三角形面积=底×高 ÷2，平行四边形面积=底×高。
周长的计算方法与公式
周长计算方法
直接测量法、绕线法等。
周长公式
长方形周长=2×(长+宽)，正方形周长=4×边长，三角形周长=三边之和，平行 四边形周长=2×(对边之和)。
05
平面图形的问题解决策略
问题解决的基本思路
分析图形特性
根据问题描述，分析平面图形 的性质、特征和关系，为解决 问题提供基础。
实施解题步骤
按照确定的解题策略，逐步推 导和计算，得出结果。
理解问题背景
首先需要了解问题的背景和相 关信息，明确问题的目标和限 制条件。
《平面图形的认识》知识回顾_题型归纳
《平面图形的认识》知识回顾_题型归纳
《平面图形的认识》知识回顾
同学们已经学习了《平面图形的认识》一章的知识，相信同学们对这一章的内容有了初步的理解。
为了帮助同学们对本章有一个更好的认识，本文就把本章的知识梳理一下。
一、学习目标1.通过丰富的实例，进一步认识线段、射线、直线、角等简单的平面图形，了解平面上两条直线的平行与垂直关系。
2.能熟练地运用符号表示线段、射线、直线、角以及平行、垂直的直线。
3，知道余角、补角、对顶角的概念，进一步掌握它们的性质。
能熟练进行余角、补角、对顶角的有关计算。
4.能进行线段、角的比较，会估计一个角的大小、会计算角度的和差及进行角的单位的简单换算，知道线段的中点、角的平分线的概念和特征。
5.掌握直线、线段、平行线、垂线的有关概念和图形特征，能借助于三角尺、量角器、圆规等工具画出线段、角、平行线、垂线，进一步探索并体验图形是描述现实世界的重要手段，是解决实际问题和进行数学语言交流的重要工具。
平面图形的认识——复习课：基本图形、组成图形及表示方法
7.时钟从8点15分走到8点35分，分针转
了_____度，时针转了_____度，分针与
时针夹角
度，再过 _____分钟时
针与分针第一次相遇。
8.若点A在点O的南偏东35 °方向，则点
O在A的
方向。
9.相邻的两个角又互为余角，则这两个角的 平分线夹角为 ；相邻的两个角又互为 补角，则这两个角的平分线夹角为 。
平面图形的认识（一） 复习课
基本图形： 线段、射线、直线
表示方法 组成图形： 角 表示方法
两个角的关系：余角、补角、对顶角
两条直线的关系：平行、垂直 度量：角度、两点间的距离、 点到直线的距离.
基本性质
线段的性质 直线的性质
两点之间的所有连线中， 线段最短。 经过两点有且只有一条 直线。
余角补角的性质 同角（等角）的余角（补 角）相等。
13. 已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB144°
14.一个角余角比它的补角的1 还少200,
求这个角.
3
15.如图.直线AB与CD相交
于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,
∠DOF=650,
求∠BOE与∠AOC的度数.
O
16.如图，AB⊥BC，BD⊥AC，垂足分别
18、如图：
（1）过P点画直线PC//OA ,PD//OB，试 判断∠CPD与∠AOB的数量关系
（2）过平面内（除射线0A,OB）任意一 点C画∠AOB的垂线，垂足分别为点D,点 E,试判断∠DCE与∠AOB的数量关系
PB
O
A
B
6.计算
（1）27 °54′36〞= 27.91° ；
（2）24.32 °= 24 度 19 分 12 秒 ；
（3）37度27分42秒÷3= 12度29分 14秒； （4）28度16分24秒×4 =113度 5 分36 秒
平面图形的认识复习课件
06
复习题及解答
基础题
总结词
巩固基础知识
题目
请列举出常见的平面图形（至少5个）。
答案
常见的平面图形有圆形、正方形、长方形、三角形和菱 形等。
总结词
理解图形的基本特征
题目
请简述正方形和长方形的区别。
答案
正方形是四边等长且四个角都是90度源自四边形，而长 方形是两边相对较短，且有一个角是90度的四边形。
平行四边形、矩形、菱形和正方形的面积计算公式
平行四边形
面积 = 底边 × 高
矩形
面积 = 长 × 宽
菱形
正方形
面积 = 对角线积的一半 × 菱形的高
面积 = 边长 × 边长
等腰梯形的面积计算公式
• 等腰梯形：面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2
各种平面图形的周长计算公式
01
平行四边形
周长 = 2 × (底边 + 高)
线组成的图形
如正弦曲线、直线等
平面图形的分类
面组成的图形：如矩形、圆形 等
根据边数：分为三角形、四边 形、五边形等n边形
三角形：由三条边组成的图形
平面图形的分类
四边形
由四条边组成的图形
五边形
由五条边组成的图形
根据度数
分为锐角、直角、钝角等不同角度的图形
平面图形的分类
锐角
01
角度小于90度的角
直角
在数学问题中的平面图形应用
三角形与勾股定理
勾股定理是三角形中的一个重要定理，它指出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这 个定理在解决三角形问题时非常有用，可以帮助我们判断三角形的形状以及求解三角形的面积和周长 等。
七年级数学-平面图形的认识总复习2 -
七年级数学第六章 平面图形的认识课标要求：【学习目标】1．复习线段、直线、射线、线段的中点、角、余角、补角、对顶角的有关概念； 2．有关基础理论在生活实际中的应用． 【学习重点】线段、角的有关计算． 【学习目标】1．复习平行与垂直的相关知识； 2．平行与垂直的性质的应用．【学习重点】平行与垂直的相关作图．重点难点： 知识梭理：1.经过两点 一条直线.2.两点之间的所有连线中, .两点之间 ,叫做这两点之间的距离.3.如图,点M 把线段AB 分成 的两条线段AM 与BM, 点M 叫做线段AB 的 .这时 .4.角由两条 的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的 .角通常用 字母及符号 来表示. 5. 1°= ′，1′= ″6.从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 的角,这条射线叫做这个角的 .7.在同一个平面内, 的两条直线叫做 .我们通常用 表示平行. 8.经过直线外一点, 一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行,那么 .9.如果两条直线 ,那么这两条直线互相垂直.我们通常用 表示垂直. 10.平面内,经过一点 一条直线与已知直线垂直.ABM11.如图,过A 点作直线L 的垂线,垂足为B 点.叫做点A 到直线L 的距离.（1）线段有两种表示方法：一种是__ __________，另外一种是_____ ____________． （2）射线的表示方法：_____________________，注意____________．（3）直线也有两种表示方法：一种是____________，另外一种是____________________． （4）两点之间的所有连线中，_______最短．我们把这条线段的长，就叫做____________． （5）延长线段MN 到P ，使NP=MN ，则N 是线段MP 的 点，MN= MP= MP总结归纳：1、线段、射线、直线的异同点2、线段有两种表示方法：线段AB 与线段BA ，表示同一条线段。
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（复习）
华杰双语学校 英昌宁
线段的度量及画法，线段的大 小比较，线段的和差
线段、射线、直线
线段的中点
解析
基本事实：两点确定一条直线， 两点之间线段最短
平
角的度量(度数之间的转化）及作法
面
图
角的大小比较，角的和差
形
的
角
角的平分线
认
识 （
余角、补角
一
）
对顶角
平行线
垂线
垂线段最短 点到直线的距离
同角的余角相等： ∠1+ ∠2= 90°
∠2= ∠ 3 ∠1+ ∠3= 90° 等角的余角相等： 已知∠1 = ∠2，
∠1+ ∠3= 90°
∠2 + ∠4= 90° ∠3= ∠ 4
补角：两个角的和是180°（反之成立）
同角的补角相等： ∠1+ ∠2= 180° ∠1+ ∠3= 180°
∠2=∠2，
∠1+ ∠3= 180°
∠2 + ∠4 = 180°
∠3= ∠ 4
对顶角：是成对出现的，每两条相交直线就 有两对对顶角
1
2
对顶角的性质：对顶角相等
因为∠1、∠2是对顶角 所以∠1＝∠2
平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫 做平行线（在同一平面内，两条直线不相交就平行）
性质：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
垂直：如果两条直线相交所成的四个角中有 一个是直角，那么这两条直线互相垂直
性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
P
垂足
O
l
针对具体的题目讨论：
1、由已知条件能得出不同的的结论，但你得 出来的结论是否对所求角的度数或线段的 长度有帮助呢？
2、那么我们该如何把解题过程写得既清楚有 规范呢？
1、线段的中点：
A
C
B
点C把线段AB分成两条相等的线段AC和BC,点C叫做线段
AB的中点。
推理：由“C是线段AB的中点”可知
1
AC=BC2 = AB
2、角的平分线：
AB=2AC=2BC
1 ∠BAC= ∠ CAD= ∠2BAD
由“射线AC是∠BAD的平分线”可知
∠BAD=2∠BAC=2 ∠CAD
余角：两个角的和是90°（反之成立）