第讲 行列式按行(列)展开及计算
（按行（列）展开法则）
推论行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
或
例1、
解法1:
解法2：
例2、设 ，（1）求 ；（2） 。
解：（1）
（2）
二、行列式的计算
例3、 ，其中
解： ＝
＝ ＝
例4、证明范德蒙行列式
证明：数学归纳法.
成立.
假如 成立，欲 也成立，
例5、证明
教学重点及难点：
重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式
难点：行列式的计算
教 学 基 本 内 容
备注
一、行列式按行（列）展开
引理一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 元 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积.
定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
一般可推广为：
作业：
1．复习 ；
1．预习 ；
3．习题 ：6（5）；8（1）（6）；9
教学后记
授课时间
第周 星期第节
课次
2
授课方式
（请打√）
理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
课时
安排
2
授课题目（教学章、节或主题）：
第二讲 行列式按行（列）展开及计算
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式.
推论行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
或
例1、
解法1:
解法2：
例2、设 ，（1）求 ；（2） 。
解：（1）
（2）
二、行列式的计算
例3、 ，其中
解： ＝
＝ ＝
例4、证明范德蒙行列式
证明：数学归纳法.
成立.
假如 成立，欲 也成立，
例5、证明
教学重点及难点：
重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式
难点：行列式的计算
教 学 基 本 内 容
备注
一、行列式按行（列）展开
引理一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 元 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积.
定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
一般可推广为：
作业：
1．复习 ；
1．预习 ；
3．习题 ：6（5）；8（1）（6）；9
教学后记
授课时间
第周 星期第节
课次
2
授课方式
（请打√）
理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
课时
安排
2
授课题目（教学章、节或主题）：
第二讲 行列式按行（列）展开及计算
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式.
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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
§3 行列式的展开定理
第一章 行列式
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
§6 行列式按行(列)展开
D a1i A1i a2i A2i ani Ani ,
i 1,2,, n i 1,2,, n
a1 n
证
a11
a12
D a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
在证一般情形, 此时
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按行(列)展开
6 6
第一章 行列式
a11 a1 j a1n 0 D 0 aij ij an1 anj ann
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1515
第一章 行列式
例2
3
1
1 3 1 3 5
2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0
1616
5 1 D 2 0 1 5
c1 2c3 11
第一章 行列式
在n阶行列式中， 把元素a ij所在的第i行和第j列划去后，
留下来的n-1阶行列式叫做元素 a ij的余子式，记作 M ij . 记
Aij 1
i j
M ij，
叫做元素 a ij 的代数余子式．
a11 a 21 例如 D a 31 a 41
A23 1
2 3
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8 8
i 1,2,, n i 1,2,, n
a1 n
证
a11
a12
D a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
在证一般情形, 此时
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6 6
第一章 行列式
a11 a1 j a1n 0 D 0 aij ij an1 anj ann
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按行(列)展开
1515
第一章 行列式
例2
3
1
1 3 1 3 5
2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0
1616
5 1 D 2 0 1 5
c1 2c3 11
第一章 行列式
在n阶行列式中， 把元素a ij所在的第i行和第j列划去后，
留下来的n-1阶行列式叫做元素 a ij的余子式，记作 M ij . 记
Aij 1
i j
M ij，
叫做元素 a ij 的代数余子式．
a11 a 21 例如 D a 31 a 41
A23 1
2 3
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8 8
第四节：行列式按行列展开
a41 a43 a44
a21 a22 a14
a13 的代数余子式 A13= (−1)1+3 M13= a31 a32 a24 .
完 a41 a42 a44
引理 一个 n 阶行列式 D,若其中第 i 行所有元素除 aij
外都为零,则该行列式等于 aij与它的代数余子式的乘
积, 即
D = aij Aij.
Aij = (−1)i+ j M ij ,
称其为元素 aij 的代数余子式.
余子式与代数余子式
例如, 设
a11 a12 a13 a14
D = a21
a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14
a32 的代数余子式 A32= (−1)3+2 M 32= − a21 a23 a24 ,
i= j ;
i≠ j i= j
; i≠ j
其中
δ ij
=
1, 0,
i= j .
i≠ j
完
例3
试按第三列展开计算行列式
1 1
2 0
3 1
4 2
.
3 −1 −1 0
1 2 0 −5
解 其中
D = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 + a43 A43 , a13 = 3, Байду номын сангаас23 = 1, a33 = −1, a43 = 0,
对应的代数余子式 乘积之和, 即
D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain (i = 1,2,, n) 或 D = a j1 Aj1 + a j2 Aj2 + + a jn Ajn ( j = 1,2,, n).
a21 a22 a14
a13 的代数余子式 A13= (−1)1+3 M13= a31 a32 a24 .
完 a41 a42 a44
引理 一个 n 阶行列式 D,若其中第 i 行所有元素除 aij
外都为零,则该行列式等于 aij与它的代数余子式的乘
积, 即
D = aij Aij.
Aij = (−1)i+ j M ij ,
称其为元素 aij 的代数余子式.
余子式与代数余子式
例如, 设
a11 a12 a13 a14
D = a21
a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14
a32 的代数余子式 A32= (−1)3+2 M 32= − a21 a23 a24 ,
i= j ;
i≠ j i= j
; i≠ j
其中
δ ij
=
1, 0,
i= j .
i≠ j
完
例3
试按第三列展开计算行列式
1 1
2 0
3 1
4 2
.
3 −1 −1 0
1 2 0 −5
解 其中
D = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 + a43 A43 , a13 = 3, Байду номын сангаас23 = 1, a33 = −1, a43 = 0,
对应的代数余子式 乘积之和, 即
D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain (i = 1,2,, n) 或 D = a j1 Aj1 + a j2 Aj2 + + a jn Ajn ( j = 1,2,, n).
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
行列式按一行(列)展开
证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
线性代数课件14行列式按行列展开
111
1
a1 a2 a3
an
Dn a12 a22 a32
an2
a a a n1
n1
n1
1
2
3
a n 1 n
(a j ai )
1i jn
第 i 行乘以 a1 加到第 i + 1 行
1
1
1
Dn 0
a2 a1 a2 (a2 a1)
a3 a1 a3(a3 a1)
0
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
1 4 N
1 2
02 M
0 3
进一步，N的代数余子式
A (1)1224 M 0
例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式
121 012 310
121 划去 2 所在的行和列，0 1 2
310
得子式 0 2 ，注意2在第一行第二列 30
所以，2 的代数余子式= (-1)1+2 0
2 6
30
121 划去 1 所在的行和列 ， 0 Dn 2 0 0
10 21
01 00
0 0 2 10 0 0 1 21
2 1 0 01 1 2 0 00
00 00
21 12
注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：
(a3
a1
)
按第一列展开
a2 a1 Dn a2 (a2 a1)
a3 a1 a3 (a3 a1)
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
(a3
a1)
每列依次提出公因子，得到
1 an a1 an (an a1)
an2 n
(an
a1 )
§2.3 行列式按一行或已列的展开以及行列式的计算PPT课件
12
例
ab000
ab00
0 D 0
a 0
b a
0 b
0 0
按第一 列展开
a (1)11
0
a
b
0
000ab
00ab
b000a
000a
b000
b (1)51 a b 0 0 0ab0
a5 b5.
00ab 13
注：在实际展开时:
(1) 常按含“0”元较多的行或列 展开（以简化计算）。
(2) 还可先利用性质将某一行（或列） 化为仅含一个非零元再按此行（或列） 展开，降为低一阶行列式，如此继续， 直到化为三阶或二阶行列式计算。
子式乘积之和，即 n
A aij Aij (i 1,2,, n)
j 1
(2) 行列式的任一行的每个元素与另一行对应元素的
代数余子式乘积之和为零，即
n
aij Akj 0, i k
j 1
4
证明：（1）注意
(i,1, 2, , i 1, i 1, , n) i 1 ( j, j1, j2 , , ji1, ji1, , jn ) j 1 ( j1, j2 , , ji1, ji1, , jn )
ai 1n ai 1n
an1
anj 1
anj 1
ann
且 Aij (1)i j Mij (i, j 1,2,, n) 称为 aij 的代数余子式
(algebraic cofactor)。 3
定理4 A设 (aij )n 余子式，
A，ij aij为(i, j 1,2,, n)
的代数
(1) 行列式等于它的任一行的每个元素与其代数余
A21 A22
An1 a11 An2 a21
例
ab000
ab00
0 D 0
a 0
b a
0 b
0 0
按第一 列展开
a (1)11
0
a
b
0
000ab
00ab
b000a
000a
b000
b (1)51 a b 0 0 0ab0
a5 b5.
00ab 13
注：在实际展开时:
(1) 常按含“0”元较多的行或列 展开（以简化计算）。
(2) 还可先利用性质将某一行（或列） 化为仅含一个非零元再按此行（或列） 展开，降为低一阶行列式，如此继续， 直到化为三阶或二阶行列式计算。
子式乘积之和，即 n
A aij Aij (i 1,2,, n)
j 1
(2) 行列式的任一行的每个元素与另一行对应元素的
代数余子式乘积之和为零，即
n
aij Akj 0, i k
j 1
4
证明：（1）注意
(i,1, 2, , i 1, i 1, , n) i 1 ( j, j1, j2 , , ji1, ji1, , jn ) j 1 ( j1, j2 , , ji1, ji1, , jn )
ai 1n ai 1n
an1
anj 1
anj 1
ann
且 Aij (1)i j Mij (i, j 1,2,, n) 称为 aij 的代数余子式
(algebraic cofactor)。 3
定理4 A设 (aij )n 余子式，
A，ij aij为(i, j 1,2,, n)
的代数
(1) 行列式等于它的任一行的每个元素与其代数余
A21 A22
An1 a11 An2 a21
行列式按一行或一列展开及行列式的计算
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
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aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
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a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
行列式按一行列展开
A44 1
4 4
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式.
2.行列式按一行（列）展开法则
定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 证明 （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理. (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0. a11 0 0
a11 a12 a1n
an1 an 2 ann
an1 an 2
0 0 0 ain an1 an 2 ann ann
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n 证毕.
3 5 3
证明 由定理1.3.1，行列式等于某一行的元素分别与 它们代数余子式的乘积之和.
a11 ai 1 在 D ak 1 an1 a12 ai 2 a1 n ain 中，如果令第 i 行的元素 等于另外一行，譬如第 k
ak 2 akn 行的元素 an 2 ann
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得
aij 0 0 D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj an , j 1 ann
(1) aij Mij
i j
aij Aij
(3) 一般情形 a11 a12 a1n D ai 1 ai 2 ain an1 an 2 ann
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算？