等差数列Sn的最值问题教学课件1
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4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
等差数列的最值问题
2009×2008
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
等差数列Sn的最值问题教学1PPT课件
结论：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足： aamm≤ ＋1≥0，0．
•4
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n
取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足： aamm≤ ＋1≥0，0．即33mm－－2107≤≥0， 0．
．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0， 又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
•7
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0，
则当 Sn 最小时的 n 为
．
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以aa76><00．，
•3
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值. 我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn 取得最小值？
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
•8
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
aamm≤＋1≥0，0． 方法二：Sn＝n×a1＋n(n2-1)×d＝d2n2＋(a1－d2)得最小值．
•6
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大
时的 n 为
•4
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n
取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足： aamm≤ ＋1≥0，0．即33mm－－2107≤≥0， 0．
．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0， 又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
•7
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0，
则当 Sn 最小时的 n 为
．
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以aa76><00．，
•3
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值. 我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn 取得最小值？
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
•8
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
aamm≤＋1≥0，0． 方法二：Sn＝n×a1＋n(n2-1)×d＝d2n2＋(a1－d2)得最小值．
•6
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大
时的 n 为
4.2.2等差数列的前n项和的最值课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
课后练习
练习2. 已知{an }是等差数列,
若
a11 a10
1,
且它们的前n项和 Sn有最大值,
则使 Sn 0的最大正整数n是 ___________ .
解 :
a11 a10
1,
且S
有最大值，
n
数列{an}是递减数列, a10 0, a11 0,
则由 a11 a10
1得a11
a10 ,
即 a10
记{an}的前n项和为Sn .
①n
5时,Tn
Sn
(a1
an )n 2
10n
n2
②n 6时,Tn | a1 | | an | (a1 a5 ) (a6 a7 an )
S5 (Sn S5) 2S5 Sn 2 (10 5 52 ) 10n n2
n2 10n 50
等差数列前n项和Sn的最值问题
[变式1]等差数列{an}中, a1 0, S9 S12,则前n项和Sn取得最小值时n _10_或__1_1.
数形结合：对称轴为n 9 12 10.5
解 : 设公差为d ,由S9 S12得,
2
9a1
98 2
d
12a1
12 11 d , 2
a1
10 d ,
n 18或19时Sn取得最小值..
等差数列中的最值问题
[例2]等差数列{an}的前n项和Sn中,只有S7最大,且 a7 a8 , 则使Sn 0的n的最大值为__1_3__. 析 : S7最大,Sn先增后减,an先正后负,即a1 0, d 0.
{an}为递减数列, a7 0, a8 0,
S5 (Sn S5) 2S5 Sn
2 (10 5 52 ) 10n n2 n2 10n 50
等差数列的概念第1课时课件上学期高二人教A版(2019)选择性必修第二册
分析:根据数列的递推关系, 利用取倒数法进行转化,
构造等差数列, 求出通项公式即可求值.
+
解: ∵an+1= +, ∴两边取倒数得 = = +1,
即
+
−
=1, 即数列
+
是公差d=1的等差数列,
∵首项为 =1, ∴ =1+(n-1)×1=n,
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
例1 (1)已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n，求数
列{an}的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,······的第20项；
分析:（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差
数列的定义，由an+1-an = d ，即可求出公差d，
（2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利
度, 得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单
位: ⁰C)依次为
25 , 24 , 23 , 22 , 21.
(3)
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年. 如果个人
贷款月利率为r, 那么按照等额本金方式还款，他从某月开
始，每月应还本金b(=)万元，每月支付给银行的利息
(单位：元)依次为
些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项
和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受
数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比
较简单的数列入手.
4.2.1 等 差 数 列 的 概 念
请看下面几个问题中的数列.
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
高考研究一等差数列的考点求项求和及判定课件(1)
列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则SS45－ －SS23的值为 (
)
A．－2
B．－3
C．2
D．3
解析：设{an}的公差为 d，因为 a1，a3，a4 成等比数列， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，可得 a1＝－4d，
所以SS45－ －SS23＝aa34＋ ＋aa45＝－－3dd＝3. 答案：D
返回 [解析] (1)由 a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝32，得 4a8＝32，即 a8＝8，m＝8. (2)因为{an}，{bn}为等差数列，且TSnn＝3n2＋n 2，
13a1＋a13 所以ab77＝22ba77＝ab11＋＋ab1133＝13b12＋b13＝TS1133＝3×2×131＋3 2＝4216.
＋a4＝60，那么 a7＋a8＝
()
A．95
B．100
C．135
D．80
解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7
＋a8 构成新的等差数列，于是 a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋
a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.
答案：B
返回 2．(2018·广州模拟)已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
[解析] 法一：用“函数法”解题 由 S3＝S11，可得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，即 d＝ －123a1.从而 Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－1a31(n－7)2＋4193a1， 因为 a1>0，所以－1a31<0. 故当 n＝7 时，Sn 最大．
法二：用“通项变号法”解题 由法一可知，d＝－123a1. 要使 Sn 最大，则有aann≥ ＋1≤0，0， 即a1＋n－1－123a1≥0，
4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件ppt
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,
则
3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析 设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方
等差数列的前n项和的最值问题
精品资料
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解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
精品资料
前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
精品资料
解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
精品资料
前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
等差数列前n项和性质及应用上课用
sn
sn na1 n 2
n 1
2 d d2n
a1 d2 n
n
a1<0, d>0,最小值 sn
观察上面的式子,我们可以看出它是 关于n 的二次函数,从而等差数列的前n 项和可以写成形如:
2
sn an bn, (其中公差为2a)
a1>0, a1<0,d>0 d<0 无 有 有 无
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0
方法二：∵S10＝100，S100＝10， 90a11＋a100 ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝ 2 ＝－90. ∴a11＋a100＝－2. 又 a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 110a1＋a110 ∴S110＝ ＝－110. 2
方法三：设数列{an}的公差为 d. nn－1 Sn d 由于 Sn＝na1＋ 2 d，则 n ＝a1＋2(n－1)．
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn ＝－n2＋10n.
• ∴Sn＋S3n－S2n＝2Sn＋2n2d • ＝2(Sn＋n2d)＝2(S2n－Sn)． • ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，公差为 n2d. • ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．
sn na1 n 2
n 1
2 d d2n
a1 d2 n
n
a1<0, d>0,最小值 sn
观察上面的式子,我们可以看出它是 关于n 的二次函数,从而等差数列的前n 项和可以写成形如:
2
sn an bn, (其中公差为2a)
a1>0, a1<0,d>0 d<0 无 有 有 无
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0
方法二：∵S10＝100，S100＝10， 90a11＋a100 ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝ 2 ＝－90. ∴a11＋a100＝－2. 又 a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 110a1＋a110 ∴S110＝ ＝－110. 2
方法三：设数列{an}的公差为 d. nn－1 Sn d 由于 Sn＝na1＋ 2 d，则 n ＝a1＋2(n－1)．
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn ＝－n2＋10n.
• ∴Sn＋S3n－S2n＝2Sn＋2n2d • ＝2(Sn＋n2d)＝2(S2n－Sn)． • ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，公差为 n2d. • ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．
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am≤0， 3m－20≤0， 即 am＋1≥0． 3m－17≥0．
17 20 解得 ≤m≤ ，因为 m∈N*，所以 m＝6． 3 3 所以当 n 取 6 时， Sn 取得最小值， 最小值为－57. n(n-1) 3 37 解法二：Sn＝n× （—17）＋ × 3＝ n2－ n， 2 2 2
高中数学
必修5
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
我们分析数列为：8，6，4，2，0，－2，－4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最大值？
问题 2：使数列 Sn 取得最大值的项具备什么特征呢？
结论：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
解：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， 10－2m≥0， 即 a ≤ 0 ． m＋1 8－2m≤0．
解得 4≤m≤5，因为 m∈N*，所以 m＝4 或 5． 所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
问题 1：根据通项公式求出数列前 n 项和 Sn，得 n(n-1) Sn＝n× 8＋ × (－2)＝－n2＋9n 2
2．已知等差数列{an}，a1＜0，d＞0， Sn 存在最小值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最小值．
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
37 其对称轴为 n＝ ，所以离对称轴最近的整数为 6． 6 所以当 n 取 6 时，Sn 取得最小值，最小值为－57.
1．已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0， Sn 存在最大值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
方法总结
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最大值．
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大 时的 n 为 ．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0，
又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0， 则当 Sn 最小时的 n 为 ．
问题 2：你能发现 Sn 具有什么特征？
所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最小值？
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0，
a6<0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以 a7>0．
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
学以致用
3．已知等差数列{an}, a1＞0，S10=S20，则这个数列的 前
Sn
项的和最大．
解：因为 a1＞0 且 S10=S20，Sn 的图象如下图，
10
15
ห้องสมุดไป่ตู้20
n
所以 Sn 的图象对称轴为 n＝15， 所以这个数列的前 15 项的和最大．
17 20 解得 ≤m≤ ，因为 m∈N*，所以 m＝6． 3 3 所以当 n 取 6 时， Sn 取得最小值， 最小值为－57. n(n-1) 3 37 解法二：Sn＝n× （—17）＋ × 3＝ n2－ n， 2 2 2
高中数学
必修5
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
我们分析数列为：8，6，4，2，0，－2，－4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最大值？
问题 2：使数列 Sn 取得最大值的项具备什么特征呢？
结论：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
解：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， 10－2m≥0， 即 a ≤ 0 ． m＋1 8－2m≤0．
解得 4≤m≤5，因为 m∈N*，所以 m＝4 或 5． 所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 1．已知等差数列{an}的通项公式 an＝10－2n，当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求此最大值.
问题 1：根据通项公式求出数列前 n 项和 Sn，得 n(n-1) Sn＝n× 8＋ × (－2)＝－n2＋9n 2
2．已知等差数列{an}，a1＜0，d＞0， Sn 存在最小值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最小值．
问题 2：使数列 Sn 取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
am≤0， am＋1≥0．
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
解法一：若 am 使 Sn 取得最小值，则 am 满足：
37 其对称轴为 n＝ ，所以离对称轴最近的整数为 6． 6 所以当 n 取 6 时，Sn 取得最小值，最小值为－57.
1．已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0， Sn 存在最大值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足：
am≥0， am＋1≤0．
方法总结
n(n-1) d 2 d 方法二：Sn＝n× a1＋ × d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最大值．
学以致用
1．在等差数列{an}中，a1＞0，a4+ a14=0，则当 Sn 最大 时的 n 为 ．
解：在等差数列{an}中，因为 a4+ a14=0，所以 a9＝0，
又因为 a1>0，所以 a8>0， 当 Sn 最大时的 n 为 8 或 9．
学以致用
2．在等差数列{an}中，a1＜0，a1＋a12＞0，a6a7＜0， 则当 Sn 最小时的 n 为 ．
问题 2：你能发现 Sn 具有什么特征？
所以当 n 取 4 或 5 时，Sn 取得最大值，最大值为 20.
例题分析
例 2．已知等差数列{an}的通项公式 an＝3n－20，当 n 取何值时，Sn 取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为： －17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题 1： 从数列中可以发现， 数列在第几项时， Sn 取得最小值？
解：在等差数列{an}中，因为 a1＋a12＞0， 所以 a6＋a7＞0，
a6<0， 又因为 a1＜0 且 a6a7＜0，所以 a7>0．
所以当 Sn 最小时的 n 为 6．
学以致用
3．已知等差数列{an}, a1＞0，S10=S20，则这个数列的 前
Sn
项的和最大．
解：因为 a1＞0 且 S10=S20，Sn 的图象如下图，
10
15
ห้องสมุดไป่ตู้20
n
所以 Sn 的图象对称轴为 n＝15， 所以这个数列的前 15 项的和最大．