概率论与数理统计总复习

第一章 随机事件与概率一、教学要求1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算．2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．本章重点：随机事件的概率计算．二、知识要点1．随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用Ω表示，其中的每一个结果用e 表示，e 称为样本空间中的样本点，记作{}e Ω=．2．随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作Ω)与不可能事件(记作φ)看作特殊的随机事件．3．事件的关系及运算(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =．(3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的和，记作12n A A A ⋃⋃⋃ （简记为1n i i A = ）．(4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,n A A A 同时发生”这一事件称为1,2,,n A A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂ （简记为12n A A A 或1n i i A = )．(5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容．(6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ．(7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．(8) 交换律：对任意两个事件Ａ和B 有A B B A ⋃=⋃，AB BA =．(9) 结合律：对任意事件A ，B ，C 有()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃， ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂．(10) 分配律：对任意事件A ，B ，C 有()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃， ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂．(11) 德 摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.4．频率与概率的定义(1) 频率的定义设随机事件A 在n 次重复试验中发生了A n 次，则比值A n ／n 称为随机事件A 发生的频率，记作()n f A ，即()An n f A n =. (2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数n 很大时，频率()n f A 在一个稳定的值p (0<p <1)附近摆动，规定事件A 发生的频率的稳定值p 为概率，即()P A p =．(3) 古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i) 试验的样本空间Ω是个有限集，不妨记作12{,,,}n e e e Ω= ;(ii) 在每次试验中，每个样本点i e (1,2,,i n = ）出现的概率相同，即12({})({})({})n P e P e P e === ．在古典概型中，规定事件A 的概率为()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．(4) 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·(5) 概率的公理化定义设随机试验的样本空间为Ω，随机事件A 是Ω的子集，()P A 是实值函数，若满足下列三条公理：公理1 (非负性) 对于任一随机事件Ａ，有()P A ≥0；公理2 (规范性) 对于必然事件Ω，有()1P Ω=；公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件1,2,,,n A A A ，有11()()i i i i P A P A ∞∞===∑ ，则称()P A 为随机事件Ａ的概率．5．概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质(1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容，则有121()()n n i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑ ．(3) 对于任意一个事件A ：()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) 对于任意一个事件A ，有()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ，有111111()()()()(1)()n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑ . 6．条件概率与乘法公式设A 与B 是两个事件．在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率称为条件概率，记作(|)P A B ．当()0P B >，规定 ()(|)()P AB P A B P B =.在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质．乘法公式：对于任意两个事件A 与B ，当()0P A >,()0P B >时，有()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.7．随机事件的相互独立性如果事件A 与B 满足()()()P AB P A P B =，那么，称事件A 与B 相互独立．关于事件A ，月的独立性有下列两条性质：(1) 如果()0P A >，那么，事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)()P B A P B =；如果()0P B >，那么，事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)()P A B P A =．这条性质的直观意义是“事件A 与B 发生与否互不影响”．(2) 下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立；(ii) 事件A 与B 相互独立；(iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n = ，任意的11k i i n ≤<<≤ ，若事件1,2,,n A A A 总满足11()()()k k i i i i P A A P A P A = ，则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21nn --个等式．8．贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，称这组概率为二项概率．9．全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容，且1n i i A ==Ω ，()0i P A >，1,2,,i n = ，则 1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k n i ii P A P B A P A B k n P A P B A ===∑ ．三、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章 离散型随机变量及其分布一、教学要求1．理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用．２．理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．３．理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布．4．掌握离散型随机变量独立的条件．5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布．本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算．二、知识要点1．一维随机变量若对于随机试验的样本空间Ω中的每个试验结果e ，变量X 都有一个确定的实数值与e 相对应，即()X X e =，则称X 是一个一维随机变量．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．2．离散型随机变量及其概率函数如果随机变量X 仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X 为离散型随机变量．设离散型随机变量X 的可能取值为(1,2,,,)i a i n = ，(),1,2,,,.i i p P X a i n ===若11i i p ∞==∑，则称(1,2,,,)i p i n = 离散型随机变量X 的概率函数，概率函数也３．概率函数的性质(1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2) 11i i p ∞==∑．由已知的概率函数可以算得概率 ()i ia S P X S p ∈∈=∑，其中，S 是实数轴上的一个集合．４．常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n = ，01p <<．（３）超几何分布，设,,N M n 为正整数，且,n N M N ≤≤，又设随机变量X 的概率函数为(),0,1,,M N M k n k P X k k n N n -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．则称随机变量X 服从参数为,,N M n 的超几何分布．(４) 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n = ，0λ>．(５) 均匀分布，它的概率函数为1()i P X a n ==，其中，0,1,2,,i n = ．(６) 几何分布()G p ，它的概率函数为1()(1)i P X ip p -==-， 其中，1,2,i = ，01p <<．５．二维随机变量若对于试验的样本空间Ω中的每个试验结果e ，有序变量(,)X Y 都有确定的一对实数值与e 相对应，即()X X e =， ()Y Y e =，则称(,)X Y 为二维随机变量或二维随机向量．6．二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量(,)X Y 仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(,)X Y 为二维离散型随机变量．二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij ij i j p i j p ≥==∑∑ ．7．二维离散型随机变量的边缘概率函数设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率函数（,1,2,i j = ），称概率()(1,2,)i P X a i == 为随机变量X 的边缘概率函数，记为i p 并有.(),1,2,i i ij j p P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j == 为随机变量Y 的边缘概率函数，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij i P Y b p j ===∑ .8．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j == 对一切 多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．９．二维离散型随机变量(,)X Y 的条件概率函数设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率函数 (,1,2,)i j = ，X 在给定j Y b =下的条件概率函数为(|),1,2,;ij i j j p P X a Y b i p ⋅==== Y 在给定i X a =下的条件概率函数为(|),1,2,ij j i i p P Y b X a j p ⋅==== 10．随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y =但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．1１．二维离散型随机变量函数的分布如果二维离散型随机变量的联合概率函数为(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====则随机变量函数(,)Z g X Y =的概率函数为((,)),,1,2,,i j ij P Z g a b p i j ===但要注意，取相同(,)i j g a b 值对应的那些概率应合并相加．特别有下面的结论：(j) 设~(,),~(,)X B m p Y B n p ，且X 与Y 相互独立，则~(,)X Y B m n p ++； (ii) 设12~(),~()X P Y P λλ，且X 与Y 相互独立，则12~()X Y P λλ++．三、思考题１．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少于１００００元的概率．２．已知二维随机变量(,)X Y 的联合概率函数为YX ０ １ ２０ 19 118 16１ α β 19问,αβ取何值时，X 与Y 相互独立？第三章 连续型随机变量及其分布一、教学要求1．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用．2．理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．3．理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布．4．理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件．5．掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义．6．会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布．７．会求简单随机变量函数的概率分布．本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算．二、知识要点1．分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即()(),F x P X x x =≤-∞<<∞．2．分布函数()F x 的性质(1) 0()1;F x ≤≤(２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤；(3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;(4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=．由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ()()();P a X b F b F a <≤=-也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即(,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞．4．联合分布函数的性质(1) 0(,)1F x y ≤≤；(2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数；(3)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==， (,)0,(,l i m l i m x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==； (4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数；(5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+．5．连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()xF x f x dx -∞=⎰成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度．6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥（２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）连续型随机变量X 的分布函数为()F x 是连续函数，且在()F x 的连续点处有()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==；(5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()ba f x dx ⎰．7．常用的连续型随机变量的分布(1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为1,;()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中，0λ>． (3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为2()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即 ()xΦ22()tx x dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到 ()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)x y F x y f s t dtds -∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度．９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；(3) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ，有((,))0P X Y L ∈=； ’ (4) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(5) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．1１．二维连续型随机变量(,)X Y 的条件概率密度 设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 在给定Y y =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()X Y Y f x y f x y x f y =-∞<<+∞， 其中()0Y f y >；Y 在给定X x =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()Y X X f x y f y x y f x =-∞<<+∞，其中()0X f x >．1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y xf x yμμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ，则211~(,)X Nμσ，222~(,)Y Nμσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．1３．随机变量的相互独立性．如果X与Y的联合分布函数等于,X Y的边缘分布函数之积，即(,)()(),,X YF x y F x F y x y=-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X与Y相互独立．设(,)X Y为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Yf x y f x f y=在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ．那么，X与Y相互独立的充分必要条件是0ρ=．多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论．1４．随机变量函数的分布（１）一维随机变量函数的概率密度设连续型随机变量X的概率密度为()Xf x，则随机变量()Y g X=的分布函数为()()(())()()yY y XIF y P Y y P g X y P X I f x dx=≤=≤=∈=⎰其中，{}yX I∈与{()}g X y≤是相等的随机事件，而{||()}yI x g x y=≤是实数轴上的某个集合．随机变量Y的概率密度()Yf y可由下式得到：'()()Y Yf y F y=．连续型随机变量函数有下面两条性质：(i)设连续型随机变量的概率密度为()Xf x，()Y g X=是单调函数，且具有一阶连续导数，()x h y=是()y g x=的反函数，则()Y g X=的概率密度为()(())|'()|Yf y f h y h y=⋅．(ii) 设2~(,)X Nμσ，则当0k≠时，有22~(,)Y kX b N k b kμσ=++，特别当1,k bμσσ==-时，有~(0,1)Y kX b N=+，~(0,1)XNμσ-．（２）二维随机变量函数的概率密度设二维连续型随机变量(,)X Y的联合概率密度为(,)f x y,则随机变量函数(,)Z g X Y=的分布函数为()()((,))((,))(,)ZZ Z D F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy=≤=≤=∈=⎰⎰,其中，{(,)Z XY D ∈是与{(,)g X Y z ≤等价的随机事件，而{(,):(,)}Z D x y g x y z =≤是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集)．随机变量函数(,)Z g X Y =的概率密度为'()()Z Z f z F z =.当X 与Y 相互独立，且X 的概率密度为()X f x ,Y 的概率密度为()Y f y 时，随机变量函数Z X Y =+的概率密度为()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰,或 ()()()Z XY f z f x f zx d x+∞-∞=-⎰．以上两个公式也称为卷积公式．当X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为()X F x ,Y 的分布函数为()Y F y 时，随机变量函数max(,)Z X Y =的分布函数为()()()Z X Y F z F z F z =，随机变量函数max(,)W X Y =的分布函数为()1(1())(1())W X Y F w F w F w =---． 通过求导，可以求得,Z W 的概率密度． 特别有下面的结论：设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，且X 与Y 相互独立，则221212~(,)X Y N μμσσ+++．三、思考题１．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,x y xye x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩其它. 求(3).P X Y ≥２．若X Y 与为相互独立的分别服从[0,1]上均匀分布的随机变量，试求Z X Y =+的分布密度函数．第四章 随机变量的数字特征一、教学要求1．理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差，2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差．3．会根据随机变量X 的概率分布计算其函数()g X 的数学期望[()]E g X ；会根据随机变量(,)X Y 的联合概率分布计算其函数(,)g X Y 的数学期望正[(,)]E g X Y ． 4．理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。