第3讲 排队系统的基本概念
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排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队系统
2. 排队系统的概念
在实际应用中，有一大类系统被称之为随机服务系统或排队系统。在这些系统中顾 客到来的时刻与服务时间的长短都是随机的，并且可能会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种条件而波动。在电信网络中，交换机就可以看 成是一种随机服务系统。对于不同的电信网络，可以使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。模拟这些系统的排队系统的状态变化实际上是一个生灭过 程。
到来的顾客流
队列
离开的顾客流 服务员
服务机构
图1.排队系统模型
•
要仔细描述一个排队系统，主要需要描述三个方面的内容：输入过程、服务 时间、排队方式等。下面使用一个随机点移动模型来说明关于排队系统的模型 和假设。
t1 t2 服务员 队列
服务机构
τ1
τ2
图2 排队系统的点移动模型 如果只有一个服务员，在轴上有一些点从左向右做同 速率的匀速直线运动，图中的t1,t2….表示顾客到达排队系 统的到达间隔，它们均为随机变量；在系统忙时，τ1， τ2…表示不同顾客的服务时间，它们也是随机变量，关于 ti和τi满足下面3个假设： （1）ti独立同分布； （2）τi独立同分布； （3）ti和τi独立。
图4到达过程A(t)和离开过程B(t)
列德尔（Little）公式
•
如果N 表示系统中的平均顾客数，T 表示顾 客在系统中的平均时间（这个时间 有时也 被称为系统时间）,λ 表示单位时间到达系 统的顾客数，对于任意排队系统，有 N= T λ 上面结论可以证明对于 任意排队系统都是正确的，直观意义就是 一种平衡关系。
图3 排队系统模型
3. Little公式
Little 公式描述了任意排队系统满足的关系，下面通过简单描述来说明该公式。 下 面考虑一个任意的排队系统，为了说明 Little 公式，首先定义：A（t）为在（0,t ） 内到达的顾客数；B(t)为在（0，t）内离开的顾客数；那么t时刻系统内的顾客数为 N（t）=A(t)-B(t)
排队系统分析 全
= 0.122;
(2) P4 = ρ 4P0 = 1.254 × 0.122 = 0.298;
(3) λe = λ(1 − P4 ) = 1× (1 − 0.298) = 0.702;
(4)
Ls
=ρ 1− ρ
−
(4 + 1)ρ 1− ρ5
5
=
1
1.25 − 1.25
−
5 1
× −
1.255 1.255
Pn，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。
排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间：
一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。
等待时间：
一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。
第二节 到达与服务的规律
现实中的例子：
•程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
（2）等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下 来等待，直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为： • 先到先服务（FCFS） • 后到先服务（LCFS） • 带有优先权的服务（PS）
ห้องสมุดไป่ตู้ 2. 排队规则
（3）混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长；或允许等待但不允许等待时间无 限长。
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
（X/Y/Z/A/B/C）
X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
二. 排队模型的表示
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS）表示：
排 队 系 统
17
顾客到达
队列
服务台1 服务台2 服务台3
（e）多队列、多服务台、单服务阶段
顾客离去
18
2、排队结构类型的特点
队列数量对排队类型特点的影响
单队列：比较公平，先来者先服务，顾 客不必担心排错队 多队列：感觉比较短、比较快，离服务 员距离近；当发现自己选择对了队伍， 比先来者先获得服务，那么他会获得一 种幸运的感觉。
4
2、顾客源总量
有限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量比
较少，每一位顾客的到来和离去都会影响到队列的长度， 影响到下一次要求服务的概率。
例如：咨询公司、律师事务所、美容店的 顾客人数 无限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量非
常多，顾客人数的少量增减不会对顾客到达时间的概率 分布产生显著影响。
也就是说，随机变量“顾客到达率”或“顾 客到达人数”服从参数为λt（当t取1时，该参数 为λ，即平均顾客到达人数）的泊松分布。
11
二、排队规则
排队规则：也就是优先服务规则，它决定了顾
客队列中哪些顾客将优先获得服务。
排队规则的制定：它可能是由服务系统明确规定的，
也可能是出于行规或人们普遍接受的社会观念。
例如，高速公路收费服务
5
3、顾客群规模
含义：是指一起来消费的同一组顾 客的数量。到达的顾客群规模一般 服从一定的概率分布。 对顾客群规模的预测，将会关系到 服务系统服务能力的配置和调整。 例如，餐馆的餐桌配置应当依据顾 客群规模的预测。
6
4、耐心程度
耐心顾客:在接受服务前一直在等待的顾客。 不够耐心的顾客分为两类：
负指数分布具有连续型的概率密度函数 泊松分布是一种离散型的概率函数
8
负指数分布
排队论
排队论道路上交通流排队现象随时可见，如高速公路收费站的车辆排队，加油站等候加油的车辆排队等等。
因此，有必要研究交通流中的排队理论及其应用。
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。
一、排队论的基本概念1．“排队”与“排队系统”“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务的，而“排队系统”既包括了等待服务的，又包括了正在服务的车辆。
2．排队系统的三个组成部分（1）输入过程指各种类型的“顾客（车辆或行人）”按怎样的规律到来。
有各种类型的输入过程，例如：定长输入——顾客等时距到达。
泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。
这种输入过程最容易处理：因而应用最广泛。
爱尔朗分布——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
（2）排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
例如：损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来；等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。
服务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先服务（如急救车、消防车）等多种规则；混合制——顾客到达时，若队长小于L，就排入队伍；若队长大于等于L，顾客就离去，永不再来。
（3）服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。
每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。
服务时间的分布主要有如下几种：定长分布——每一顾客的服务时间都相等；负指数分布——即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布；爱尔朗分布——即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。
3．排队系统的主要数量指标（1）等待时间——从顾客到达时起到开始接受服务时的这段时间; （2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度；（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
排队系统
排队系统的主要数量指标
队长——是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与
正在接受服务的顾客数之和)。
L或Ls—— 平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 平均队长，
的期望值；
队列长——是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。 Lq—— 平均等待队长或队列长 ， 即稳态系统任一时刻的 平均等待队长或队列长，
排队模型
典型的排队例子
到达的顾客 在公路收费站排队的车辆 病人 到达机场上空的飞机 不能运转的机器 到达港口的货船 客户 进入我方阵地的敌机 汽车驾驶员 需加油车辆 服务内容 收费 看病 降落 修理 装货（卸货） 装货（卸货） 法律咨询 我方防空火力射 执照年码头或泊位 法律咨询人员 我方高炮或防空导弹 管理部门年审办事员 加油站的加油机
排队系统基本概念
“顾客”——要求服务的对象统称； 顾客” 服务台” 服务员” “服务台”或“服务员”——提供服务的人或机 构；
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统 。 顾客为了得到某种服务而到达系统， 顾客为了得到某种服务而到达系统 ， 若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍， 服务而又允许排队等待 ， 则加入等待队伍 ， 待获得服 务后离开系统，见图1至图5 务后离开系统，见图1至图5。
按以上数据可推算出每一顾客到达、服务开始、服务结束 的时刻以及顾客排队等待时间、在系统中停留时间和售票 员空闲的时间。将数据依次填入表中。 20次试验中顾客停留时间的平均值：72/20＝3.60分。 售票员空闲时间占总时间的百分数：34/103＝33%
三、排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然 后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相 关的还包括排队系统的统计推断问题。 (1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状 态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的 基本特征。 (2)统计推断问题，建立适当的排队模型是 排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰 到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验 顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务 时间的分布及有关参数等。
排队系统
M—— 负指数分布(M是Markov的字头，因为负指数分布具有 无记忆性，即Markov 性)。 D —— 确定性(Deterministic)。
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
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Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
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3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
随机服务系统理论排队论
随机服务系统理论排队论
第三，排队系统是由顾客到达过程、服务过程和排队结构组成的。
排
队结构主要包括单通道排队系统、多通道排队系统和并行排队系统等。
单
通道排队系统是指只有一个服务设施，顾客依次等待服务；多通道排队系
统是指有多个并行的服务设施，顾客可以选择一个通道等待服务；而并行
排队系统是指有多个并行的服务设施，顾客可以同时接受多个设施的服务。
通过对排队系统的研究，可以分析系统的繁忙程度、排队长度和等待时间
等指标，为系统的设计和管理提供依据。
最后，排队系统的性能评估和优化是排队论研究的核心任务。
性能评
估主要包括系统的平均等待时间、平均服务时间、系统繁忙度等指标；而
优化问题主要包括如何设计系统的排队结构、如何分配资源和如何调整服
务策略等。
通过对性能评估和优化的研究，可以提高系统的服务能力和服
务质量，提高顾客满意度和系统的效益。
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苏志远
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
1. 输入过程
说明顾客是按什么样的规律到达系统，需 要从三个方面来描述：
顾客总数。可以是有限的，也可以是无限的； 到达方式。单个到达还是成批到达。库存问题中的进 货为成批到达； 顾客相继到达时间间隔的分布。
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顾客到达
队列
...
完成服务后离去 服务台
正在接受服务的顾客 单服务台排队系统
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
二．排队系统的形式
2. S 个服务台，一个队列的排队系统
二．排队系统的形式
3. S 个服务台，S个队列的排队系统
排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系统的 运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统 处于最优的运行状态。因此，首先需要弄清系 统的运行状况。描述一个排队系统的主要数量 指标有：
1. 2. 3. 队长和排队长 等待时间和逗留时间 忙期和闲期
•
队长和排队长
1. 队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客 数与正在接受服务的顾客数之和）， 2. 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客 数。 3. 队长和排队长一般都是随机变量。
• 一般说来，得到N(t)的分布 p{N (t ) n}(n 0,1,2...) 是比较困难的，因此通常是求当系统达到 平衡状态后的状态分布，记为：
pn， n 0,1,2,...
则称｛N(t)，t≥0｝是一个生灭过程。
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排队系统的数据指标
• 上述指标的常用记号
– N (t ) ：时刻t 系统中的顾客数（又称为系统的状 态），即队长。 – N q (t ) ：时刻t 系统中排队的顾客数，即排队长。 – T (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的逗留时 间。 – Tq (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的等待时 间。
t0 t0
（2.1）
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
2.
a)
②
排队及排队规则
排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占后，后面再来的顾客 不能进入系统接受服务。又可以分为以下两种：
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系统建模与仿真
排队系统的数据指标
系统建模与仿真
排队系统的数据指标
•
等待时间和逗留时间
1. 等待时间：从顾客到达时刻起到他接受服务 止这段时间。 2. 逗留时间：从顾客到达时刻起到接受服务完 成止这段时间。 3. 等待时间、逗留时间都是随机变量
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
一．排队系统的特征
1.
• •
二．排队系统的形式
1. 单服务台的排队系统
排队除了有形的队列外，还可以是无形的队 列。
电话预定租车服务； 网络传输；
2. • • • •
排队的可以是人，也可以是物。 生产线上的原材料、半成品； 故障待修的机器； 要进站的火车由于展台被占而等待； 网络打印
• 平衡状态下的指标
– 当系统达到平衡时处于状态n的概率，记为 ，又记： pn
• N：系统处于平衡状态时的队长，其均值为L，称为平均队长； • N q ：系统处于平衡状态时的排队长，其均值为，称为平均排队长； • T ：系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，其均值为W，称为平均逗 留时间； • T ：系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值为，称为平均等待 q 时间； • •
1 k 2
e b(t ) 0
t
t0 t0
（2.2）
为可知，方差将趋近于零，即为完全非随机的。所以，
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
（FIFS/LIFS）
四． 排队系统的符号表示
排队系统的数据指标
• 系统的服务强度
当 为常数时，记为 ；当每个服务台的平
n
• 忙期和闲期
– 忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期为 B 和 I ，s为 记每个服务台的服务率为
n
，则当 n s 时，有
n
s
。因此，顾客相继达到的
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系统建模与仿真
生灭过程
系统建模与仿真
0 1 2 ┇ n-1
生灭过程
1 p1 0 p0
• 求解状态n的概率 pn， n 0,1,2,... 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态n。 假设记录了一段时间内进入状态n和离开状态n的 次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的， 所以这两个数要么相等，要么相差为1。但就这两 种事件的平均发生概率是相等的。即当系统运行 相当时间到达平稳状态后，对任一状态n来说，单 位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离 开该状态的平均次数是相等的，这就是系统在统 计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理， 可得到任一状态下的平衡方程如下：
K阶爱尔朗分布（E k ）：每个顾客接受服务的时间服务K阶爱尔朗 分布，其密度函数为
b(t )
k (k t ) k 1 k t e (k 1)!
（2.3）
爱尔朗分布比负指数分布更具有广泛的适应性。当k=1时，爱 尔朗分布为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。 事实上，当k≥30以后，爱尔朗分布近似于正态分布。当k→∞时， 由方差 K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
•
忙期和闲期
1. 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起， 到服务机构再次称为空闲止的这段时间 。 2. 闲期是与忙期相对的，是服务机构连续保持 空闲的时间。 3. 忙期和闲期都是随机变量
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排队系统的数据指标
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系统建模与仿真
系统建模与仿真
排队系统
•
知识回顾
1. 离散事件系统（DEDS或DES)基本概念、基 本要素 2. DES系统举例 3. 离散事件系统仿真步骤 4. 离散事件系统策略 5. 手工仿真 排队系统
系统建模与仿真
第三讲 排队系统的基本概念
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X/Y/Z/A/B/C
X 表示顾客相继达到时间间隔的分布；
Y Z A B C 表示服务时间的分布 表示服务台的个数 表示系统容量，即可容纳的最多顾客数 表示顾客源的数目 表示服务规则
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系统建模与仿真
排队系统的数据指标
系统建模与仿真
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
二．排队系统的形式
4. 多个服务台的串联排队
顾客到达
队列
三．排队系统描述 实际中的排队系统各不相同，但概括起 来都由三个基本部分组成：输入过程、 排队及排队规则和服务机制。
...
队列
服务台
...
完成服务后离去 服务台 多个服务台的串联排队
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3.
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系统建模与仿真
生灭过程
系统建模与仿真
生灭过程
•
定义 1： 设｛N(t)，t≥0｝为一个随机过程。 若N(t)的概率分布有如下性质：
1. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客到达 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 2. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客离去 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或者离去。
队列 1
服务台 1
...
完成服务后离去
完成服务后离去 服务台 1 完成服务后离去 服务台 2 完成服务后离去 服务台 3
顾客到达
队列
...
服务台 2 服务台 3 S 个服务台，一个队列的排队系统
顾客到达
队列 2
...
队列 3
...
S 个服务台，S个队列的排队系统
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
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排队系统
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