(整理)第七章 定向测量1

第七章定向测量第一节直线定向在数学上，两点确定一条直线，而在测量学中，还要研究直线定向，所谓直线定向，就是确定一条直线与标准方向之间的角度关系。

“北”被视为基准方向或基本方向，在测量学中所说的“北”通常是指三北方向，即：真北、磁北和坐标北。

一、三北方向1.真北方向真子午线是经过地面某点的真子午面与地球表面的交线，真子午线北端所指的方向就是真北方向，或者说真子午线的切线北方向为真北方向。

由于所有的真子午线的北端指的是共同的点（北极），所以，地面各点的真北方向是互不平行的。

真北方向的确定，一般用天文测量方法或陀螺经纬仪测量方法测定。

2.磁北方向罗盘的磁针静止时所指的方向称为磁子午线方向，其中指向北极的方向为磁北方向。

磁北的方向一般用罗盘来确定。

3．坐标北方向我国采用的是高斯平面直角坐标系，用3°带或6°带的中央子午线作为坐标纵轴，因此在该带内的直线定向，可以用该带的坐标纵轴方向作为基准方向，坐标纵线北端所指的方向为坐标北方向。

与真北方向不同的是，地面各点的坐标北方向是互相平行的。

二、三北的关系我国位于北半球，三北虽然都指向北方，可实际上他们之间是有差异的。

1．磁偏角罗盘磁针静止时指向北极的方向是磁北方向，该方向是地球磁场的南极方向，这个方向与北极方向并不一致，就是说，同一点的磁北与真北并不吻合，磁北方向和真北方向之间的夹角称为磁偏角。

用δ表示，磁北在真北以东称为东偏，δ取正值，反之称为西偏，δ取负值（图7-1）。

图7-1 三北关系2．子午线收敛角地球上各点的真子午线互不平行，中央子午线经高斯投影后成为坐标的纵轴，其他的子午线投影后成为曲线。

同一点的坐标北方向和真北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。

坐标北在真北以东为东偏，γ取正值，反之为西偏，γ取负值。

子午线收敛角如图7-1所示。

3．磁坐偏角同一点的磁北方向偏离坐标北方向的夹角称为磁坐偏角，以坐标纵轴为准，磁北在坐标北以东取正值，反之取负值。

三、直线定向的表示方法1.方位角三北方向是直线定向的基准，在测量学中，直线的方向用方位角来表示。

由基准方向的的北端起，沿顺时针方向旋转到某一直线的角度，称为该直线的方位角。

以真子午线北方向为基准方向的称为真方位角如图7-1中的12A ；以磁子午线北方向为基准方向的称磁方位角，如图中7-112m A ；以坐标北方向为基准方向的称为坐标方位角，如图7-112α。

由于三北方向存在着角度差关系，因此，这三种方位角之间可以互相换算。

由于在高斯投影后的平面坐标系中常用到坐标方位角，所以关于坐标方位角的理论与推算是学习的重点内容。

由方位角的定义可知，坐标方位角的范围在 0～ 360，在计算中，如果方位角不在这个范围内，可以通过加减n 360（n 为正整数）将其化为这个范围，即n AB AB 360±=αα （7-1）若直线AB 的坐标方位角为AB α，直线BA 的方位角为BA α，则称BA α为直线AB 的方位角AB α的反方位角，与之相对应，AB α就称为正方位角，正、反方位角差值为180，因此： 180±=BA AB αα （7-2）图7-2 正、反方位角2．象限角 坐标方位角的范围在 0～ 360，这就不符合人们的计算习惯，为此，测量学中引入了象限角的概念。

所谓象限角，是指直线与标准方向所夹角度中的锐角，其取值范围为： 0～90，用R 表示。

图7-3 象限角 方位角和象限角的定义可以，二者之间存在着固定的换算关系，如表7-1所示。

表7-1 方位角与象限角的换算关系 直线象限（方向）方位角范围 由α求R 由R 求α Ⅰ(NE)900- R =α α=R Ⅱ(SE)18090- R =α- 180 R -= 180α Ⅲ(SW)270180- 180-=αR R += 180α Ⅳ(NW) 360270- α-= 360R R -= 360α 在图7-3中，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示测量直角坐标系的第一、第二、第三、第四象限，NE 、SE 、SW 、NW 分别为坐标系北东、南东、南西、北西四个象限。

从表7-1可以看出，只有第Ⅰ象限方位角等于象限角，这正是高斯投影后y 轴向西平移500km 的原因。

第二节 坐标方位角的推算坐标方位角的推算就是由已知方向和相关水平夹角来推算直线的坐标方位角。

坐标方位 角的推算在角度传递中具有重要的作用，它是导线测量中角度推算的理论基础，掌握坐标方位角的推算十分必要。

坐标方位角的推算实质上就是数学中的角度推算，计算比较灵活，所以没有必要死记一般性原理，只要能做到具体问题具体分析就可以了。

一、共点直线坐标方位角的推算坐标方位角是以坐标北为基准进行的顺时针角度拨转，它与经纬仪或全站仪的角度拨转方向一致，形成了观测和计算的吻合，共点直线的方位角计算实际上就是角度拨转问题，它是推算方位角的基础。

如果某两条直线共点（如图7-4），则可以通过这点作坐标纵轴的平行线，然后就根据已知条件来进行推算。

例如，在图7-4中，已知直线12的坐标方位角为12α，观测了水平角2β和3β，要求推算直线23 和直线34 的坐标方位角。

由图7-4 可以看出：23212122180ααβαβ=-=+-34323233180ααβαβ=+=++ 因2β在推算路线前进方向的右侧，该转折角称为右角；3β在左侧，称为左角。

从而可归纳出推算坐标方位角的一般公式为：180ααβ=++后左前 （7-3）180ααβ=+-后右前 （7-4）这个一般性公式可以简述成“左加右减”，需要注意的是，在计算时，一定要看清已知条件，还要分清左角还是右角。

图7-4 坐标方位角的推算二、连续递推计算在进行导线测量时，需要进行方位角的连续递推，这种推算，其基本原理与共点直线方位角的推算原理一样，只不过是需要连续地推算，在推算的最后一条边，往往是已知边（边的两个端点是已知控制点），用以检核观测角度地正确性。

连续递推时一般采用全左角或全右角的递推方式，因为这样能避免频繁使用“左加右减”这一原则带来的交替计算，从而提高了计算速度和准确性。

如果一条已知直线与第一条直线的夹角为α，假设一共推算了n 条直线，所观测的左角分别为n 左左左βββ,,,21 ，右角为别为n 右右右βββ,,,21 ，则第n 直线的方位角为：⎪⎭⎪⎬⎫⨯-+-=⨯--+=∑∑ 18011801）（）（右左n n n n βααβαα （7-5）利用（7-5）计算方位角时，要注意几点：第一，当n α不在 0～360时，利用（7-1）将其归化到 0～ 360；第二，如果已知直线是A 1α的形式，180前系数是1-n ，如果是1A α的形式，则180前系数是n 。

总之，在连续推算方位角时要灵活运用，不要死记硬背。

第三节 坐标正、反算坐标的正、反算是建立在测量平面直角坐标系（高斯坐标）中的。

坐标正算是由已知点坐标推算未知点坐标的过程，坐标反算是由已知点推算距离和方位角的过程。

坐标正、反算在测量学中具有重要的地位，坐标正算是三角测量和导线测量的重要理论基础。

一、测量坐标系测量坐标系是经过高斯投影而得到的平面直角坐标系。

在测量平面直角坐标系中，横轴为y 轴，代表东方向，纵轴为x ，代表北方向，两轴交点是坐标原点。

x 、y 轴正向所夹的区域为第一象限，沿顺时针方向，分别为第二、三、四象限，这与数学坐标系是不同的，测量坐标系之所以用x 、y 来分别代表纵、横轴，是因为在测量学中，角度多数是沿顺时针方向拨转的，这显然有利于计算，虽然测量坐标系交换了纵、横轴，但是其本质并没有改变，数学坐标系中能用的公式，在测量坐标系中仍然可以使用。

二、坐标增量在学习坐标正算之前，首先要学习了解坐标增量的概念。

所谓坐标增量，就是某点从位置i 移动到位置j 时的坐标增加量，其中沿着x 轴的增加量为x ∆，沿着y 轴的增加量为y ∆。

如果i 点的坐标为（i x ，i y ），j 点的坐标为（j x ，j y ），根据定义，有下式成立： j i x x x ∆=-，j i y y y ∆=- （7-6）图7-5 坐标增量及正、反算坐标增量x ∆、y ∆可正可负，它取决于直线ij 的坐标方位角ij α，因此，如果ij α的大小确定，便能确定增量x ∆、y ∆的正负，反之亦然。

坐标增量与坐标方位角的关系相见表7-2。

表7-2 坐标增量与坐标方位角的关系象限 方位角范围坐标增量 示意图 Ⅰ0～ 900,0>∆>∆y xⅡ 90～ 1800,0>∆<∆y x Ⅲ 180～ 2700,0<∆<∆y x Ⅳ 270～ 3600,0<∆>∆y x 三、坐标正算根据已知点坐标、已知点到未知点的所构成直线的坐标方位角和水平距离，计算未知点的坐标，这种计算过程称之为坐标正算。

设已知i 点的坐标为i （i x ，i y ），i 点到j 的水平距离为D ，直线ij 的方位角ij α，根据式（7-6），j 点的坐标求解如下：j i x x x =+∆ j i y y y =+∆ （7-7）很显然，只要知道x ∆、y ∆，就可以推算出j 点的坐标。

根据三角关系（图7-5），可得到坐标增量x ∆、y ∆：ij x =Dcosa ∆ij y =Dsina ∆因此，j 点坐标的计算公式为：j i ij j i ij x =x +Dcosa y =y +Dsina ⎫⎪⎬⎪⎭（7-8） 以上就是坐标正算的公式，这个公式计算的关键，就是坐标增量的计算。

在计算中应注意已知条件，尤其是水平距离D 与ij α的对应关系。

【例1】如图7-10所示，已知A 、B 、C 顺次连成一条折线，其中直线AB 的坐标方位角AB α='''3030139 ，B 点的坐标为B （561565.520，4584308.011），'''373618ABC ∠=，BC S =142.356（m ），求C 点的坐标。

解：由题意可知，180+=AB BA αα='''3030319 而''''''4806357183637 =+=BA BC αα因此=+=BC BC B C cos S x x α561565.520+142.356×cos （'''4806357 ）=561707.695=+=BC BC B C sin S y y α4584308.011+142.356×sin （'''4806357 ）=4584300.842所以，C 点的坐标为C （561707.695，4584300.842）。