浙江省杭州市高考数学第一次科目教学质量检测试题 文 新人教A版
寻思沉潜如深海_为有源头活水来——2023年新高考数学Ⅰ卷第21题的源与流
)
１
１ １
１
,则 p１ － ＝ ,所 以 pi －
是首
２
３ ６
３
{
}
１
２
,公比为 的等比数列 ．
６
５
１ １
２
所以 pi － ＝ ×
３ ６
５
( )
故 pi ＝
１
２
×
６
５
(Ⅲ )作差法
( )
i－１
＋
i－１
pi ＝p１ ＋ (
p２ －p１ )＋ ＋ (
pi －pi－１ )
１－０．
４
＝０．
５＋ (－０．
掉 １ 元,赌徒 就 会 一 直 玩 下 去,直 到 遇 到 如 下 两 种 情
况才会结束 赌 博 游 戏:一 种 是 手 中 赌 金 为 ０ 元,即 赌
徒输光;一种是赌金达到预 期 的 B 元,赌 徒 停 止 赌 博 ．
∗
记赌徒的本金为 A (
A ∈N ,
A ＜B )赌 博 过 程 如 图 ４
的数轴所示 ．
ú ３ １８ êë
５
úû
( )
n
ùú n
úû ＋ ３ ．
思路 ２:利用结论,突出本质 ．
１
２ i－１ １
×
＋ ,
i＝１,
２,
n．
６
５
３
设在 第i 次 投 篮 中 甲 的 投 篮 次 数 为 Yi ,则 Yi 服
( )
从两点分布,且
P(
Yi ＝１)＝１－P (
Yi ＝０)＝pi ．
由题干中给出的结论,则
计算用传统方法非常复 杂,而 直 接 采 用 马 尔 可 夫 转 移
2014年浙江省高考文科数学压轴卷试题 新人教A版
2014浙江省高考压轴卷文科数学一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合{}{}2|38,|8120A x x B x x x =≤≤=-+<，则A B ⋂=A.{}|28x x <≤B. {}|26x x <≤C. {}|36x x ≤<D. {}|68x x <≤2．若复数z =（其中i 是虚数单位），则z = A．．1 D ．1 3. 已知非零向量,a b ，则“20a b -=”是“a b a b +=+”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知12,e e 为互相垂直的单位向量，若向量12e e λ+与12e e λ+的夹角等于30︒，则实数λ等于 A.± B.3±35．执行如同所示的程序框图，若输出的值16S =，则输入自然数n 的最小值应等于A ．7B ．8C ．9D ．106．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线222223x y m n-有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是 A ．15y x =±B ．2y x=± C ．3y x=± D ．4y x =± 7.若,x y 满足约束条件10222x y y x y +-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，且z kx y =+取得最小值是的点有无数个，则k =A ．1-B ．2C ．12-或D ．12或-8.已知等差数列{}n a 的公差0,n d S ≠是其前n 项和，若2215a a a =，且69353a a a +=+，则2nn S 的最大值是A ．12 B ．2532C ．1D ．98 9．设双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，若双曲线的渐近线被圆22:100M x y x +-=所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为A ．54 B ．53 C ．43 D ．210．设函数()()f x g x 与是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有()()()0f x g x k k -≤>，则称()()f x g x 与在[],a b 上是“k 度和谐函数”， [],a b 称为“k度密切区间”.设函数()()1mx f x g x x -==lnx 与在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是A ．[]1,1e --B ．[]1,1e -+C ．1,1e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．11,1e e e ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11. 函数()212,02,0x x x x f x x +⎧++≥=⎨<⎩，则()()1f f -= ________. 12. 已知向量()()4,3,2,1a b ==-，若()0a b b λ+⋅=，则2a bλ-的值为_______. 13．若圆()2220x y rr +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围是 .14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .15.已知0,0,22x y xy x y >>++=则2x y +的最小值是 .16.一个不透明的袋中有4个除颜色外其他都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个，若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，则连续取两次球所得分数之和为2或3的概率为 . 17.如图，已知()ABC AB AC ∆>的面积是，且则6,AB AC BC ⋅==，M 是BC 的中点，过M 作MH AB ⊥于H ，则MH BC ⋅= .三、解答题（共5小题，共72分）18. 已知函数()()cos 0f x A x ωω=>的部分图象如图所示，且,6MQP MQ π∠==（1）求MP 的长；（2）求函数()f x 的单调递减区间.19.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*111,21, 2.n n a S S n N n -=-=∈≥且 （1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若()*n nnc n N a =∈，求数列{}nc 的前n 项和n T20.如图，在三棱锥A-BOC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=OC=2，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点.（1）求证：AC BOF ⊥平面；（2）过EF 作平面与棱OA ，OB ，OC 或其延长线分别交于点111,,A B C ，已知132OA =，求直线1OC 与平面111A B C 所成角的正弦值.21.已知函数()()()2214ln .2m f x x m x x m R =+--∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(]0,2x ∈，都有()0f x ≥成立，求实数m 的取值范围.22.如图，过抛物线()21:20C x py p =>上第一象限内的点P 作1C 的切线，依次交抛物线22:2C x py =-于点Q ，R ，过Q,R 分别作2C 的切线，两条切线交于点M.（1）若点P 的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且过抛物线21:2C x py =上的点P 的切线点()1,0，求抛物线1C 的方程；（2）在（1）的条件下，（i ）证明：点M 在抛物线1C 上；（ii ）连接MP ，是否存在常数λ，使得PQM MQR S S λ∆∆=？若存在，求出满足条件的常数λ，若不存在，说明理由.2014浙江省高考压轴卷文科数学参考答案一、选择题答案1-5 CBADC 6-10 DDDAB 二、填空题答案11.412.11<r 14.8π 15.4 16.58 17.278-18.解：(1)结合函数()f x 图象的对称性易知：MP=PN=NQ （1分）2222cos MP MQ PQ MQ PQ MQP =+-⋅⋅∠，即(()222222cos6x x x π=+-⨯， （3分）整理得2440x x -+=，解得2x =，故所求MP=2 （5分） （2）由（1）知2,4,MP PQ MQ ===222MP MQ PQ +=，所以MPQ ∆是直角三角形，且3MPN π∠=（6分）又由2,3MP PN MPN π==∠=知，MPN ∆是边长为2的等边三角形 （7分）所以MN=2，所以24T πω==，解得2πω=又点P 到xA ,于是函数()2xf x π= （９分）令22,2xk k k Z ππππ≤≤+∈，解得442,k x k k Z ≤≤+∈ （１１分）故函数()f x 的单调递减区间为[]()4,42k k k Z +∈ （１４分）19.解：（１）当2n ≥时，由112121n n n n S S S S -+-=⎧⎨-=⎩两式相减得120n n a a +-=，即12n n a a +=，所以3542342a a a a a a ==== （４分）又当2n =时，2121S S -=，所以2221123,2,2a S a a =+=== （６分） 所以()*12n na n N a +=∈，所以数列{}n a 是以１为首项，２为公比的等比数列. （7分） （2）由（1）得12n n a -=，所以112n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， （8分）令()01232111111112341222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()123411111111123412222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，()0123111111111111222122222222212nn n n nn T n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-⨯=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以()11422n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭ （14分）20.证明：（1）因为,,OB OA OB OC OA OC O ⊥⊥⋂=，所以.OB AOC ⊥平面 因为AC AOC ⊂平面，所以AC OB ⊥ 因为OA=OC ，F 是AC 的中点，所以AC OF ⊥，又OB OF O ⋂=，所以.AC BOF ⊥平面 （5分） （2）过点O 作11OP A B ⊥于点P ，连接1PC 。
高考数学一轮复习综合测试卷一含解析新人教A版
综合测试卷(一)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z =2-i 1+i(i 为虚数单位),则复数z 的模等于( )A.√102B.3√22C.√3D.√52答案 A 由于z =2-i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2,∴|z |=|12-32i |=√(12)2+(-32)2=√102.故选A .2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M ={x |0<x <5},N ={x |m <x <6},若M ∩N ={x |3<x <n },则m +n 等于 ( )A.9B.8C.7D.6答案 B 因为M ∩N ={x |0<x <5}∩{x |m <x <6}={x |3<x <n },所以m =3,n =5,因此m +n =8.故选B . 3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为230×42×3.14159≈146.4米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C . 4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x 2=2py (p >0)上一点(1,m )到其准线的距离为54,则抛物线的方程为( )A.x 2=y B.x 2=2y 或x 2=4y C.x 2=4y D.x 2=y 或x 2=4y答案 D 由已知可得m =12p ,则12p +p 2=54,化简得2p 2-5p +2=0,解得p =12或p =2,所以抛物线方程为x 2=y 或x 2=4y.5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x ,y 之间的线性回归方程为p^=-0.7x +10.3,且变量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是 ( ) x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ,y 之间成负相关关系B.可以预测,当x =20时,p^=-3.7 C.m =4D.该回归直线必过点(9,4)答案 C 由-0.7<0,得变量x ,y 之间成负相关关系,故A 说法正确;当x =20时,p^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B 说法正确; 由表格数据可知。
高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学
第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。
2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。
3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
阶段质量检测(三) 不等式【2020人教A版高中数学必修5培优新方案浙江专用 习题】
阶段质量检测（三） 不等式一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 解析：选D 结合二次函数的图象，可知若ax 2＋bx ＋c <0，则⎩⎨⎧a <0，Δ<0.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ＋1>0所表示的平面区域是( )解析：选D 不等式x －y ＋5≥0表示的区域为直线x －y ＋5＝0及其右下方的区域，不等式x ＋y ＋1>0表示的区域为直线x ＋y ＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.3．已知a <b <|a |，则( ) A.1a >1b B ．ab <1 C.a b >1D ．a 2>b 2解析：选D 由a <b <|a |，可知0≤|b |<|a |，由不等式的性质可知|b |2<|a |2，所以a 2>b 2，故选D.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.5．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1， 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 6．已知关于x 的不等式：|2x －m |≤1的整数解有且仅有一个值为2(其中m ∈N *)，则关于x 的不等式：|x －1|＋|x －3|≥m 的解集为( )A ．(－∞，0]B ．[4，＋∞)C ．(0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选D 由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12，∵不等式的整数解为2，∴m －12≤2≤m ＋12，解得 3≤m ≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4.问题转化为解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x ≤1时，不等式为 1－x ＋3－x ≥4，解得 x ≤0； 当1＜x ≤3时，不等式为 x －1＋3－x ≥4，解得x ∈∅. 当x ＞3时，不等式为x －1＋x －3≥4，解得x ≥4.综上，不等式解为(－∞，0]∪[4，＋∞)．故选D.7．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，则不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <g (x )max ，又g (x )max ＝g (4)＝－2，所以a <－2.8．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝3，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：选C 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．若平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝3，则说明直线x －2y ＝3与区域有交点，即点A (－m ，m )位于直线x －2y ＝3的下方即可，则点A 在区域x －2y －3＞0内，即－m －2m －3＞0，得m ＜－1，即实数m 的取值范围是(－∞，－1)，故选C.9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件 B ．80件 C ．100件D ．120件解析：选B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8时取等号，得x ＝80. 所以每批应生产产品80件，才能使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小。
(课标专用 5年高考3年模拟A版)高考数学 第六章 数列 3 等比数列及其前n项和试题 文-人教版高
等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法 【方法集训】方法 等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析 设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二 等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三 等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二 等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三 等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析 设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组 教师专用题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】 时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。
浙江省2014年高考数学测试卷试题 理 新人教A版
2014年浙江省高考测试卷数学(理科)选择题部分(共50分)参考公式： 球的表面积公式S =4πR 2球的体积公式 V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高如果事件A , B 互斥, 那么 P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合S ＝{x |3＜x ≤6}，T ＝{x |x 2－4x －5≤0}，则 ＝A ．(－∞，3]∪(6，＋∞)B ．(－∞，3]∪(5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)2. 已知i 是虚数单位，则3i2i-+＝ A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i3．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 35．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ．A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，则m ∥n6．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A ：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色R (S ∩T ) 俯视图534 3(第4题图)相同”，事件B ：“三次取到的球颜色都相同”，则P (B |A )＝ A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 8．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列9．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为ABC ．2 D10．如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，满足DE ＝EF ＝3，DF ＝2的△DEF 个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4xy OA B F 1F 2(第9题图)ABCP DE F (第10题图)(第7题图)非选择题部分(共100分)二、 填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
高考数学 大题精做02 解三角形(含解析)文 新人教A版
精做02 三角形1．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin cos 20bA aB a --=． （1）求角B 的大小； （2）若7b =，ABC △的面积为32，求a ，c 的值． 【答案】（1）2π3B =；（2）1,2,a c =⎧⎨=⎩或2,1.a c =⎧⎨=⎩.（2）∵2221sin ,22cos ,ABCS ac B b a c ac B ⎧=⎪⎨⎪=+-⎩△∴2212π3sin ,2322π2cos 7,3ac a c ac ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩即222,5,ac a c =⎧⎨+=⎩ ∴1,2,a c =⎧⎨=⎩或2,1.a c =⎧⎨=⎩2．已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+.（1）求角A 的大小；（2）若224b c +=，求△ABC 的面积. 【答案】（1）60︒；（2）3. 【解析】（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==，∴113sin 1sin 60224△==⨯⨯︒=ABC S bc A . 3．已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且25sin sin cos 3a A Bb A a +=. （1）求b a； （2）若22285c a b =+，求角C 的大小. 【答案】（1）53；（2）23π.【解析】（1）由正弦定理，得225sin sin sin cos sin 3A B B A A +=,即225sin (sin cos )sin 3B A A A +=，故5sin sin 3B A =，所以53b a =.（2）设5(0)b t t =>，则3a t =， 于是222222889254955c a b t t t =+=+⋅=，即7c t =. 由余弦定理得222222925491cos 22352a b c t t t C ab t t +-+-===-⋅⋅， 所以23π=C . 4．如图，在ABC △中，15sin 4C =，且ππ,22C AB <<=，3sin sin BAC AB B ∠=⋅.（1）求ABC △的面积；（2）已知D 在线段BC 上，且BAD CAD ∠=∠，求sin ADB ∠的值. 【答案】（1）31516；（2）78.∴32b =，故ABC △的面积11315315sin 1222S ab C ==⨯⨯⨯=. （2）依题意,2227cos 28b c a BAC bc +-∠==， 又2cos 12sin BAC DAC ∠=-∠， 所以1sin 4DAC ∠=， 故()1115157sin sin 44448ADB DAC C ⎛⎫∠=∠+∠=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. 5．在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足2cos 23=-a C b c . （1）求A 的大小；（2）现给出三个条件：①2a =； ②45B =o ；③3c b =.试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积（只需写出一个方案即可，写多种方案以第一种方案记分）. 【答案】（1）6π；（2）见解析.（2）方案一：选择①②. 由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 22sin a Bb A==()26sin sin sin cos cos sin C A B A B A B +∴=+=+=． 1126sin 22231224ABC S ab C +∴==⨯⨯⨯=+△.方案二：选择①③.由余弦定理得2222cos b c bc A a +-=，则222334b b b +-=,解得2,23b c ==， 故111sin 2233222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△． 说明:若选择②③,由3c b =得6sin 3sin 12C B ==>，显然不成立，则这样的三角形不存在．6．如图，在四边形ABCD 中，ACB ∠与∠D互补，,31cos =∠ACB AD AB BC AC 4,32===.（1）求AB 的长； （2）求ACD ∠sin . 【答案】（1）4；（2）69.由正弦定理知sin sin AC ADD ACD =Ð，即ACD∠=sin 132232，解得96sin =∠ACD . 7．已知,,a b c 分别是ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos ;B （2）若90B =o ，且2,a =求ABC △的面积.【答案】（1）14（2）1.【解析】（1）由题设及正弦定理得22b ac =， 又a b =，所以2,2b c a c ==，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （2）由（1）知22b ac =.因为B =90°，所以由勾股定理得222a cb +=.故222a c ac +=，得2c a ==. 所以ABC △的面积为1.【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形方向，本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，是基础题.8．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足22(cos )2ac b A b a -=-. （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，1129cos ,72A BD ==，求△ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）103.在△ABC 中，由正弦定理得sin sin c bC B=， 由已知得43sin A =，∵AE BC =，∴22129c a a c =++⋅ ③. 由已知得，43sin 7BAC ∠=，则53sin sin()C A B =+=，由正弦定理得sin 5sin 8c ACB a BAC ∠==∠ ④. 由③④解得5,8c a ==， 故1sin 1032△=⋅⋅∠=ABC S c a ABC . 9． ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】（1）12；（2）2BD =1AC =. 【解析】（1）1sin 2△=⋅∠ABD S AB AD BAD ，1sin 2△=⋅∠ADC S AC AD CAD ，因为2△△=ABD ADC S S ，BAD CAD ∠=∠， 所以2AB AC =． 由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（2）因为::△△=ABD ADC S S BD DC ， 所以2BD =．在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=． 由（1）知2AB AC =， 所以1AC =．10．（2016·四川卷文）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cCb B a A sin cos cos =+. （1）证明：sin A sin B =sin C ； （2）若bc a c b 56222=-+，求tan B . 【答案】（1）详见解析；（2）4. 【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，所以sin A 241cos 5A -=. 由（1），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ， 故tan B =sin cos BB=4. 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个定理，否则难以得出结论．。
高考数学 3.4 函数y=Asin(wx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件 文 新人教A版
(1)定点：先确定五点.即令ωx+φ分别等于0,，π, 3 , 2π，
2
2
得对应的五点为：_(____, 0_)_,_(_2____,_A_)_，_(_____, 0_)_,(_3_2____,__A_)_,
_(_2_____,_0_) _.
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次 连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象. (3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ) 在R上的图象.
(2)y＝sin(x－ )的图象是由y＝sinx的图象向_____平移
4
_____个单位得到的.
(3)y＝sin(x－ )的图象是由y＝sin(x＋ )的图象向_____
4
4
平移_____个单位得到的.
(4)y=sin(2x+ )的图象是由y=sin2x的图象向_____平移
3
_____个单位得到的.
在物理学上，当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)
表示简谐运动时，则A叫做__振__幅___，T 2 叫做_周__期____，f 1
T
叫做__频__率___，ωx+φ叫做__相__位___，x=0时的相位φ叫做_初__相____.
【即时应用】 如图，它表示电流I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|＜ )在
y=Asin(ωx+φ)的图象 向上(k>0)或向下(k<0)
平移|k|个单位长度
y=Asin(ωx+φ)+k的图象．
(2)先伸缩后平移
【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)6.4 数列求和文档专练 文 新人教a版
§6.4 数列求和1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2.常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 利用裂项相消法求和.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为 ( )A.2n ＋n 2－1B.2n ＋1＋n 2－1C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n 2－2答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________.答案 4－n ＋42n解析 设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n.题型一 分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解. 解 由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n )]n 个＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2. 题型二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1. 故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{c n }对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×c n 的前n 项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练. (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n 1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n . 所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和. 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ， ①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列. (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2， b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .S n ＝－12n 2＋kn 及S n 最大值为8S n 是n 的二次函数 n ＝k 时(S n )max ＝S k ＝8(根据S n 的结构特征确定k 值) k ＝4，S n ＝－12n 2＋4n利用a n 、S n 的关系 a n ＝92－n9－2a n 2n ＝n2n －1 根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1①①式两边同乘以22T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②错位相减T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.规范解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2 ②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 失误与防范1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )A.nn ＋1 B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5n n ＋1答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4nn ＋1.2.已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A.20B.17C.19D.21答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0， 即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号， 因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A.0B.100C.－100D.10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.故选B.4.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A.31B.120C.130D.185答案 C解析 a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20) ＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.5.数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A.－10B.－9C.10D.9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 二、填空题6.数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________.答案n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18，6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n .7.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，②①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.8.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解. ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.三、解答题9.已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *).(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，所以c n ＝(3n －2)×(14)n (n ∈N *).所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ，于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1.两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N *).10.若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列. (1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比； (2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)， 所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d . 因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ， 所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2. 因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1. 所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4.(2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1. (3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32.要使T n <m20对所有n ∈N *都成立，则有m 20≥32，即m ≥30.因为m ∈N *，所以m 的最小值为30.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A.2 008B.2 010C.1D.0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008， －2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2.(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n 、b n 、c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案 B解析 因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1，S 2＝3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a12＝1312a 1，c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1，S 3＝3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3.(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求. a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12.(1)解 当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ， 则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2， ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0，∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12.5.直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，知圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ， 半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1)＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1).当n 为奇数时，n ＋1为偶数， T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1)＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1).而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2).所以T n＝⎩⎨⎧n 2－n 2＋23(2n－1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n－2)(n 为奇数).。
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1 2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测 考生须知: 1. 本卷满分150分,考试时间120分钟. 2. 答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卷.
参考公式： 如果事件BA,互斥,那么)()()(BPAPBAP. 如果事件AB，相互独立,那么()()()PABPAPB 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：()(1)(0,1,2,3,,).kknknnPkCppknL
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数121izi，其中i是虚数单位，则复平面上，复数z所对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．平面向量a与b的夹角为60o，且a(2,0)，b1，则2a+b( ) A. 3 B. 23 C. 4 D. 12 3．设aR，则“4a”是“直线1:230laxy与直线2:20lxya平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．设函数()2xfx，则下列结论正确的是( ) A. (1)(2)(2)fff B. (2)(1)(2)fff C. (2)(2)(1)fff D. (1)(2)(2)fff 5．设等差数列na的前n项和为nS，若718aaa，则必定有( ) A. 70S,且80S B. 70S,且80S C. 70S,且80S D. 70S,且80S 开始
2nn
否
n＝3n+1
n为偶数
n＝5，k＝0 是 2
6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7．设是第三象限角，且tan2，则sin()cos()23sin()2 ( )
A. 55 B. 55 C. 255 D. 255 8．设函数()log(01)afxxa的定义域为[,](mnm)n,值域为[0,1],若nm的最小值
为13,则实数a的值为( ) A. 13或23 B. 23或34 C. 14或13 D. 14或34 9．设12,FF分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左,右焦点,以12FF为直径的圆与双曲 线C在第二象限的交点为P,若双曲线C的离心率为5，则21cosPFF等于( )
A. 35 B. 34 C. 45 D. 56
10．若函数11,(,2)()1(2),[2,)2xxfxfxx，则函数()()1Fxxfx的零点的个数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分. 请将答案填在答题卷的横线上. 11．在等比数列na中，若251,8,aa则8a ．
12．若sincos1xx，则221sin2cossinxxx ．
(第6题) 3
13．若正数,xy满足1xy，则41xy的最小值为 ． 14．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,L 的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为na，若17na，8na，则n ．
15．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若22212abc,则直线0axbyc被圆2x 29y
所截得的弦长为 ．
16．若实数,xy满足不等式组070yxxy,则2xy的最大值为 ． 17．设Q为圆C:2268210xyxy上任意一点,抛物线28yx的准线为l.若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则mPQ的最小值为 ． 三、解答题：本大题有5小题,共72分. 解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。 18．(本题满分14分)设2()6cos3sin2(fxxxxR). (Ⅰ)求()fx的最大值及最小正周期；
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足()323fA,12B，求222abcab的值.
19．(本题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(1,sin)A，n= (sin,1cos)AA，且m//n
(Ⅰ)若2，求角A的大小； (Ⅱ)若sinsin3sinBCA，求实数的取值范围.
20．(本题满分14分)设在等差数列na和等比数列nb中，111,2,0nabb(nN*),且122,,bab成等差数列，223,,2aba成等比数列.
(Ⅰ)求数列na,nb的通项公式； 4
(Ⅱ)设nnbca,数列nc的前n项和为nS,若2142nnnSnbtSn恒成立，求实数t的取值范围. 21．(本题满分15分) 设函数2()(2)ln,fxxaxax(其中0a) (Ⅰ)当1a时,求函数()fx的极小值； (Ⅱ)当4a时,给出直线1:520lxym和2:30,lxyn其中,mn为常数，判断直线1l或2
l
中，是否存在函数()fx的图象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．
22．(本题满分15分) 已知抛物线C：22ypx(p > 0)和eM：228120xyx，过抛物线C上一点P(x0,y0)(y0
≥0)作两条直线与eM相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为92. (Ⅰ)求抛物线C的方程； (Ⅱ)当P点坐标为(2,2)时，求直线AB的方程；
(Ⅲ)设切线PA与PB的斜率分别为12,kk，且1212kk，求点 P(x0,y0)的坐标.
(第22题) 5
2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学文科卷参考答案及评分标准 一．选择题：本大题共10小题， 每小题5分， 共50分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D A A B B C C 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填写在答题卷的横线上．
19．（本题满分14分） （Ⅰ）由mur//nr，得2sin2A―1―cosA＝0，即cosA＝12或cosA＝－1（舍去）， 所以A＝π3． -----------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由正弦定理得b＋c＝3a，由mur//nr，得λsin2A―1―cosA＝0，
即cosA＝1或cosA＝－1（舍去），----------------------------------------------10分
又cosA＝22222()222bcabcabcbcbc2221113()2aabcbc， 综上，λ需要满足1113，得λ≥32 ． --------------------------14分 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．由题意， 6
得)23)(1()2(22)1(22ddqqd，解得d＝q＝3．∴23nan，132nnb． 6分 （Ⅱ）23223nnnbc． ∴nncccS21nn2)333(2213231nn．
∴133333241122nnnnnnSnS．∴tnn3213恒成立，即max)13(nt． 故2t． 14分
21．（本小题满分15分） （Ⅰ）当1a时，xxxxxxf)12)(1(132)( 当210x时，0)(xf；当121x时，0)(xf；当1x时，0)(xf． 所以当1x时，)(xf取极小值2． ………………7分
（Ⅱ）当4a时，642)(xxxf，0x，624642)(xxxf， 故l1中，不存函数图象的切线．
由3642xx得21x与4x， 当21x时，求得2ln4417n 当4x时，求得204ln4n． 15分
22．（本小题满分15分） (Ⅰ )由题意知：2924p1p， 所以抛物线C的方程为xy22． 4分 （Ⅱ）设)2,2(P，因为P、A、B、M四点共圆，所以确定圆的方程为：0)0)(2()2)(4(yyxx LLLL①