专题16 直线与圆-三年高考(2015-)数学(理)试题分类汇编含解析(解析版)

1.【2016高考新课标2理数】圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）

（A ）43-（B ）3

4

-（C ）3（D ）2 【答案】A 【解析】

试题分析：圆的方程可化为2

2

(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：

241

11

a d a +-=

=+，解得4

3a =-，故选A ．

考点：圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离； 若d ＝r ，则直线与圆相切； 若d

2.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2

2

321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A ）5

3-或35- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34

- 【答案】D

【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()2

2

321x y ++-= 所以，

2

3223

11

k k k ----=+ ,

整理：2

1225120k k ++= ，解得：43k =-

，或3

4

k =- ,故选D ．

3. 【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52

2=+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．

【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=，则有

2

2

00521

c ++=+，解得5c =±，所以所求切线的

直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ． 【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为20x y c ++=，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题． 4.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C

【解析】由已知得321143AB k -=

=--，27

341

CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为2

2

(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ． 【考点定位】圆的方程．

【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题．

5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2

2

4210x y x y +--+=的对称轴.

过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）

A 、2

B 、42

C 、6

D 、210 【答案】C

【解析】圆C 标准方程为2

2

(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +?-=，

1a =-，即(4,1)A --，2

222(42)(11)46AB AC r =

-=--+---=.选C .

【考点定位】直线与圆的位置关系

.

6. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线

)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

【答案】22(1) 2.x y -+=

【解析】由题意得：半径等于22222|1|

(1)22||1121111

m m m m m m m m ++==+≤+≤++++，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为2r =，所求圆为22(1) 2.x y -+= 【考点定位】直线与圆位置关系

【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.

7.【2015高考陕西，理15】设曲线x

y e =在点（0,1）处的切线与曲线1

(0)y x x

=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为． 【答案】()1,1

【解析】因为x y e =，所以x

y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率010

1x k y e ='

===，设P

的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =

，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1

y x

=在点P 处的切

线的斜率0

2201x x k y x ='

==-

，因为121k k ?=-，所以2

11x -=-，即2

01x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．

8.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,

PA PB ?≤则点P 的横坐标的取值范围是 【答案】[52,1]-

【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ?≤，易得250x y -+≤，由22

250

50

x y x y -+=??

+=?，可得5

:5

x A y =-??

=-?或

1

:7

x B y =??

=?，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件5252x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-. 【考点】直线与圆，线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

9.【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准．．

方程为； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①

NA MA NB

MB

=

； ②

2NB MA NA

MB

-

=； ③

22NB MA NA

MB

+

=．

其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）

【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③

【解析】（Ⅰ）依题意，设),1(r C （r 为圆的半径），因为2||=AB ，所以21122=+=r ，所以圆心

)2,1(C ，故圆的标准方程为2)2()1(22=-+-y x .

（Ⅱ）联立方程组???=-+-=2)2()1(02

2y x x ，解得???-==120y x 或???+==1

20y x ，因为B 在A 的上方， 所以)12,0(-A ，)12,0(+B ，

令直线MN 的方程为0=x ，此时M )1,0(-M ，)1,0(N ， 所以2||=MA ，22||+=MB ，22||-=NA ，2||=NB

因为

221222||||-=-=NB NA ，122

22

||||-=+=MB MA ，所以NA MA NB MB =. 所以

2221(21)222

22

NB MA NA

MB

-

=

-

=+--=-+，

2221212222

22

NB MA NA

MB

+

=

+

=-++=-+，

正确结论的序号是①②③

.

10.【2016高考新课标3理数】已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B

分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________. 【答案】4 【解析】

试题分析：因为||23AB =，且圆的半径为23，所以圆心(0,0)到直线330mx y m ++-=的距离

为2

2||(

)32AB R -=，则由2|33|

31

m m -=+，解得33m =-

，代入直线l 的方程，得3233y x =+，所以直线l 的倾斜角为30?，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||

||4cos30AB CD ==?

．

考点：直线与圆的位置关系．

11.【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.

【答案】

25

5

11.【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；

（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程. 【答案】(1)证明略；

(2)直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()2

2

3110x y -+-=.

或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为22

91854216x y ?

???-++= ? ?????

.

【解析】

试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为1-可得OA OB ⊥，即得结论； (2)结合(1)的结论求得实数m 的值，分类讨论即可求得直线l 的方程和圆M 的方程. 试题解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+. 由2

2,2x my y x

=+??

=?可得2

240y my --=，则124y y =.

又22

1212,22y y x x ==，故()2

121244

y y x x ==. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为12124

14

y y x x -?==-，所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.

(2)由(1)可得()2

1212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+.

故圆心M 的坐标为()

22,m m +，圆M 的半径()2

222r m m =

++.

由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ?=，故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++=. 由(1)可得12124,4y y x x =-=.

所以2210m m --=，解得1m =或1

2

m =-

. 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M 的半径为10，圆M 的方程为()()2

2

3110x y -+-=. 当12m =-

时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42??

- ???

，圆M 的半径为854，圆M

的方程为2

2

91854216x y ?

???-++= ?

??

???.

12.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），

P 4（1，

3

2

）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】

试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由

2222

1113

4a b a b

+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2

221

11314b a

b ?=????+=??，解得2

241a b ?=??=??.

故C 的方程为2

214

x y +=.

（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，

如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，

可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，2

42t --）. 则22124242

122t t k k t t

---++=

-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2

214

x y +=得

222(41)8440k x kmx m +++-= 由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841

km

k -+，x 1x 2=224441m k -+.

而121212

11

y y k k x x --+=+

121211

kx m kx m x x +-+-=+

121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

.

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.

即222448(21)(1)04141

m km

k m k k --+?+-?=++.

解得1

2

m k +=-

.

当且仅当1m >-时，0?>，欲使l ：12m y x m +=-+，即1

1(2)2

m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.

13.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1）()3,0；（2）2

23953243x y x ????

-+=<≤ ? ?????；（3）332525,,4477k ????∈--????????

．

【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2

234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则

∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ?=-即

13y y

x x

?=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2

23953243x y x ????

-+=<≤ ? ?????

；

（3）由（2）知点M 的轨迹是以3

,02C ?? ???为圆心3

2

r =

为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,

33E ?? ? ???，525,33F ??

- ? ???

，又直线L ：

()4y k x =-过定点()4,0D ，

当直线L 与圆C 相切时，由

22

34023

2

1k k ??-- ???=

+得34k =±，又2503255743

DE DF

k k ??

-- ?

??=-=-

=-，结合上图可知当332525,,447

7k ??

??∈

--??

??????时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．

14.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆2

2

:1214600M x y x y +--+=及其上一点

(2,4)A

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；

（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤≤+ 【解析】

试题解析：解：圆M 的标准方程为()()22

6725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()2

2

611x y -+-=. (2)因为直线l||OA ，所以直线l 的斜率为

40

220

-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0， 则圆心M 到直线l 的距离

2675.5

5

m

m d ?-++=

=

因为222425,BC OA ==

+=

而2

2

2

,2BC MC d ??

=+ ???

所以()2

52555

m +=

+，解得m=5或m=-15.

故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y

因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=,所以212124

x x t

y y =+-??

=+? ……①

因为点Q 在圆M 上，所以()()2

2

226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()2

2

114325x t y --+-=.

于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()22

4325x t y -++-=????上， 从而圆()()2

2

6725x y -+-=与圆()()22

4325x t y -++-=????有公共点， 所以()()22

55463755,t -≤

+-+-≤+????解得22212221t -≤≤+.

因此，实数t 的取值范围是2221,2221??-+??.

考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算