高等数学题集第九章
三、典型例题解析
例1 计算L
I xds =?，其中L 是圆222x y a +=中(0,)A a 到(
,)2
2
B -
之间的一段劣弧
0)a >（．
解法1 将积分弧段分为AC 和CB 两段弧来计算（如图9－1所示）：
AB
AC
CB
xds xds xds =+?
??
而 20
22a
AC
xds dx a a x ==-??
，
2
22
2
2
a
a
CB
xds dx a x
==-??．
图9－1
故
2(1)2
L
I xds a ==+
?．
解法2 L AB =的参数方程为：cos ,sin x a y a θθ==()4
2
π
π
θ-
≤≤
，于是
2422cos (sin )(cos )I a a a d ππθθθθ-=-+?2
4
22cos (1)2
a d a π
πθθ-==+?．
错误解答 设(,0)C a ，因为22:AC y a x =-，22:CB y a x =--，则沿此两段弧均有22
ds a x =
-，故有 2
20
22
(1)2
a AB
ax xds dx a a x ==-
-??
．
错解分析 错误原因在于选x 作为参数时，y 表示为x 的单值函数时有两个表达式，故必须分为两段计算．
注 在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为L ：()x t ?=，()y t ψ=且t α=和t β=分别对应点A 与点B 处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求积分的下限小于上限，还要注意：当t 从α连续变化到β时，相应的点((),())t t ?ψ应在积分曲线上．同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同，计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式．
例2 计算(1)L
x y ds -+?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界．
x
y
o
A
B
C
解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有
(1)L
x y ds -+?
(1)OA
x y ds =-+?(1)AB
x y ds +-+? (1)BO
x y ds +-+?，
由于OA :0y =，01x ≤≤，于是
ds dx ===，
图9－2
故 10
3
(1)(01)2
x y ds x dx -+=-+=
??OA
， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是
ds ==． 故
1
0(1)[(1)AB
x y ds x x -+=--+=??
同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），ds dy ===，则 1
1
(1)[01]2
BO
x y ds y dy -+=-+=
??． 综上所述 31
(1)222
L
x y ds -+=
+=+? 注 当L 是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算． 例3 计算22L
x y ds +?
，其中L 为圆周22x y ax +=，0a >．
分析 积分曲线L 关于x 轴对称（如图9－3所示），被积函数为关于y 的偶函数，由对称性得
222L
L x y ds +=??
,
其中221:(0)L x y ax y +=≥．
解法1 直接化为定积分．1L 的参数方程为
cos 22a a x θ=+,sin 2
a
y θ=（0θπ≤≤）,
且
2
a
ds d θθ=．
图9－3
于是
22202cos 222
L
L
a
x y ds axds a d a πθθ+=
=?=?
?
?．
解法2 1L 的极坐标方程为()cos (0)2
r
a π
θθθ=≤≤，则
()sin y r θθ=，()cos x r
θθ=，
()cos r a θθ=，ds ad θθ==， 2
22
220
2cos 2L
x y ds a d a π
θθ+==?
?．
注1 在解法1中，参数θ表示圆心角，而在解法2中，参数θ表示极坐标系下的极角，参数的意义不同，一般取值范围也不相同．
注2 若曲线在极坐标系下的方程为()r r θ=，则ds θ，可直接用此式． 注3 当积分曲线L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线分．一般地，有以下的结论:
（1）若曲线L 关于x 轴对称，记1L 是L 的0y ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则 a ．(,)L
f x y ds ?=1
2(,)L f x y ds ?（若(,)f x y 是关于y 的偶函数）．
b ．(,)L
f x y ds ?=0（若(,)f x y 是关于y 的奇函数）．
（2）若曲线L 关于y 轴对称，记1L 是L 的0x ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则 a ．(,)L
f x y ds ?=1
2(,)L f x y ds ?（若(,)f x y 是关于x 的偶函数）．
b ．(,)L
f x y ds ?=0（若(,)f x y 是关于x 的奇函数）．
例4 计算
2 x yzds Γ
?
其中Γ为折线段ABCD ，这里
(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ．
分析 求本题曲线积分的关键是求三条线段CD BC AB ,,的参数方程．在空间中过点111(,,)x y z ，222(,,)x y z 的直线的对
称式方程为
111
212121
x x y y z z x x y y z z ---==---， 令该比例式等于t ，可得直线的参数方程．
解 如图9－4所示， 2222 AB
BC
CD
x yzds x yzds x yzds x yzds Γ
=++??
?
?
．
线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则
ds =
2dt =，
故
02200 1
2
=???=?
?
dt t yzds x AB
．
线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则
,ds dt ==
故
1
22 0
020BC
x yzds t dt =???=?
?，
线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t
===+)10(≤≤t ，则
ds ==，
故
1
1
22
12(2))CD
x yzds t t t t dt =??+=+=
?
? 2 (2所以
2222 AB
BC
CD
x yzds x yzds x yzds x yzds Γ
=++??
?
?
例5 计算2x ds Γ
?，Γ为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面0x y z ++=的交线． 分析 此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若Γ的参数方程为()x t ?=，()y t ψ=，()z t ω=（t αβ≤≤）且在t αβ≤≤上具有连续导数，则有
(,,)[(),(),(f x y z ds f t t t β
α
?ψωΓ
=?
?．
解法1 先将曲线Γ用参数方程表示，由于Γ是球面 2222x y z a ++=与经过球心的平面0x y z ++=的交线，如图9－5
所示，因此是空间一个半径为a 的圆周，它在xOy 平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去z 而得到，即以
()z x y =-+代入2222x y z a ++=有222
2a x xy y ++=，将其化为参
图9－5
数方程，令
3cos 2x t =，即 2cos 3x a t =， sin 22
x y t +=，即有 sin cos 26
y t t =
-，代入2222x y z a ++=（或0x y z ++=中） 得sin cos 26
z t t =-
-
，从而Γ的参数方程为
2
cos 3x a t =
，sin cos 26y t t =
-，sin cos 26
z t t =--(02)t π≤≤． 则 222[()][()][()]ds x t y t z t dt '''=++ 222
2cos sin sin cos sin ()()32662
t t t t a
t dt adt =+++-=, 所以 222223230
0222
cos cos 333
x ds a tadt a tdt a π
ππΓ
===??
?． 解法2 利用对称性
由于积分曲线方程中的变量,,x y z 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置， 方程不变，故有
2x ds Γ
?2y ds Γ
=
=
?
2z ds Γ
?
，
因此
2
2222
11()33x ds x y z ds a ds Γ
ΓΓ
=++=???232233a a a ππ=?=． 注 这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将,,x y z 轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换对称性．另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入被积函数中通常可以将积分化简．
例 6 设一段曲线12ln (0)y x x x x =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．
x
z
o
y
分析 首先求出线密度(,)x y ρ，然后再利用公式(,)L
M x y ds ρ=?即可．
解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2L
M x ds =?，其中
12:ln (0)L y x x x x =<≤≤．则L 的参数方程为
ln x x
y x =??
=?
12(0)x x x <≤≤， 故
ds ==，
所以
32211
21[(1)]3x x x x M x ==+?
3322
22211[(1)(1)]3
x x =+-+． 例 7 求八分之一球面2222(0,0,0)x y z R x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=．
解 设曲线在,,xOy yOz zOx 坐标平面内的弧段分别为1L 、2L 、3L ，曲线的重心坐标为
(),,x y z ，则曲线的质量为1
123
233342
L L L L R R
M ds ds ππ++===?
=
?
?．由对称性可得重心坐标 ()
1
2
3
123
11
L L L L L L x y z xds xds xds xds M
M
++===
=
++?
?
?
?
()
1
3
1
120L L L xds xds xds M
M
=
++=
?
??
20
2243R
R R
M
M π===
?
． 故所求重心坐标为444,,333R R R πππ?? ???
． 例8 计算
?
-++L
dy y x dx y x 2222)()(，其中L
是曲线
x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧．
分析 由于曲线L 是分段光滑的，所以先分别计算在每段
图9－6
光滑曲线的对坐标的曲线积分．如图9－6，将积分分成两部分：
?
-++L
dy y x dx y x )()(2222?
-++=
1
)()(2222L dy y x dx y x dy y x dx y x L )()(22222
-+++
?
．
解法1 1L 的方程为y x =(01)x ≤≤，则有
3
22)()(1
22
2221
=
=
-++?
?
dx x dy y x dx y x L ． 2L 的方程为2y x =-(12)x ≤≤，则
dy y x dx y x L )()(22 222
-++?
2
22 1
[(2)]x x dx =+-? 2
22 1
[(2)](1)x x dx +--?-?
2
2 1
2 2(2)3
x dx =-=
?． 所以
3
4)()( 2222=
-++?
L
dy y x dx y x ． 解法2 以y 为自变量，1L 的方程为x y =(01)y ≤≤，则
1
0 1
222222 1
2()()(2)23
L x y dx x y dy y dy y dy ++-=-==
?
??． 2L 的方程为,2y x -=起始点对应的自变量值为1，终点对应的自变量值为0．由于
0,2 2=+-=?
dy x dx x dy dx L ，
故有
3
2
2)()(0
1
222 222
=
-=
-++?
?
dy y dy y x dx y x L ，所以
3
4)()( 2222=
-++?
L
dy y x dx y x ． 注 将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意：
（1）当被积函数,P Q 的形式较为简单，将积分曲线L 的方程代入积分式计算定积分比较容易时，可直接计算．
（2）参变量的选取视积分曲线具体形式而定，积分下限与上限分别为积分路径的起点与终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同；当积分曲线分段光滑时，应分段积分，并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量．
例9 计算,L
ydx xdy +? 如图9－7所示，L 是从点(,0)
A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)
B a 的一段弧．
分析 关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分相似，也分三种，不同之处在于: 对坐标的曲线积分中的曲线为
图9－7
有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关．
解法 1 利用直角坐标计算．记1L 为222x y a +=上从点(0,)C a 到点(,0)B a 的一段劣弧．则
2222
a
L
a
ydx a x dx a π
-=-=
?
?
（定积分的几何意义）
． 而
1
222222
L
L a
xdy xdy a y dy a π
==-=-
?
??
，
所以 0L
ydx xdy +=?．
解法 2 利用曲线的参数方程计算．L 的参数方程为:cos ,sin x a y a θθ==，在起点(,0)A a -处参数值取π，在终点(,0)B a 处参数值相应取0，故θ从π到0．则
0sin (cos )cos (sin )L
ydx xdy a d a a d a π
θθθθ+=+?
?=0
2cos20a d π
θθ=?．
解法3 设,P y Q x ==，故
1P Q
y x
??==??，由曲线积分与积分路径无关得 0L
AB
ydx xdy ydx xdy +=+=?
?，其中:0AB y =．
解法4 利用格林公式．设,P y Q x ==，则有
1P Q y x
??==??，由于积分路径不封闭，需要作辅助线:0y =BA ，记BA 与L 所围成的闭区域为D ，得
L
L BA
BA
ydx xdy ydx xdy ydx xdy ++=+-+?
?
?
00AB
D
d ydx xdy σ=++=???．
注1 当积分曲线L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线分．一般地，有以下的结论:
若曲线L 关于x 轴对称，记1L 是L 的0y ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则
y
o
(,0)A a -(,0)
B a x
高等数学经济数学习题集含答案
《高等数学（经济数学1）》课程习题 集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（）
A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π
高等数学(同济五版)第九章-重积分-练习题册
第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则
?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ?? ?? ? ????? +----=1 10 2210 10 2 2 101 02210 10221 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 2 2222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求
高等数学习题集[附答案及解析]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
高等数学 课后习题答案第九章
习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解： {4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ= == (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是tan sin ??== ∵2222,, z z x y x a y b ??=-=-??
(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1.________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2.设),cos(2y x z =，则 =??)2 ,1(π x z 3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4.设xy e z =，则=dz 5.设 y z ln z x =，则 =?zx z 二、选择题 ) 2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在是),(y x f 在该点连续的( ). (a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f + =，则＝（）)1,1(-' x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 13 2 ???==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求 .,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2 22 z y x e u ++=而y x z sin 2=,求 x u ??. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
高数第九章习题答案
第九章 振动习题答案 9-1 一．填空题1. kx F -=； 02 2 2 =+x dt x d ω；()?ω+=t A x cos 2. 2 20 20 ω v x A + =；??? ? ??-=00 arctan x v ω? 3. 旋转矢量端点在Ox 轴上的投影点；?ω+t 4. m k ； l g 5. 3 π ；3 π - 二．选择题 1. D 2. A 3. C 4. B 三．计算题 1.（1）Z H T s T s m A 11,12,,2,1.01 == =====-νω π π?πω (2)由))(2cos(1.0m t x ππ+=， 得))(2sin(2.01 -?+-== s m t dt dx v πππ，))(2cos(4.02 2-?+-== s m t dt dv a πππ s t 1=时，24.0,0,1.0π==-=a v m x 2. ππω42== T （1）由旋转矢量法得2 π ?=，))(2 4cos(8cm t x π π+= （2）由旋转矢量法得3 π ?- =，))(34cos(8cm t x π π- = （3）由旋转矢量法得0=?，)(4cos 8cm t x π= 3.（1）平衡位置0kl mg =，任意位置kx x l k mg F -=+-=)(0，故为简谐运动。 （2）)(14cos 02.0m t x = 9-2 一．填空题 1. 2 21kA ； 2 4 1kA ； 2 2 1kA ； 2. 1cm;6 π - 二．选择题 1. C ; 2. D ; 3. B ; 4. C ; 5. C 三、计算题 1. （1）2 2max 0.4-?==s m A a ω，J mA E E k 3 2 210 0.22 1-?== =ω （2）p k E E =， 2 2 02 24 12 12 1kA kx mA = = ω ，m A x 3 010 07.72 2-?±=± =
高等数学第九章微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
《高等数学》题库及答案
《高等数学（一）》题库及答案 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； （2）)1ln(+=x y 。 （1）;11x y -= 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x (3）41≤+x ； 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1(lim +∞→； (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4)211lim(2)x x x →∞-+; (5)x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3 n n +∞→； (11）55sin()lim sin x x x →∞；
(12）0tan 3lim x x x →； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; (6)x y 211+=; (7);)7(5+=x y (8)21x e y +=； (9)3.1x y =； (10))1ln(2x y +=； (11)4)52(+=x y ； (12）)ln(ln x y =； 六、求下列函数的二阶导数 （1）)1ln(x y +=； （2）x e x y 22=。 （3）x y sin =； 七、求下列不定积分 (1）x dx ?； (2）xdx 2cos ?； (3）x dx +?1； (4)xdx 3sin ;
大学高等数学上考试题库及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学试题库完整
入学考试题库（共180题） 1．函数、极限和连续（53题） 函数（8题） 函数定义域 1．函数lg arcsin 23 x x y x =+-的定义域是（ ） 。A A. [3,0)(2,3]-U ； B. [3,3]-； C. [3,0)(1,3]-U ； D. [2,0)(1,2)-U . 2．如果函数()f x 的定义域是1 [2,]3-,则1()f x 的定义域是（ ）。D A. 1[,3]2- ； B. 1 [,0)[3,)2-?+∞； C. 1[,0)(0,3]2-?； D. 1 (,][3,)2 -∞-?+∞. 3. 如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则2(log )f x 的定义域是（ ）。B A. 1[,0)(0,4]4-U ； B. 1[,4]4； C. 1[,0)(0,2]2-U ； D. 1[,2]2 . 4．如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则3(log )f x 的定义域是（ ）．D A. 1[,0)(0,3]3-?； B. 1[,3]3； C. 1[,0)(0,9]9-? ； D. 1[,9]9 . 5．如果)(x f 的定义域是[0，1]，则(arcsin )f x 的定义域是（ ）。C A. [0,1]； B. 1[0, ]2； C. [0,]2 π ； D. [0,]π. 函数关系 6.设()()22 2 21,1x f x x x x ??+??==??-，则()f x =( )．A A ． 211x x +-； B. 211x x -+； C. 121x x -+； D. 1 21 x x +-. 7．函数331 x x y =+的反函数y =（ ）。B A ．3log ( )1x x +； B. 3log ()1x x -； C. 3log ()1x x -； D. 31log ()x x -.
高等数学2第十章答案
习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值
()1 04M x y = == ，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） sin D y d y σ??，其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤
高等数学习题集[附答案及解析]
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§
2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 §
高等数学练习题库及答案
一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）
A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0） 为（） A、 B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x 必不连续 14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 C、tan[f(x)] D、f[f(x)] 16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A、[0,л] B、（0,л）
高等数学下册第九章习题答案详解
高等数学下册第九章习题答案详解 1. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程： （1）22 =sin ,=sintcos ,=cos ,x a t y b t z c t 点π 4 t = ; （2）222=6,++=0x y z x y z ++，点0(1,2,1)M -； （3）222,y mx z m x ==-点0000(,,)M x y z . 解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π 4 t = 的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ????????? 当π4t = 时， ,,222 a b c x y z === 切线方程为 2220a b c x y z a c - --==-. 法平面方程为 0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ??????? 即 22 022 a c ax cz -- +=. （2）联立方程组 2226 x y z x y z ?++=? ++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得 d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ? +?+?=??? ?++=?? 解得 d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==-- 在点M 0（1，-2，1）处， 00 d d 0,1d d M M y z x x ==-
所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为 121 101 x y z -+-== - 法平面方程为 1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0. (3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得 d d 22,21d d y z y m z x x ==- 于是 d d 1 ,d d 2y m z x y x z ==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011, ,2m y z ??-???? ,故切线方程为 000 00 ,112x x y y z z m y z ---==- 法平面方程为 00000 1()()()02m x x y y z z y z -+ ---=. 2. t ()02πt <<为何值时，曲线sin ,1cos ,4sin 2 t L x t t y t z =-=-=：在相应点的切线垂直于平 面0x y +=，并求相应的切线方程和法平面方程. 解：1cos ,sin ,2cos 2 t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{} 1cos ,sin ,2cos 2 t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =. 且T ∥n , 故 2cos 1cos sin 11 t t t -==解得π2t = ，相应点的坐标为π1,1,2?- ? .且{1T = 故切线方程为
(完整word)专升本高等数学习题集及答案
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
高等数学题集第九章
三、典型例题解析 例1 计算L I xds =?，其中L 是圆222x y a +=中(0,)A a 到( ,)2 2 B - 之间的一段劣弧 0)a >（． 解法1 将积分弧段分为AC 和CB 两段弧来计算（如图9－1所示）： AB AC CB xds xds xds =+? ?? 而 20 22a AC xds dx a a x ==-?? ， 2 22 2 2 a a CB xds dx a x ==-??． 图9－1 故 2(1)2 L I xds a ==+ ?． 解法2 L AB =的参数方程为：cos ,sin x a y a θθ==()4 2 π π θ- ≤≤ ，于是 2422cos (sin )(cos )I a a a d ππθθθθ-=-+?2 4 22cos (1)2 a d a π πθθ-==+?． 错误解答 设(,0)C a ，因为22:AC y a x =-，22:CB y a x =--，则沿此两段弧均有22 ds a x = -，故有 2 20 22 (1)2 a AB ax xds dx a a x ==- -?? ． 错解分析 错误原因在于选x 作为参数时，y 表示为x 的单值函数时有两个表达式，故必须分为两段计算． 注 在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为L ：()x t ?=，()y t ψ=且t α=和t β=分别对应点A 与点B 处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求积分的下限小于上限，还要注意：当t 从α连续变化到β时，相应的点((),())t t ?ψ应在积分曲线上．同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同，计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式． 例2 计算(1)L x y ds -+?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界． x y o A B C
高数 练习与答案 第十章
第十章 曲线积分与曲面积分 例1计算曲线积分 ? AB xydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部 分。 解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -= ， )0(≤≤-x R ，于是得 dx x R R dx y dl 2 2 2 1-= '+=，故 23 222 2 R xdx R dx x R R x R x xydl R R AB -==-?-=???--。 法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy y R R dy x dl 2 2 21-= '+=，故 2 )(3 2 2 2 2R ydy R dy y R R y R y xydl R R AB -=-=-? --=? ?? 。 法3 将弧AB 化为参数方程 )2 (sin cos πθπ θθ≤≤ ?? ?==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(， ? ? ?? -===ππ ππ ππ θ θθθθθθθ2 3 2 3 2 cos cos sin cos sin cos d R d R Rd R R xydl AB 2]2cos [3 2 23 R R - =-=ππθ。 例2计算 ? L dl xy ||，L 是圆周222R y x =+的闭路。 解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则
320 32sin cos 44||1 R tdt t R xydl dl xy L L ===??? π 例3计算 ?++ABCDA y x dy dx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶 点的正方形。（1|||:|=+y x ABCDA ） 解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1； 在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到 1； 于是 22)] 1([2)]1([) 1(2)1(1 10 1001100 1=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=?????? ????? ---dx dx x x dx x x dx dx x x dx x x dx dx DA CD BC AB ABCDA 例4计算 ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。 解：L 的参数方程为 )20(sin cos π≤≤ ? ??==t t y t x ，故 ππ2)1()()(202 2-=-=+--+??dt y x dy y x dx y x L 。 例5计算 ?-++L dy y x dx y x )() (222 ，其中L 是由A （1,1）、B （3,2） C （3,5）三点构成三角形的边界，沿正向。 解：
方晓华：《高等数学(理工)》第10章习题解答
第十章 矩阵及其应用 第一节 n 阶行列式的概念 习题10－1 01．计算下列行列式的值 （1） 2 15 3 解：原式= 3?2 – 1?5 = 6 – 5 = 1 （2） b a b b b a -+ 解：原式= (a + b )(a – b ) – b 2 = a 2 – b 2 – b 2 = 2b 2 （3）6 3216115 4 3 - 解：原式= 3?6?6 + 11?3?5 + 4?(–1)?2 – 5?6?2 – 4?11?6 – 3?(–1)?3 = 106 + 165 – 8 – 60 – 264 + 9 = – 52 （4）3 212321 23 解：原式= 3?3?3 + 2?2?1 + 2?2?1 – 1?3?1 – 2?2?3 – 2?2?3 = 9 + 4 + 4 – 3 – 12 – 12 = – 10 02、利用行列式解下列方程组： (1) ? ??=+=+643534y x y x ．
解：因为79164 334=-== D ，218204 635=-== x D ， 915246 354=-== y D ，所以由克莱姆法则有：7 2 == D D x x ，79==D D y y (2) ?? ? ??=+-=-+=+-340533 32z y x z y x z y x ． 解：因为610312209211451 3 3 1 2-=-+-+-=---=D ， 601590153113510 3 13-=---++=---=x D ， 123090602701 3 4503332-=+---+=-=y D ， 690120963 1401 3 312-=+--+-=--=z D 所以由克莱姆法则有：166=--== D D x x ，2612=--==D D y y ,166 =--==D D z z 。 03、写出下列行列式中元素a 31，a 22，a 12的代数余子式A 31，A 22，A 12： （1）112221z y x 解：2222)1(1331z y z y A =-=+．1 212)1(2222z x z x A =-=+， 2 222)1(2 112z y z y A -=-=+。 （2） 1 4111 1311 112v u t s 解：1 41111141111)1(1331v u t v u t A =-=+．
高等数学第六版(同济版)第九章复习资料
第九章 多元函数微分法及其应用 引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学. 由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n 元函数上去. 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集的相关概念 1. 平面点集：),|}(),{(y x y x E =具有性质}P },|}),{(2R y R x y x R R R E ∈∈=?=? 例如：}|||{}|}),{(222r OP P r y x y x C <=<+=，其中点P 表示点),(y x . 2. 邻域：2000),(R y x P ∈. (1). 邻域：})()()(),{(}||{),(20202000δδδ<-+-+-=<=z z y y x x y x P P P P U (2). 去心邻域：)(}||0{),(000P U P P P P U o o ∧=<<=δδ 3. 坐标面上的点P 与平面点集E 的关系：22,R E R P ?∈ (1). 内点：若0>?δ，使E P U ?),(δ，则称P 为E 的内点. (2). 外点：若0>?δ，使Φδ=?E P U ),(，则称P 为E 的外点. (3). 边界点：若0>?δ，Φδ≠?E P U ),(，且E P U ?),(δ，则称P 为E 的边界点. 边界：E 的边界点的全体称为它的边界，记作E ?. (4). 聚点：若0>?δ，Φδ≠?E P U o ),(，则称P 为E 的聚点. 导集：E 的聚点的全体称为它的导集. 注：1°. 若P 为E 的聚点，则P 可以属于E ，也可以不属于E . 2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：}21),{(221≤+<=y x y x E ；)}0,0{(}21),{(222?≤+<=y x y x E . 4. 一些常用的平面点集： (1). 开集：若点集E 的点都是其内点，则称E 为开集. (2). 闭集：若点集E 的边界E E ??，则称E 为闭集. (开集加边界)