用科学记数法表示较小的数 (3)
1．3同底数幂的除法
第2课时用科学记数法表示较小的数
1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)
2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．
一、情境导入
同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
二、合作探究
探究点：用科学记数法表示较小的数
【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数
2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大
小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为()
A．1.06×10－4B．1.06×10－5
C．10.6×10－5D．106×10－6
解析：0.000106＝1.06×10－4.故选A.
方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
(1)2×10－7; (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3; (4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－1＝0.217.
方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n还原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．
从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效
地保证了课堂学习质量。
用科学计数法表示较小数
用科学计数法表示较小数３同底数幂的除法（第2课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：在七年级学习有理数的乘方时学生已经会用科学记数法表示大于10的数，在上一课时同底数幂除法的运算结果中会出现了一些绝对值较小的数据，学生也理解了负整数指数幂的意义，这就为本课时将科学记数法的应用范围拓广到较小数据奠定了知识基础.学生活动经验基础：在前面的学习中学生已经感受到用科学记数法表示绝对值较大数据的简便性，也能够借助身边熟悉的事物来体会大数，这就为本节课表示和感受绝对值较小的数据、进一步发展数感奠定了活动经验基础.这个年龄的学生对周围世界和社会环境中的问题具有越来越强烈的兴趣，因此教学时应注重学生对数据实际意义的理解，可以把数据置于他们熟悉的、感兴趣的情景中，将数据的感受和表示结合起来.二、教学任务分析教科书在学生原有的知识和经验基础上，提出了本课时的具体学习任务：会用科学记数法表示小于1的正数，借助自己熟悉的事物感受绝对值较小的数据.这仅仅是这堂课的近期目标，而本课教学还应服务于数学教学的远期目标“建立数感，学会从数学的角度发现、提出问题和解决问题，获得分析和解决问题的一些基本方法，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识”同时在学习中应力图达成有关情感态度目标.为此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：会用科学记数法表示小于1的正数，能进行它们的乘除运算，并将结果用科学记数法表示出来.2．过程与方法：借助自己熟悉的事物感受绝对值较小的数据，进一步发展学生的数感，体会估测微小事物的方法与策略.3．情感与态度：了解数学的价值，体会数学在生活中的广泛应用.教学重点：用科学记数法表示小于1的正数，借助熟悉的事物感受绝对值较小的数据教学难点：用科学记数法表示小于1的正分数，估测微小事物的策略三、教学过程设计本课时设计了七个教学环节：复习回顾、交流引入、巩固落实、感受数据、反馈拓展、课堂小结、布置作业.第一环节复习回顾活动内容：1.纳米是一种长度单位，1米=1,000,000,000纳米，你能用科学记数法表示1,000,000,000吗？2.在用科学记数法表示数据时，我们要注意哪些问题？活动目的：这一环节的目的是引导学生回顾如何用科学记数法表示大于10的数以及应注意的问题，为下面类比表示小于1的正数奠定基础.活动的注意事项：活动1布置为课前作业，学生比较容易得到1米=1910?纳米，活动2学生可能能说出科学记数法的表示形式a ×10n ，教学时主要关注学生是否理解其中a 与n 的取值范围：1≤a ＜10，n 为正整数，以及n 与小数点移动位数之间的关系第二环节交流引入活动内容：1. 1纳米= 米？这个结果还能用科学记数法表示吗？2. 你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗？照相机的快门时间是多长呢？中彩票头奖的可能性是多大？头发的直径又是多少呢？生活中你还见到过哪些较小的数？请把你找到的资料和数据与同伴交流3.你能用科学记数法表示这些数吗？活动目的：这一环节让学生从最熟悉的生活场景中查找绝对值较小的数据，符合他们的认知和年龄特点，目的是让学生体会这些数在生活中的广泛存在，同时在记录数据的过程中学生会感受到书写的复杂性，从而激发他们的学习欲望，借助前面的经验来自主探索更为简便的表示方法.活动的注意事项：活动1和2也已经布置为课前作业，活动1中要用到上节课关于负整数指数幂的知识，应表示为1纳米= 91011?米（=0.000 000 001米）=10000000001米=9101米=910-米=1910-?米，学生可能只计算出了结果910-但没有用科学记数法表示，也应予以肯定，可以追问“这个结果是否符合科学记数法的形式呢”引导学生进一步思考.活动2让学生课前经历查找数据的过程，学生查到的数据可能是不一样的，课上应注意给学生提供组内展示和全班交流的空间与时间.这里提供一些参考答案：洋葱表皮细胞的大小，直径大约是0.001毫米左右；照相机的快门时间与相机的类型有关，单反相机的快门时间有的是1001秒，有的是8001秒；中彩票头奖的可能性与彩票类型有关，双色球头奖概率为117210881，大乐透头奖概率为214257121，七乐彩头奖概率为20358001，七星彩头奖概率为100000001等；头发的直径儿童的大约是0.04毫米，成人大约是0.07毫米.教师还可以根据情况再补充一些绝对值特别小的数据，例如一个氧原子的质量0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57kg ，增加学生的体验.在学生已经充分感受到这些绝对值较小数据的广泛存在和书写的复杂之后，他们可能产生简便地表示这些数据的强烈愿望，这样活动3的进行就顺理成章.活动3的教学可以按照下面的步骤进行：① 先引导学生体会这些数据都在0到1之间，也就是说它们都是小于1的正数.② 这里的数据有的是用小数呈现的，有的是用分数呈现的，对学生而言用科学记数法表示0到1之间的小数更容易思考一些，因此上课时可以先解决小数的表示问题.有了前面用科学记数法表示大于10的数的经验，这里可以完全放手让学生自主探索，再通过全班交流得到科学记数法表示小于1的正数的正确方法.教师应关注：学生在用科学计数法表示时是否注意到a 和n 的取值范围、是否能理解n 与小数点移动位数间的关系. ③ 教材中并没有出现用科学记数法来表示0到1之间分数的题目，一方面，用科学记数法表示分数对学生而言比较困难；另一方面，0到1之间的分数在书写上没有小数那么复杂.但是生活中很多绝对值较小的数据都是用分数表示的，而且学生在用科学记数法表示完小数后自然会产生表示分数愿望，因此建议在课上也将这个问题予以解决.这里可以让学生先独立思考，尝试表示.学生可能会出现一些错误，例如8001，学生可能会出现21081-?甚至2108-?等错误，可以引导学生先将分数转化为小数，再用科学记数法表示，从而解决这一难题.得到正确的答案后还应将它与错误的结果进行对比、加深认识，帮助学生养成反思的习惯.④ 部分难计算的数据还可以让学生利用计算器来帮助计算，一些特别小的数据在计算器上呈现的结果就已经采用了科学记数法，教学时应该充分利用这些资源，让学生体会科学记数法的简便性和广泛运用.第三环节巩固落实活动内容：1.用科学记数法表示下列各数：0.000 000 000 1= 0.000 000 000 002 9= 0.000 000 001 295=2. 下面的数据都是用科学记数法表示的，请你用小数把它们表示出来：7×10-5=1.35×10-10=2.657×10-16=活动目的：两组题目通过正反两个方面的运用来巩固学生对科学记数法的理解，为了避免让学生只对这些无背景的数据进行简单改写，本环节的题量不大，在后面的环节中还给学生提供了较多的具有实际背景的数据再进行巩固练习.活动的注意事项：活动1教学时应关注学生是否还存在困惑，及时解决. 活动2让学生从逆向思维的角度思考数的两种表示之间的关系,从而进一步体会科学记数法的优越性.教学时应并引导学生再次体会n 与小数点移动的位数之间的关系.特别的，应注意引导学生区别7×10-5与7-5, 加深学生对科学记数法的理解.第四环节感受数据活动内容：1. PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.虽然他们的直径还不到人的头发丝粗细的20 1，但它们含有大量的有毒、有害物质，并且在大气中停留的时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量有很大的危害.假设一种可入肺颗粒物的直径约为2.5μm ，相当于多少米？多少个这样的颗粒物首尾连接起来能达到1m？与同伴交流2. 估计1张纸的厚度大约是多少厘米.你是怎样做的？与同伴交流活动目的：活动1提供给学生一个有趣的社会环境背景，让他们体会较小的数对人类生活也可以产生重大的影响，同时通过进行乘除运算，加深他们对科学记数法的理解.活动2目的是让学生借助熟悉的事物感受绝对值较小的数，进一步发展数感，形成估测微小事物的方法和策略.活动注意事项：活动1教学时，应注意引导学生品味它的实际背景，计算时，学生可能出现下面两种不同的计算方法，可以板书进行对比，加深他们对科学记数法表示方法和简便性的理解：用原数计算2.5μm=0.0000025m，1÷0.0000025=400000（个）用科学记数法表示后再计算2.5μm=2.5610-（个））=4510-m，1÷（2.5610-活动2由于受测量器械的限制，无法直接测量1张纸的厚度，教学时可放手给学生，先让他们分组讨论测量方法，再操作实验，最后在全班范围内交流各自的作法：学生可能会先数100张（或其他整数）的纸，再测量总厚度来计算估计一张纸的厚度；也可能会先量出1厘米厚（或一整本书）的纸，再数张数来计算估计一张纸的厚度.这样，通过交流使学生进行反思和提升，形成估测微小事物的策略.第五环节反馈拓展活动内容：1.基础练习：（1）用科学记数法表示下列各数，并在计算器上表示出来：0.000 000 72； 0.000 861； 0.000 000 000 342 5（2）1个电子的质量是：0.000 000 000 000 000 00 000 000 000 911g，用科学记数法表示为 g；冠状病毒的直径为1.2×102纳米，用科学记数法表示为______________米.2.变式练习：（1）每个水分子的质量是3×2610-g，用小数表示为；每个水分子的直径是4×1010-m，用小数表示为 .（2）拓展延伸：如果一滴水的质量约为0.05g，请根据（1）中提供的数据，回答下列问题：①一滴水中大约有多少个水分子？请用科学记数法表示 .②如果把一滴水中的水分子依次排成一列（中间没有空隙），能排多少米？请用科学计数法表示 .活动目的：这里的题目大多都提供了贴近生活的情境，让学生将数据的感受和表示结合起来，实现对本节课所学知识的巩固和拓展.活动的注意事项：学生可能会出现一些错误，例如，活动1中的第（2）题第二空可能会忽视单位的换算，正确答案应为1.2×10-7米.针对错处，教师可以让学生分析自己的思考和计算过程，自己反思、订正，加深理解和认识.第六环节课堂小结活动内容：1.这节课你学到了哪些知识？2.用科学记数法表示小于1的正数与表示大于10的数有什么相同之处？有什么不同之处？3.用科学记数法表示容易出现哪些错误？你有哪些经验？与同伴交流4.在估测微小事物时你用到了哪些方法和策略？活动目的：通过问题串引导学生回顾本节课所学的知识与方法，对比表示小于1的正数与表示大于10的数的异同可以让学生更好地理解和掌握科学记数法.活动的注意事项：鼓励学生畅谈自己学习体会，分享学习经验，增强学生学习数学的兴趣与信心.第七环节布置作业1．完成课本习题1.52．拓展作业：阅读课本“读一读”，你想了解更多的有关纳米技术或微小世界中的有趣问题吗？请你查阅资料，制作成手抄报，一周后带来与同学分享.四、教学设计反思：1. 把知识的学习与学生的需求紧密结合在这节课中，课前先布置了预习作业让学生在自己熟悉的生活场景中查找绝对值较小的数据，在记录的时候学生会充分感受到这些数据书写的复杂性，从而自己产生寻求简便表示方法的强烈愿望，这时课上再引入科学记数法就顺理成章了.这样的设计巧妙地把科学记数法这一数学知识的学习与学生自己的需求紧密的结合起来，提高了他们的学习兴趣，使学生了解了数学的价值，体会了数学与生活之间的密切联系.在教材中并没有出现用科学记数法来表示0到1之间分数的题目，但是学生查找的数据中很多都是用分数表示的，而且学生在用科学记数法表示完小数后自然会产生表示分数愿望，因此教学设计中也顺应学生的需求，把这一难点知识在课上予以解决.像这样根据学情适当调整教学内容，把知识的学习与学生的需求紧密结合，才能真正的激发学生的兴趣，调动学生的积极性.2. 创设丰富的情景，激发学习的兴趣七年级的学生大都十二三岁，这个年龄的孩子对周围世界和社会环境中的问题具有越来越强烈的探究兴趣，因此在教学设计中尽量避免了让学生进行单纯的数据计算，而是充分挖掘生活中与数据有关的素材，为他们创设了丰富的情境，把数据置于学生熟悉的、感兴趣的背景中，从而将数据的感受和表示结合起来，使他们体会到所学内容与现实世界的密切联系，加深了对数据实际意义的理解.另外，在引入环节中，如果能让学生将课前收集的资料，用图片或课件的形式在课上展示，给学生更强烈的视觉冲击，会更好的激发学生的探究兴趣.。
用科学计数法表示较小的数
说说这节课有什么收获。
阅读
我国著名科学家钱学森曾指出，纳米左右和纳米以 下的结构是下一阶段科技发展的一个重点，会是一次 技术革命，从而将引起21世纪又一次产业革命。 纳米技术在日常生活中： 衣 在纺织和化纤制品中添加纳米微粒，可以除味杀菌。 化纤布虽然结实，但有烦人的静电现象，加入少量金 属纳米微粒就可消除静电现象。 食 利用纳米材料，冰箱可以抗菌。纳米材料做的无菌 餐具、无菌食品包装用品已经面世。利用纳米粉末， 可以使废水彻底变清水，完全达到饮用标准。纳米食 品色香味俱全，还有益健康。 住 纳米技术的运用，使墙面涂料的耐洗刷性可提高10 倍。玻璃和瓷砖表面涂上纳米薄层，可以制成自洁玻 璃和自洁瓷砖，根本不用擦洗。含有纳米微粒的建筑 材料，还可以吸收对人体有害的紫外线。
3. 同底数幂的除法
（第2课时）
西街初中 马国霞
你知道吗： （1）1微米=0.000 001米 （2）1纳米=0.000 000 001米 （3）一粒花粉的直径约是0.00 005m. （4）一根头发的直径约是0.00 002m. （5）某种计算机完成一次基本运算的时 间约为1纳秒，即0.000 000 001s. （6）一个氧原子的质量为0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57kg.
②多少个这样的颗粒物首尾连接起来能 达到1m？与同伴交流. 解：① 2.5微米=2.5×10 米
② 1米=10 微米
6
-6
10 ÷2.5=4×10 个。
6
5
2. 估计1张纸的厚度大约是多少厘 米. 你是怎样做的？与同伴交流
1、1个电子的质量是：0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 911g，用科学记数法 -28 表示为9.11×10 g；
科学记数法表示小数的方法
科学记数法表示小数的方法
科学记数法是一种表示较大或较小的数字的方法，特别适用于表示小数。
它的基本形式是将一个数字表示为一个介于1到10之间的数乘以某个10的幂次。
具体来说，将一个小数用科学记数法表示的步骤如下：
1. 确定小数点的位置，使得小数变为一个介于1到10之间的数。
例如，对于小数0.0045，可以将小数点向右移动三位，得到4.5。
2. 将小数点右侧非零的数字作为“有效数字”，记作A。
在本例中，有效数字是4.5。
3. 确定小数点移动的位数，使得小数点右侧没有非零数字。
在本例中，小数点向右移动了三位，所以移动位数是-3。
4. 用A乘以10的移动位数次幂，得到科学记数法的表示形式。
在本例中，4.5乘以10的-3次幂，表示为4.5 x 10^-3。
科学记数法的优点是可以简化较大或较小的数字的表示。
通过使用指数形式，科学记数法使得数字更易读和理解。
例如，用科学记数法表示的常数如光速（299,792,458 m/s）或者阿伏伽德罗常数（6.022 x 10^23）更加易于处理和记忆。
此外，科学记数法还可以用于表示测量误差和不确定性。
在科学实验中，往往存在测量误差，这时使用科学记数法可以更好地表示测量结果的精确性。
总之，科学记数法是一种表示小数的灵活且易读的方法。
它可以帮助我们更好地理解和处理较大或较小的数字，并在科学实验和工程领域中应用广泛。
用科学记数法表示较小的数
七年级 北师大版 西安汇知中学 赵彬
1、如何用科学计数法表示较 小的数？
把一个小于10的数表示成 a 10n 形式，其中 1 a 10 ，n为负整数。
2、知其然，知其所以然 你能谈谈如此表示的依据吗？
3、你能解决吗？
（1）用科学计数法表示之前资料中较 小的数
（2）将下列各数写成小数：
3.1103 2.8104
科学科计学计数数法法
1、你能简洁地表示这些大数吗？
把一个大于10的数表示成 a 10n 形式，其中 1 a 10 ，n为正整数。
2、在用科学计数法表示时，怎样 才能迅速准确地将其表示出来？
3、那这些较小的数是否也可以用 科学计数法来表示呢？
1.3.2 用科学计数法表示 较小的数
年级 版本 单位 主讲教师
4、方案设计
估计一张纸的厚度大约 是多少厘米?
（谈谈你的方法）
谈谈本节课你的收获
作业：
必做题：习题1.5 第3、4题
选做题：选一个较小的数பைடு நூலகம்，谈 谈你的感受
（3）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm 的细颗粒物，它们的直径还不到人的头发粗细 的 1 ，但它们含有大量的有害物质，并且在大气
20
中的停留时间长，输送距离远，因而对人体健康
和环境危害很大。假设一种可入肺细颗粒物的直
径为2.5μm，那么它等于多少米？多少个这样的细 颗粒物首尾连接起来能达到一米？
科学计数法表示较小的数
用科学计数法表示一些绝对值较大的数字，那么，怎么用科学计数法表示一些绝对值较小的数字
0.000001
0.000000256
一般地，一个绝对值小于1的数可以表示为aｘ ,其中
1 a<10，n是负整数
教学流程：（体现“十六字”模式，“让一让”理念）
补充修订
预设教师行为及设计理念
预设学生行为
及设计理念
介休三中七年级集体备课教学设计
课题
同底数幂的除法（2）
课型
新授
授课时间
主备人
武金娥
授课
班级
353
课时
1
参与备课教师
白金萍 赵光强 苏杰王志华 孟永红 化彩霞 李静 王凤 梁国宝 王建帅
教师
寄语
用耳朵聆听，用眼睛观察，主动说出自己的想法
三维
目标
知识与技能：会用科学计数法表示小于1的正数
过程与方法：通过比较体会一些较小的数字，体会运用科学计数法
情感、态度、价值观:进一步发展数感
教学重点难点
重点：会用科学计数法表示小于1的正数
难点：比较一些绝对值较小数的大小
教 学
用 具
多媒体
教学流程：（体现“十六字”模式，“让一让”理念）
补充修订
预设教师行为及设计理念
预设学生行为
及设计理念
一、复习旧知
用科学计数法表示 （1）72000
（2）850万
（3） 表示成小数
三、针对性练习
用科学计数法表示下列各数
0.0000000001
0.00000000029
0.00000000ห้องสมุดไป่ตู้295
四、布置作业
板
初一数学《科学计数法》知识点精讲
初一数学《科学计数法》知识点精讲科学计数法是一种用科学记数法表示大数或小数的方法，能够简化数字的表达方式，便于进行数值计算和阅读。
它在科学研究、工程技术和商业计算等领域有广泛的应用。
本文将对初一数学科学计数法的相关知识点进行精讲。
一、科学计数法的基本概念科学计数法是一种通过乘方运算将数字表示为一个大数与10的幂的乘积的方法。
在科学计数法中，数字被写成一个小于10且大于等于1的数乘以10的幂。
例如，100用科学计数法表示为1 × 10²。
其中，1是尾数，表示有效数字；10²是指数，表示幂次。
在科学计数法中，要求尾数只保留一位非零数字。
二、科学计数法的转换方法科学计数法可以将一个较大或较小的数转换成一个以十为基数的数乘以10的幂。
1.将较大数转换为科学计数法步骤如下：（1）将数的小数点向左移动，直到只剩下一个非零数字为止。
（2）记下小数点左边移动的位数，作为指数。
（3）将非零数字作为尾数。
例如，将32000转换为科学计数法，首先将小数点向左移动4位，变为3.2，然后记录移动的位数4，最后将尾数3.2与指数写在一起，得到3.2 × 10⁴。
2.将较小数转换为科学计数法步骤如下：（1）将数的小数点向右移动，直到只剩下一个非零数字为止。
（2）记下小数点右边移动的位数，并在指数上加上一个负号。
（3）将非零数字作为尾数。
例如，将0.00025转换为科学计数法，首先将小数点右移4位，变为2.5，然后记录移动的位数4，并在指数上加上负号，得到2.5 ×10⁻⁴。
三、科学计数法的运算规则在科学计数法中，同底数的数相乘或相除，可将指数相加或相减。
具体规则如下：1.同底数相乘当两个数的底数相同（即都是10的幂），尾数相乘，指数保持不变。
例如，(3 × 10⁵) × (2 × 10²) = 6 × 10⁷2.同底数相除当两个数的底数相同，尾数相除，指数保持不变。
北师大版数学七年级下册第2课时用科学记数法表示较小的数课件(共17张)
新知一览
同底数幂的乘法 幂的乘方与积的乘方
同底数幂的除法 整式的乘法 平方差公式 完全平方公式 整式的除法
同底数幂的 除法
用科学记数法 表示较小的数
七年级下册数学（北师版）
第一章 整式的乘除
1.3 同底数幂的除法
第2课时 用科学记数法表示较小的数
情景导入
无论是在生活中或学习中，我们都会遇到一些较小 的数，例如， (1) 细胞的直径只有 1 微米(μm)，即 0.000 001 m； (2) 某种计算机完成一次基本运算的时间约 为 1 纳秒(ns)，即 0.000 000 001 s；
典例精析 例1 用科学计数法表示下列各数： (1) 0.000 000 000 1； (2) 0.000 000 000 002 9； (3) 0.000 000 001 295；
解：(1) 0.000 000 000 1＝1×10－10. (2) 0.000 000 000 002 9＝2.9×10－13. (3) 0.000 000 001 295＝1.295×10－10.
2. 人体某成熟的红细胞的平均直径约为 0.0000077 mm， 试用科学记数法表示该数. 解：0.0000077 = 7.7×10-6.
3. 下列是用科学记数法表示的数，写出本来的数. （1）2×10－8； （2）7.001×10－6. 答案：（1）0.000 000 02. （2）0.000 007 001
练一练
1. 用科学记数法表示： （1）0.000 03； 3×10-5 （2）-0.000 006 4；-6.4×10-6 （3）0.000 031 4. 3.14×10-5 2. 用科学记数法填空： （1）1 s 是 1 μs 的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_1_×__1_0_-6_s； （2）1 mg＝_1_×__1_0_-_6 kg； （3）1 μm＝_1_×__1_0_-6_m； （4）1 nm＝_1_×__1_0_-_3 μm； （5）1 cm2＝_1_×__1_0_-4_ m2； （6）1 mL＝_1_×__1_0_-_6m3.
第8章 幂的运算 全章高频考点专练(3种专练4个题型6个易错4种思想)解析版
第8章幂的运算全章高频考点专练（3种专练4个题型6个易错4种思想）【知识导图】【知识清单】专练1：运用幂的运算法则巧计算题型1.逆用同底数幂的乘法法则进行计算1．（2024春•江都区月考）若23y =，218x y +=，则2x =．【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：218x y += ，2218x y ∴⋅=，23y = ，3218x ∴⨯=，26x ∴=．故答案为：6．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2024春•灌云县月考）若35m =，36n =，则3m n +的值是．【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：35m = ，36n =，3335630m n m n +∴=⨯=⨯=．故答案为：30．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3．（2023春•靖江市期末）已知3m a =，2n a =，则m n a +=．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：326m n m n a a a +==⨯= ，故答案为：6．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．4．（2023春•建邺区期中）我们约定a ☆1010a b b =⨯，如2☆2353101010=⨯=．（1）试求12☆3和4☆8的值；（2）()a b +☆c 是否与a ☆()b c +相等？并说明理由．【分析】（1）12☆123153101010=⨯=；4☆4881010=⨯（1分）1210=；（2）因为()a b +☆101010a b c a b c c +++=⨯=，a ☆()101010a b c a b c b c ++++=⨯=，即证明()a b +☆c 与a ☆()b c +相等．【解答】解：（1）12☆123153101010=⨯=；4☆48128101010=⨯=；（2）相等，理由如下：()a b + ☆101010a b c a b c c +++=⨯=，a ☆()101010abc a b c b c ++++=⨯=，()a b ∴+☆c a =☆()b c +．【点评】本题考查了同底数幂运算，熟练运用公式是解题的关键．题型2.运用幂的乘方法则进行计算类型1.直接运用幂的乘方法则求字母的值5．（2024春•吴江区月考）在幂的运算中规定：若(0x y a a a =>且1a ≠，x 、y 是正整数），则x y =．利用上面结论解答下列问题：（1）若693x =，求x 的值；（2）若213318x x ++-=，求x 的值．【分析】（1）根据693x =，得26(3)3x =即2633x =得26x =，计算即可．（2）根据213318x x ++-=，得2333318x x ⋅-⋅=，故6318x ⨯=，33x =，计算即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式计算即可．【解答】解：（1）693x = ，26(3)3x ∴=，2633x ∴=，26x ∴=，解得3x =．（2）213318x x ++-= ，2333318x x ∴⋅-⋅=，6318x ∴⨯=，33x ∴=，解得1x =．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．（2024春•滨海县月考）已知3x a =，2y a =，求：①x y a +的值；②32x y a +的值．【分析】①运用同底数幂乘法运算即可得到x y a +的值；②运用同底数幂乘法和幂的乘方运算即可得到32x y a +的值．【解答】解：①3x a = ，2y a =，x y x ya a a +∴=⋅32=⨯6=；②3x a = ，2y a =，3232x y x ya a a +∴=⋅32()()x y a a =⋅3232=⨯274=⨯108=．【点评】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘方，正确掌握相关的运算法则是解题的关键．类型2.逆用幂的乘方法则求字母式子的值7．（2024春•丹阳市月考）（1）若2530x y +-=，求432x y ⋅的值．（2）若n 为正整数，且24n x =，求3222(3)4()n n x x -的值．【分析】（1）先根据同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，再把253x y +=代入行计算即可；（2）先根据幂的乘方的运算法则变形，再把24n x =代入计算即可．【解答】解：（1）2525432222x y x y x y +⋅=⋅=，2530x y +-= ，253x y ∴+=，∴原式328==．（2）24n x = ，3222(3)4()n nx x ∴-6494n nx x =-23229()4()n n x x =-329444=⨯-⨯512=．【点评】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键．8．（2024春•滨海县月考）（1）已知839279m m ⨯⨯=，求m 的值；（2）已知2540x y ++=，求432x y ⨯的值．【分析】（1）利用“同底数幂乘法”、“幂的乘方”分别将等式的左右两边化简成底数为3的指数幂形式，得出m 的方程，即可求得m 的值；（2）将432x y ⨯变形为底数为2的指数幂形式，再结合已知条件即可求解．【解答】解：（1）839279m m ⨯⨯= ，23163333m m ∴⨯⨯=，即151633m +=，1516m ∴+=．解得：3m =；（2）2540x y ++= ，254x y ∴+=-，∴252541432222216x y x y x y +-⨯=⨯===．【点评】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等运算，掌握将指数幂化为相同的底数是关键．题型3.逆用积的乘方法则进行计算9．（2024春•东台市月考）已知：13273234x x +-=，求x 的值．【分析】先根据幂的乘方的逆运算把原式变形为12727234x x +-=，进而根据同底数幂乘法的逆运算法则得到2627234x ⨯=，进一步变形得到3233x =，则32x =，解得23x =．【解答】解：13273234x x +-= ，1327(3)234x x +∴-=，12727234x x +∴-=，272727234x x ∴⨯-=2627234x ∴⨯=，279x ∴=，32(3)3x ∴=，3233x ∴=，32x ∴=，∴23x =．【点评】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是关键．题型4.运用同底数幂的除法法则解方程10．（2022秋•翠屏区期末）阅读理解：在学习同底数幂的除法公式(0)m n m n a a a a -÷=≠时，有一个附加条件m n >，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究m n =和m n <时，同底数幂的除法．当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得222205555-÷==或222255515÷==，即051=；同理可得，当0a ≠时，55550a a a a -÷==或55551a a a a ÷==．由此启发，我们规定：01(0)a a =≠．当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得242425555--÷==或22442515555÷==，即22155-=；同理可得，当0a ≠时，58583a a a a --÷==或558831a a a a a ÷==，即331a a -=．由此启发，我们规定：1(0p pa a a -=≠，p 是正整数）．根据以上知识，解决下列问题：（1）填空：0(3)π-=，23-=；（2）若211228m m -÷=，求m 的值；（3）若2(1)1x x +-=，求x 的值．【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可；（2）根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案；（3）分三种情况：①当11x -=，且2x +为任意数时，原方程成立；②当11x -=-，且2x +为偶数时，原方程成立；③当20x +=，且10x -≠时，原方程成立，解方程即可．【解答】解：（1）0(3)1π-=，2139-=，故答案为：1，19；（2）212m m--12m -=32-=，13m ∴-=-，故2m =-；（3）分三种情况：①当11x -=，且2x +为任意数时，原方程成立．解得2x =，②当11x -=-，且2x +为偶数时，原方程成立．解得0x =，③当20x +=，且10x -≠时，原方程成立．解得2x =-，综上所述，2x =-或0或2．【点评】本题考查零指数幂，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键．专练2：幂的运算之误区易错点1.混淆运算法则11．（2024春•滨海县月考）计算：（1）26()()x x x -⋅⋅-；（2）2432()x x x ⋅+；（3）656652()(4)(2)0.25125-⨯-⨯⨯；（4）232432(2)(3)x x x x -+⋅--．【分析】（1）利用同底数幂的乘法运算法则计算即可；（2）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则计算即可；（3）利用幂和乘方运算法则计算即可；（4）利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算即可．【解答】解：（1）26()()x x x -⋅⋅-26x x x =-⋅⋅9x =-；（2）2432()x x x ⋅+246x x x =⋅+66x x =+62x =；（3）656652()(4)(2)0.25125-⨯-⨯⨯65665121()4((1254=⨯⨯⨯6551211((412544=⨯⨯⨯⨯14=；（4）232432(2)(3)x x x x -+⋅--66689x x x =-+-616x =-．【点评】本题考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是本题的关键．易错点2.符号辩别不清12．（2023春•灌云县月考）计算2022202340.75()3⨯-的结果是()A ．43B ．43-C ．0.75D ．0.75-【分析】根据积的乘方的逆运算即可求出答案．【解答】解：2022202340.75()3⨯-20222022344()()433=-⨯⨯2022344(433=-⨯⨯43=-．故选：B ．【点评】本题考查了积的乘方，有理数的乘方，有理数的乘法等知识点，能正确运用()m m m a b ab ⋅=进行计算是解此题的关键．13．（2023春•邗江区月考）计算：202120221(2)()2-⨯=．【分析】逆用同底数幂的乘法法则，先把20221()2写成202111(22⨯的形式，再逆用积的乘方法则计算求值．【解答】解：202120221(2)()2-⨯20212021112()22=-⨯⨯202111(2)22=-⨯⨯112=-⨯12=-．故答案为：12-．【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键．易错点3.忽略指数“1”14．（2020春•滨海县期中）计算2a a ⋅结果正确的是()A ．a B ．2a C ．3a D ．4a 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：2123a a a a +⋅==．故选：C ．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．易错点4.不能灵活运用整体思想15．（2023春•盐城月考）若927819a b c ⋅÷=，则234a b c +-的值为．【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，从而可求解．【解答】解：927819a b c ⋅÷=，23423333a b c ⋅÷=，234233a b c +-=，2342a b c ∴+-=，故答案为：2．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16．（2024春•江都区月考）若2540x y +-=，试求432x y ⨯的值．【分析】将432x y ⨯写成以2为底幂的乘法，再将a 与b 的数量关系代入计算即可．【解答】解：2540x y +-= ，254x y ∴+=，432x y∴⨯2522x y=⨯252x y+=42=16=．【点评】本题考查幂和乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．易错点5.不能灵活运用转化思想17．（2024春•滨海县月考）已知3x a =，2y a =，则23x y a +=．【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则将23x y a +整理，再将已知条件代入计算即可．【解答】解：3x a = ，2y a =，23x ya +∴23x ya a =⋅23()()x y a a =⋅2332=⋅72=．故答案为：72．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．易错点6.用科学计数法表示较小的数时指数出错18．（2024春•东海县月考）有一种病毒，其直径为0.0000078米，将0.0000078用科学记数法表示为．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.0000078用科学记数法表示为67.810-⨯，故答案为：67.810-⨯．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．19．（2023春•泰兴市期末）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm 芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知70.0000007nm cm =，则0.0000007用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【解答】解：70.0000007710-=⨯．故答案为：7710-⨯．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．专练3：思想方法荟萃题型1.方程思想20．（2023春•工业园区校级月考）若(0m n a a a =>且1a ≠，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面的结论解决下面的问题：（1）如果212482x x ⨯⨯=，求x 的值；（2）如果22343515a a a ++-⋅=，求a 的值．【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．【解答】解：（1）212482x x ⨯⨯= ，23212(2)(2)2x x ∴⨯⨯=，23212222x x ∴⨯⨯=，1232122x x ++∴=，152122x +∴=，1521x ∴+=，解得：4x =，x ∴的值为4；（2）22343515a a a ++-⋅= ，234(35)15a a +-∴⨯=，2341515a a +-∴=，234a a ∴+=-，解得：3a =，a ∴的值为3．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．21．（2023春•工业园区期中）若(0m n a a a =>，1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果32232x ⋅=，求x 的值；（2）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（3）若52m x =-，325m y =-，用含x 的代数式表示y ．【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；（2）利用同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；（3）利用幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．【解答】解：（1）32232x ⋅= ，3522x +∴=，35x ∴+=，2x ∴=，x ∴的值为2；（2）528162x x ÷⋅= ，3452(2)(2)2x x ∴÷⋅=，3452222x x ∴÷⋅=，134522x x -+∴=，1345x x ∴-+=，解得：4x =，x ∴的值为4；（3）52m x =- ，25m x ∴+=，325my ∴=-23(5)m=-23(5)m =-23(2)x =-+2344x x =---241x x =---，即241y x x =---．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，列代数式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．题型2.转化思想22．（2023春•溧阳市校级月考）若21m x =+，34m y =+．（1）请用含x 的代数式表示y ；（2）如果4x =，求此时y 的值．【分析】（1）将4m 变形，转化为关于2m 的形式，然后再代入整理即可；（2）把4x =代入解得即可．【解答】解：（1）2242(2)m m m == ，21m x =+，21m x ∴=-，43m y =+ ，2(1)3y x ∴=-+，即224y x x =-+；（2）把4x =代入22412y x x =-+=．【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m 的项代换掉．题型3.分类讨论思想23．（2022秋•惠济区期中）本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：m a 与(0n a a ≠，m ，n 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作m n a a ÷．运算法则如下：,,11,m n m nm n m n m n n m m n a a a a a m n a a m n a a a --⎧⎪>÷=⎪÷==÷=⎨⎪⎪<÷=⎩当时当时当时．根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：（1）填空：3211()()33÷=13，2455÷=；（2）如果0x >，且21228x x ÷=，求出x 的值；（3）如果2212(2)(2)1x x x +-÷-=，则x =．【分析】（1）根据同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）把等式左右两边进行整理，从而可得到关于x 的等式，则可求解；（3）利用同底数幂的除法的法则对等式左边进行整理，可得到关于x 的等式，从而可求解．【解答】解：（1）：3211()()33÷321(3-=13=；2455÷4215-=215=125=；故答案为：13；125；（2）21228x x ÷= ，2322x x --∴=，得：23x x -=-，解得：3x =；（3）2212(2)(2)1x x x +-÷-= ，22120(2)(2)x x x +-∴-=-得22120x +-=，解得：5x =，当21x -=时，得3x =，当21x -=-时，得1x =．故答案为：1或3或5．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握与应用．题型4.逆用公式法24．（2023春•高港区期中）若2m a =，3n a =，则2m n a +=．【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得222()m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅，又由2m a =，3n a =，即可求得答案．【解答】解：2m a = ，3n a =，2222()2312m n m n m n a a a a a +∴=⋅=⋅=⨯=．故答案为：12．【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：()(n n n ab a b n =是正整数）与同底数幂的乘法法则：(m n m n a a a m +⋅=，n 是正整数），注意公式的逆用．。
用科学计数法表示比较小的数
1、通过这节课的学习 活动你有哪些收获？
竟猜游戏1：
(1)大象是世界上最大的陆栖动物，它 的体重可达到好几吨.它体重的百万分 之一相当与下面哪个动物的体重？
例如：一头大象重3吨 3吨×10－6 = 3 ×10－6 ×1000×1000克 = 3克
结果：当然是小蜜蜂了！
（2）已知现存的动物中最大的
11小组先讨论测量的步骤22再进行分工测量与计算1109纳米1米10分米100厘米1000毫米1106微米1米1微米1106米米1纳米1109米米一百万分之一米米十亿分之一米米人的头发丝的直径大约为000007米这个数已经很小了但还有更小的如纳米纳米相当与一根头发丝直径的六万分之一
第三章生活中的数据
身体中约含成长激素百分之一微克左右，用科学
记数法可表示为1×10-8 克.
（1微克=10-6克）.
1 100
×10-6
=10-2×10-6
=10-8
（4）国家质检总局出台了国内销售的 纤维制品的甲醛含量标准，从2003年1 月1日正式实施，该标准规定：针织内 衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的 制品，甲醛含量应在百万分之七十五以 下，百万分之七十五用科学记数法表示 应写成 75×10-6 =.7.5×10-5
相当于几层楼高？
8.848米，相当于2～3层楼高。
2、它的百万分之一是多少？
你能直观描述这个长度吗？
8848×10－6 ≈ 0. 008848米 = 0. 8848厘米 ≈ 0. 88厘米
< 1厘米
议一议2：
(2) 天安门广场是世界上最大的广场之一, 面积约有44万米2,请计算它的百万分之一 的大小。
1 1000000
10
6
2023年最新的科学计数法4篇
2023年最新的科学计数法4篇学习目标：会用科学计数法表示小于1的数学习重点、难点：会用科学计数法表示小于1的数.学习过程：一、温故知新：在初一年级第一章里，我们已经知道了什么是科学记数法，科学记数法的表述：把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1且小于10，n是正整数），这就是科学记数法。
例如用科学记数法表示下列各数：⑴989= ⑵ －135200 = （3）864000 =同样，对于一个小于1的正小数，如0.000000008，这样的数是否也可以用科学记数法表示呢？如果可以，那么10的指数n是多少？本节课我们来解决这个问题.二、探究新知1、计算：①10-2= ②10-5= ③10-8=反过来， 0.01= 0.00001= 0.00000001=你能得到什么启发吗？归纳：利用10的负整数次幂的性质表示一些绝对值较小的数，用科学计数法将他们表示成的形式（其中是正整数，1≤＜10）。
2、用科学记数法表示下列各数：⑴ 0.00002；⑵ －0.000034⑶0.0000000108 （4）0.000000001（5）-0.0012 （6）0.0000003453、探究：用科学记数法把一个数表式成（其中1≤＜10，为整数），有什么规律呢？30000=， 3000=， 300=， 30=， 3=， 0.3=， 0.03=， 0.003=。
观察以上结果，请用简要的文字叙述你的发现对于绝对值较小的数，用科学记数法表示时，只能是整数位为1，2，…，9的数，中的就是原数中第一个不为0的数字前面所有0的个数，包括小数点前面的零在内。
三、当堂反馈1、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00003 = （2）-0.0000064 =（3）0.00314 = （4）2023000 =2 、用小数表示下列各数(1) = (2) =3、近似数0.230万精确到位，用科学技术法表示该数为4、把0.00000000120用科学计数法表示为（）A． B． C． D．5、200粒大米重约4克，如果每人每天浪费一粒米，那末约458万人口的漳州市每天浪费大米（用科学计数法表示）（）A．91600克B．克C．克 D．6、一枚一角的硬币直径约为0.022，用科学技术法表示为A． B．C． D．7、下列用科学计数法表示的算式：①2374.5=②8.792=③0.00101=④－0.0000043=中不正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8、计算（1）（2×10-6）×（3.2×103）（2）（2×10-6）2÷（10-4）3（3）（2.2×10-9）÷（4.4×10-11）（4）（5.4×108）÷（3×10-5）÷（3×10-2）29、计算（1）x2y-3(x-1y)3 （2）（2ab2c-3）-2 ÷ (a-2b)310.课本145-146页练习1、2题。