信号与系统--第六章 傅里叶变换的应用
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
3.5傅立叶变换的性质与应用
线性与对称性
例4. 求:
1 F t
(ω ≠ 0)
解: 由符号函数的傅立叶变换对: 由符号函数的傅立叶变换对: Sgn(t)
2 jω
2 ∴ 2π Sgn(ω) = 2π Sgn(ω) jt
1 则 jπ Sgn(ω) : t
脉冲展缩与频带的关系
尺度特性 信号在时域中的扩展或压缩, 信号在时域中的扩展或压缩,将影响频谱的波形 若 f (t ) F ( jω ) 则
h(t ) H ( jω )
Y f ( jω ) = H ( jω ) F ( jω )
卷积定理
利用卷积定理证明时移特性: 利用卷积定理证明时移特性:
f (t t0 ) = f (t ) * δ (t t0 ) F ( jω )e jω t0
利用卷积定理证明频移特性: 利用卷积定理证明频移特性:
0
Aτ 4π τ
ω
τ
4
τ
4
τ
等效脉宽与等效频宽
F ( jω ) =
∫
∞
∞
f ( t )e
jω t
dt
1 ∞ jω t f (t ) = ∫∞ F ( jω)e dω 2π
∫
∞
∞
f ( t )d t = F (0)
F (0 ) B B
f f
∫
= 1
∞
∞
F ( jω )dω = f (0)
等效脉宽
1 ω f ( at ) F( j ) a a
(a ≠ 0)
若 a > 1: 时域压缩,则频域展宽; 若 : 时域压缩,则频域展宽; 若 0 < a < 1: 时域展宽,则频域压缩. 若 : 时域展宽,则频域压缩. 若 a = -1: 若 :
傅里叶变换的基本性质和应用
傅里叶变换的基本性质和应用傅里叶变换，是20世纪初法国数学家傅里叶的发明，是将一个时间函数或空间函数的复杂波形分解成一系列简单的正弦波的工具。
它是信号处理和图像处理领域非常重要的一种数学变换，广泛应用于通信、图像、音频等领域。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时域信号（即关于时间的函数）转换为频域信号（即关于频率的函数）的数学工具。
在时域中，信号可以表示为一个随着时间变化而变化的函数；在频域中，信号可以表示为它的频谱分布，即各个频率成分的大小。
傅里叶变换是互逆的，也就是说，将一样以频率表示的信号进过傅里叶逆变换，可以得到原始的时域信号。
傅里叶变换和傅里叶逆变换的基本公式分别如下：$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega $$其中，$f(t)$ 是时域信号，$F(\omega)$ 是频域信号，$\omega$ 是角频率。
傅里叶变换可以看作一种基变换，将时域信号换到频域进行分析，从而可以更好地理解信号的性质。
二、傅里叶变换的基本性质1. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于一个常数乘以一个时域信号进行傅里叶变换，等价于将该常数乘以该信号的傅里叶变换。
即：$$ F(cf(t)) = cF(f(t)) $$其中，$c$ 是常数。
此外，傅里叶变换具有加权叠加的特性，也就是说，将两个时域信号求和再进行傅里叶变换，等价于分别对这两个信号进行傅里叶变换后再相加。
即：$$ F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) $$2. 时移性质傅里叶变换具有时移性质，也就是说，在时域中将一个信号向右或向左平移 $\tau$ 个单位，它的傅里叶变换相位也会相应发生$\tau$ 的变化。
傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用
傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的分析工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的原理，以及它们在实际应用中的一些例子。
一、傅里叶级数的原理与应用傅里叶级数是将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数的和，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，f(t)表示周期函数，ω为基本频率，A_n和B_n分别为正弦和余弦函数的系数。
傅里叶级数的应用非常广泛，例如在电力系统中，我们需要分析电压和电流的波形，使用傅里叶级数可以将复杂的波形分解成一系列基本频率的波形，从而更好地分析、计算电力传输和能效。
二、傅里叶变换的原理与应用傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的数学工具，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，F(ω)表示原信号在频域上的变换结果，f(t)表示原信号在时域上的函数，e^(-iωt)为指数函数。
傅里叶变换在信号处理中经常用于频谱分析和滤波器设计。
例如在音频处理中，我们常常需要对音频信号进行频率分析，使用傅里叶变换可以将音频信号从时域转换为频域，得到音频的频谱图，从而帮助我们理解音乐的频率成分和谐波等特性。
三、傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上有密切的联系。
事实上，傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特殊应用。
傅里叶变换将非周期函数转换为连续频谱，而傅里叶级数则是将周期函数转换为离散频谱。
两者可以通过极限的方式进行转换。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法，使用傅里叶级数或傅里叶变换来分析信号。
四、傅里叶级数和傅里叶变换的实际应用举例1. 通信系统：在数字通信系统中，信号经过调制、解调等过程，需要将信号从时域转换到频域进行处理。
傅里叶变换被广泛应用于调制技术、频谱分析和信号压缩等方面。
2. 图像处理：傅里叶变换可以对图像进行频域分析，帮助我们理解图像的特征和纹理。
在图像压缩和图像增强等领域，傅里叶变换也发挥了重要作用。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
信号与系统傅里叶变换
n次谐波系数：
2
an T
T
2 T
2
f
(t) cos(n1t)dt
2 T
2 2
A cos(n1t )dt
4A
n1T
sin n1
2
An
其有效值为：
A~n
2 2
An
36
将 n 1 代入上式，得基波有效值为：
A1
2 4A sin 1 10 2 sin18 2 1T 2
45 °
图 3.3-1 (a)振幅谱； (b) 相位谱
30 ° 30 °
20 °
54
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
3
VxVyT VxiVyi 0
i 1
矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。
如三维空间中，Vx (1, 0, 0) Vy (0,1, 0) Vz (0, 0,1) 所组成的集合就是矢量正交集，且完备。
矢量A (1, 2.5, 4) 表示为 A Vx 2.5Vy 4Vz
电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当
f(t)满足狄里赫利条件时，an, bn, cn 才存在。
21
结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。
一般而言 An cos(n1t n ) n 称为 次谐波 ，An
是 n 次谐波的振幅， n是其初相角。
傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。
在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。
一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。
2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。
其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。
当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。
对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。
二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。
它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。
通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。
在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。
在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。
2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。
傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。
在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。
3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。
傅里叶正变换
傅里叶正变换傅里叶正变换是一种重要的数学工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号。
在信号处理、通信系统、图像处理等领域中，傅里叶正变换都有着广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍傅里叶正变换。
一、傅里叶正变换的定义及公式傅里叶正变换是指将一个实数函数f(x)在某个区间内进行积分，得到一个复数函数F(w)，其中w表示频率。
其定义公式如下：F(w)=∫f(x)e^(-jwx)dx其中e^(-jwx)表示复指数函数，j表示虚数单位。
二、离散傅里叶正变换在数字信号处理中，我们常常需要对离散信号进行频谱分析。
这时候就需要用到离散傅里叶正变换（DFT）。
DFT是对于有限长的离散序列进行频域分析的工具。
DFT的公式如下：X(k)=∑(n=0)^(N-1)x(n)e^(-j2πnk/N)其中x(n)表示输入序列，N表示序列长度，k表示输出序列的下标。
三、傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系在周期函数中，傅里叶级数可以用来表示周期函数的频谱分布。
而傅里叶变换则可以用来表示非周期函数的频谱分布。
它们之间有以下关系：当周期函数的周期趋向于无穷大时，其傅里叶级数就可以转化为傅里叶变换。
四、傅里叶正变换在通信系统中的应用在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调。
而傅里叶正变换则可以帮助我们实现这一过程。
例如，在频率调制中，我们需要将信息信号与载波进行乘积运算，这就需要用到傅里叶正变换。
此外，在数字通信中，我们也需要使用DFT对数字信号进行频域分析和处理。
五、傅里叶正变换在图像处理中的应用在图像处理中，我们需要对图像进行滤波、压缩等操作。
而这些操作都是基于图像的频域特性来实现的。
因此，傅里叶正变换也被广泛应用于图像处理领域。
例如，在图像压缩中，我们可以将图像转化为频域信号后，去除高频部分来实现压缩。
六、总结作为一种重要的数学工具，傅里叶正变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域中都有着广泛的应用。
通过对傅里叶正变换的学习，我们可以更好地理解和应用这一工具，从而提高我们的工作效率和精度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18
§6.3 理想低通滤波器
• Gibbs现象
– 有第一类间断点的信号通过理想低通产生的现象。
H
k
u(t)
F u t
1
j
-σ
o
ω
σ
-σ o
ω
σ
σ截断
19
§6.3 理想低通滤波器
f (t)
FFft
FFuu
fc(t)
o
t0
t
l i m f t l i m F 1 F fG ti 的 b b 连 s 现 续 象 点 ， ， 第 得 一 到 类 原 间 信 断 号 点 ft
– f t 满足Paley－Wiener定理，由 F 如何 构造 hthtut？ (1) FjFjFj2已知 (2)令s j ，构造 FsFs，零点／极点分
布在 s 全平面；
(3)取 FsFs 在左半开平面的零／极点构造
H(s)， H(s)即为所求。由此方法得到的H(s)是 严格最小相位的，在不考虑比例因子的差别时 H(s)是唯一的。
– Btr 4
16
§6.3 理想低通滤波器
– t r 也可有其他定义：tr:0 :1 或 tr:0 .1 :0 .9 l e v e l电 平 ,
但无论怎样定义总有 Btr C（常数）。
– 为实现脉冲信号
的传输，
o
t
t
需满足 2 trB C ,即 CB 。
17
§6.3 理想低通滤波器
–
yt
信号与系统
第六章 傅里叶变换的应用
第六章 傅里叶变换的应用
• §6.1 傅里叶系统函数 • §6.2 无失真传输 • §6.3 理想低通滤波器 • §6.4 系统的物理可实现性 • §6.5 希尔伯特变换 • §6.6 带通信号通过带通系统
2
§6.1 傅里叶系统函数
• 1.定义：
–
适用范围
v(t)
29
§6.5 希尔伯特变换
– f t f tu t因 果 信 号
F f t F f t u t
F R jX
R
jX
1 2
1 j
1 2
R
X
1
1 2
j
X
-
jR
1
R 1 X 1
X 1 R 1
30
§6.6带通信号通过带通系统 ——复包络方法
– (2) 若at常数,tFft,非线性调制 t-td-tFf d,为调频,特别的,
tKf t,tK-tf d线性调频
– (3) 若 a t 常 数 , t K f t 为 调 相 非 线 性 调 制
– (4) 若 ft含 于 a t和 t中 ,则 为 幅 相 联 合 调 制
幅 相 联 合 调 制 非 线 性 调 制
34
§6.6带通信号通过带通系统
令 F x t X F x * t X *
X
X X *
X* e j
-ωH
o
ω
ωH
-ωH
o
ω
ωH
-ωH o
ωH
ω
-ωH o
ωH
ω
35
§6.6带通信号通过带通系统
F st 1 2 X c X * c
lnF
12
d,
则存在hthtutL20,L2,,
其H F。
21
§6.4 系统的物理可实现性
– ft L 2 , ,则 + ft2 d t + F 2 d f
-
-
– L 2 空间中，满足Paley－Wiener定理的幅度谱 才可能有因果实现，不满足则不能实现。
物理可实现
L2 ,
P-W条件
t0uu 14
§6.3 理想低通滤波器
• 冲激响应δ(t：) h tF 1F S a t t0
输
入
非因果
o
h(t)
t 非BIBO稳定
o
t0
t0
t
15
t0
§6.3 理想低通滤波器
Y(t)
• 阶跃响应： 1
o
t
o
t
t0
yt t Sat0d
t0
– B 2 等效带宽
– t r 上升时间，m in y t:m a x y t,tr 2
• Rff Rfˆfˆ
• 复信号没有定义Hilbert变换
• 一个实信号ft,若 F0,当 ,0,
则 fˆtFft存 在 。
28
§6.5 希尔伯特变换
• 2.应用
– 一个实信号f(t)的解析信号 ztftjfˆt
– FztFf tjF fˆt
Fj-jsgnF 2FU
解析信号f t的F在域为因果信号右边信号
24
§6.5 希尔伯特变换
• 定义：实信号 f x 的Hilbert变换 fˆ x 定义为：
fˆx@ 1fx1 x 1-+ x f d
• fˆ x 的逆Hilbert变换 f x ：
fx@ 1fˆx1 x 1-+ x fˆ d
25
§6.5 希尔伯特变换
f x
hx 1
x
fˆ x
Ythtvt
h(t)
零状态，因果/非因果
冲激响应
3
§6.1 傅里叶系统函数
–
适用范围
v(t)
YtHpvt
H(p)
零状态，因果/非因果
系统算子
p 1vtet vt,t0
4
§6.1 傅里叶系统函数
–
V(s)
YsHsVs H(s)
系统函数
适用范围
零状态，因果系统、因果信号
5
§6.1 傅里叶系统函数
பைடு நூலகம்
V(jω)
39
结束
32
§6.6带通信号通过带通系统
• 2.复包络
st atcosct t at和t都是实函数
1a t
2
ejctt
e-jctt
1 a t ejtejct 1 a t e e -jt -jct
2
2
1 2
x t ejct
1 2
xt
ejct
*
33
§6.6带通信号通过带通系统
• 定义：带通信号的复包络为xtatejt x t 为 基 带 带 限 信 号 s t 为 带 通 带 限 信 号
7
§6.1 傅里叶系统函数
• 2.矩阵 A n * n ,d e t I A 0 1 , L ,n 特 征 根
A i ii,0 i R n ,i 1 ,2 ,L ,n ,i为 n 个
线 性 无 关 的 特 征 向 量 。
span1,L,n, X Rn,X = 1122Lnn
n
n
n
A X = A ii iA i iii……谱方法
F s t
-ωC
o
ω ωC
-ωC
o
ω ωC
36
§6.6带通信号通过带通系统
• 3.带通系统
h t h 0 tc o s c t t 1 2 h b te j c t 1 2 h b * te - j c t
为带通系统的冲激响应
hbth0tejt
为带通系统的冲激响应的复包络
37
§6.6带通信号通过带通系统
i1
i1
i1
8
§6.1 傅里叶系统函数
vt
Yt
T:H(s)
–
若vtL1
T21
,T21 ,则vt
Vnejn1t
n-
,t
T21
,T1 2
,
BIBO稳定
ytTvt VnTejn1t
VnH jn1 ejn1t
n-
n-
算子谱 特征函数
与线性代数中的谱方法相对应。 （特征根）
9
§6.1 傅里叶系统函数
– 若vtL1,,则vt +Vejtdf , -
ytTvt +V Tejt df -
+VHejtdf -
htvt
10
§6.2 无失真传输
• 1. vt
Asin1tBsin2t
H(s)
Yt
Csin1t1Dsin2t2
Csin1t 11Dsin2t 22
– 若 C AD B ，则产生幅度失真；
22
§6.4 系统的物理可实现性
– H K，物理可实现，htKtL2
+ht2dt+K2df
-
-
– 任意有限频段为零的 f t ，不可实现。
–
f
t
1
2
exp
t2 2
F
e2
+
2
- 12 df
? 1
+ 2 - 2
df
物理不可实现,但 f tL2 ,
23
§6.4 系统的物理可实现性
k
ω o ω o
– (1)群延迟：dd t0时 间 延 迟
– (2)无失真传输系统 全通。 – (3)无失真传输系统 BIBO稳定。
13
§6.3 理想低通滤波器
• 定义：对 带限信号
F F u u
能无失真传输的系统。
H
HHej
k
-σ o
ω
σ
-σ
o
ω
σ
HKuu
Hb
ω
o
F ht
-ωC
o
ω ωC
38
§6.6带通信号通过带通系统
• 4.带通信号通过带通系统
st
ht
a t cos ct t h0 t cos ct t