1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换
1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。
这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。
它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。
2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。
这样我们就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。
3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。
这样我们就建立了空间直角坐标系。
它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。
事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。
若以向量a表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+即有：⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x . 因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确定的变换是一个平移变换。
因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。
例1.①.已知点)3,4(-P 按向量)5,1(=a平移至点Q ，求点Q 的坐标；②.求直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a平移后的方程。
一般地我们有如下关于平移变换的结论：①.将点),(y x P 按向量),(00y x a =平移， 所得点P '的坐标为：),(00y y x x P ++'.②.将曲线0),(:=y x f C 按向量),(00y x a =平移， 所得曲线C '的方程为0),(:00=--'y y x x f C .注：点)3,4(-P 按向量)5,1(=a平移，得点)53,14(++-'P ，即：)8,3(-'P ；直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a平移，得直线012)3(2)2(3:=++--'y x l ，即：023:=-'y x l .2.有关曲线平移的一般性结论①.直线0:=+by ax l ，按向量),(00y x a =平移后得直线0)()(:00=-+-'y y b x x a l . → 过点),(00y x .②.曲线222:r y x C =+，按向量),(00y x a = 平移后得曲线22020)()(:r y y x x C =-+-' → 中心为),(00y x .③.曲线1:2222=+by a xC ，按向量),(00y x a = 平移后得曲线1)()(:220220=-+-'by y a x x C → 中心为),(00y x .④.曲线1:2222=-by a xC ，按向量),(00y x a = 平移后得曲线1)()(:220220=---'by y a x x C → 中心为),(00y x .⑤.曲线px y C 2:2=，按向量),(00y x a =平移后得曲线)(2)(:020x x p y y C -=-' → 顶点为),(00y x .例2.说明方程01118169422=-+-+y x y x 表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.三.平面直角坐标系中的伸缩变换 1. 伸缩变换例3.我们已经知道，方程x y 2sin =所表示的曲线可以看作由方程x y sin =所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21得到的曲线；同理，将方程x y 2s i n =所表示的曲线上所有点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程x y sin =所表示的曲线. 这也就是说，方程x y 2sin =所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方程x y sin =所表示的曲线．实际上，设y y x x '='=,2，则x y 2sin = 可以化为 x y '='sin .由⎩⎨⎧'='=y y x x 2 ，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着y 轴的伸缩变换(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点)．一般地，由⎩⎨⎧'='=y y x x λ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为λ向着y 轴的伸缩变换(当λ>1时，表示伸长；当λ<1时，表示压缩)，即曲线上所 有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的λ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).同理，由⎩⎨⎧'='=y y x x μ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为μ向着x 轴的伸缩变换(当μ>1时，表示伸长；当μ<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的μ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).由⎩⎨⎧'='=y y x x λμ ，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数λ向着x 轴和按伸缩系数μ向着y 轴的伸缩变换(当1>λ时，表示伸长，1<λ时，表示压缩；当1>μ时，表示伸长，当μ<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的λ倍和μ倍(这里),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特征呢?我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化．例4.对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数是41=k . ①.0632=-+y x ；②.1622=+y x .(设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).注：①.直线0632=-+y x 经过伸缩变换后的方程为036=-+y x ， 它仍然表示一条直线；②.圆1622=+y x 经过伸缩变换后的方程为11622=+y x ，它变为椭圆.2.有关曲线伸缩变换的一般性结论①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。
②.曲线0),(:=y x f C 在伸缩变换⎩⎨⎧'='=y y x x λ（或⎩⎨⎧'='=y y x x μ或⎩⎨⎧'='=y y x x μλ）作用下（1,>μλ时表示拉伸，1,<μλ时表示压缩），所得曲线C '的方程为：:C '0),1(=y x f λ（或0)1,(=y x f μ或0)1,1(=y x f μλ）.③.曲线0),(:=y x f C 上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为原来的λ1，可得曲线:C '0),(=y x f λ（或0),(=y x f λ或0),(=y x f λλ，1>λ时表示压缩，1<λ时表示拉伸）.例5.设曲线x y C 2log :=，1log :21-=x y C ，x y C 22log 32:=，9log log 2:223-=x y C .由曲线C 经过何种变换可以得到曲线1C 、2C 、3C .例6.设1M 是),(111y x A 与),(221y x B 的中点，经过伸缩变换⎩⎨⎧'='=y y k x x k 21后，它 们分别为222,,B A M ，求证：2M 是22B A 的中点． (设),(y x P 是变换前的点，),(y x P '''是变换后的点).四.典型例题1.两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，则点M 的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线2.将函数x y sin =图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标拉伸为原来的2倍，得到的函数图象的解析式为 （ ） A.x y 2sin 21=B.x y 21sin 21= C.x y 2sin 2= D.x y 21sin 2=3.将点)2,2(-P 变换为点)1,6(-'P 所用的伸缩变换公式是 （ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 231 B.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 321 C.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 213 D.⎩⎨⎧='='y y x x 234.①已知点)3,2(-P 按向量)4,1(-=a平移至点Q ，求点Q 的坐标;②已知点)2,3(-P 按向量a 平移至点)0,2(Q ，求平移向量a.5.将对数函数x y 3log =曲线的横坐标拉伸为原来的2倍， 求所得曲线的方程.6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 23:ϕ. ①.求点)2,31(-A 经过ϕ变换所得到的点A '的坐标； ②.点B 经过ϕ变换得到点)21,3(-'B ，求点B 的坐标③.求直线x y l 6:=经过ϕ变换后所得到的直线l '的方程；④.求双曲线164:22=-y x C 经过ϕ变换后所得到的曲线C '的焦点坐标.7.在平面直角坐标系中求将曲线1:22=+y x C 变为曲线149:22='+''y x C 的伸缩变换.8.方程07161843:22=++-+y x y x C 表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐标、准线方程、离心率．五.课外练习六.补充练习1.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为 （ ）A.)3,2(y xB.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x2.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y , 则曲线C 的方程为 （ ）A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(l og 2+=x y3.①已知点)2,3(-P 按向量)4,1(-=a平移至点Q ，求点Q 的坐标;②已知点)3,1(P 按向量a 平移至点)1,3(Q ，求向量a.4.写出曲线按向量)3,4(-平移后的方程. ①.0543=+-y x ； ②.x y 82=5.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程. ①.884422=-+-y x y x ； ②.05242=++-y x y .6.对下列曲线向着y 轴进行伸缩变换，伸缩系数21=k .①.x y 3sin 2=;②.14822=-y x ．7.对012422=++-+y x y x 曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数2=k .8.在平面直角坐标系中求将曲线0142:22=+--+y x y x C 变为曲线012444:22=+'-'-'+''y x y x C 的伸缩变换.。
直角坐标系中的平移
课前检测
在平面内，把一个图形的整体沿某一直 线方向移动一定的距离，会得到一个新图形。
图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2）图形平移的性质是什么？
新图形与原图形形状和大小完全相同。
对应点的连线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
仔细观察，点A、 A1、 A2的位置与 坐标之间的关系，你发现了什么？
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1-1
1
2 3 4x
不变，
-2-2
-3 -3
则有A1 (-2,3) ,B1 (-3,1) ,C1 (-5,2) 。 猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状
和位置上有什么关系，为什么？
1.例题探索
如图， △ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点
An´，则 点An ´点的坐标是 （-2-a ，-3） ；
在坐标系中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向上平移5个单位长度得到点A1，
则 点A1点的坐标是 （-2，2） ；
（2）将点A向上平移6个单位长度得到点A2，
则 点A2点的坐标是 （-2，3） ；
应点Ｐ的坐标应为（＿＿4，＿＿2＿.2＿）＿；
y４
Ｐ
●
３
２
４y
３
Ｐ
●
２
１
１
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
－２
－２
－３
－３
图１
图２
8、在直角坐标系中描出以下各点：
平面直角坐标系伸缩变换课件
伸缩变换的矩阵表示
伸缩变换
将平面中的点按照某个方向进行缩放，通常称为放缩变换。
伸缩变换矩阵
放缩变换可以通过一个二阶实对称矩阵来实现，该矩阵称为伸缩变 换矩阵。
伸缩变换矩阵的性质
具有正定的对角线元素，并且其特征值分别对应于放缩变换的两个 方向上的缩放因子。
平面直角坐标系伸 缩变换的优缺点及 展望
平面直角坐标系伸缩变换的优点
便于解决几何问题
通过伸缩变换，可以将复杂的几 何问题转化为简单的代数问题，
从而更便于解决。
丰富数学内容
伸缩变换是一种新的数学方法，可 以丰富数学的教学内容，提高学生 的学习兴趣。
应用广泛
伸缩变换在物理学、工程学等领域 都有广泛的应用，可以帮助学生更 好地理解这些领域的基础知识。
平面直角坐标系伸缩 变换课件
目录
CONTENTS
• 平面直角坐标系基础 • 伸缩变换的基本原理 • 伸缩变换的应用 • 伸缩变换的数学模型 • 伸缩变换的实现方法 • 平面直角坐标系伸缩变换的优缺
点及展望
01
平面直角坐标系基 础
定义与性质
定义
平面直角坐标系是一个二维的数 轴系统，它由两个互相垂直的坐 标轴构成。
伸缩变换的逆变换与等价变换
01
02
03
04
逆变换
如果一个变换可以通过逆变换 还原到原始状态，那么这个变
换就称为可逆的。
等价变换
两个变换可以相互转换，并且 它们对所有点的作用相同，那
么它们称为等价的。
伸缩变换的逆变换
通过伸缩变换矩阵的逆矩阵可 以获得逆变换矩阵。
等价变换的证明
曲线在直角坐标系中的平移和伸缩变换
Ｊ（ 一 日， ’
） 一 ０；
Ｃ： ｘ， ｆ（ ）一 ０
以 — ｂ代 Ｙ． 线 沿 Ｙ 轴 向 上 平 移 ｂ个 单 位 曲
ｂ） 一 ０．
Ｏ ）的 图 像 ） 直 线 、 锥 曲线 等 方 程 的 化 简 是 通 ； 圆
ｆ（ Ｙ — ｘ，
过 坐 标 轴 的 平 移 和 旋 转 （ 实 质 是 同 一 曲 线 在 其
用 上 述 命 题 提 供 的 方 法 解 决 点 的 平 移 变 换 、 线 的平移变 换、 曲 曲线 的 伸 缩 变 换 ， 非 常 是 容 易 的 ． 其 是 高 三 的综 合 复 习 阶段 ， 用 上 述 尤 采
（ ）沿 轴 向左 平 移 ｎ个 单 位 后 ， 得 曲线 ２ 所
Ｃ２ 方 程 是 ｆ ｘ＋ 口 ） 的 （ ， ；
方 法 ， 将 函 数 的 图 像 、 线 、 锥 曲线 和 复 平 可 直 圆 面 内 曲 线 的平 移 变 换 、 缩 变 换 融 合 在 一 起 ， 伸 达
维普资讯
・ ６・ 重 庆 ４ 《 学 教 学 通 讯 ＞ ０ ２年 第 ８期 （ 第 １ ３期 ） 数 ＞ ０ ２ 总 ５
是 数 学 等 自然 学 科 中 经 常 遇 到 的 问题 ． 究 它 ， 研
碧 李Biblioteka 叔 珉 （ ）沿 ｙ轴 向 上 平 移 ｂ 单 位 后 ， 得 曲线 ３ 个 所
Ｃ 的 方 程 是 ｆ ｘ， （ Ｙ一 ６ ； ）
不 仅 可 以 深 化 数 形 结 合 、 价 转 换 的 数 学 思 想 等
命 题 １ 将 点 Ｍ （ ） ｘ，
（ ）沿 轴 向 右 平 移 ｎ个 单 位 后 ， 得 点 １ 所
Ｍ 坐 标 是 （ ＋ 口 Ｙ ； 的 ， ）
讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换
2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。
数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。
通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。
计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。
通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。
例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。
例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。
距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。
1_1_2、平面直角坐标系中的伸缩变换
纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1， a
2）当0 < a <1时，将y = f(x)图象上每一个点的
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1 倍，
即得函数y = f(ax)的图象；a
特殊地：y=sin x, x R( >0, 1)的图象能够由y=sinx
1.1.2平面直角坐标 系中的伸缩变换
• 教学目标：
• （1）学会用坐标法来解决几何问题。
• （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联 系，知道图形之间是能够类与类变换的。
• （3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变 换公式。
• 教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。
• 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结 体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、 剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
(C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的1 倍,横坐标不变 2
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
5
(3)为了得到函数y 4sin( x )的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的3 倍,纵坐标不变 4
亿元上升到1995年6月的18.281亿元，能够用图1和图2来
表示增长幅度。
贷款/亿元
20
贷款/亿元
18
18 16
图1 16
14
14
图2
3 6 月份
3 6 月份
这两个图中所表示的数据是相同的，但是给我们的感
觉是图2显示的增长的幅度要大，产生这种误解的原因是
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
平面直角坐标系知识点平面直角坐标系中的伸缩变换坐标系的作用
一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。
再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。
数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。
再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。
如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。
平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。
平面直角坐标系中的伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换【知识要点归纳】（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。
（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。
（3） 设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,:μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
（1） 将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，（2） 曲线0222=--x y x 变成曲线0416/22=-'-'x y x【解题能力测试】1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21 B .2 C.3 D.312.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 35后，曲线C 变为曲线18222='+'y x 则曲线C 的方程为（ ）A ．1725022=+y x B.1100922=+y x C ．12410=+y x D.19825222=+y x 3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
4.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 3121后的图形。
求： （1）;025=+y x （2）122=+y x 。
平面直角坐标系及伸缩变换
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。