概率初步小结与复习总结
九年级数学人教版(上册)第25章小结与复习
乙转盘
第一回 第二回
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
共有9种等可能结果，其中中奖的有4种；
∴P(乙）=
4； 9
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市
购物？说明理由.
选甲超市.理由如下：
∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
必然事件
事 件 不可能事件
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 1 3
5
5
25
25
4. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相
同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
随机事件 与概率
概
率
初
步 列举法求
概
率
用频率估 计概率
侵权必究
概率
随机事件
定义
刻画随机事件发生可能 性大小的数值
计算 公式
P(A) m (m为试验总结果数， n
n为事件A包含的结果种数）
直接列举法 列表法
画树状图法
适合于两个试验因素或分两步进行 适合于三个试验因素或分三步进行
频率与概 率的关系
在大量重复试验中，频率具有 稳定性时才可以用来估计概率
那么重转一次，直到指针指向 4 3
某一份为止）.
12
概率初步小结
第二十五章《概率初步》小结教学目标：知识与技能目标能熟练掌握本章知识及各知识点之间的联系，并能熟练的运用。
过程与方法目标通过学习总结，使学生掌握自主学习的学习方法，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
教学重点：知识点之间的联系。
教学难点：知识点的熟练运用。
教学过程：一、知识归纳1．事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．确定事件包括必然事件和不可能事件．[注意] 随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．2．概率的意义一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝m n[注意] 事件A发生的概率的取值范围0≤P(A)≤1，当A为必然事件时，P(A)＝1；当A为不可能事件时，P(A)＝0.3．求随机事件概率的三种方法(1)直接列举法；(2)列表法；(3)树形图法．4．用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于某个常数附近，那么事件A发生的概率P(A)＝m n例1 在一个布口袋中装有只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲、乙两人进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．(1)试用树形图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．[解析] 甲从袋中摸出一球有三种可能结果，乙从袋中摸出一球也有三种可能结果，所以可以通过列表法和树形图法解决此题．解：(1)树形图如下：列表如下：甲乙白红黑白白，白红，白黑，白红白，红红，红黑，红黑白，黑红，黑黑，黑(2)∵乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况，∴乙能取胜的概率为39＝13.方法技巧当事件中涉及两个因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用列表法或树形图法计算概率；当事件中涉及三个或三个以上因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用树形图法计算概率．二、归纳小结本节主要复习本章所学的内容以及本章各知识点之间的联系和应用。
数学九年级上册第二十五章《概率初步》小结与复习(共27张PPT)
B）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次
摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸 出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
第二十五章 概率初步
小结与复习
复习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识. 2.巩固并能熟练运用列举法、列表法和树状图法求 概率.（重、难点） 3.能应用频率估计概率解决生活中的实际问题.
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件
考点二 概率的计算 例2 (1)一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1 个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后
1
随机地从中摸出一个球是绿球的概率是___3___.
(2)三张分别画有平行四边形、等边三角形、圆的 卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，
从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称 2
(2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购 物？说明理由.
(2) 选甲超市.理由如下： ∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
成活 数
47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活 频率
0.94
0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率约为（ C ） (结果保留小数点后两位)
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
比如抽奖时中奖的可能性、明天是否会下雨的预测、体育比赛中获胜的概率等等。
概率是研究随机现象规律的数学分支，它能帮助我们更好地理解和应对不确定性。
接下来，让我们通过一些例题来深入了解概率的初步知识。
一、知识点回顾1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机事件。
2、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小的数值度量。
通常用 0 到 1 之间的数来表示，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
3、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间中样本点的总数是有限的；（2）每个样本点出现的可能性相等。
那么这样的随机试验称为古典概型。
在古典概型中，事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的样本点个数与样本空间中样本点的总数之比得到。
4、概率的基本性质（1）对于任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1。
（2）必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。
（3）如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），则P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
二、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3。
所以取出的 2 个球都是红球的概率为 3/10。
例 2：掷一枚均匀的骰子，求点数大于 4 的概率。
解：骰子的点数有 1、2、3、4、5、6，点数大于 4 的有 5、6 两种情况，所以点数大于 4 的概率为 2/6 ＝ 1/3。
例 3：同时掷两枚均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两枚骰子，所有可能的结果有 6×6 ＝ 36 种。
概率初步的小结与复习 课件-2020年秋人教版九年级数学上册
二、例题讲解
例 3 在单词 mathematics（数学）中任意选择一个字母，求下列事件的概率：
（1）字母为“h”；
（2）字母为“a”；
（3）字母为元音字母； （4）字母为辅音字母．
解：在单词 mathematics 中任意选择一个字母，可能出现的结果为 m，a，t，
h，e，m，a，t，i，c， s 共有 11 种，并且这 11 种结果出现的可能性相等．
由树状图可以看出，同时掷两枚骰子，所有可能出现的结果有 36 种，即
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 1112
并且这些出现的可能性相等．
两枚骰子的点数和小于
5（记为事件
A
）的结果有
6
种，所以
二、例题讲解
事件
确定性事件
必然事件 不可能事件
随机事件
二、例题讲解
例 2 下列说法中错误的是（
）．
（A）必然事件发生的概率是 1 （B）不可能事件发生的概率是 0 （C）随机事件可能发生也可能不发生 （D）概率很小的事件不可能发生
二、例题讲解
问题 2 什么是概率？ 一般地，对于一个随机事件 A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称 为随机事件 A 发生的概率，记为 P( A )．
例 4 同时掷两枚质地均匀的骰子，用列举法求点数的和小于 5 的概率．
问题 4 在什么条件下，可以通过列举法得到随机事件的概率？ 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能 性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概 率．
二、例题讲解
概率初步知识点总结
概率初步知识点总结概率是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生可能性。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机现象，比如掷骰子、抽签等。
而概率理论可以帮助我们解释和预测这些现象发生的规律。
接下来，我将对概率的一些初步知识点进行总结。
一、随机试验和随机事件概率的研究对象是随机试验和随机事件。
随机试验是指具备以下几个特点的试验：1. 可以在相同的条件下重复进行；2. 结果不确定，只有几种可能的结果；3. 每次试验的结果是独立的。
而随机事件是指随机试验的某个结果，可以是单个事件，也可以是多个事件的集合。
二、样本空间和事件的概念在随机试验中，所有可能的结果组成的集合称为样本空间。
样本空间中的每个元素就是一个具体的结果。
而事件是样本空间的一个子集，用来描述我们感兴趣的结果。
事件可以是简单事件，即只包含一个结果，也可以是复合事件，即包含多个结果。
三、概率的定义和性质概率是一个介于0和1之间的数，表示事件发生的可能性大小。
概率的定义有两种常用的方式：古典概率和统计概率。
古典概率适用于所有结果等可能出现的情况，通过计算事件包含结果的数量与样本空间中结果总数之比得到。
统计概率适用于长期实验中的频率情况，通过多次试验统计事件发生的频率来估计概率。
概率具有以下几个性质：1. 非负性：任何事件的概率都大于等于0；2. 全面性：样本空间的概率为1；3.可加性：对于互斥事件，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
四、加法定理和条件概率加法定理用于计算两个事件的并集的概率。
对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于A的概率加上B的概率减去A和B的交集的概率。
条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
对于两个事件A和B，当已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
五、独立事件和相互依赖事件独立事件指的是两个事件之间没有影响，即事件A的发生与否不影响事件B的发生与否。
第二十五章 概率初步 章末复习小结(1) 基本知识 教学设计
第二十五章概率初步章末复习小结（1）基本知识教学设计教学目标1.复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.2.熟悉本章重要的知识要点和解题方法.3.熟练地用列举法和频率估算法求随机事件的概率.教学重点对本章知识进行梳理归纳.教学难点应用列举法和频率估算法求随机事件的概率.教学过程知识一：事件的分类在一定的条件下，必然会发生的事件——必然事件确定性事件在一定的条件下，必然不会发生的事件——不可能事件在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件——随机事件——不确定性事件1.一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( A )A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球2.下列语句所描述的事件是随机事件的是( D )A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆知识二：概率的定义及基本性质一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的_概率_，记为__P(A)_．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝______.练习：下列说法正确的是( A )A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是1/3 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖知识三：用列表法求概率硬币的正反面——直接列举法——掷骰子的点数——列表法在运用列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性相等，要注意列表时事件(或数据)的顺序不能随意混淆.用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题.练习： 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3.(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为_____23_____；(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字．求这两个数字之和是3的倍数的概率．(2)列表如下：由表可知，共有9种等可能的结果，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为P ＝39 ＝13. 知识四：画树状图法求概率一般地，当一次试验要涉及两个因素(或两个步骤),且可能出现的结果数目较多时,可用“__列表法”, 当一次试验要涉及三个或更多的因素(或步骤)时,可采用“_树形图法_”.用树形图求概率的基本步骤：1.明确试验的几个步骤及顺序；2.画树形图列举试验的所有等可能的结果；3.计算得出m,n 的值；4.计算随机事件的概率.练习：端午节是我国传统佳节，小峰同学带了4个粽子(除粽馅不同外，其他均相同)，其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦．(1)用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；(2)请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．解：(1)肉馅粽子记为A 、红枣馅粽子记为B 、豆沙馅粽子记为C ，由题意画树状图如下：(2)由(1)可得，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是21= 126，即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是1 6 .知识五：用频率估计概率在大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数附近.只要试验的次数_足够大_，我们就可以用事件A发生的_频率__去估计__概率_.练习：某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如表：则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是___0.95__．(精确到0.01)六、课堂小结谈谈你本节课的收获.七、作业布置见精准作业布置单.八、板书设计。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
无论是在玩游戏、抽奖，还是在进行科学研究、经济决策时，概率都起着重要的作用。
下面，让我们一起来学习概率的初步知识，并通过一些例题来加深对概率的理解。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。
二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用古典概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？基本事件总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数为 3，所以取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 3 ／ 5 ＝ 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用几何概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少？圆的面积为π×（05)²＝025π，正方形的面积为 1×1 ＝ 1，所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) ＝025π ／ 1 ＝025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。
例如，抛两次硬币，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
水口坪中学九（上）数学学案
一、自主学习
本章知识结构图
1、举例说明什么是随机事件？
在一定条件下必然要发生的事件，叫做。
在一定条件下不可能发生的事件，叫做。
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做。
2、事件发生的概率与事件发生的频率有什么联系？
（1）一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率n
m 会稳定在某个常数 p 附近，那么，这个常数p 就叫作事件A 的概率。
事件A 发生的频率是：
在 n 次试验中，事件A 发生的频数m 与n 的比。
（2）求一个事件的概率的基本方法是：进行大量的重复试验，用这个事件
发生的频率近似地作为它的概率。
（3）对于某些随机事件也可以不通过重复试验，而只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算概率。
例如：掷两枚硬币，求两枚硬币正面向上的概率。
3、在什么条件下适用P(A ）＝n
m 得到事件的概率？ 一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）＝n
m 。
4、如何用列举法求概率？
当事件要经过一步完成 时列举出所有可能情况，当事件要经过两步完成时用列表法，当事件要经过三步以上完成时用树形图法。
复习疑难摘要： 。
小组评价等级 。
二、复习检测：
1． “明天的太阳从西边升起”这个事件属于_________(用 “必然”, “不可能”, “不确定”填)
2．下列事件中必然事件是（ ）
（A ）打开电视机正在播广告。
（B ）明天是晴天。
（C ）已知：3＞2，则3c>2c 。
（D ）从装有两个红球和一个白球的口袋中，摸出两个球一定有一个红球。
3．在下列线段上标出下列事件的点。
(1) 太阳从东边升起。
（2）掷一枚硬币正面朝上的概率。
（3）在四选一的选择题中正确答案的概率。
（4）一个骰子掷出7点的概率。
01
4．一副扑克除大王外共52张，在看不见牌的情况下，随机抽一张，是黑桃
的概率是。
5．一个口袋中装有4个红球，3个白球，2个黑球，除颜色外其他都相同，
随机摸出一个球是黑球的概率是。
二、合作探究
1、你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能事件相联系的成语吗？
必然事件：种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明。
随机事件：海市蜃楼，守株待兔。
不可能事件：海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长。
2、在一个不透明的口袋中装有除颜色外其余都相同的1个红球，2个黄球，如果每一次先从袋中摸出1个球后不再放回，第二次再从袋中摸出1个球，
那么两次都摸到黄球的概率是多少？
四、展示提升
1、每个同学自主完成二中的问题后先在小组内交流讨论。
2、每个组根据分配的任务把自己组的结论板书到黑板上准备交流。
3、每个组在展示的过程中其他同学认真听并作好补充和提问。
五、反馈与检测
1．在一个不透明的口袋里,有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，
从中摸出红色球的概率为1
3
，那么口袋红球的个数是几？
2．口袋里有红、绿、黄三种不同颜色的球，除颜色外其余都相同，其中红
球有4个，绿球有5个，任意摸1个绿球的概率是1
3。
求（1）口袋里黄球的个数是多少？（2）任意摸一个红球的概率？
3．你喜欢玩游戏吗？现请你玩一个转盘游戏，如图的两个转盘中指针落在每一个数字的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数学作乘积，
（1）列举所有可能得到的数字之积。
（2）求出数字之积为奇数的概率。