专题强化练5 圆的方程及其应用

专题强化练5 圆的方程及其应用

一、选择题

1.(2020湖南雅礼中学高二月考,

)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 与圆

O:x 2+y 2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C 的面积的最小值为( ) A.4

5π B.(3-√5)π

C.

3-√52

π D.(6-2√5)π

2.(多选)(2020山东省实验中学高三月考,)若实数x,y 满足x 2+y 2+2x=0,则下列

关于y x -1

的判断正确的是( )

A.

y x -1

的最大值为√3 B.

y x -1

的最小值为-√3

C.y x -1的最大值为√3

3 D.y x -1的最小值为-√3

3

3.(2020浙江杭州高三质检,)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆

(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-5

3或-3

5 B.-3

2或-2

3

C.-54

或-45

D.-43

或-34

4.(2020安徽安庆一中高二期末,

)曲线y=1+√4-x 2与直线y=k(x-2)+4有两个不

同的交点,则实数k 的取值范围是( ) A.k≥3

4

B.-34

≤k<-5

12

C.k>5

12

D.512

4

二、填空题

5.(2020山东临沂高三一模,)已知圆M的圆心在x轴上,且在直线l 1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2√3,且与直线l2:2x-√5y-4=0相切,则圆M的标准方程为.

6.(2019河北唐山高三三模,)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆

x2+y2+kx=0上两个不同的点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是.

7.(2020江苏扬州高三月考,)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与

圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-√3)2

=3相交于两点R,S,且PT=RS,则正数a

的值为.

8.(2020湖北八校高三期末联考,)过点(√2,0)作直线l与曲线y=√1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等

于.

三、解答题

9.(2020安徽黄山高二期末,)已知点M(3,1),圆O 1:(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)若直线ax-y+4=0与圆O1相交于A,B两点,且弦AB的长为2√3,求a的值;

(2)求过点M的圆O1的切线方程.

10.(2020安徽合肥八中高二期末,)已知圆C经过点A(2,-1),且与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.

(1)求圆C的方程;

(2)已知直线l经过点(2,0),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程. 11.(2020甘肃兰州高二期末,)已知圆C的圆心在x轴上,且与直线4x-3y-2=0

相切于点(-2

5,-6

5

).

(1)求圆C的方程;

(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点,若直线OA,OB的斜率之和等于8,求直线l的方程.

答案全解全析

一、选择题

1.C 圆心O(0,0)到直线x-2y+5=0的距离为

|5|√12+(-2)2

=√5.因为圆C 与圆O:x 2+y 2=1

外切,且与直线x-2y+5=0相切,所以圆C 的直径的最小值为√圆C 的面积的最小值为

π(√5-1)

2

4

=

3-√52

π.

2.CD 由x 2+y 2+2x=0得(x+1)2+y 2=1,表示以(-1,0)为圆心、1为半径的圆,y x -1

表示

圆上的点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,易得

y x -1

的最大值为√33

,最小值为-√33

.

3.D 点(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以圆心(-3,2)到直线的距离d=

|-3k -2-2k -3|

√k 2+1

=1,化简得12k 2+25k+12=0,解得k=-43

或k=-3

4

.

4.D y=1+√4-x 2可化为x 2+(y-1)2=4,y≥1,

所以曲线为以(0,1)为圆心,2为半径的圆的y≥1的部分. 直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),

当直线经过点A(-2,1)时恰与曲线有两个交点,顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个, 直线AP 的斜率为

4-12+2=34

,由直线与圆相切得

|-1+4-2k |√1+k 2

=2,解得k=5

12

,

所以实数k 的取值范围为5

12

. 二、填空题 5.答案 (x+1)2+y 2=4

解析 由已知,可设圆M 的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为r,则

{(a +2)2

+(√3)2

=r 2,|2a -4|

√4+5

=r ,

解得满足条件的一组解为{a =-1,

r =2,所以圆M 的标准方程为(x+1)2+y 2=4. 6.答案 3+√2

解析 依题意得圆x 2+y 2+kx=0的圆心(-k

2

,0)在直线x-y-1=0上,于是有-k

2

-1=0,即

k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2√2,直线AB 的方程是

x -2+y 2

=1,即x-y+2=0,所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为

|1-0+2|√2

=3√2

2,所以点P 到直

线AB 的距离的最大值是3√2

2

+1,所以△PAB 面积的最大值为1

2

×2√2×(3√22

+

1)=3+√2. 7.答案 4

解析 易知PT=√4-1=√3,且直线PT 的方程为y=±√33

(x+2),设圆(x-a)2+(y -√3)2

=3的圆心(a,√3)到直线PT 的距离为d,则RS=22√3,所以d=3

2, 因此

|

√3

3

(a+2)-√3|√1+

3

=3

2

或

|-

√3

3

(a+2)-√3|√1+

13

=3

2

,又a>0,所以a=4.

8.答案 -√33

解析 令P(√2,0),如图,易知|OA|=|OB|=1,所以

S △AOB =1

2

|OA||OB|sin∠AOB=1

2

sin∠AOB≤1

2

,当∠AOB=90°时,△AOB 的面积取得最大

值,此时过点O 作OH⊥AB 于点H,则|OH|=√2

2

,于是sin∠OPH=

|OH |

|OP |=

√22

√2=1

2

,易知∠OPH

为锐角,所以∠OPH=30°,则直线AB 的倾斜角为150°,故直线AB 的斜率为tan 150°=-√33

.

三、解答题

9.解析 (1)易知圆心到直线ax-y+4=0的距离为√22-(√3)2

=1,

所以

√a 2+1

=1,解得a=-3

4

.

(2)当切线斜率不存在时,所求切线方程为x=3; 当切线斜率存在时,设所求切线方程为y-1=k(x-3), 圆心到该直线的距离为

|2k+1|√k 2+1

=2,解得k=3

4

,所以切线方程为3x-4y-5=0.

综上,过点M 的圆O 1的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. 10.解析 (1)设圆心的坐标为C(a,-2a),

则√(a -2)2+(-2a +1)2=|a -2a -1|

√2

,

化简,得a 2-2a+1=0,所以a=1, 所以C 点坐标为(1,-2),

半径r=|AC|=√(1-2)2+(-2+1)2

=√2.

故圆C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2,满足条件.

②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k(x-2),即 kx-y-2k=0,

由题意可得

|2-k |√1+k

2

=1,解得k=3

4

, 则直线l 的方程为y=34

(x-2),即3x-4y-6=0. 综上所述,直线l 的方程为x=2或3x-4y-6=0. 11.解析 (1)依题意,设圆心C(a,0), 则有

|4a -2|

√42+(-3)=√(a +25)2+(65

)2

,

整理得a 2+4a+4=0,所以a=-2,即圆心为(-2,0), 于是半径r=

|4×(-2)-2|√42+(-3)

2

=2,

故圆C 的方程为(x+2)2+y 2=4.

(2)依题意,直线l 的斜率一定存在,设为k(k≠0),则l 的方程为y=k(x-1), 联立直线l 的方程与圆C 的方程,可得{y =k (x -1),

(x +2)2+y 2

=4,消去y,整理得(1+k 2)x 2+(4-2k 2)x+k 2=0.

因为直线与圆相交,所以Δ=(4-2k 2)2

-4(1+k 2)k 2=16-20k 2>0, 解得-2√55

5

,且k≠0.

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 2-4

1+k ,x 1x 2=

k 2

1+k ,

于是k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=x 2y 1+x 1y 2x 1x 2=k (x 1-1)x 2+k (x 2-1)x 1x 1x 2=2kx 1x 2-k (x 1+x 2)

x 1x 2

=

2k ·

k 21+k 2-k ·2k 2-41+k 2

k 21+k 2

=4

k

,

所以4k

=8,得k=1

2

,满足题意,

所以直线l 的方程为y=1

2

(x-1),即x-2y-1=0.