九年级数学上册第3章圆的基本性质3.4圆心角第2课时圆心角定理的推论同步练习新版浙教版
第3章 圆的基本性质
3.4 圆心角
第2课时 圆心角定理的推论
知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1．如图3－4－14，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，则： (1)如果AB ＝CD ，那么________，________，________； (2)如果AB ︵＝CD ︵
，那么________，________，________； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么________，________，________； (4)如果OM ＝ON ，那么________，________，________.
3－4－14
3－4－15
2．如图3－4－15所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠A ＝30°，则∠B 的度数是( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°
3．如图3－4－16，已知点A ，B ，C 均在⊙O 上，并且四边形OABC 是菱形，那么∠AOC 与2∠AOB 之间的大小关系是( )
A ．∠AOC ＞2∠AO
B B ．∠AO
C ＝2∠AOB C ．∠AOC ＜2∠AOB
D ．不能确定
3－4－16
3－4－17
4．如图3－4－17，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵
上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的度数为( )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
5．如图3－4－18，圆心角∠AOB ＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵
的度数是________．
3－4－18
3－4－19
6．如图3－4－19，在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝________°.
图3－4－20
7．如图3－4－20, O 是圆心，且PO 平分∠BPD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则下列结论：①AB ＝CD ；②AB ︵＝CD ︵；③PO ＝PE ；④BG ︵＝DG ︵
；⑤PB ＝PD ，其中正确的是________(填写序号)．
8．课本课内练习第2题变式如图3－4－21所示，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等．求证：AD ︵＝BC ︵.
图3－4－21
9．xx·牡丹江如图3－4－22，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵
，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .求证：
AD ＝BE .
图3－4－22
10．如图3－4－23所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )
A ．51°
B ．56°
C ．68°
D ．78°
3－4－23
3－4－24
11．如图3－4－24所示，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵
，那么( ) A ．AB >2CD B ．AB <2CD C ．AB ＝2CD
D ．无法比较AB 与2CD 的大小
12．如图3－4－25所示，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)上移动时，点P ( )
A ．到CD 的距离保持不变
B ．位置不变
C ．等分DB ︵
D ．随点C 的移动而移动
3－4－25
3－4－26
13．如图3－4－26，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠AOC ＝40°，D 是弧BC 的中点，则∠ACD ＝________°.
14．如图3－4－27，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵
，OB ，OC 分别交AC ，DB 于点M ，N .
求证：∠OMN ＝∠ONM .
图3－4－27
15．如图3－4－28所示，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C ，D 是AB ︵
的三等分点，AB 分别交
OC ，OD 于点E ，F .
求证：AE ＝BF ＝CD .
图3－4－28
16．如图3－4－29所示，A 是半圆上的一个三等分点，B 是AN ︵
的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则PA ＋PB 的最小值是多少？
图3－4－29
详解详析
1．(1)∠AOB ＝∠COD AB ︵＝CD ︵
OM ＝ON (2)AB ＝CD ∠AOB ＝∠COD OM ＝ON (3)OM ＝ON AB ＝CD AB ︵＝CD ︵
(4)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD AB ︵＝CD ︵
2．B
3．B [解析] ∵四边形OABC 是菱形， ∴AB ＝BC ， ∴∠AOB ＝∠BOC ， ∴∠AOC ＝2∠AOB . 故选B.
4．C [解析] ∵∠AOE ＝60°， ∴∠BOE ＝180°－∠AOE ＝120°， ∴BE ︵
的度数是120°. ∵C ，D 是BE ︵
上的三等分点， ∴CD ︵与ED ︵
的度数都是40°， ∴∠COE ＝80°.
5．20° 6.40 7.①②④⑤ 8．证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵
， ∴AB ︵－BD ︵＝CD ︵－BD ︵，∴AD ︵＝BC ︵.
9．证明：如图，连结OC ， ∵AC ︵＝CB ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC . ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 与△COE 中， ????
?∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ， ∴△COD ≌△COE ， ∴OD ＝OE . 又∵AO ＝BO ， ∴AO －OD ＝BO －OE ， 即AD ＝BE .
10．A [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD ＝34°， ∴∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°，
∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，
∴∠AEO ＝∠EAO ＝1
2
×(180°－78°)＝51°.
11．B
[解析] 如图，在⊙O 上截取DE ︵＝CD ︵，连结CE ，DE ，则AB ︵＝CE ︵
，AB ＝CE ，CD ＝DE ，根据三角形的三边关系知CD ＋DE ＝2CD >CE ，则AB <2CD ，故选B.
12．B [解析] 连结OP ，如图所示．
∵OC ＝OP ，∴∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴CD ∥OP . ∵CD ⊥AB ， ∴OP ⊥AB .
而OP 是⊙O 的半径，故点P 的位置不变． 故选B. 13．125
[解析] 连结OD ，
∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝40°， ∴∠BOC ＝140°，∠ACO ＝70°. ∵D 是弧BC 的中点， ∴∠COD ＝70°， ∴∠OCD ＝55°，
∴∠ACD ＝∠ACO ＋∠OCD ＝70°＋55°＝125°. 14．证明：∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵
， ∴OM ⊥AC ，ON ⊥BD .
∵AB ︵＋BC ︵＝BC ︵＋CD ︵，∴AC ︵＝BD ︵， ∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM . 15．证明：连结AC ，BD . ∵C ，D 是AB ︵
的三等分点，
∴AC ︵＝CD ︵＝DB ︵
，∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ， ∴AC ＝CD ＝BD .
∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝30°. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACE ＝75°. 又∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，
∴∠AEC ＝∠EAO ＋∠AOC ＝45°＋30°＝75°， ∴∠AEC ＝∠ACE ＝75°，∴AE ＝AC . 同理可证BF ＝BD ，∴AE ＝BF ＝CD .
16解：如图，作点B 关于MN 的对称点B ′，连结AB ′交MN 于点P ，连结OB ′，OB ，
PB ，
则此时PA ＋PB 取得最小值，PA ＋PB ＝PA ＋PB ′＝AB ′. ∵A 是半圆上的一个三等分点，AB ︵＝BN ︵
， ∴∠AON ＝60°， ∠BON ＝∠B ′ON ＝30°，
∴∠AOB′＝90°.
又∵OA＝OB′＝1，∴AB′＝2，∴PA＋PB的最小值是 2.