武汉大学信号与系统题库

1-1判断下列信号是否是能量信号，功率信号，或者都不是。注意这里圆括号和方括号表示其分别对应连续和离散信号，下同。

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6)。

解(1) 对于，

因此,是能量信号。

(2) 如果是基本周期为的周期信号,则的归一化平均功率与任意时间间隔的的平均功率是相同的，正弦信号是周期为的周期信号，所以的平均功率为

因此，是功率信号。注意，一般情况下，周期信号都是功率信号。

(3) 对，

因此，既不是能量信号，也不是功率信号。

(4) 对，根据能量信号定义得

因此，是能量信号。

(5) 对，由功率信号定义得

因此，是功率信号。

(6) 因为，所以

因此，是功率信号。

1-2验证下式：

(1) ；(2)。

解可以根据以下等效性质来证明：

设是广义函数，则对于所定义的测试函数，当且仅当

时，，这就是等效性质。

(1) 对可变的变量,设,则，可以得到以下等式：

所以，考虑到是的偶函数，因而有。

(2) 令，由得

1-3计算下列积分

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)。

解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1-4如下图所示的系统是(1)无记忆的；(2)因果的；(3)线性的；(4)时不变的；(5)稳定的。

解

(1) 由图得，因为输出的值仅取决于输入当前的值，所以系统是无记忆的。

(2) 因为输出不取决于输出将来的值，所以系统是因果的。

(3) 设，则有

其中

所以系统满足叠加性质，是线性的。

(4) 设，而，因为，所以系统是时变的。

(5) 因为，，若输入是有界的，则输出也是有界的，系统是BIBO稳定的。

1-5如果可以通过观察系统的输出信号来惟一的确定输入信号，则该系统称为可逆的，如下图所示。试确定以下的系统是否是可逆的，如果是，给出其逆系统。

(1)； (2)；

(3)

；

(4)

；

(5)

。

解

(1) 可逆，。

(2) 不可逆。

(3) 可逆，。

(4) 可逆，

(5) 不可逆。

1-6 如下图所示的网络中，已知励磁信号为，单位为，电阻（单位

），电感

（单位

）均为常数，电容器是一个伺服机械带动的空气可变电容器，其容量的变化规律为

。试列出该网络输出电压

的数学表达式，并说明该网络属于哪类系统。

解 电容器上的电荷，所以回路电流（即电容器中的电流）为

:

电阻两端的电压为：

电感两端的电压为：

基于KVL，可得，得

由数学模型可知该系统是线性时变连续时间系统。

1-7建立下图所示电路的数学模型，指出该电路产于哪种系统。若将图中的开关在开启，在

闭合，开启，如此不断重复，试问该网络是什么样的系统?

解当开关开启不动时，该网络的数学模型为：

这是一个二阶常系数微分方程，所以该系统为线性时不变系统，当开关按函数动作时,显然这时网络的电量是时间的函数,所以该系统为线性时变系统。

2-1设，证明。

证明由卷积公式有

设，代入上式得

2-2设为下图中(a)所示的三角形脉冲，为单位脉冲串，如图中(b)所示，表示为

，试确定并画出当为以下各值时的：(1)

；(2) ；(3) 。

解利用卷积公式可得

(1)

时，

(2)

时，

(3)

时，

2-3 设一个连续时间系统为，求出并画出系统的冲激响应，该

系统是否为因果系统？ 解

利用卷积公式可以表示为

因此，系统的冲激响应

为

由右图及上式可看出，当时，，因此系统不是因果的。

2-4如下图中(a)所示，系统是通过连接两个相叠的系统构成的，这两个系统的冲激响应分别为和

，且，。求出图中(b)所示整个系统的冲激响应，并判断系统是否为BIBO稳定的。

解设是第一个系统的输出，则，有

根据卷积的结合律，有

因此，整个系统的冲激响应为

因为

所以系统是BIBO稳定的。

2-5如下图所示，连续时间系统由两个积分器和两个比例乘法器构成，写出输入和输出之间的微分方程。

解设和分别为图中第一个积分器的输入和输出，则

因为是图中第二个积分器的输入，则有，得

这就是要求的二阶线性微分方程。

注意：一般情况下，由相互连接的积分器和比例乘法器构成的连续时间LTI系统的阶数等于系统中积分器的个数。

2-6设一个连续时间系统的输入与输出之间的关系为，其中是常数。

(1) 若，求；(2) 用零输入和零状态响应方式表示。

解

设，其中是满足的特解，是满足式

的一般解。

假设，代入，得，由此可得，故

要得到，可以假设，代入，得，可得，故

将和组合起来，得

结合辅助条件，得，则

如果，有，因此又得，由辅助条件得，则

，所以可以用零输入响应和零状态响应的形式表示为：

2-7对习题2-6中的系统求其冲激响应。

解冲激响应应该满足微分方程

(2-7-1)

式(2-7-1)的一般解为，可以假设，代入式(2-7-1)得

，可得，故。可以预测，的特解为零，

因为不包含，否则，将是的导数从而不满足方程，因此，代入式(2-7-1)得

可得，从而得该系统的冲激响应

2-8对习题2-6中的系统，若。

(1) 不利用冲激响应，找出该系统的阶跃响应。

(2) 利用习题2-7的冲激响应，找出该系统的阶跃响应。

(3) 根据找出冲激响应。

解

(1) 在习题2-6中,。令

，则，有

(2) 利用习题七中的结论，可得阶跃响应为

(3) 由阶跃响应和冲激响应的关系可得，冲激响应为

2-9求系统的冲激响应。

解冲激响应应满足微分方程

(2-9-1)

设式(2-9-1)的一般解为，特解为，则其完全解为

(2-9-2)

代入式(2-9-1)，可得，从而有

解得，代入式(2-9-2)，可得系统冲激响应为

3-1如果信号集的两个子集和在区间满足

则称信号集为正交信号集，式中*表示共轭。证明间隔为周期的复指数集是正交的。

证明对于任意的，时，有

可得：

所以复指数集是正交的。

3-2求下列信号的指数傅里叶幂级数表示。

(1)；(2)；

(3)；

(4)；(5)。

解本题主要根据欧拉公式求解。

(1)根据欧拉公式，有

由此可得其傅里叶系数为。

(2)根据欧拉公式，有

由此可得其傅里叶系数为。

(3) 的基本角频率是2，根据欧拉公式，有

由此可得其傅里叶系数为

。

(4)根据欧拉公式，有

由此可得其傅里叶系数为。

(5)根据欧拉公式，有

由此可得其傅里叶系数为

。

3-3求如图3-3(a)所示的三角波的三角傅里叶级数。

图3-3(a) 图3-3(b) 解图3-3(a)所示的三角波的导数如图3-3(b)所示，可表示为

由冲激序列的傅里叶级数，上式可写为

与已知的三角信号的傅里叶级数表示式求导后的所得结果相比较可得

由3-3(a)知，代入三角型傅里叶级数式，得到

3-4已知的傅里叶变换为

如右图所示，求并粗略画出其波形示意图。

解由调制定理和门函数的傅里叶级数得

波形示意图如右图所示。

3-5求高斯脉冲的傅里叶变换。解由傅里叶变换定义有

上式两边对求导，可得

因为

所以

又，从而，即

可见高斯脉冲信号的傅里叶变换也是一个高斯脉冲，如下图所示。

3-6利用傅里叶变换的性质求如下图所示各个信号的频谱函数。

(1) (2) (3) (4)

解

(1) 对于，有

由延时特性得，故

又，由微分特性得

(2) 因为，根据尺度变换特性和延时特性可得

(3) 因为，根据尺度变换特性可得

(4) 因为，根据移频特性可得

3-7已知系统的输入为如下图中(a)所示的周期信号，系统的转移函数如图中(b)所示，其相位特性，求系统响应。

解首先将周期信号用傅里叶级数展开。因为，，所以

因为，所以求响应时只需取即可：

可得

3-8如下图中(a)所示周期信号，其基波频率为，若将该信号作用于图(b)所示的LC并联谐振电路，其转移函数为，其中

，若要使输出信号中主要为的正弦信号，其余各频率分量的幅度均等于或小于信号幅度的，试求的值。