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勒让德（legendre ）多项式及其性质
一． 勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：
2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）
它的幂级数解如下：
12y y y =+ （1.2）
其中：
224
1200
(1)(2)(1)(
3)
[1]2!4!
k
k k n n n n n n y a x a x x ∞
=+-+
+==-+
???∑
（1.3）
21
35
22110
(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!
k k k n n n n n n y a x
a x x x ∞
++=-+--++==-++???∑ （1.4）
由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和
2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当
n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有
界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第
一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n
P x 的表达式。
① 当n 为正偶数时
1y 退化为n 次多项式。为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
2(2)(1)()(1)
k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）
在（1.5）式中取2k
n =-，得：
2(1)
2(21)
n n n n a a n --=-
- （1.6）
习惯上取n a 为 2(2)2(!)n n
n a n = （1.7）
于是有：
2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-
----
(22)!
2(1)!(2)!n
n n n -=--- （1.8）
在（1.5）式中取4k
n =-，并利用2n a -之值得：
4
2(2)(3)4(23)
n n n n a a n ----=--
2
(2)(3)(22)!
(1)
4(23)2(1)!(2)!
n n n n n n n ---=---- 2
(24)!
(1)2(2!)(2)!(4)!n
n n n -=--- （1.9）
一般地，我们有
()
()222!
12!()!(2)!m
n m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2
n
m =??????） （1.10）
我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：
2
20
(22)!
()(1)2!()!(2)!n
m
n m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）
这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。 ② 当n 为正奇数时
2y 退化为n 次多项式，我们把2y 记作()n P x ，同理可得：
1
2
20
(22)!
()(1)2!()!(2)!n m
n m n n m n m p x x m n m n m --=-=---∑ （1.12）
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得
[]2
20
(22)!
()(1)2!()!(2)!n
m
n m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.13）
其中[]2n 表示2
n
的整数部分
由上述讨论可知，当n 为非负整数时，1y 和2y 中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作()n Q x ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
12()()n n y c P x c Q x =+ （1.14）
特别当0,1,2,3,4,5n =时，由（1.11）和（1.12）式得：
0()1P x = 1()P x x = 2
2
1()(31)2
P x x =- 331()(53)2P x x x =- 42
41()(35303)8
P x x x =-+ 5351()(637015)8P x x x x =-+
它们的图形如下：
二． 勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数
1
2
2
(,)(12)
x z xz z -?=-+ （1.15）
展开成z 的幂级数
(,)n n n x z A z ∞
=?=∑ （1.16）
可以证明(,)x z ?级数展开式中n z 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
1
2
2
(,)(12)
()n n n x z xz z P x z ∞
-=?=-+=∑ （1.17）
因此称(,)x z ?为勒让德多项式的母函数。
1．()(1)()n
n n P x P x -=- （1.18）
将式（1.17）中的x 以x -代入，z 以z -代入，立即得到此结果。此式说明()n P x 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，()n P x 为偶函数，当n 为奇数时，()n P x 为奇函数。
2．(1)1,(1)(1)n
n n
P P =-=- （1.19） 将1x =代入式（1.17），得到
1
(1)(1)n n n z P z ∞
-=-=∑
而
1
(1)n n z z ∞
-=-=∑
所以
(1)1n P =
由上式和（1.18）立即得到
(1)(1)(1)n n n P P -=-
3．勒让德多项式的递推公式：
11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++= （1.20）
'''11()()2()()n n n n P x P x xP x P x +-=-+ （1.21）
''1()()(1)()n n n P x xP x n P x +=++ （1.22）
''1()()()n n n xP x P x nP x --= （1.23） ''11()()(21)()n n n P x P x n P x +--=+ （1.24）
现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数(,)x z ?分别对,x z 微分，得到
32
22
(12)12z z xz z x xz z -???=+-+=?-+ 32
22()(12)12x z x z xz z z xz z
-??-=--+=?-+ 得到下列两个恒等式
2(12)
0xz z z x
??
-+-?=? （1.25） 2
(12)()0xz z z x z
??
-++-?=? （1.26）
又从式（1.25）和（1.26）得到
()0z
z x z x
????
+-=?? （1.27） 将（1.17）两端分别对,x z 微分，得到
'
()n n n P x z x ∞=??=?∑ （1.28）
11
()n n n nP x z z ∞
-=??=?∑ （1.29）
然后将它们带入（1.27），得到
'
'1
1
1
()[()()]n
n
n
n n n n xP x z nP x P x z ∞
∞
-===+∑∑
于是得到()n P x 与导数之间的关系式
''1()()()n n n xP x P x nP x --=
其它的导数公式这里不在一一证明。
将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到
1
10
[(1)()(21)()()]0
n n n n n P
x n xP x nP x ∞
+-=+-++=∑
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到
11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++=
这就是递推公式，由0()P x ，1()P x 可以推出2()P x ，由1()P x ，2()P x 可以推出3()P x ，…..
4．勒让德多项式的正交性：
勒让德多项式在[-1,1]上正交，即
1
1
2
()()21
n m P x P x dx n -=
+?
当n m =时 （1.30） 1
1
()()0n m P x P x dx -=?
当n m ≠时 （1.31）
勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。
勒让德多项式
勒让德多项式[编辑] 维基百科，自由的百科全书 伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。 数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解： 为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）: 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。 勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。 勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为： 目录 [隐藏] 1 正交性 2 部分实例 3 在物理学中的应用 4 其他性质 4.1 奇偶性 4.2 递推关系 5 移位勒让德多项式 6 分数阶勒让德多项式 7 参见 8 外部链接 9 参考文献 正交性[编辑] 勒让德多项式的一个重要性质是其在区间?1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即： 其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题： 其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。 部分实例[编辑] 下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式： n 1
数值分析 高斯—勒让德积分公式
高斯—勒让德积分公式 摘要： 高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。 T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer. 关键字： … 积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB Keyword: Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言： 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。 】 实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。 相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。 高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。 高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最
最新勒让德(legendre)多项式及其性质
勒让德（legendre ）多项式及其性质 一． 勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1） 它的幂级数解如下： 12y y y =+ （1.2） 其中： 224 1200 (1)(2)(1)(3)[1]2!4!k k k n n n n n n y a x a x x ∞ =+-++==-+???∑ （1.3） 21 35 22110 (1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5! k k k n n n n n n y a x a x x x ∞ ++=-+--++==-++???∑ （1.4） 由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和 2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。 上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当 n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有 界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第 一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n P x 的表达式。 ① 当n 为正偶数时 1y 退化为n 次多项式。为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。 为此，将系数递推关系式改写成下列形式： 2(2)(1)()(1) k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5） 在（1.5）式中取2k n =-，得：
函数递归之求n阶勒让德多项式
问题H: C语言习题求n阶勒让德多项式题目描述 用递归方法求n阶勒让德多项式的值，递归公式为 n=0 p n(x) =1 n=1 p n(x) =x n>1 p n(x) =((2n-1)*x* p n-1(x) -(n-1)* p n-2(x))/n 结果保留2位小数。 输入 n和x的值。 输出 p n(x)的值。 #include
{ int x,n; cin>>n>>x; cout< 第7章 勒让德多项式 在第三章中我们介绍了一类特殊函数—贝塞尔函数，我们利用贝塞尔函数给出了平面圆域上拉普拉斯算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题。为求解空间中球形区域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre ）多项式，用于求解空间中球形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。需要说明的是勒让德多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题的重要工具，在自然科学的其它领域也有许多的应用。 §7?1勒让德多项式 本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备。 7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式 考虑如下二阶常微分方程 2[(1)]0d dy x y dx dx λ-+=，11x -<< (7.1.1) 其中0λ≥为常数，方程(7.1.1)称为勒让德方程。设α是非负实数，使得 (1),λαα=+则方程（7.1.1）可表示成如下形式 2(1)2(1)0x y xy y αα'''--++=，11x -<< （7.1.2） 方程（7.1.2）满足第3章中定理3.1的条件，其中 22 2(1) (), ()11x p x q x x x αα+=-= -- 故（7.1.2）在区间(1,1)-有解析解，设其解为 0()k k k y x a x ∞ ==∑ （7.1.3） 其中(0)k a k ≥为待定常数。将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得 22 1 21 (1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a x x ka x a x αα∞ ∞ ∞ --===---++=∑∑∑ 或 20 (1)(2)(1)2(1)0k k k k k k k k k k k k k k a x k ka x ka x a x αα∞ ∞ ∞ ∞ +====++---++=∑∑∑∑ 即 20 [(1)(2)()(1)]0k k k k k k a k k a x αα∞ +=+++-++=∑ 比较两端k x 的系数，可得 2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 由此式可得系数递推关系 2()(1) , 0(1)(2) k k k k a a k k k αα+-++=- ≥++ （7.1.4） 当系数k a 指标分别取偶数和奇数时，（7.1.4）可表示为 勒让德(legendre)多项式及其性质 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 勒让德（legendre ）多项式及其性质 一． 勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1） 它的幂级数解如下： 12y y y =+ （1.2） 其中： 224 1200 (1)(2)(1)(3)[1]2!4!k k k n n n n n n y a x a x x ∞ =+-++==-+???∑ （1.3） 21 35 22110 (1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5! k k k n n n n n n y a x a x x x ∞ ++=-+--++==-++???∑ （1.4） 由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和 2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。 上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当 n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有 界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第 一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n P x 的表达式。 ① 当n 为正偶数时 1y 退化为n 次多项式。为求得()n P x 的表达式， 在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： 2(2)(1)()(1) k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5） 在（1.5）式中取2k n =-，得： Methods in Mathematical Physics 第十四章 勒让德多项式 第十四章 勒让德多项式 一、母函数关系式 勒让德（legendre）多项式及其性质 一．勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的,所以我们首先引入勒让德方程,以及勒让德方程的幂级数解,勒让德方程的表达式如下： 其中为非负实数（1.1）它的幂级数解如下： （1.2）其中： （1.3） （1.4） 由达朗贝尔判别法可知,当不为整数时,这两个级数的收敛半径为1,在（1.3）式和（1.4）式中,与可以任意取值,它们起着任意常数的作用,显然,在区间（－1,1）内和都是方程（1.1）的解,所以（1.2）是（1.1）的通解。 上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛,此外级数是发散的。并且,我们发现,当取非负整数时,和中有一个便退化为次多项式,它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时,适当的选定这个多项式的最高次幂系数,所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数,记作,下面我们来推导勒让德多项式的表达式。 ①当为正偶数时 退化为次多项式。为求得的表达式,在中我们通过来表示其它各项的系数。为此,将系数递推关系式改写成下列形式： （1.5）在（1.5）式中取,得： （1.6） 习惯上取为 （1.7） 于是有： （1.8）在（1.5）式中取,并利用之值得： （1.9）一般地,我们有 （）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中,并把此时的记作,可得： 1 / 1 （1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。 ②当为正奇数时 退化为次多项式,我们把记作,同理可得： （1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式,得 （1.13）其中表示的整数部分 由上述讨论可知,当为非负整数时,和中有一个是阶勒让德多项式,而另一个是无穷级数,记作,称为第二类勒让德函数,此时方程（1.1）通解为： （1.14） 特别当时,由（1.11）和（1.12 ）式得： 它们的图形如下： 二．勒让德多项式的性质 首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数 （1.15）展开成的幂级数 1 / 1 第9章 勒让德多项式 本章我们来讨论在章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质，这个解构成了另一类特殊函数. 9.1 勒让德方程的求解 把7.2中的勒让德方程写成如下的形式 22 2(1)2(1)0,d y dy x x n n y dx dx --++= (9.1) 其中n 为任意实数. 如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)的解为 22012()n n y x a a x a x a x =+++++ 0.k c k k a x ∞ +==∑ （9.2） 求上式的导数，并与(9.2)一起代入(9.1)得 [()(1)(1)]k c k k k c k c n n a x ∞ +=-+++-+∑20 ()(1)0.k c k k k c k c a x ∞ +-=+++-=∑（9.3） 上式是x 的恒等式，所以x 的各乘幂的系数必全为零， 上式是x 的恒等式，所以x 的各乘幂的系数必全为零，在上式第二个或式中令0k =，便得到x 的乘幂2 c x -的系数，然后令它等于零，即 0(1)0.c c a -= 由此得0c =或1c =.为了得到一般项系数的表达式，我们把(9.3)写成如下形式 20 [()(1)(1)]k k k k c k c n n a x ∞ +=-+++-+∑ 20 (2)(1)0,k c k k k c k c a x ∞ +-=+++++=∑ 于是由一般项k c x +的系数等于零，得到递推公式 2()(1)(1) (0,1,2,),(1)(2) k k k c k c n n a a k k c k c ++++-+= =++++ 取0c =，得 课程设计报告 n阶勒让德(Legendre)多项式 一、设计任务与目标 n阶勒让德(Legendre)多项式可以递归定义如下： (1) 输入n和x的数值，输出此时勒让德多项式的数值。例如输入2，1，应输出1/2。 (2)输入n的数值, 输出此时的勒让德多项式。例如输入2，应输出3/2 x2 - 1/2。 本次上机实践所使用的平台和相关软件。 平台：Windows xp 相关软件：VC6.0 二、方案设计与论证 对于这个题目，我分析了一下，第一问是要求我要用递归方法去求最终的值，所以我在程序中编写了子函数treat，并在主函数main中调用，在子函数中不断调用自己本身。第二问，由于不能按照常规来做，只能够想一些特别的方法，例如：利用字符串输出，但这种方法不行。经老师提醒，先做好这个表达式的每一项的情况，然后再将他们整合输出，于是我选择了这个方法并向着这个方向去做，后来在网上找了相关的资料，我发现了这么一条公式：，这一条公式可以求出表达式的每一项，我利用四个数组，第一个数组是记录的结果；第二个数组是记录约简后的结果；第三个数组是记录约简后的结果；第四个数组是记录的结果。最后输出每一项并整合最终的结果。在计算之前，我采用了没有约简的方法去做，结果数值超出了我设定的int型数据的范围，导致我只能够输出n=6的情 况，n=7输出错误。后来利用约简的方法，于是结果达到了n=8的情况。接着我采用了double型，结果能输出n=10的情况，但是在运行的过程中发现，输出很慢。 三、程序框图或流程图，程序清单与调用关系 第一问如图一所示： 图1 — 递归调用流程图 Y Y N N 开始 输入n x n=0 ? n=1? 返回 1 返回 1 递归调用treat() 输出结果 结束 第二问如图二所示： Y N 开始 输入 n m = 0 m﹤n/2 ? 输出整合的结果 勒让德( l e g e nd r e ) 多 项式及其性质 勒让德（legendre ）多项式及其性质 勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让 德方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下： 2 '' （1 x 2）y 2xy 它的幕级数解如下： y y 1 y 2 ( 1.2) 其中: 由达朗贝尔判别法可知，当n 0不为整数时，这两个级数的收敛半径为 1,在（1.3）式和 （1.4）式中，a o 与a 1可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（一 1， 1）内y 1 和y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1 ）的通解。 上面（1.3）和（1.4）幕级数当|X| 1时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现， 当n 取非负整数时，y 1和y 2中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1 ）在闭区间［-1,1］上的 有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数 a n ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式 或第一类勒让德函数，记作 P n x ，下面我们来推导勒让德多项式 R X 的表达式。 ①当n 为正偶数时 %退化为n 次多项式。为求得P n X 的表达式，在％中我们通过a n 来表示其它各项的系 数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： a （k 2）（k 1） a k （k n ）（k n 1） k 2 （1.5 ） 在（1.5）式中取k n 2，得： 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 n （n 1）y 0其中n 为非负实数 （i.i ） y 2 2k y i a 2k X k 0 a 2k 2k 1 1 X a o [1 a[x n(n 1) x 2 X 2! n(n 2)(n 1)(n 3)x X 4! (1.3) (n 1)(n 2)X 3 ?v 3! (n 1)n 3)(n 2)(n 4), ?v 5! ］ （1.4）第七章勒让德多项式
勒让德legendre多项式及其性质
14.2勒让德多项式的性质
Legendre polynomial 武汉大学物理科学与技术学院
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Legendre polynomial
§14.2 勒让德多项式的性质
Properties of Legendre polynomial
在数学物理中，一个方法的成功，不是由于巧妙的谋略或 幸运的偶遇，而是因为他表达着物理真理的某个方面。 ——O.G.沙顿。
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1 1? 2x t + t
2
= ∑ Pl ( x )t l , t < 1 (1)
l =0
∞
§14.2 勒让德 多项式的性质 + 4πε0
1
d
注：若w ( x, t ) = ∑ Fn ( x )t n
则称w ( x, t )为Fn ( x )的母函数
n
θ
M (r,θ ,? )
r
物理背景: 设在单位球北极置有电量为 4πε 0 的正电荷，则在 r < 1 内，任一点的电位 u 为： Δu = 0 , r < 1 令 u (r , θ ) = R(r )Θ(θ )
→
r 2 R′′ + 2rR′ ? l (l + 1)R = 0
2
(1 ? x )y′′ ? 2 xy′ + l (l + 1)y = 0, [x = cosθ , y(x ) = Θ(θ )]
Wuhan University勒让德(legendre)多项式及其性质.doc
数学物理方程学习指导书 第9章 勒让德多项式
勒让德多项式
勒让德(legendre)多项式及其性质教案资料